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专题5 数列中的不等式问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,数列压轴题与不等式交汇的可能性比较大,本专题总结数列中不等式的常见类型及解法，供大家参考.
（一）比较大小
比较的大小,通常作差,转化为判断与0的大小,若,也可以转化为判断与1的大小.
【例1】已知数列的前n项和,且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为,比较和的大小.
【解析】（1）因为
当时,
又因为时,也满足上式
所以当时,,
（2）由,得
当时,
当时,,.
综上所述：当时,,当时,.
（二）判断数列不等式是否成立或由数列不等式求的范围
此类问题,一般先把所给数列不等式转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数、数列性质求解.
【例2】已知数列满足记数列的前项和为,
(1)求证：数列为等比数列,并求其通项；
(2)求；
(3)问是否存在正整数,使得成立？说明理由.
【解析】（1） ,
即,
所以,
（2）,所以,
当为奇数时,可令,
则
,
当为偶数时,可令
则；
（3）假设存在正整数,使得成立,
因为,,
所以只要
即只要满足①：,和②：,
对于①只要 就可以；
对于②,
当为奇数时,满足,显然不成立,
当为偶数时,满足,即
令,
因为
由于的对称轴为,故在且为偶数,单调递减,
当时,,故
即,且当时,最大,且最大值为,
因此,,
所以当为偶数时,②式成立,即当为偶数时,成立 .
【例3】已知数列满足,且．
(1)设,证明：是等比数列；
(2)设数列的前n项和为,求使得不等式成立的n的最小值．
【解析】（1）证明：∵,
,,,,
又, ,,
,,
又,,,
,即,,
又,
,,
∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
,即,
,,
,又,
,
即,
,
,
,
在是一个增数列,
,
,
∴满足题意的n的最小值是20．
（三）根据不等式恒成立求参数范围
不等式恒成立问题,通常通过分离参数,把问题转化为或的形式,再利用数列单调性或函数单调性,求的最值,然后确定的范围.
【例4】（2024届贵州省六盘水市高三下学期三诊）已知为等差数列,且,．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立,求实数λ的取值范围．
【解析】（1）设数列 的公差为d,则根据题意可得,
解得,则．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到,
又恒成立,则恒成立,
设,则,
当时,,即；
当时,,则,则；
则,故,
故实数λ的取值范围为．
（四）证明与通项有关的不等式
求解此类问题,一般是先确定通项,再通过放缩或数列单调性证明.
【例5】（2024届江苏省盐城市高三5月考前指导卷）在数列的第项与第项之间插入个1,称为变换．数列通过变换所得数列记为,数列通过变换所得数列记为,以此类推,数列通过变换所得数列记为（其中）．
(1)已知等比数列的首项为1,项数为,其前项和为,若,求数列的项数；
(2)若数列的项数为3,的项数记为．
①当时,试用表示；
②求证：．
【解析】（1）设等比数列的公比为,显然,
由,得,解得.
故数列有8项,经过1次变换后的项数为,
即的项数为36.
（2）①由的项数为,则当时,,
所以
②因数列是一个3项的数列,所以,
由,所以,
于是,则有
所以,得,即,
所以.
,,于是,
则有,可得,有,即,
所以,综上所述,．
（五）先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式
证明与前n项有关的不等式,若所给数列可以转化为等差（比）数列求和,或可以裂项求和,通常是先求和,再放缩.
【例6】（2024届浙江省精诚联盟高三下学期适应性联考）已知等比数列和等差数列,满足,,,．
(1)求数列,的通项公式；
(2)记数列的前项和为,数列的前项和为．证明：．
【解析】（1）等比数列满足,,所以单调递增,
设的公比为,等差数列的公差为,依题意可得,
解得或（舍去）,
所以,．
（2）由（1）可得,
所以
所以,
故,
又,,
即,
所以
．
（六）先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式
此类问题,通常是所给数列无法求和,要先把所给数列放缩成等差（比）数列或可以裂项求和、错位相减法求和的数列,再求和,放缩时要观察待证结论,防止放缩过度或不足.
