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模型37 垂径定理
模型展现
弦和直径垂直于圆内一点，根据“相交弦定理”解题时.
从题中找①过圆心；②垂直弦；③平分弦(非直径)；④平分优弧；⑤平分劣弧，若已知其中的两个，就能推出其余三个.
结论：
证明:如图,连接OC,OD,则OC=OD.
∵AB⊥CD,
∴∠OEC=∠OED=90°,
在 和 中
∴CE=DE,∠BOC=∠BOD,
∵AB为⊙O 的直径,
模型解题三步法
例1 如图,AB为⊙O 的直径,C,D是圆上两点,AB⊥CD于点E,连接CO并延长交⊙O 于点F,连接AC,FD,若∠A=40°,则∠CFD的度数为 ( )
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
例2 如图,AB是⊙O 的弦,C是 的中点,D为⊙O上一点,且∠ADC=30°,若AB=6,则⊙O的半径为 .
题以类解
1.如图,点 P 为⊙O 半径OA 上一点,弦 BC 过点 P 且垂直于 OA,若⊙O 的半径为5,AP=2，则BC的长为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 新考法 数学文化情境 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，图①是筒车的实景图，图②是筒车抽象成的平面示意图.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆.已知圆心O 在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB 长为6米，若运行轨道的最低点 C 到弦 AB 的距离是 1 米,则⊙O的半径为 米.
3.如图，AB为⊙O 的直径，过点A 的切线交弦 BD 的延长线于点 C，点E 为线段 BD 上一点(不与点 B 重合)，且OE = DE. 若 AB = 8, AC = 6, 则 DE 的长为 .
4.如图,在⊙O 中,弦AC⊥BD于点 P,BC=BD,E 是 的中点.若 则 PD 的长为 .
5.如图，在半径为7的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为2，则在⊙O 中与弦AB 距离为3的弦长为 .
6. 如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上的一点,连接AC,BC,D是 的中点,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,交BC 于点 F.
(1)求证:BC=2DE;
(2)若AC=6,AB=10,求DF的长.
模型解题三步法
例1 C 【解析】如解图，连接AD.根据“垂径定理”得BC=BD,∴∠CAB=∠BAD((等弧所对的圆周角相等),∴ ∠CAD =80°,∴∠CFD=80°(同弧所对的圆周角相等).
例2 2 【解析】如解图,连接OA,OC,OC交AB 于点 E.∵ ∠ADC=30°,∴ ∠AOC=2∠ADC=60°(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，∵C 是 的中点，根据“垂径定理”得 ∴在Rt△AOE中, 即⊙O的半径为2
题以类解
1. C 【解析】找模型：是否存在半径和一条弦：半径：OA，弦：BC；半径与弦是否存在垂直关系：BC⊥OA.抽离模型.如解图，用模型：连接OB,∵BC⊥OA,OA=5,AP=2,∴OP=3,∴在 Rt△OPB中, +3 ,解得BP=4(负值已舍去),∵BC=2BP(垂径定理),∴BC=8.
注：也可延长AO与⊙O 相交，根据相交弦定理求解.
2.5 【解析】找模型：是否存在半径和一条弦：弦：AB；是否存在AB的中点：点C，缺少：半径.构造模型：如解图，连接OA，OC，OC交AB于点 D,用模型:设⊙O 的半径为 R,则OD=R-1,∵AB 为水面,点 C 为最低点,∴OC在竖直线上,∴OC 垂直平分AB,∴AD (垂径定理),在Rt△AOD 中,R = (勾股定理),解得 R=5,即⊙O的半径为5米.
3. 2.5 【解析】如解图,过点 O 作OP⊥BD 于点P,则PB=PD(垂径定理),∵AC 是⊙O的切线,.. ∠BAC = 90°(切线的性质),在Rt△ABC中,∵AB=8,AC=6,∴BC=10,∵∠BPO=∠BAC=90°,∠B=∠B,∴△BPOC△BAC(两组对角分别相等的两个三角形相似)， 即 解得BP=3.2,OP=2.4,∴PD=3.2,设PE=x,则DE=PD-PE=3.2-x,∵OE=DE,∴OE=3.2-x,在 Rt△OPE中, 即(3.2- 解得x=0.7,即 PE=0.7,∴ DE=3.2-0.7=2.5.
4. 4 【解析】如解图,连接BE,CD,AD,∵ BC=BD,∴ △BCD 是等腰三角形,∵E是 的中点,∴∠DBE=∠CBE,∴ BE⊥CD,∴ BE是⊙O 的直径(垂径定理),∴∠BAE=90°(直径所对的圆周角为( ∴∠AEB =∠ADB(同弧所对的圆周角相等), = ,∵AP=3,∴PD=4.
5. 4 或8 【解析】①如解图①，当所求弦在弦AB下方时，CD 即为所求弦，过点 O 作OQ⊥CD 交 AB 于点 P,交 CD 于点 Q,连接O( 由题可知,OC=7,OP=2,PQ=3,∴ OQ=5,在 Rt△OQC 中, ②如解图②，当所求弦在弦AB上方时,CD 即为所求弦,过点 O 作 OP⊥AB于点 P,反向延长 OP 交 CD 于点 Q,连接 由题可知,OC=7,OP=2,PQ=3,∴OQ=1,在 Rt△OQC中,CQ= 8 .综上所述，CD的长为4 或8
6. (1)证明:如解图,延长DE交⊙O 于点 G,
∵AB 为⊙O 的直径,DE⊥AB,
∴DE=GE(垂径定理),
∵D是 的中点，
∴BC=DG=2DE;
(2)解:如解图,连接BD,OD,
∴∠DBC =∠BDF(等弧所对的圆周角相等),∴DF=BF,
∵AB为⊙O 的直径,AB=10,
∴ ∠ACB=90°(直径所对的圆周角为90°),
由(1)得
设DF=BF=a,则EF=4-a,
即
解得
∴DF 的长为

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