资源简介

　实数
中考考点 考查频率 新课标要求
实数的分类 ★★ 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的
数轴、相反数、绝对值、倒数 ★★★ 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.
科学记数法 ★★ 会用科学记数法表示数.
平方根、立方根 ★★ 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算.
实数比较大小 ★★ 能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小.
实数的相关计算 ★★★ 理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.
实数是初中数学的基础内容，也是必考内容，试题形式多样，考查较多的是实数与数轴结合、实数的混合运算及科学记数法，试题难度都不大，在实数的混合运算中，注意符号和运算顺序是解题的关键，实数的混合运算涉及的知识点较多，包含去绝对值、非零数的0次幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值等，每个知识点都要求准确掌握.
1．实数的相关概念
（1）实数、b互为相反数，则+b=0．
（2）实数、b互为倒数，则b=1．
（3）绝对值：
（4）数轴
①数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．
②任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的．
③数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数．
2．实数的大小比较
（1）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小．
（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
（3）平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据>0,b>0时，可由2>b2得到>b来比较大小．
（4）取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小．
（5）差值比较法．
3．科学记数法
（1）用科学记数法来表示较大的数，科学记数法的表示形式为×10n的形式，其中1≤||＜10，n为整数，表示时关键要正确确定的值以及n的值．
（2）用科学记数法来表示较小的数，科学记数法的表示形式为×的形式，其中1≤||<10，n为整数，当用科学记数法表示较小的数时，n等于原数从左边起第一位不是零的数字前面的所有零的个数，确定n的值即可正确作答．
（3）近似数
①表示数据时，有时很难取得准确值，或者不必使用准确值时，我们可以用近似数来表示．
②用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的有关，与的多少次方无关．
4．实数的运算
（1）有理数的运算法则可以推广到实数中．
①加法法则
◆同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
◆绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
◆互为相反数的两数相加，和为零；
◆一个数与零相加，仍得这个数．
②减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为：-b=+（-b）．
③乘法法则
◆法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
◆法则二：任何数同0相乘，都得0；
◆法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
◆法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0．
④除法法则
◆除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数．
◆两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
◆乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为·=1（≠0），就是说和互为倒数，即是的倒数，是的倒数．
⑤乘方
◆负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数．
◆正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
（2）有理数的运算律可以推广到实数中．
◆加法交换律：+b=b+
◆加法结合律：（+b）+c=+（b+c）
◆乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即b=b
◆乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（b）c=（bc）．
◆乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加．即a（b+c）=b+c．
（3）做实数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方、开方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．
实数的分类
（2024山东省日照·中考真题）实数，，，中无理数是( )
B. C. D.
【答案】C
【解析】解：有理数：，，；无理数：，
故选：．
根据无理数、有理数的定义即可进行判断．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
1.在数，，，，，2023，，，0，中，负分数有　　
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】
【解析】解：负分数有，，，，，共6个，
故选：．
2.下列数中，是正整数的是　　
A． B．0 C．1 D．
【答案】
【解析】解：这四个数中，只有1是正整数，
故选：．
3.在，3.14，，0.1414，中，有理数的个数是　　
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】
【解析】解：在，3.14，，0.1414，中，有理数的个数为，3.14，，0.1414，共4个，
故选：．
4.已知下列各数：，2.57，6，，，，，0，其中非负数有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】
【解析】解：非负数有2.57，6，，0，共4个，
故选：．
5.下列各数中，是负整数的是　　
A．0 B．2 C． D．
【答案】
【解析】解：．0是整数，不是负整数，故本选项不合题意；
．2是正整数，不是负整数，故本选项不合题意；
．是负分数，故本选项不合题意；
．是负整数，故本选项符合题意．
故选：．
数 轴
（2024四川省南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】C
【解析】解：，
，
由数轴可知，只有点在和之间，
故选：．
1.如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是　　