【例7】（2024届广西柳州高级中学高三下学期3月热身考）表示正整数a,b的最大公约数.若,且,则将k的最大值记为,例如：
(1)求;
(2)设,数列 的前n项和为 证明：
【解析】（1）依题可得表示所有不超过正整数m,且与m互质的正整数个数.
因为与2互质的数为1,所以,
因为与3互质的数为1,2,所以,
因为在中与互质的正整数只有,
所以在中与互质的正整数的个数为,因此；
（2）,则,
因为,
所以,因此有,
所以,
因为,所以.
【例8】（2024届云南省大理新世纪中学高三数学模拟）自然常数,符号,为数学中的一个常数,是一个无限不循环小数,且为超越数,其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”,以纪念苏格兰数学家约翰 纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位,是数学中最重要的常数之一,它的其中一个定义是.设数列的通项公式为,,
(1)写出数列的前三项,,．
(2)证明：．
【解析】（1）由通项公式得,
；；.
（2）由二项式定理得
,
所以是上的单调递增数列,
因为,则；
又
,
综上可知,．
（七）借助导数证明与前n项和有关的不等式.
求解此类问题,通常先利用导数证明一个不等式,再把不等式中的自变量用代换,通过累加或累乘法证明所给不等式.
【例9】牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是的一个零点,任意选取作为的初始近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的1次近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的2次近似值．一般地,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,就称为的次近似值,称数列为牛顿数列．
(1)若的零点为,,请用牛顿切线法求的2次近似值；
(2)已知二次函数有两个不相等的实数根,数列为的牛顿数列,数列满足,且．
（ⅰ）设,求的解析式；
（ⅱ）证明：
【解析】（1）
,所以
当,所以
当,
所以的2次近似值为.
（2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根,
所以不妨设,
则,
因为所以
所以在横坐标为的点处的切线方程为
令则
即,
所以.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知,
所以.
因为所以所以.
令则,又
所以,数列是公比为2的等比数列.
.
令,则
当时,,所以在单调递减,
所以,即
因为所以即.
.
【例1】（2024届山东省泰安肥城市高考仿真模拟）在足球比赛中,有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲 乙 丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外人中的 人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为,易知．
① 试证明：为等比数列；
② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为,比较与的大小．
【解析】（1）解法一：依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为,
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为
易知,所以
故的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望．
解法二：的所有可能取值为
在一次扑球中,扑到点球的概率,
所以

所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以的数学期望：
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为,
则当时,第次传球之前球在甲脚下的概率为,
第次传球之前球不在甲脚下的概率为,
则
即,又,
所以是以为首项,公比为的等比数列．
②由①可知,所以,
所以,故．
【例2】（2024届陕西省西北工业大学附中高三适应性训练）已知函数
(1)若函数在内点处的切线斜率为,求点的坐标；
(2)①当时,求在上的最小值；
②证明：．
【解析】（1）设点.
由于,则,得,
则,且,所以点的坐标为.
（2）①,
则,记,
则
易知在上单调递减,且,
,即,
所以,当时,,在上单调递增；
当时,,在上单调递减.
因为,
所以时,,在单调递增,
所以,当时,取得最小值.
②由①可知,时恒成立,即恒成立.
设,则,
当时,,在上单调递增,
所以,所以,
又,所以,
取,则,
,得证.
【例3】（2024届重庆市开州中学高三下学期模拟）设有穷数列的项数为,若正整数满足：,则称为数列的“点”．
(1)若,求数列的“点”；
(2)已知有穷等比数列的公比为,前项和为．若数列存在“点”,求正数的取值范围；
(3)若,数列的“点”的个数为,证明：．
【解析】（1）因为
所以,
所以数列 的 “ 点” 为 3,5 ,
（2）依题意,,因为数列存在 “点”,
所以存在 ,使得 ,
所以,即.
