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模型34 圆周角定理
基础模型
定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
图示
结论 ∠ACB= ∠AOB
结论：
证明:如图,连接CO并延长交⊙O于点D,∵OA=OB=OC,
∴∠CAO=∠ACO,∠OCB=∠OBC,
∵∠AOD=∠ACO+∠CAO=2∠ACO,∠BOD=∠OCB+∠OBC=2∠OCB,
模型拓展
拓展方向：直径所对圆周角的特点及同圆(或等圆)中同弧(或等弧)所对圆周角的特点
推论 直径(半圆)所对的圆周角是直角(90°) 在同圆(或等圆)中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等
条件 AB为⊙O的直径,点C在⊙O上(不与A,B重合) 点A,B,C,D在⊙O上,AB=AB
图示
结论 ∠ACB=90° ∠ACB=∠ADB
模型解题三步法
例1 如图,AB是⊙O 的直径,C,D是⊙O上的两点,且∠BDC=32°,则∠BOC的度数为 ( )
A. 32° B. 64° C. 90° D. 104°
例2 如图,△ABC内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径, \angle A C B的平分线 CD交⊙O 于点 D,连接AD,∠ACB=90° ∠BCD=45°若 ,则弦AC 的长为 .
题以类解
1. 如图,点A,B,C都在⊙O 上,连接AB,BC,AC,OA,OB,若∠BAO=25°,则∠ACB 的度数是( )
A. 90° B. 75°
C. 65° D. 50°
2. 如图,AB是⊙O的直径,C,D,E是⊙O 上三点,连接AD,CD,CE,EB,若∠CEB=20°,则∠D 的度数是 ( )
A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°
3.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点(网格线的交点)上，以AB 为直径的⊙O 经过 C,D 两点,则tan∠ADC= .
4. 如图,△ABC内接于⊙O,若∠A=75°,∠B=60°,AB长为2 ，则⊙O的直径为 .
5. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,∠DAB =12 B,若E为 的中点,连接AE,则∠DAE的度数为 .
6.如图，在半径为6的⊙O中，AB与CD为⊙O 的两条平行弦，E是 上一点,连接AC,AE,BE,CE,若AC=4,∠DCE=30°,则弦BE 的长为 .
7.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,对角线AC,BD交于点E,AB=AC.
(1)如图①,BD 是⊙O 的直径,∠ACD =28°,求∠BAC 及∠DBC 的度数;
(2)如图②,∠ABC+∠DCB =90°,AD=7,BC=24,求AB 的长.
模型解题三步法
例 1 B 【解析】找模型：是否存在同弧所对的两个角:圆周角:∠CDB,圆心角:∠BOC,抽离模型如解图，用模型：根据圆周角定理得，∠BDC= ∠BOC,∴∠BOC=2×32°=64°.
例2 【解析】根据圆周角定理作解图，连接BD,∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACB =∠ADB = 90°,∵ CD 是∠ACB 的平分线, ∠BCD=45°(同弧所对的圆周角相等)，在Rt△ADB中, 在Rt△ABC中,·
题以类解
1. C 【解析】找模型：是否存在同弧所对的两个角:圆周角:∠ACB,圆心角:∠AOB,抽离模型:如解图,用模型:∵ AO=OB,∠BAO=25°,∴ ∠OBA = 25°,∴ ∠AOB = 180°-
2. D 【解析】找模型：是否存在 所对的圆周角和圆心角：圆周角：∠CEB，是否存在AC)所对的圆周角和圆心角：圆周角：∠ADC，缺少：圆心角；构造模型：如解图，连接OC,用模型:∵∠CEB= 20°, ∴ ∠BOC =2∠CEB=40°(同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半).∵∠AOB=180°(平角),∴∠AOC=180°-40°=140°,∴∠D= ∠AOC=70°(同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半).
3. 【解析】如解图,连接AC,BC.∵ AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角为90°),∵∠ADC=∠ABC(同弧所对的圆周角相等),AC=3,BC=2,∴tan∠ABC=
4. 4 【解析】如解图,连接OA,OB,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ABC = 60°,.. ∠ACB =180°-∠BAC-∠ABC =45°,∴ ∠AOB =90°(同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半),∵OA=OB,∴△OAB 是等腰直角三角形,. ∴⊙O 的直径为4.
5. 30° 【解析】如解图,连接AC,∵四边形AB-CD 内接于⊙O,∴ ∠ABC+∠ADC = 180°,∠DAB+∠DCB=180°(圆内接四边形对角和为180°).∵ ∠DAB = 120°,∠ABC = 90°,∴∠BCD= 60°,∠ADC = 90°.∵AD=AB,∴∠BCA=∠DCA=30°(同弧所对的圆周角相等),∴∠DAC=90°-30°=60°.∵ E 为 的中点，
【解析】如解图,连接OD,OE,DE,BD,过点 D 作 DF⊥BE 于点 F,∵ AB∥CD,AC=4,∴ BD=AC=4(弧相等所对的弦也相等),∵∠DCE=30°,∴∠EBD=30°(同弧所对的圆周角相等),∴∠DOE=60°(同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半)，∵OD=OE,∴△ODE是等边三角形(一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∴DE=6,在 Rt△BFD 中, 在Rt△DFE 中,
7. 解:(1)∵BD是⊙O 的直径,
∴ ∠DCB=90°(直径所对的圆周角是90°),
∵∠ACD=28°,
∴∠ACB=62°,∠ABD=28°(同弧所对的圆周角相等)，
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=62°,
∴∠BAC=180°-2∠ABC=56°,
∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=34°;
(2)如解图，延长BA 与CD 的延长线交于点 F，连接BO 并延长交⊙O 于点 G,连接 CG,连接AO交BC于点H,
∵∠ABC+∠DCB=90°,
··∠F=180°-(∠ABC+∠DCB)=90°(△BCF的内角和为180°),
∴∠1+∠BDF = 90°(△BDF 的内角和为180°),
∵四边形 DBGC 是⊙O 的内接四边形,
∴∠BDF=∠G(圆内接四边形的外角等于内对角)，
∵ BG为⊙O 的直径,
∴∠BCG=90°(直径所对的圆周角为90°),
∴∠2+∠G=90°(△BCG的内角和为180°),
∴∠1=∠2(等角代换),
∴ GC=AD=7(角相等所对的弦相等),
∵AB=AC,∴OA⊥BC(垂径定理),
∴BH=HC=12,

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