B． C．1 D．2
【答案】
【解析】解：根据数轴得：，
可以是．
故选：．
2.如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子正确的是　　
B． C． D．
【答案】
【解析】解：、由图得，，故不正确，不符合题意；
、、异号，，故正确，符合题意；
、，，故不正确，不符合题意；
、，，故不正确，不符合题意；
故选：．
3.如图，数轴上点、、、所表示的数分别是、、、，若，，则原点的位置在　　
点的左边 B．线段上 C．线段上 D．线段上
【答案】
【解析】解：，
要么，、、，要么，，，，
又，
，，，，
原点的位置在线段上．
故选：．
4.已知点为数轴上表示的点，当点沿数轴移动6个单位长度到点时，点所表示的数为　　
A． B．3 C．和3 D．和9
【答案】
【解析】解：根据题意可得，
①当点向正半轴移动时，点表示的数为，
②当点向负半轴移动时，点表示的数为，
所以点表示的数为或3．
故选：．
5.有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由数轴可知，，，且，
，，
故选：．
比较大小
（2024山东省德州·中考真题）在，，，这四个数中，最小的数是( )
B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，
最小的数是：．
故选：．
1.在四个数，0，1，2中，最小的数是　　
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】
【解析】解：，
最小的数是，
故选：．
2.有理数，在数轴上的位置如图所示，则数，，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：将，在数轴上表示为：
．
故选：．
3.在数轴上表示和5.2之间的整数有　　
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】
【解析】解：如图所示，
由图可知，数轴上和5.2之间的整数有，，0，1，2，3，4，5共8个．
故选：．
4.、两数在数轴上的位置如图所示，将、、、用“”连接，正确的是　　
B． C． D．
【答案】
【解析】解：令，，则，，
则可得．
故选：．
5.在，，0，四个数中，最小的数是　　
A． B． C．0 D．
【答案】
【解析】解：，
故最小的数是．
故选：．
相反数、倒数、绝对值
（2024黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是( )
和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】A
【解析】解：
A、，和符号相反，互为相反数．
B、和互为倒数．
C、，两个数相等．
D、和的符号相反，但绝对值不相等；
故选：．
1.下列互为倒数的是　　
A．3和 B．和2 C．3和 D．和
【答案】
【解析】解：、，
和互为倒数，符合题意；
、，
和2不互为倒数，不符合题意；
、，
和不互为倒数，不符合题意；
、，
和不互为倒数，不符合题意．
故选：．
2.的绝对值是　　
A． B． C． D．2023
【答案】
【解析】解：，
故选：．
3.的相反数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
4.的相反数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
的相反数是，即，
故选：．
5.的倒数是　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【解析】解：的倒数是2，
故选：．
实数的运算
（2024黑龙江大庆·中考真题）求值：．
【答案】解：原式
．
1.计算的结果等于　　
A． B．2 C． D．15
【答案】
【解析】解：，
计算的结果等于．
故选：．
2.计算的值是　　
A．3 B． C．1 D．
【答案】
【解析】解：原式
，
故选：．
3.一个数的立方是，则这个数是　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
即的立方根是，
故选：．
4.下列四个式子中，计算结果最大的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：
，
，
，
，
，
计算结果最大的是选项．故选：．
科学计数法
（2024山东省潍坊·中考真题）年月份，低空经济首次被写入政府工作投告截止年底，全国注册通航企业家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为( )
B. C. D.
【答案】B
【解析】解：万，
故选：．
1.有一种新冠变异病毒的平均直径为0.0000033毫米，则0.0000033用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．
故选：．
2.人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元．某个神经元的直径约为52微米，52微米为米．将用小数表示为　　
A．0.0052 B．0.00052 C．0.000052 D．0.0000052
【答案】
【解析】解：，
故选．
3.据统计我国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，把这个数精确到十亿位，用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：近似数499.5亿，精确到十亿位，用科学记数法表示为，
故选：．
4.2023年8月3日晚天空上演了“土星合月”的天文趣象，土星的直径约为，大约是月球直径的33倍．数据116000用科学记数法表示为　　
B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
故选：．
5.纳米是一种长度单位，1纳米米，已知某种植物花粉的直径约为31000纳米，用科学记数法表示该种花粉的直径为　　
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【解析】解：（米，故选：．　实数
中考考点 考查频率 新课标要求
实数的分类 ★★ 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的
数轴、相反数、绝对值、倒数 ★★★ 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.
科学记数法 ★★ 会用科学记数法表示数.
平方根、立方根 ★★ 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算.
实数比较大小 ★★ 能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小.
实数的相关计算 ★★★ 理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.
实数是初中数学的基础内容，也是必考内容，试题形式多样，考查较多的是实数与数轴结合、实数的混合运算及科学记数法，试题难度都不大，在实数的混合运算中，注意符号和运算顺序是解题的关键，实数的混合运算涉及的知识点较多，包含去绝对值、非零数的0次幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值等，每个知识点都要求准确掌握.