因为,所以,所以,
又随的增大而增大,
所以当时,取最大值,
所以,又,所以.
当时,有,
所以数列存在 “点”,所以的取值范围为,
（3）①若,则数列不存在 “点”,即.
由得,,所以,
②若存在,使得. 下证数列有 “点”.
证明: 若,则2是数列的 “点”;
若,因为存在,使得,
所以设数列中第1个小于的项为,
则,所以是数列的第1个 “点”.
综上,数列存在 “点”.
不妨设数列的 “点” 由小到大依次为,
则是中第1个小于的项,
故,因为 ,
所以,所以,所以
所以
所以.综上,,得证.
【例4】（2024届天津市河北区高三质量检测二）已知是等差数列,其前项和为是等比数列,已知,是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记,求证：.
【解析】（1）由题意,
,
又是和的等比中项,得,
又,解得,
；
（2）,设,
则,
将以上两式相减得
,
；
（3）
,
,
.
结论得证.
【例5】如图,已知点列在曲线上,点列在x轴上,,,为等腰直角三角形．
(1)求,,；（直接写出结果）
(2)求数列的通项公式；
(3)设,证明：．
【解析】（1）由为等腰直角三角形,所以直线的直线斜率为1,
故直线的方程为,与抛物线方程联立可得,可解得或,
从而可得,可得的横坐标为1,因为,解得,
由,所以,可得,
可得,解得；
（2）由题意可得,所以,
所以,所以,
所以,
所以是以为首项,为公差的等差数列,
所以,所以,
（3）由（1）可得,
所以,
所以,
,
所以.
1．（2024届新疆喀什地区高三5月适应性检测）已知数列的首项,且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记,求数列的前项和,并证明．
【解析】（1）由得,
又,所以是首项为2,公比为2的等比数列．
（2）由（1）知,,所以
所以,
当时,单调递增,故．
2．（2024届山东省济钢高级中学高三5月适应性考试）已知复数数列的通项公式为（是虚数单位）,为的前项和．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求的通项公式．
【解析】（1）因为（是虚数单位）,
所以
（2）当为奇数时,；
当为偶数时,．
因此无论为奇数还是偶数,．
,当时,上式大于0．
所以,
即
（3）因为（是虚数单位）,
所以．
所以,
,
所以
.
3．已知数列满足．
(1)证明是等比数列,并求的通项公式；
(2)证明：
【解析】（1）因为,所以,且,则,
即,所以数列是首项为,公比为7的等比数列,
所以,则；
（2）由（1）可知,,
,即,只有当时,等号成立,
所以,只有当时,等号成立,
当时,,成立,
当时,,
综上可知,.
4．已知函数,数列满足正整数
(1)求的最大值；
(2)求证：；
(3)求证：．
【解析】（1）因为的定义域为,所以
当时,,在上递增,
当时,,在上递减,
所以在时有最大值,所以,即的最大值为0；
（2）由（1）知,,所以,
所以,即,
所以,,,
累加得,即.
（3）因为,所以,得,
,,,
所以,即,所以,
所以,,,
所以,
,
所以得证．
5．（2024届天津市南开区高三下学期质量监测二）已知函数,.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：对,恒成立（为的导数）；
(3)设,证明：（）.
【解析】（1）,可得,又,
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）令,,则,,
令,则在上恒成立,故在单调递增,
其中,故在上恒成立,故在上单调递增,
故,即恒成立．
（3）设,证明．
令,,
因为,所以在上单调递减,
所以,从而,．
由于,
所以．
由（2）知,（）,所以．
设,①,则,②
①－②得,
所以．
6．（2025届江西省多所学校高三第一次大联考）定义：若对于任意,数列满足：①；②,其中的定义域为,则称关于满足性质.
(1)请写出一个定义域为的函数,使得关于满足性质；
(2)设,若关于满足性质,证明：；
(3)设,若关于满足性质,求数列的前项和.
