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模型40 三角形内切圆
模型展现
图示
条件 ⊙O是△ABC的内切圆(点 O 为△ABC的内心,⊙O 分别与边AB,BC,AC 相切于点D,E,F)
结论 1.∠BOC=90°+ ∠BAC,∠AOC =90°+ ∠ABC,∠AOB = 90°+ ∠ACB 2. S△ABC= (AB+BC+AC)·OD
结论分析
结论1：
证明:∵AB,BC,AC分别是⊙O的切线,点D,E,F为切点,∴∠ODA=∠OEB=∠OFC=90°,
同理可证得
结论2:
自主证明：
模型解题三步法
例1 如图,⊙O 内切于△ABC,若 则 ∠C的度数为 .
例2 如图,在△ABC中, ,点D 是△ABC 的内心,则 BD 的长为 .
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题以类解
1.如图，在 中， ⊙O为 的内切圆，且半径为 ，若 的面积为15 ，则AC的长为 ( )
A.6 B.8 C. 10 D. 12
2.如图，在 中。 过点B作 于点D，P是 内一点，连接CP交BD于点E，且 连接AP，若点 P恰好为 内心，则 的度数为 ( )
3. 新考法 新图形 如图，在四边形ABCD中, ⊙O是四边形AB-CD的内切圆，若 则 的值为 .
4.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为三角形的面积，则 这是中国古代数学的瑰宝之一，而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 (周长的一半)，则 海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式.下列是秦九韶公式→海伦公式的变形过程：
任务：
(1)将上述变形过程补充完整；
(2)若 的三边长分别为5，12，13，求 的面积；
(3)请你证明下面这个公式：如图， 的内切圆⊙O 的半径为r，三角形的三边长为a,b,c,记 为三角形的面积，s求证：
模型40 三角形内切圆
模型展现
自主证明：
·OF,
∵OD=OE=OF,
模型解题三步法
例1 20° 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，三角形是否存在内切圆：⊙O，是否存在内切圆圆心：点O，抽离模型：如解图，用模型：根据“三角形内切圆”模型得， ∠C=20°.
例2 【解析】如解图，作△ABC 的内切圆⊙D,连接 DA,DE,DF,DH.∵ ∠BAC= 根据“直角三角形内切圆”模型得，DE= .四边形 AEDH 是正方形,∴ AE = DE = 1,∴ BE =3,∴ BD =
题以类解
1. B 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，三角形是否存在内切圆：⊙O，是否存在内切圆圆心：点O，抽离模型：如解图，用模型：根据“三角形内切圆”模型得，S△ABC l
2. C 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABE，是否存在内心：点P，抽离模型：如解图，用模型：作△ABE的内切圆⊙P，根据“三角形 内 切圆”模 型得, ∠BPE = 90°+ ∠BAE,∵∠BPE=108°,∴∠BAE=36°,∵AB=BC,BD⊥AC,∴∠ABE=∠CBE(等腰三角形三线合二),∵BE=BE,AB=CB,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴ ∠BCE=∠BAE=36°, ∵∠BPE=108°,∴ ∠CBP = 36°,∵∠CBE=∠ABE=2∠PBE,∴∠CBE=24°,∴∠PEB=∠BCE+∠CBE=60°.
3. 【解析】如解图，延长 BA，CD 相交于点H,记AD,BC,CD分别切⊙O 于点G,E,F,连接EG,则EG过点O,∵AD=3,BC=6,且AD∥BC,∴ AD 是△BCH 的中位线,∴ CH =2CD,BH=2AB,设⊙O 的半径为r则 EG=2r,易得四边形ABEG 为矩形,∴AB=EG=2r,AG=BE=r,∴BH=4r,∵点 E,F,G是切点,∴ DF=GD,CF=CE(双切线的性质),∵CE=6-r,DG=3-r,∴CD=9-2r,CH=2CD=18-4r，根据“直角三角形内切圆”模型得，r= 解得r=2,∴AH=4,∴ HD=5,∴ cos∠DCB =
4. (1)解:
原式
(2)解:∵△ABC三边长分别为5,12,13,
(3)证明:如解图,连接OA,OB,OC,记切点分别为D,E,F,连接OD,OE,OF,
= pr..

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