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模型38 双切线
模型展现
图示
条件 点P为⊙O外一点,PA,PB是⊙O的切线,切点分别为A,B
结论 PA=PB
结论:PA=PB
证明:如图,连接OA,OB,OP,
∵PA,PB是⊙O的切线,切点分别为A,B,∴OA=OB,∠OAP=∠OBP=90°,在Rt△OAP和Rt△OBP中,∴PA=PB.
模型解题三步法
例 如图,PA,PB是⊙O 的切线,切点分别为A,B.若 ,则AB 的长为 .
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题以类解
1.如图，四边形ABCD 为正方形，且边长为4，点 E是BC 边上一点，以AB 为直径的半圆切 DE于点 F,则BE的长为 ( )
A. 2 B. C. 1 D.
2. 如图,CA,CB为⊙O 的切线,切点分别为A,B. AO与CB 的延长线交于点 E. AB,CO 交于点M，连接OB，若 则 的值为 .
3. 如图,在扇形AOB 中,点 C,D 在. 上，将 沿弦 CD 折叠后恰好与 OA，OB 相切于点E,F.若 则折痕CD的长为 .
4. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D,点 E 为 BC的中点，连接DE.
(1)求证:DE是⊙O 的切线;
(2)若AC=4,∠B=45°,是否存在以点O,D，B，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出此时AD的长，若不存在，请说明理由.
5.如图①，抖空竹是一项传统体育运动，是国家级非物质文化遗产之一.小雨对抖空竹的过程进行了研究，如图②，空竹⊙O 落下时与线AB,CD 分别相切于点 E,F,AB 与 CD 相交于点G,A,B,C,D,O在同一平面内.已知⊙O的半径为1， ∠D,BC∥EF.
(1)求证:△EFG为等边三角形;
(2)若F为 CD的中点,求AB 的长.
模型38 双切线
模型解题三步法
例 3 【解析】找模型：是否存在圆外一点引出的圆的两条切线：圆外一点 P，切线 PA 和PB，抽离模型：如解图，用模型：根据“双切线” 模 型 得, PA = PB, OB ⊥ PB,∵ ∠OBA=30°,∴ ∠PBA =90°-30°=60°,∴ △PAB 为等边三角形(一个角是60°的等腰三角形是等边三角形),∴AB=PA=3.
题以类解
1. C 【解析】∵ 四边形ABCD 为正方形,∴OA⊥AD,OB⊥BC,∴AD,BC均为半圆的切线.找模型：是否存在圆外一点引出的圆的两条切线：圆外一点 D，切线 DA 和 DF，抽离模型：如解图，用模型：根据“双切线”模型得DA=DF,连接OF,同理EF=BE,设BE=x,则CE=4-x,DE=4+x,在 Rt△DCE中,由勾股定理得 即( x) ,解得x=1,∴BE的长为1.
2. 【解析】找模型：是否存在圆外一点引出的圆的两条切线：圆外一点 C，切线 CA 和CB，抽离模型：如解图，用模型：根据“双切线”模型得 ∠CBO=∠CAO=90°,∴ CO⊥AB,∴∠ABO+∠CBM= ∠BCO+∠CBM = 90°,∴ ∠ABO=∠BCO(等角代换),∵OA=OB,∴∠EAB=∠ABO,∴∠BCO=∠EAB,∴sin∠BOO=OBCO= 设 则 CO=10x,在 Rt △COB 中, 由勾股 定理 得 CB = ∵∠OBE=∠CAE=90°,∠E=∠E,∴△OBEC△CAE(两组对应角分别相等的两个三角形相似)，
【解析】如解图，设翻折后的弧的圆心为O',连接O'E,O'F,OO',O'C,OO'交 CD于点 H,由折叠的性质得 OO'⊥CD,OH=O'H,O'C=OB,∴CH=DH(垂径定理),∵将 沿弦 CD 折叠后恰好与OA，OB 相切于点E,F,∴∠O'EO=∠O'FO=90°,∴OE=OF(“双切线”模型)， ∴OB=2OF=3,∴ O'C = O'F = OB =3,在Rt△OO'F 中, 由 勾 股 定 理 得 OO' =
4. (1)证明:如解图,连接OD,CD,OE,∵AC是⊙O 的直径,
∴∠ADC=90°(直径所对的圆周角为90°),
∴∠CDB=90°,
∵点E是BC的中点，
∴CE=DE(直角三角形中线性质)，
∵OC=OD,OE=OE,
∴△OCE≌△ODE(SSS),
∴∠OCE=∠ODE=90°,
∵OD 是⊙O 的半径,
∴DE是⊙O 的切线(切线的性质)；
(2)解:存在.
∵∠ACB=90°,∠B=45°,∴∠A=45°,
∵OA=OD,∴∠ADO=45°,
∴∠AOD=90°,
∴∠AOD=∠ACB=90°,
∴四边形ODBE 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
此时
5. (1)证明:如解图,连接OE,OF,过点 O 作OH⊥EF于点H,
∵AB,CD分别与⊙O 相切于点 E,F,
∴∠OEG=∠OFG=90°,GE=GF(“双切线”模型)，
∵OE=OF,
∴ ∠OEF=∠OFE,
∴∠FEG=∠EFG,
又∵⊙O的半径为1，
∴∠FEG=60°,
∴△EFG为等边三角形(一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)；
(2)解:∵ BC∥EF,
∴△EFG∽△BCG.
由(1)知△EFG为等边三角形，
∴ △BCG是等边三角形,
∴GC=GB,
在△ACG 和△DBG中,
∴△ACG≌△DBG(AAS),
∴AG=DG,
∴AB=CD,
∵F为CD的中点,

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