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2.6.2 函数的极值
【学习目标】
1.了解函数极值的概念，会从几何直观角度理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2.掌握函数极值的判定及求法.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象如图所示.
1.函数f(x)在(a，x0)，(x0，b)上的单调性与导数的符号有何特点
2.观察y=f(x)的图象，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点 它是极大值吗
3.函数值f(x0)在定义域内是最大的吗
4.函数y=g(x)在(a，b)上有极大值、极小值吗
5.结合教材的实例思考：函数的极大值一定大于极小值吗 在同一区间内极值点唯一吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)x=0是函数y=x3的极值点. (　　)
(2)可导函数一定存在极值. (　　)
(3)若f'(x0)=0，则x=x0是函数y=f(x)的极值点. (　　)
(4)若x=x0是函数y=f(x)的极值点，则f'(x0)=0. (　　)
2.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　).
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
3.设函数f(x)=xex，则(　　).
A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点
4.已知函数y=3x-x3+m的极大值为10，则m的值为　　　　.
【合作探究】
　求函数的极值
在必修课程中，我们已经研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大、哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题.
问题1：观察下图，函数y=f(x)在x=d，x=e，x=f，x=g，x=h，x=i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系
问题2：y=f(x)在点x=d，x=e处的导数值是多少
问题3：在点x=d，x=e附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律
1.极值点与极值的概念
如图，函数y=f(x)在点a处的函数值f(a)比它在点a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0；而且在点a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫作函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.
函数y=f(x)在点b处的函数值f(b)比它在点b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0；而且在点b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫作函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.
2.对极值概念的再理解
(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；
(5)单调函数一定没有极值.
3.y=f(x)的极值点x0与f'(x0)=0的关系
一般来说，“f'(x0)=0”是“函数y=f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件.
若可导函数y=f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则f'(x0)=0；反之，若f'(x0)=0，则点x0不一定是函数y=f(x)的极值点.可导函数f(x)的极值点x0一定是导函数f'(x)的变号零点.
求函数y=3x3-x+1的极值.
【方法总结】　　首先对函数求导，然后求方程y'=0的根，最后检查y'在方程根左、右两侧的值的符号.如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值.
求下列函数的极值：
(1)f(x)=x2e-x；(2)f(x)=.
　函数极值中的含参问题
已知函数f(x)=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3.
问题1：求a，b的值.
问题2：求函数f(x)的极小值.
1.利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
2.因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.
已知函数f(x)=x-aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值.
【方法总结】求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对f'(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f'(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.
已知函数f(x)=ln x-ax+a(a∈R).
(1)若a=1，求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)的极值.
　方程根的问题
问题1：你还记得函数f(x)零点个数的确定方法吗
问题2：学习导数后，对于方程根的问题又将如何处理呢
用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.
设函数f(x)=x3-6x+5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.
【方法总结】(1)先求出f'(x)，再令f'(x)=0，进而求解函数f(x)的单调区间和极值；(2)结合函数f(x)的图象，利用数形结合思想，确定实数a的取值范围.
若函数f(x)=2x3-6x+k在R上只有一个零点，求实数k的取值范围.
【随堂检测】
1.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　).
A.在(-2，1)上f(x)是增函数 B.在(1，3)上f(x)是减函数
C.当x=2时，f(x)取得极大值 D.当x=4时，f(x)取得极大值
2.函数f(x)=x2-ln x的极值点为(　　).
A.0，1，-1 B. C.- D.，-
3.函数f(x)=的极大值为(　　).
A.0 B. C. D.
4.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13，则实数m=　　　　.
5.已知函数f(x)=2x3-6x2+7，求关于x的方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.
参考答案
2.6.2 函数的极值
自主预习·悟新知
预学忆思
1.f(x)在(a，x0)上单调递增，其导数值大于零，在(x0，b)上单调递减，其导数值小于零.
2.f(x0)的值在(a，b)内最大.是.
3.不一定.
4.y=g(x)在(a，b)上有极小值g(x0)，无极大值.
5.函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值.在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止有一个.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】由导函数的图象可知，f'(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x=0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.
3.D　【解析】对f(x)求导得f'(x)=ex+xex=ex(x+1)，令f'(x)=0，解得x=-1，易知x=-1是函数f(x)的极小值点.
4.8　【解析】y'=3-3x2=3(1+x)(1-x)，令y'=0，解得x1=-1，x2=1，经判断知x=1是极大值点，故当x=1时，y=2+m=10，解得m=8.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：以x=d，x=e两点为例，函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比它在点x=d附近其他点的函数值都小，函数y=f(x)在点x=e处的函数值f(e)比它在点x=e附近其他点的函数值都大.
问题2：0.
问题3：在点x=d附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0.类似地，在点x=e附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0.
新知运用
例1　【解析】y'=9x2-1，令y'=0，解得x1=，x2=-.