1．实数的相关概念
（1）实数、b互为相反数，则+b=0．
（2）实数、b互为倒数，则b=1．
（3）绝对值：
（4）数轴
①数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．
②任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的．
③数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数．
2．实数的大小比较
（1）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小．
（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
（3）平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据>0,b>0时，可由2>b2得到>b来比较大小．
（4）取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小．
（5）差值比较法．
3．科学记数法
（1）用科学记数法来表示较大的数，科学记数法的表示形式为×10n的形式，其中1≤||＜10，n为整数，表示时关键要正确确定的值以及n的值．
（2）用科学记数法来表示较小的数，科学记数法的表示形式为×的形式，其中1≤||<10，n为整数，当用科学记数法表示较小的数时，n等于原数从左边起第一位不是零的数字前面的所有零的个数，确定n的值即可正确作答．
（3）近似数
①表示数据时，有时很难取得准确值，或者不必使用准确值时，我们可以用近似数来表示．
②用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的有关，与的多少次方无关．
4．实数的运算
（1）有理数的运算法则可以推广到实数中．
①加法法则
◆同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
◆绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
◆互为相反数的两数相加，和为零；
◆一个数与零相加，仍得这个数．
②减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为：-b=+（-b）．
③乘法法则
◆法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
◆法则二：任何数同0相乘，都得0；
◆法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
◆法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0．
④除法法则
◆除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数．
◆两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
◆乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为·=1（≠0），就是说和互为倒数，即是的倒数，是的倒数．
⑤乘方
◆负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数．
◆正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
（2）有理数的运算律可以推广到实数中．
◆加法交换律：+b=b+
◆加法结合律：（+b）+c=+（b+c）
◆乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即b=b
◆乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（b）c=（bc）．
◆乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加．即a（b+c）=b+c．
（3）做实数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方、开方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．
实数的分类
（2024山东省日照·中考真题）实数，，，中无理数是( )
A. B. C. D.
1.在数，，，，，2023，，，0，中，负分数有　　
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2.下列数中，是正整数的是　　
A． B．0 C．1 D．
3.在，3.14，，0.1414，中，有理数的个数是　　
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4.已知下列各数：，2.57，6，，，，，0，其中非负数有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5.下列各数中，是负整数的是　　
A．0 B．2 C． D．
数 轴
（2024四川省南充·中考真题）如图，数轴上表示 的点是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
1.如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是　　
A． B． C．1 D．2
2.如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子正确的是　　
A． B． C． D．
3.如图，数轴上点、、、所表示的数分别是、、、，若，，则原点的位置在　　
A．点的左边 B．线段上 C．线段上 D．线段上
4.已知点为数轴上表示的点，当点沿数轴移动6个单位长度到点时，点所表示的数为　　
A． B．3 C．和3 D．和9
5.有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
比较大小
（2024山东省德州·中考真题）在，，，这四个数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
1.在四个数，0，1，2中，最小的数是　　
A．2 B．0 C．1 D．
2.有理数，在数轴上的位置如图所示，则数，，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
3.在数轴上表示和5.2之间的整数有　　
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4.、两数在数轴上的位置如图所示，将、、、用“”连接，正确的是　　
A． B． C． D．
5.在，，0，四个数中，最小的数是　　
A． B． C．0 D．
相反数、倒数、绝对值
（2024黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
1.下列互为倒数的是　　
A．3和 B．和2 C．3和 D．和
2.的绝对值是　　
A． B． C． D．2023
3.的相反数是　　
A． B． C． D．
4.的相反数是　　
A． B． C． D．
5.的倒数是　　
A．2 B． C． D．
实数的运算
（2024黑龙江大庆·中考真题）求值：．
1.计算的结果等于　　
A． B．2 C． D．15
2.计算的值是　　
A．3 B． C．1 D．
3.一个数的立方是，则这个数是　　
A．2 B． C． D．
4.下列四个式子中，计算结果最大的是　　
A． B． C． D．
科学计数法
（2024山东省潍坊·中考真题）年月份，低空经济首次被写入政府工作投告截止年底，全国注册通航企业家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
1.有一种新冠变异病毒的平均直径为0.0000033毫米，则0.0000033用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
2.人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元．某个神经元的直径约为52微米，52微米为米．将用小数表示为　　
A．0.0052 B．0.00052 C．0.000052 D．0.0000052
3.据统计我国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，把这个数精确到十亿位，用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
4.2023年8月3日晚天空上演了“土星合月”的天文趣象，土星的直径约为，大约是月球直径的33倍．数据116000用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
5.纳米是一种长度单位，1纳米米，已知某种植物花粉的直径约为31000纳米，用科学记数法表示该种花粉的直径为　　
A．米 B．米 C．米 D．米

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