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151 正弦函数的图象与性质
【学习目标】
1.会用“五点法”画正弦函数的图象.(直观想象)
2.掌握正弦函数的性质及其应用.(逻辑推理)
3.通过用“五点法”作出简单的正弦曲线，提升直观想象素养.通过求简单函数的定义域、值域、比较三角函数的大小，提升数学运算素养.
【自主预习】
　　如图，设一小球从点A开始在竖直平面上按逆时针方向沿单位圆做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s，经过t1 s后，小球到达位置P，连接质点的半径在这段时间中所扫过的角度φ=t1，可得x1=sin t1.有一水平方向的平行光照在小球上，在竖直平面上生成了一个小球的投影，投影在上下振动.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题.
1.正弦函数的图象是什么曲线
2.正弦函数的最小正周期是多少
3.怎样画正弦函数的图象
4.在函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的有哪五个关键点
1.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为(　　).
A.sin 3 B.sin 3 C.sin 1 D.sin 2 2.“sin α=sin β”是“α=β”的(　　).
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.写出一个同时具有下列性质①②的函数：f(x)=　　　.(注：f(x)不是常函数) ①f(0)=；②f(x+2π)=f(x).
4.用“五点法”作函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点是(0，1)，，2，(π，1)，　　　　，(2π，1).
【合作探究】
　正弦函数的图象
　　学习了三角函数的定义后，李明用列表、描点、连线的方法画正弦函数的图象.
问题1：李明的方法可行吗
问题2：在精确度不太高的情况下，画y=sin x，x∈[0，2π]的图象，还有更简单的方法吗
问题3：怎样画出正弦函数y=sin x的图象
1.正弦函数的图象
正弦函数y=sin x的图象称作正弦曲线，如图所示.
2.五点(画图)法
(1)在平面直角坐标系中，描出(0，0)，，1，(π，0)，，-1，(2π，0)这五个关键点后，函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象就基本确定了.
(2)将所得图象向左、向右平移(每次平移2π个单位长度)得正弦曲线.
用“五点法”作出函数y=+sin x，x∈[0，2π]的简图.
【方法总结】　　用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)在[0，2π]的简图的步骤.
①列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y b A+b b -A+b b
　　②描点：在平面直角坐标系中描出(0，b)，，A+b，(π，b)，，-A+b，(2π，b)五个点.
③连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
用“五点法”作函数y=1-sin x，x∈[0，2π]的图象.
　正弦函数性质的再认识
　　正弦函数y=sin x的图象如下图所示，从图象上可以看出正弦函数的性质.
问题1：正弦函数的图象是中心对称图形吗 若是，写出对称中心.
问题2：正弦函数的图象是轴对称图形吗 若是，写出对称轴.
问题3：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数的性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效
正弦函数y=sin x的性质
定义域 R
值域
最大值与 最小值 当x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=1； 当x=2kπ+(k∈Z)时，ymin=-1
周期性 周期函数，T=
单调性 在2kπ-，2kπ+(k∈Z)上是单调递增的； 在2kπ+，2kπ+(k∈Z)上是单调递减的
奇偶性
对称性 图象关于 对称，对称中心为(kπ，0)，k∈Z；对称轴为直线x=kπ+，k∈Z
一、比较大小
比较sin与sin-的大小.
【方法总结】比较三角函数值的大小的步骤：(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数；(2)依据诱导公式把角化到同一个单调递增(减)区间；(3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论.
二、求正弦函数的单调性
求函数y=-3sin(x+π)的单调区间.
【方法总结】若函数不是最简式，则需要先化简，再结合正弦函数的单调性求解.注意负号对单调区间的影响.
函数y=cosx+的单调递增区间是(　　).
A.2kπ-，2kπ+(k∈Z)
B.2kπ+，2kπ+(k∈Z)
C.[2kπ，(2k+2)π](k∈Z)
D.[2k，2k+2](k∈Z)
比较sin与sin的大小.
　与正弦函数有关的值域问题
求下列函数的值域.
(1)y=3-2sin x；
(2)y=-sin2x+sin x+.
【方法总结】求这类函数的值域一般有以下两种方法：(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y=a(sin x+b)2+c型的值域问题；(2)利用sin x的有界性求值域，如y=asin x+b，-|a|+b≤y≤|a|+b.
求y=3+asin x(a≠0)的值域.
【随堂检测】
1.正弦函数y=sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　).
A.y轴　　　　　　　　　 B.x轴
C.直线x= D.直线x=π
2.函数f(x)=lg x-sin x的零点个数是(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
3.函数f(x)=sin2x+1是　　　　函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
4.比较sin 2 024°和cos 160°的大小.