当x变化时，y'和y的变化情况如下表：
x -∞，- - -， ，+∞
y' + 0 - 0 +
y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因此，当x=-时，y有极大值，极大值为；
当x=时，y有极小值，极小值为.
巩固训练　【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，
f'(x)=2xe-x+x2·e-x·(-x)'=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.
令f'(x)=0，得x(2-x)e-x=0，解得x=0或x=2.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 0 ↗ 4e-2 ↘
因此，当x=0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)=0；当x=2时，f(x)取得极大值，且极大值为f(2)=4e-2=.
(2)函数f(x)=的定义域为(0，+∞)，
且f'(x)=，
令f'(x)=0，解得x=e.
当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如表所示：
x (0，e) e (e，+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ ↘
故当x=e时，函数f(x)取得极大值，且极大值为f(e)=.
探究2　情境设置
问题1：f'(x)=3ax2+2bx，∵当x=1时，函数有极大值3，
∴∴
解得
问题2：f'(x)=-18x2+18x=-18x(x-1).
当f'(x)=0时，x=0或x=1；
当f'(x)>0时，0当f'(x)<0时，x<0或x>1.
∴函数f(x)=-6x3+9x2的极小值为f(0)=0.
新知运用
例2　【解析】由f'(x)=1-=(x>0)知，
①当a≤0时，f'(x)>0，函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，令f'(x)=0，解得x=a，
又当x∈(0，a)时，f'(x)<0，
当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，
所以函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-aln a，无极大值.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a，无极大值.
巩固训练　【解析】(1)当a=1时，f(x)=ln x-x+1(x>0)，则f'(x)=-1=.
令f'(x)>0，解得01.
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
故f(x)在x=1处取得极大值，极大值为f(1)=0，无极小值.
(2)因为f(x)=ln x-ax+a(x>0)，所以f'(x)=-a=.
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值.
当a>0时，令f'(x)>0，解得0.
因此，f(x)在0，上单调递增，在，+∞上单调递减，所以f(x)在x=处取得极大值，极大值为f=a-ln a-1，无极小值.
综上，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)有极大值，极大值为a-ln a-1，无极小值.
探究3　情境设置
问题1：确定函数f(x)零点个数(方程f(x)=0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)=0的根的判别式Δ>0，Δ=0，Δ<0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断.
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在区间(a，b)内有唯一零点.
问题2：学习导数后，对于函数的图象可以利用导数研究函数单调性的方法，画出草图，一般地，方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标.
新知运用
例3　【解析】(1)f'(x)=3x2-6，令f'(x)=0，
解得x1=-，x2=.
因为当x>或x<-时，f'(x)>0，
当-所以f(x)的单调递增区间为(-∞，-)和(，+∞)；单调递减区间为(-，).
当x=-时，f(x)有极大值，极大值为5+4；
当x=时，f(x)有极小值，极小值为5-4.
(2)由(1)的分析知y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.
所以，当5-4直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同的交点，
即方程f(x)=a有三个不同的实根.
所以实数a的取值范围为(5-4，5+4).
巩固训练　【解析】f(x)=2x3-6x+k，则f'(x)=6x2-6，
令f'(x)=0，得x=-1或x=1，
可知f(x)在(-1，1)上单调递减，在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递增.
所以f(x)的极大值为f(-1)=4+k，极小值为f(1)=-4+k.
要使函数f(x)只有一个零点，
只需4+k<0或-4+k>0(如图所示)，
图①　　　　　　　　图②
即k<-4或k>4.
所以k的取值范围为(-∞，-4)∪(4，+∞).
随堂检测·精评价
1.C　【解析】由y=f'(x)的图象可得y=f(x)的大致图象，如图所示.
由图可知，A，B，D均错误.故选C.
2.B　【解析】由题意得，f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=3x-=，令f'(x)=0，得x=或x=-(舍去).当x>时，f'(x)>0；当03.C　【解析】由题意得f'(x)=.
由f'(x)>0，得02.
故f(x)在(-∞，0)和(2，+∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增，
故f(x)的极大值为f(2)=.故选C.
4.-19　【解析】y'=-3x2+12x=-3x(x-4).
由y'=0，得x=0或x=4.
当x∈(-∞，0)∪(4，+∞)时，y'<0；
当x∈(0，4)时，y'>0.∴当x=4时，函数取得极大值.
故-64+96+m=13，解得m=-19.
5.【解析】函数f(x)的定义域为R，f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)，
令f'(x)=0，得6x(x-2)=0，解得x=0或x=2.
当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如表所示.
x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 7 ↘ -1 ↗
当x→+∞时，f(x)→+∞；
当x→-∞时，f(x)→-∞.
∴当a<-1或a>7时，方程有一个解；
当a=-1或a=7时，方程有两个解；
当-1

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