【解析】（1）令,定义域为R,
显然任意,,且,
故满足要求,（注：所有的定义域为的偶函数均符合题意）
（2）因为,所以,
移项得,
因为,所以,故,
由基本不等式,当且仅当时取到等号,
而,故,即.
（3）由题意,,
故,
设,
则,
故在上单调递增,而,
故时,时,,
因此在上单调递减,在上单调递增.
不妨设,因为,
所以当时,,当或时,,
且时,时,,
故对于任意,方程有且只有两个不同的根,
又,故的图象关于对称,故,
因此数列的前项和为.
7．（2024届湖南省岳阳市湘阴县第一中学高三下学期期中）设数列的前项和为,且．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列满足,且数列的前项和为,求证：．
【解析】（1）依题意,由,可得,
当时,,解得,
当时,,
整理,得,,
∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴；
（2）依题意及（1）,由可得,
则,
,
两式相减,可得
,
∴,故得证．
8．（2024届陕西省铜川市王益中学高三下学期模拟）不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个,将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验,若两次均摸到彩球,则试验成功并终止试验,否则在袋子中添加一个相同的白球,然后进行下一次试验．
(1)若最多只能进行3次试验,设试验终止时进行的次数为随机变量,求的分布列与数学期望；
(2)若试验可以一直进行下去,第次试验成功的概率记为,求证：．
【解析】（1）的可能值有,
；；．
所以随机变量的分布列为
1 2 3
．
（2）证明：因为,
,,
所以
,,
经检验也满足上式,
所以．
9．（2024届湖南省娄底市高三下学期高考考前仿真联考）已知等比数列的各项都为正实数,.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,数列的前项和为,证明：.
【解析】（1）设等比数列的公比为,
因为,所以,
化简得,解得或（舍去）,
所以；
（2）证明：由（1）得,
所以,
所以,
所以
,
所以,
因为,所以.
10．（2024届广西贵港市高考模拟预测）某射击运动员进行射击训练,已知其每次命中目标的概率均为．
(1)若该运动员共射击6次,求其在恰好命中3次的条件下,第3次没有命中的概率；
(2)该运动员射击训练不超过n（）次,当他命中两次时停止射击（射击n次后,若命中的次数不足两次也不再继续）,设随机变量X为该运动员的射击次数,试写出随机变量X的分布列,并证明．
【解析】（1）设第i次射击时命中目标为事件,该运动员射击6次恰好命中3次为事件B．
,
,
．
（2）随机变量X的所有可能取值为2,3,4,5,…,n．
若射击次停止,则第k次命中,前次射击中有一次命中,
故,,,
若射击n次停止,有两种结果：前次有一次命中或一次都没命中,
故．
随机变量X的分布列为
．
法一、易知,
,
易知时,,即,
∴,
．
法二、令,①
则,②
,得,
令,
则,
得
,
,．
．
11．（2024届福建省泉州第一中学高三下学期适应性测试）已知有穷正项数列,若将每个项依次围成一圈,满足每一项的平方等于相邻两项平方的乘积,则称该数列可围成一个“HL-Circle”．例如：数列都可围成“HL-Circle”．
(1)设,当时,是否存在使该数列可围成“HL-Circle”,并说明理由：
(2)若的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．
（i）求的取值集合；
（ii）求证：．
【解析】（1）由定义可得,而为正项数列,故,
故,
由最后两式可得,故,故且,
结合可得即,故,故.
故存在,使得数列可围成“HL-Circle”,此时数列为：.
（2）（i）若的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．
则由,
结合为正项数列可得,
诸式相乘后可得,
又上述关系式即为(若下标大于,则取下标除以的余数).
故,
故(若下标大于,则取下标除以的余数).
所以(若下标大于,则取下标除以的余数).
设,
若,则即为,故,从而,,
而,故,故,故,从而,
此时均为1,与题设矛盾.
若,则即为,而,
,故,此时均为1,与题设矛盾.
若,则即为,而,所以,故,
从而,
而,故,故,
此时均为1,与题设矛盾.
