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模型43 定点定长确定圆
基础模型
类型 一点作圆 三点定圆
图示
条件 平面内，点O 为定点，点B为动点，且OB长度固定 OA=OB=OC
结论 点B的轨迹在以点 O为圆心，OB长为半径的圆上 点A,B,C均在⊙O上
模型拓展
拓展方向：定点定长确定圆在图形变化中的应用
类型 翻折生圆 旋转成圆
图示
条件 在矩形ABCD中，点E是AB边上的定点，点F 是BC 边上一点,将△BEF 沿 EF 折叠得到△B'EF 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△AB'C'
结论 点 B'的运动轨迹是以点 E 为圆心，BE 长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 点B(C)的运动轨迹是以点A为圆心，AB(AC)长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧)
模型解题三步法
例1 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,D是△ABC外一点,且AD=AC,则∠BDC的度数AB=AD=AC为 .
例2 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为CD边上靠近点C的三等分点，点 F为BC上一动点,将△ECF沿EF 折叠,点C的对应点为C',连接BC',则 +EC'的最小值为 .
题以类解
1.如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG,点 B 的对应点 E落在边 CD上,且DE=EF,若 则点 C 运动到点 F时的路径长为 ( )
2. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=5,BC=2,则BD的长为 .
3. 如图,在矩形 ABCD中， 点P为DC边上一点，将 沿AP 折叠得到 点 D 到点 E的运动轨迹为 当线段EC 的长度最短时，图中阴影部分的周长是 .
4. 如图,在△ABC 中,AB =6,BC =4,现将△ABC绕点 B旋转,点 C 的对应点为 C',则AC'的最大值与最小值的和为 .
5. 如图,在边长为4 的菱形 ABCD 中,∠B =60°,点 E,F 分别是边AB,BC 上的动点,将△BEF沿 EF 翻折,点 B 的对应点为点 G,连接DG.
(1)如图①,若点 E 是边 AB 的中点,求点 F从点 B 运动到 BC 的中点过程中，四边形AEGD 面积的最大值；
(2)如图②,若 点 B 的对应点 G恰好落在AD边上，求BE 的长.
模型解题三步法
例 1 50°或130° 【解析】根据定点定长模型可知,点B,C,D在⊙A上,如解图①,当点D在优弧 上时,∵∠BAC 是 所对的圆心角,而∠BDC 是 所对的圆周角， (在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，如解图②，当点 D 在劣弧 上时， ∠DAC),∵ ∠BAD+∠DAC=∠BAC=100°, 综上所述,∠BDC 的度数为50°或130°.
例2 2 【解析】根据定点定长模型作圆，如解图，连接BE交⊙E于点 P,则BC' 即 的最小值为 BE 的长(两点之间线段最短)，∵正方形ABCD的边长为6,点 E 为 CD 边靠近点 C的三等分点,∴ BC = 6,EC =2,∴ BE = 即 的最小值为
题以类解
1. C 【解析】找模型:矩形ABCD 中是否存在定长：AC.抽离模型：如解图，用模型：连接AC,AF,由旋转的性质可知,BC=EF,AB =AE,∵DE=EF,∴DE=BC=AD,在 Rt△ADE中,DE=AD,∴∠DAE=45°,AE= AD= =AB,∴∠EAB=90°-45°=45°,即旋转角为45°,∴ ∠FAC = 45°,在 Rt△ABC 中,AC = ∴点 C 运动到点 F 处时的路径长为
2. 4 【解析】找模型：题中是否存在一定点和定线段：定点为点 A，定线段为 AB，AC，AD.∵AB=AC=AD=5,∴点 B,C,D 在以A为圆心，AB 长为半径的同一个圆上(三点定圆)，抽离模型：如解图，用模型：延长 BA 交⊙A 于点 F,连接IDF.∵ DC∥AB,∴DF=BC,∴DF=CB=2,BF=5+5=10,∵ FB 是⊙A 的直径,.
【解析】由折叠的性质可知，AE=AD，∴点 E 的运动轨迹是以点A 为圆心，AD长为半径的圆弧，∴当EC的长度最短时，A，E，C三点共线，如解图，∵在矩形ABCD中，AB= ,AD = 1,∴ AC = 2,∠DCA = 30°,∠DAC=60°，由矩形的性质和折叠的性质可知,PE=PD,∠PEC=90°,∴PC=2PE.
∵ PC
4.12 【解析】如解图,以点 B 为圆心,BC 长为半径作圆,AC '即为AC'的最大值,AC '即为AC'的最小值(点圆最值).∵AB=6,BC=4, 10+2=12,即 AC'的最大值与最小值的和为12.
5.解:(1)如解图①,以E为圆心,BE 长为半径作圆，由题意可得，点G 的运动轨迹为⊙E的一部分(三点定圆)，
过点 E 作 EH⊥DA 交 DA 的延长线于点 H,∵点E为AB的中点,∠B=60°,AD∥BC,
在Rt△EHD中, 当EG⊥DE时,S△DEC 取得最大值,
∴ 当点 F 运动到 F 的位置时,此时 EG⊥ED,S△DEC 的值最大,即 S四边形AEGD 的值最大,∵EG=EB=2,
∴ 四边形AEGD 面积的最大值为
(2)∵ BF的长为定值,
∴如解图②，以F 为圆心，BF 长为半径作圆,交AD于点 G,过点E作EQ⊥BC于点Q,过点A作AH⊥BC于点 H,
∵AB=4,∠B=60°,AH⊥BC,
由折叠可知
∵AH是AD与BC 的距离,
∴ FG是AD 与BC 的距离,∴FG⊥BC,由折叠可知∠BFE=∠GFE=45°,
∵EQ⊥BC,∠B=60°,∠EFQ=45°,
∴∠BEQ=30°,∠EFQ=∠FEQ=45°,
解得

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