参考答案
1.5.1 正弦函数的图象与性质
自主预习·悟新知
预学忆思
1.正弦函数的图象是正弦曲线.
2.正弦函数的最小正周期是2π.
3.利用五点(画图)法画正弦函数的图象.
4.(0，0)，，1，(π，0)，，-1，(2π，0).
自学检测
1.B　【解析】sin 2=sin(π -2)，sin 3=sin(π -3)， 因为0<π-3<1<π-2<，y=sin x在0，上为增函数，所以sin(π-3)2.C　【解析】“sin α=sin β”不能推出“α=β”，反之，“α=β”能推出“sin α=sin β”，则“sin α=sin β”是“α=β”的必要不充分条件.故选C.
3.sin x+(答案不唯一)　【解析】由f(x+2π)=f(x)知2π是函数的一个周期，则f(x)=sin x+满足条件②.
∵f(0)=sin 0+=，∴f(x)=sin x+满足条件①.
综上，f(x)=sin x+满足题意.
4.，0　【解析】将x=代入可得y=0，故第四个点为，0.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：可行.
问题2：有，先列出函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象上起着关键作用的五个点，即(0，0)，，1，(π，0)，，-1，(2π，0)，然后描出这五个点，最后用光滑的曲线顺次连接这五个点，函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象就基本确定了.
问题3：先画出函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象，然后左右延伸即可.
新知运用
例1　【解析】按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来(如图).
巩固训练　【解析】列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-sin x 1 0 1 2 1
描点、连线，则函数y=1-sin x，x∈[0，2π]的图象如图所示.
探究2　情境设置
问题1：是中心对称图形，对称中心是(kπ，0)(k∈Z).
问题2：是轴对称图形，对称轴是直线x=kπ+，k∈Z.
问题3：选取-，上的图象来研究，即可掌握整个定义域上的性质.
新知生成
[-1，1]　2π　奇函数　原点
新知运用
例2　【解析】(1)sin=sinπ+=-sin，sin-=-sin，
∵0<<<，且y=sin x在0，上单调递增，
∴sin从而-sin>-sin，即sin>sin-.
例3　【解析】因为y=-3sin(x+π)=-3(-sin x)=3sin x，
所以该函数的单调递增区间为-+2kπ，+2kπ(k∈Z)，单调递减区间为+2kπ，+2kπ(k∈Z).
巩固训练1　B　【解析】∵y=cosx+=-sin x，
∴函数的单调递增区间为+2kπ，+2kπ(k∈Z).
巩固训练2　【解析】sin=sin4π+=sin，sin=sin8π+=sin.
∵y=sin x在0，上单调递增，且0<<<，
∴sin探究3
例4　【解析】(1)∵-1≤sin x≤1，∴-1≤-sin x≤1，1≤3-2sin x≤5，
∴函数y=3-2sin x的值域为[1，5].
(2)令t=sin x，则-1≤t≤1，
y=-t2+t+=-t-2+2，
∴当t=时，ymax=2.
此时sin x=，即x=2kπ+或x=2kπ+，k∈Z.
当t=-1时，ymin=-.
此时sin x=-1，即x=2kπ+，k∈Z.
∴函数y=-sin2x+sin x+的值域为-，2.
巩固训练　【解析】由正弦函数的性质可知，-1≤sin x≤1.
当a>0时，-a≤asin x≤a，3-a≤3+asin x≤3+a.
当a<0时，a≤asin x≤-a，
3+a≤3+asin x≤3-a.
综上，当a>0时，函数的值域为[3-a，3+a]；
当a<0时，函数的值域为[3+a，3-a].
随堂检测·精评价
1.C　【解析】结合函数y=sin x，x∈R的图象可知，直线x=是函数图象的一条对称轴.
2.C　【解析】函数f(x)=lg x-sin x的零点个数即为函数y=lg x的图象和函数y=sin x的图象的交点个数，
由于lg 10=1，sin =1，sin =1，sin =1，
在同一平面直角坐标系中，作出函数y=sin x与y=lg x的图象，如图所示：
由图象可知，交点有3个.
故选C.
3.偶　【解析】显然f(x)的定义域R，且f(-x)=[sin(-x)]2+1=sin2x+1=f(x)，所以f(x)为偶函数.
4.【解析】sin 2 024°=sin(360°×5+224°)=sin 224°=sin(180°+44°)=-sin 44°，
cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.
∵sin 44°∴-sin 44°>-sin 70°，
即sin 2 024°>cos 160°.

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