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模型51 “手拉手”模型
基础模型
结论分析
结论1：
证明：∵
即
由旋转的性质得，
∴△ADB∽△AEC.
结论2:两条拉手线BD,CE交于点F,则(1)∠BFC=∠BAC
证明:如图①,AC,BD交于点 G,
∵△ADB∽△AEC,
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠AGB=∠CGF(对顶角相等),
∴∠BAC=∠BFC.
(2)A,B,C,F四点共圆
证明:如图②,∵BC为△ABC和△BCF的公共边,且点A,F在BC的同侧,由结论2(1)得∠BAC=∠BFC=α,
∴点A,B,C,F在同一个圆上,即A,B,C,F四点共圆.
注:“四点共圆”模型见 P128.
模型拓展
拓展方向：公共角为直角的“手拉手”模型应用
图示
条件 在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠BAC=90°,将△ADE绕点A旋转
结论 1. △ADE∽△ABC,△ADB∽△AEC; 2. BD⊥CE; 3. 连接BE,CD,则(①BE +CD =BC +DE ;②S= BD·CE
模型解题三步法
例1 如图,在△ABC和△ADE中,∠ACB=∠AED,∠EAC=∠DAB,连接BD,CE,若∠ACE=25°,∠BAC=∠DAE则∠ABD= °.
例2在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,P为AB的中点,点 M,N分别在边AC,BC上,且PM⊥PN,则 的值为 .
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题以类解
1. 如图,在△ABC与△ADE中,∠ACB=∠AED=90°,∠ABC=∠ADE,连接BD,CE,若AC=BC 则BD的长为 ( )
A. B. 2 C.
2. 如图,在△ABC中,将△ABC 绕点 A 旋转到△AB'C'的位置,连接 BB',CC',若AB=5,AC=3,则的值为 .
3. 如图，在矩形ABCD 和矩形DEFG中, 连接AG,BF,则 的值为 .
4.图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，某同学在研究等腰直角三角形的旋转过程中，发现了下列问题：如图①，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,点D,E分别在线段AB,AC上,且∠C=∠AED=90°.
(1)观察猜想
该同学将 绕点 A 逆时针旋转，连接BD,CE,如图②,延长 BD 与 AC 交于点 G,当BD的延长线恰好经过点E时，填空：
的值为 ；
②∠BEC 的度数为 ;
(2)类比探究
如图③，该同学在(1)的基础上，继续旋转△ADE,当BD的延长线交 CE 于点 F时,请写出 的值及∠BFC的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸
若 ,当CE 所在的直线垂直于AD时，请直接写出BD 的长.
模型51 “手拉手”模型
模型解题三步法
例1 25 【解析】根据“手拉手”模型可得， ∴∠EAC=∠DAB,∴△CAE∽△BAD(两组对边对应成比例且夹角相等的两三角形相似),∴∠ABD=∠ACE=25°.
例2 【解析】如解图,过点 P 作 DP⊥AB交 BC 于点 D,∵ ∠BPD =∠C = 90°,∴∠PDN=∠A,∠DPN=∠APM,根据“手拉手”模型得,△DPNC△APM(两组对应角相等的两三角形相似)， ∵P 为AB 的中点,∴ BP=AP,∵∠PDN=∠A=60°,∠BPD=90°,在Rt△BPD中,
题以类解
1. B 【解析】找模型：是否存在共顶点的两个三角形：△ABC 和△ADE，共顶点的两个三角形中是否存在两组对应角相等：∠ACB =∠AED=90°,∠ABC=∠ADE.抽离模型:如解图，用模型：根据“手拉手”模型，得△ABC ∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD(等角代换),又∵ C△ABD(两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似)， ∠ACB=∠AED=90°,∴AC:AB=1: ,∴BD
【解析】∵ △ABC 绕点 A 旋转到△AB'C'的位置， (旋转的性质)， . (等角代换)，找模型：是否存在共 顶 点 的 两个三角形：△ABB'和△ACC'，共顶点的两个三角形中是否存在两组对应边成比例及其夹角相等： ∠BAB'=∠CAC'. 抽离模型:如解图,用模型:根据“手拉手”模型,得△ABB'∽△ACC', (相似三角形面积比等于相似比的平方).
【解析】如解图,连接 BD,DF,∵在矩形ABCD 和矩形 DEFG 中, ∠BAD = ∠E =∠EDG=90°,EF=DG=3.∵AB=1,AD=DE= 在 Rt△ABD 中, ,∴ ∠ADB = 30°. 在 Rt △DGF 中,∵ =∠ADB+∠ADF,∠ADG=∠ADF+∠GDF,∠ADB=∠GDF∴∠BDF=∠ADG,∴△BDF∽△ADG(“手拉手”模型),
4. 解:(1)①
②45°;
理由如下：
∵ △ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,
∴ △AEC∽△ADB(“手拉手”模型),
又∵∠FGC=∠AGB,
∴∠BFC=∠BAC=45°;
(3)BD 的长为4 或2
【解法提示】分两种情况：①如解图①，设点H是等腰直角△ADE 斜边上的中点，∴AD= AE=2,∴AH=EH=1,在 Rt△AHC中,CH +CH=4,∴根据结论, ②如解图②，设点 H 是等腰直角△ADE 斜边上的中点，∴ 在 Rt△AHC中, =3,∴CE=CH-EH=2,∴根据结论, .综上所述，BD的长为4 或2

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