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2.6.6 平面向量在物理中的应用举例
【学习目标】
1.会用向量法解决实际问题，体会向量在解决实际问题中的作用.(数学抽象)
2.利用向量法解决与物理相关的实际问题.(数学运算)
3.会选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题.(数学建模)
【自主预习】
1.物理问题中有哪些量是向量
2.当力和位移的夹角为钝角时，力所做的功是正功还是负功
3.向量的数量积与功有什么联系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)功是力F与位移s的数量积. (　　)
(2)力的合成与分解体现了向量的加减法运算. (　　)
(3)当力和位移垂直时，力所做的功是0. (　　)
(4)人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为v1+v2. (　　)
2.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么(　　).
A.s>|a| B.s<|a|
C.s=|a| D.s与|a|不能比大小
3.当两人提起重力大小为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|=|G|，则θ的值为(　　).
A.30° B.60° C.90° D.120°
4.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W=　　　　J.
【合作探究】
　向量在物理中的应用
这是小明的叔叔在拉单杠时的图片.
问题1：小明的叔叔感觉两臂的夹角越大，拉起来越费力，这是为什么
问题2：向量的运算、速度、加速度、位移有什么联系
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有 等.
(2)向量的加、减法运算体现在 .
(3)动量mv是向量的 运算.
(4)功是 与 的数量积.
一、向量在力学中的应用
如图，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2，且处于平衡状态.已知|G|=100 N，求F1，F2的大小.
【方法总结】(1)力、速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减法运算.(2)力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角).
二、向量在运动学中的应用
帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，已知一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度大小为20 km/h，此时水的流向是正东方向，流速大小为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度大小与方向.
【方法总结】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，可以充分借助向量的平行四边形法则把物理问题转化为数学问题.
如图，一物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两力的夹角为60°，且有一力沿水平方向，求合力的大小及方向.
在风速大小为75(-)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速大小和航向.
　用向量法解决物理做功问题
质量m=2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的大小为10 N的拉力F的作用下，沿倾斜角θ=30°的光滑斜面向上滑行|s|=2.0 m的距离.(g=9.8 N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功.
(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少
【方法总结】物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积，借助向量法可快速解决问题.
已知力F1=(3，4)，F2=(6，-5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).求：
(1)力F1，F2分别对质点所做的功(单位：J)；
(2)力F1，F2的合力F对质点所做的功(单位：J).
【随堂检测】
1.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　).
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
2.一只鹰正从与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地面，鹰在地面上的影子的速度大小为60 m/s，则鹰的飞行速度大小为(　　).
A.20 m/s B.40 m/s
C.60 m/s D.30 m/s
3.已知三个力F1=(-2，-1)，F2=(-3，2)，F3=(7，-3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于(　　).
A.(-2，-2) B.(2，-2)
C.(-1，2) D.(-2，2)
4.一条河宽为0.8 km，一条船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速的大小为20 km/h，水流速度的大小为12 km/h，则船到达B处所需的时间为　　　　min.
参考答案
课时6　平面向量在物理中的应用举例
自主预习·悟新知
预学忆思
1.物理中有许多量是向量，比如力、速度、加速度、位移等.
2.负功.
3.物理上力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.A　【解析】s=200+300=500(km)，|a|==100(km)，∴s>|a|.故选A.
3.D　【解析】作=F1，=F2，=-G(图略)，
则=+，
当|F1|=|F2|=|G|时，△OAC为正三角形，
所以∠AOC=60°，从而∠AOB=120°.
4.300　【解析】W=F·s=|F||s|cos=6×100×cos 60°=300(J).
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：如图，可知|F|=|G|，|F|=|F1|cos |F1|=，故夹角越大越费力.
问题2：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上是向量的加、减法运算，而运动的叠加也会用到向量的合成.
新知生成
(1)力、速度、加速度、位移　(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解　(3)数乘　(4)力F　物体所产生的位移s
新知运用
例1　【解析】以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则F1=(-，0)，F2=(0，-).
由已知得G=(100sin 30°，100cos 30°)=(50，50)，
且G+F1+F2=0，所以(50，50)+(-|F1|，0)+(0，-|F2|)=(0，0)，
所以=50 N，=50 N.
例2　【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度大小为|v1|=20 km/h，水流的方向为正东方向，速度大小为|v2|=20 km/h，
设帆船行驶的速度为v，
则v=v1+v2.
由题意，可得v1=(20cos 60°，20sin 60°)=(10，10)，v2=(20，0)，
则v=v1+v2=(10，10)+(20，0)=(30，10)，
所以帆船行驶的速度大小|v|==20(km/h).
因为tan α==(α为v和v2的夹角，且为锐角)，
所以α=30°.
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度大小为20 km/h.
巩固训练1　【解析】以，为邻边作平行四边形OACB(图略)，则为合力.由已知可得△OAC为等腰三角形，且∠COA=30°，过点A作AD⊥OC于点D(图略)，则在Rt△OAD中，||=||cos 30°=60×=30，故||=2||=60，即合力的大小为60 N，方向与水平方向成30°角.
巩固训练2　【解析】设
w表示风速，va表示有风时飞机的航行速度，vb表示无风时飞机的航行速度，则vb=va-w，如图所示.
设||=|va|，||=|w|，||=|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD=45°，设||=150，||=75(-)，
∴||=||=||=75，||=75，
从而|vb|=||=150，∠CAD=30°.
故没有风时飞机的航速大小为150 km/h，方向为北偏西60°.
探究2
例3　【解析】
(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力N，如图所示.
拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF=F·s=|F||s|cos 0°=20(J).
支持力N与位移方向垂直，不做功，
所以WN=N·s=0.
重力G对物体所做的功为WG=G·s=|G||s|cos(90°+θ)=-19.6(J).
(2)物体所受各力对物体做功的代数和W=WF+WN+WG=0.4(J).
巩固训练　【解析】(1)=(7，0)-(20，15)=(-13，-15)，
W1=F1·=(3，4)·(-13，-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(J)，
W2=F2·=(6，-5)·(-13，-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J)，
∴力F1，F2对质点所做的功分别为-99 J和-3 J.
(2)W=F·=(F1+F2)·=[(3，4)+(6，-5)]·(-13，-15)=(9，-1)·(-13，-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J)，
∴合力F对质点所做的功为-102 J.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】由题意得|F1|=10×cos 60°=5(N).
2.B　【解析】如
图，=v1表示鹰在地面上的影子的速度，=v2表示鹰的飞行速度，
由题意知，||=|v1|=60 m/s，且∠CAB=30°，
所以||=|v2|==40(m/s).
3.D　【解析】因为F1=(-2，-1)，F2=(-3，2)，F3=(7，-3)，
所以F1+F2+F3=(-2，-1)+(-3，2)+(7，-3)=(2，-2)，要想使该物体保持平衡，
只需F4 =-(2，-2)=(-2，2)，故选D.
4.3　【解析】如图，∵v实际=v船+v水=v1+v2，
|v1|=20 km/h，|v2|=12 km/h，
∴|v实际|===16(km/h).
∴所需时间t==0.05(h)=3(min).
∴该船到达B处所需的时间为3 min.

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