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2.6.1 函数的单调性
【学习目标】
1.理解导数与函数的单调性的关系.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(数学抽象、逻辑推理)
3.会用导数求函数的单调区间.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.我们知道判断函数y=x2的单调性可以用定义法、图象法，对于函数y=x3-3x，如何判断它的单调性呢
2.对于可导函数f(x)，f(x)的单调性与它的导数有什么关系
3.如何利用导数求函数f(x)的单调区间
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则一定有f'(x)>0. (　　)
(2)若 x∈(a，b)，f'(x)>0，则函数f(x)在(a，b)上单调递增. (　　)
(3)若 x∈(a，b)，f'(x)=0，则函数f(x)在(a，b)上一定不单调. (　　)
(4)已知f(x)是定义在R上的可导函数，若 x≥a，f(x)≥f(a)，则f'(a)≥0. (　　)
2.下列函数中，在(0，+∞)上单调递增的是(　　).
A.y=sin x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=ln x-x
3.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
4.证明：函数f(x)=x+在(0，1]上单调递减.
【合作探究】
　求函数的单调区间
某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是y=60x-1.5x2.
问题1：作出这个函数的图象，求出这个函数的导数y'，你能发现函数的单调性与导数的正负有什么关系吗
问题2：观察下面一些函数的图象，探究函数的单调性和导数正负的关系.
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：
(1)若在某个区间上，函数y=f(x)的导数f'(x)>0，则在这个区间上，函数y=f(x)单调递增；
(2)若在某个区间上，函数y=f(x)的导数f'(x)<0，则在这个区间上，函数y=f(x)单调递减；
(3)若在某个区间上，f'(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y=f(x)单调递增；若在某个区间上，f'(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y=f(x)单调递减.
求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
【方法总结】先求f'(x)，再解不等式f'(x)>0和f'(x)<0，即可分别得到函数f(x)的单调递增区间和单调递减区间.
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)=x+sin x，x∈(0，2π)；(2)f(x)=2x-ln x.
函数与其导数图象间的关系
问题1：结合函数图象，如何从导数的角度解释函数增减快慢的情况
问题2：若函数f(x)在(a，b)上满足f'(x)>0(或f'(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性
问题3：若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上单调递增(减)，则f'(x)满足什么条件
　　函数单调性与导数值大小的关系
一般地，设可导函数y=f(x)，在区间(a，b)内，
(1)如果|f'(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化得越快，那么函数y=f(x)的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；
(2)如果|f'(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化得越慢，那么函数y=f(x)的图象就比较“平缓”(向上或向下).
设f'(x)是函数f(x)的导数，y=f'(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是(　　).
A B C D
【方法总结】依据函数y=f(x)的单调性与y=f'(x)函数值的正负之间的关系进行判断.
已知函数f(x)的导数f'(x)=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是(　　).
A　 　　B　　　　　C　　　　　D
　含有参数的函数单调性问题
如图所示的S形公路，可近似地用函数f(x)=ax3+3x2-x+1(a≠0)来表示.
问题：如果f(x)在R上单调递减，求实数a的取值范围.
1.f(x)的解析式中含有参数，讨论f(x)的单调性时，应注意不等式f'(x)≥0(或f'(x)≤0)的解集与参数是否相关，相关时要分类讨论.
2.f(x)的解析式中含有参数，已知f(x)在定义域内单调递增(或减)，则f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在f(x)的定义域内恒成立，有时借助数形结合法求解.
3.已知f(x)(f(x)的解析式中含有参数)在某区间上单调，求参数的值或取值范围时，所给增(或减)区间应是f(x)的增(或减)区间的子集.
4.已知f(x)的单调区间，求f(x)中含有的参数值时，已知单调区间的端点应是f'(x)≥0(f'(x)≤0)解集的分界点.
已知函数f(x)=-x+aln x，讨论f(x)的单调性.
【方法总结】先求定义域，再求导数f'(x)，根据x的取值范围讨论导数在定义域上的符号即可.
若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1，4)上单调递减，在区间(6，+∞)上单调递增，试求实数a的取值范围.
　函数单调性的应用
已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<-xf'(x)，则不等式f(x+1)>(x-1)·f(x2-1)的解集是(　　).
A.(0，1) B.(2，+∞) C.(1，2) D.(1，+∞)
【方法总结】用函数的单调性比较大小或解不等式时常采用构造函数的方法，常见的构造函数有
(1)对于f'(x)>g'(x)，构造h(x)=f(x)-g(x).
(2)对于f'(x)+g'(x)>0，构造h(x)=f(x)+g(x).
(3)对于f'(x)+f(x)>0，构造h(x)=exf(x).
(4)对于f'(x)>f(x)，构造h(x)=.
(5)对于xf'(x)+f(x)>0，构造h(x)=xf(x).
(6)对于xf'(x)-f(x)>0，构造h(x)=(注意讨论x=0的情况).
已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f'(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)+f'(x)>0，则(　　).
A.e-2 021f(-2 021)f(0)
B.e-2 021f(-2 021)C.e-2 021f(-2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)>f(0)
D.e-2 021f(-2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)【随堂检测】
1.函数f(x)=2x-sin x在R上是(　　).
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定
2.定义在R上的函数f(x)，若(x-1)·f'(x)<0，则(　　).
A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)=2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)与2f(1)的大小关系不确定
3.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f'(x)的图象可能是(　　).
A　 　　　B　　　　　C　　　 　D
4.函数f(x)=3+xln x的单调递增区间是　　　　.
5.已知函数f(x)=x3-x2-x+2.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间.
参考答案
2.6.1 函数的单调性
自主预习·悟新知
预学忆思
1.通过前面的学习，我们可以通过研究函数的导数来判断它的单调性.
