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模型44 四点共圆
基础模型
图示 点 C,D 在AB的同侧 点C,D 在AB的异侧
条件 在由点A,B,C,D 构成的四边形中,∠ADB=∠ACB=90°
结论 1. 点A,B,C,D在同一个圆上,AB为⊙O的直径; 2.圆内接四边形的对角互补
模型拓展
拓展方向：直径不确定的情况下，四点共圆的判定
图示
条件 AB 为△ABC 和△ABD的公共边,点 C,D在AB的同侧,且∠C=∠D 在四边形ABCD中,∠D+∠B=180°(圆内接四边形对角互补)
结论 点A，B，C，D在同一个圆上
模型解题三步法
例 如图,在四边形ABCD中,连接AC,BD,∠BAD=∠BCD=90°,∠BDC=25°,则∠CAD的度数为 .
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题以类解
1. 如图,点 D,E 分别是等边△ABC 的边 BC,AB上的点,∠ADE =60°,点 M 在 AC 上,且∠ADM=60°.若BE=3,则CM的长为 ( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
2. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点P是AB上方一点,且∠CPB=∠A,过点 C 作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q，则CQ 的最大值为 ( )
A. C.
3. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,点 P 为对角线BD 上一动点,过点 P 作PE⊥PF 分别交AB,BC于点E,F,则 的值为 .
4.如图,已知AC=BC=4,点 D是AB下方一点,且∠C=∠D=90°,则四边形 ACBD 面积的最大值为 .
5. 如图,在等腰△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=6，点 P是BA延长线上的一个动点，过点 P分别作 PE⊥BC 于点 E,PF⊥AC 于点F,连接EF,则EF的最小值为 .
6. 如图,在正方形ABCD中,E是AB的中点,F是AD上一点,且ED=FC,ED,FC 交于点G,连接 BG,BH平分∠GBC 交 FC 于点 H,连接DH.求证：△DGH是等腰直角三角形.
模型44 四点共圆
模型解题三步法
例 65° 【解析】如解图,根据四点共圆可作⊙O，∵∠BCD=90°,∠BDC=25°,∴ ∠CBD=65°,∵∠CBD=∠CAD(同弧所对的圆周角相等),∴∠CAD=65°.
题以类解
1. C 【解析】∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠BAC = 60°,∵ ∠ADE = 60°,∠ADM =60°,∴ ∠EDM=120°,∴∠EAM+∠EDM =180°.找模型：是否存在四边形：四边形AEDM，是否存在两个互补的对角：∠EAM和∠EDM.抽离模型：如解图，用模型：作隐形圆,连接 EM,∴∠AME=∠ADE=60°(同弧所对的圆周角相等),∵ ∠BAC =60°∴△AEM为等边三角形,∴ AE=AM,∵ AB=AC,∴CM=BE=3.
2. D 【解析】找模型：是否存在圆上四个点：点A，C，B，P，是否存在同弧所对的两个角相等:∠CPB和∠BAC.抽离模型,如解图,用模型:根据四点共圆模型作⊙O,∵ ∠ACB =90°,∴AB 是⊙O 的直径(直径所对的圆周角为 90°),∴ 点 P 在⊙O 上运动,∵ CP⊥CQ,∴∠PCQ=∠ACB=90°,∴∠A=∠CPB,∴△ABC∽△PQC(两组对角分别相等的两三角形相似)， 当 PC 最大时,CQ 最大,∴当PC为⊙O 的真径时，PC取得最大值(圆中的最长线段为真径),
∴PC 的最大值为5，∴CQ的最大值为
3. 【解析】如解图,连接EF,∵ 四边形 AB-CD 是矩形,∴∠ABC=90°,AD=BC=8(矩形的四个角为90°,对边相等).∵ PE⊥PF,∴B,F,P,E 四点共圆,∴∠PFE=∠ABD(同弧所对的圆周角相等).
4. 16 【解析】如解图,过点 C 作 CE⊥AB 于点E,过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,∵ ∠ACB =∠ADB=90°,∴A,C,B,D 四点共圆且AB 是圆的直径,∵ AC = BC = 4,∴ AB = 4 ∴当CE 与 DF 的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大，即当 时， ∴四边形ACBD 面积的最大值为16.
【解析】如解图,过点 A 作AG⊥BC 于点G,∵在等腰△ABC中,∠BAC=120°,AB= 「 连接 PC,取 PC 的中点 O,连接 OE,OF,∵PE⊥BC 于点 E,PF⊥AC 于点 F,∴∠PEC=∠CFP=90°,∴C,P,F,E 四点共圆,∴∠EOF=2∠ECF=2×30°=60°,∵OE=OF,∴△OEF 是等边三角形,∴ EF =OE= 求EF 的最小值，即求 PC 的最小值.∵∠B=∠ECF=30°,∴当 CP⊥BP 时,PC= 最小，此时EF的值最小，∴EF的最小值为
6. 证明:在正方形ABCD 中,AD=CD,∵ED=FC,∠CDA=∠A=90°,即在 Rt△AED 和 Rt△DFC中,
∴ Rt△AED≌Rt△DFC(HL),
∴∠AED=∠DFC,
∵∠AFC+∠DFC=180°,
∴∠AFC+∠AED=180°,
∴∠A+∠FGE=180°(四边形内角和定理),
∵∠A=90°,∴∠FGE=90°,
∴∠EGC+∠EBC=180°,如解图,连接CE,以CE 为直径画圆,B,C,G，E四点共圆，
∴∠AED=∠BCG,∠BGC=∠BEC,
在 Rt△BCE 和 Rt△ADE中,
∴ Rt△BCE≌Rt△ADE(SAS),
∴∠AED=∠BEC,∴∠BGC=∠AED,
∴∠BGC=∠BCG,∴BG=BC,
又∵ BH平分∠GBC交 FC于H,
∴BH是 GC的中垂线,
∴GH=HC,∠BHC=90°,
∵ ∠BCH+∠GCD = 90°,∠GCD+∠GDC =90°,∴∠BCH=∠CDG,
∵∠DGC=∠BHC=90°,CD=CB,
∴ 在 △BHC 和△CGD中,
∴ △BHC ≌ △CGD(AAS),
∴DG=HC,
∵ GH=HC,∴GH=DG,又∵∠DGH=90°,
∴ △DGH是等腰直角三角形.

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