2.在区间(a，b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增；在区间(a，b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减.
3.先求定义域.令f'(x)>0，结合定义域得单调递增区间；令f'(x)<0，结合定义域得单调递减区间.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.B　【解析】(sin x)'=cos x，(xex)'=ex+xex=(1+x)ex，(x3-x)'=3x2-1，(ln x-x)'=-1，当x∈(0，+∞)时，只有(xex)'=(1+x)ex>0恒成立.
3.[-1，0]和[2，+∞)　【解析】∵当-1≤x≤0或x≥2时，f'(x)≥0，
∴函数f(x)的单调递增区间为[-1，0]和[2，+∞).
4.【解析】f'(x)=1-=，∵x∈(0，1]，∴x2-1≤0(当且仅当x=1时，等号成立)，
∴f'(x)≤0，∴f(x)=x+在(0，1]上单调递减.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：
函数y=60x-1.5x2的图象如图所示，y'=60-3x.在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
问题2：图象(1)中，在区间(-∞，+∞)上，y'=1>0，y=x单调递增；
图象(2)中，在区间(-∞，0)上，y'=2x<0，y=x2单调递减，在区间(0，+∞)上，y'=2x>0，y=x2单调递增；
图象(3)中，在区间(-∞，+∞)上，y'=3x2≥0，y=x3单调递增；
图象(4)中，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上，y'=-<0，y=单调递减.
新知运用
例1　【解析】由题可知，f'(x)=6x2-12x.
令f'(x)>0，解得x>2或x<0，
所以当x∈(-∞，0)或x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；
令f'(x)<0，解得0所以当x∈(0，2)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减.
综上所述，函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间为(-∞，0)和(2，+∞)，单调递减区间为(0，2).
巩固训练　【解析】(1)由题意知，f'(x)=+cos x，令f'(x)>0，得+cos x>0，即cos x>-.
∵x∈(0，2π)，∴0同理，令f'(x)<0，得∴该函数的单调递增区间为0，，，2π；单调递减区间为，.
(2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2-.
令2->0，解得x>；令2-<0，解得0∴该函数的单调递增区间为，+∞，单调递减区间为0，.
探究2　情境设置
问题1：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.
如图所示，函数y=f(x)在(0，b)或(a，0)内的图象“陡峭”，在(b，+∞)或(-∞，a)内的图象“平缓”.
问题2：若f'(x)>0，则f(x)在(a，b)上单调递增；若f'(x)<0，则f(x)在(a，b)上单调递减.
问题3：f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
新知运用
例2　C　【解析】由导函数的图象可得，当x<0时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；
当0当x>2时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增.
只有C选项的图象符合.故选C.
巩固训练　D　【解析】观察导数f'(x)的图象可知，当x<0或x>x1时，导数f'(x)<0，即函数f(x)在(-∞，0)和(x1，+∞)上单调递减；当00，即函数f(x)在(0，x1)上单调递增.故选D.
探究3　情境设置
问题：f'(x)=3ax2+6x-1，
由题意得3ax2+6x-1≤0在R上恒成立.
当a≠0时，由题意得解得a≤-3.
故实数a的取值范围是(-∞，-3].
新知运用
例3　【解析】f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=--1+=-.
①若a≤2，则f'(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时，f'(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减.
②若a>2，令f'(x)=0，得x=或x=.
当x∈0，∪，+∞时，f'(x)<0；
当x∈，时，f'(x)>0.
所以f(x)在0，，，+∞上单调递减，在，上单调递增.
综上所述，当a∈(-∞，2]时，f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a∈(2，+∞)时，f(x)在0，，，+∞上单调递减，在，上单调递增.
巩固训练　【解析】由题意得，f'(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)]，令f'(x)=0，得x=1或x=a-1.因为函数f(x)在区间(1，4)上单调递减，所以当x∈(1，4)时，f'(x)≤0.又因为函数f(x)在区间(6，+∞)上单调递增，所以当x∈(6，+∞)时，f'(x)≥0，所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7，即实数a的取值范围为[5，7].
探究4　
例4　B　【解析】构造函数y=xf(x)，x∈(0，+∞)，
则y'=f(x)+xf'(x)<0，
所以函数y=xf(x)在(0，+∞)上单调递减.
又因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1)，
所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1)，
所以x+10，x+1>0，
解得x>2，
所以不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(2，+∞).故选B.
巩固训练　A　【解析】构造函数h(x)=exf(x)，
则h'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，
所以函数h(x)在R上单调递增，
故h(-2 021)同理，h(2 021)>h(0)，即e2 021f(2 021)>f(0).故选A.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】f'(x)=2-cos x，∵cos x≤1，
∴f'(x)>0，∴f(x)在R上是增函数.
2.C　【解析】当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
∴f(2)当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(0)因此f(0)+f(2)<2f(1).
3.D　【解析】由f(x)的图象可知，f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，∴在(0，+∞)上f'(x)<0，在(-∞，0)上f'(x)>0.故选D.
4.，+∞　【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1，令f'(x)>0，即ln x+1>0，得x>，故函数f(x)的单调递增区间为，+∞.
5.【解析】(1)∵f(x)=x3-x2-x+2，∴f'(x)=3x2-2x-1，∴f'(2)=7.
又f(2)=4，∴曲线f(x)在点(2，4)处的切线方程为y-4=7(x-2)，即7x-y-10=0.
(2)∵f'(x)=3x2-2x-1=(x-1)(3x+1)，
∴当x∈-∞，-∪(1，+∞)时，f'(x)>0；当x∈-，1时，f'(x)<0.
故f(x)的单调递增区间为-∞，-，(1，+∞)，单调递减区间为-，1.

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