若,则即为,而,所以,
而,故,故,故,
故,故,故,
此时均为1,与题设矛盾.
若,则,故,
故,故,故,故,故,
此时均为1,与题设矛盾.
综上,.
（ii）由均值不等式得,
由上面三组数内必有一组不相等,否则,
从而与题设矛盾,
故等号不成立,从而,
又,由④和⑥得
因此由⑤得：
．
故原式得证.
12．已知数列中,,设为前项和,,已知数列,设的前项和．
(1)求；
(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围．
【解析】（1）由可得：,,
上面两式相减得：,整理得：,,
所以数列是常数列,即,所以,则,
所以
两边同乘以2得：
两式相减得：,
即.
（2）由可得：,整理得：,
当为偶数时,上面不等式可化简为：,
利用该数列单调递增性可知：,所以,
当为奇数时,上面不等式可化简为：,
再利用该数列单调递减性可知：,所以,
综上可得：.
13．（2024届河北省邢台市部分高中二模）已知数列的前项和为,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【解析】（1）当时,.
当时,,,两式相减得：
.
所以是以为首项,以为公比的等比数列.
所以.
（2）由（1）知：
所以.
当时,,
当时,,故,
所以.
14．（2024届江西省宜丰中学高三下学期模拟）设,.
(1)当时,证明：；
(2)证明：.
【解析】（1）因为定义域为,
所以,
所以为定义在上的偶函数,下取,
可知,令
则在内单调递增,可得,
即在内恒成立,可知在内单调递增,
所以在内的最小值为,结合偶函数性质可知：.
（2）由（1）可得：,当且仅当时,等号成立,
即,令,则,当时,,即,
则有：,,,,
相加可得：,
因为,则,所以,
即.
15．（2024届江苏省扬州中学高三下学期全真模拟）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为：,且满足：,,,…,．注：,,,,…已知在处的阶帕德近似为．
(1)求实数a,b的值；
(2)当时,试比较与的大小,并证明；
(3)已知正项数列满足：,,求证：．
【解析】（1）由题意得,,
,故,,
解得,.
（2）由上可得,要比较与的 ,
,只需比较1与的 ,
令,,
所以,从而可得在上单调递增,
所以,即,
所以.
（3）设,,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
故,即,当且仅当时等号成立；
由题意知,令,,
故该函数在上递减,
故可得,即,可得；
一方面：由（2）可得,
又因为,
所以可得,即,即,
即,
故,
即,所以.
另一方面：要证明
,
两边同时除以,原式
令,
由基本不等式,
故,所以在单调递增,
所以,得证.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题5 数列中的不等式问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,数列压轴题与不等式交汇的可能性比较大,本专题总结数列中不等式的常见类型及解法，供大家参考.
（一）比较大小
比较的大小,通常作差,转化为判断与0的大小,若,也可以转化为判断与1的大小.
【例1】已知数列的前n项和,且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为,比较和的大小.
【解析】（1）因为
当时,
又因为时,也满足上式
所以当时,,
（2）由,得
当时,
当时,,.
综上所述：当时,,当时,.
（二）判断数列不等式是否成立或由数列不等式求的范围
此类问题,一般先把所给数列不等式转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数、数列性质求解.
【例2】已知数列满足记数列的前项和为,
(1)求证：数列为等比数列,并求其通项；
(2)求；
(3)问是否存在正整数,使得成立？说明理由.
【解析】（1） ,
即,
所以,
（2）,所以,
当为奇数时,可令,
则
,
当为偶数时,可令
则；
（3）假设存在正整数,使得成立,
因为,,
所以只要
即只要满足①：,和②：,
对于①只要 就可以；
对于②,
当为奇数时,满足,显然不成立,
当为偶数时,满足,即
令,
因为
由于的对称轴为,故在且为偶数,单调递减,
当时,,故
即,且当时,最大,且最大值为,
因此,,
所以当为偶数时,②式成立,即当为偶数时,成立 .
【例3】已知数列满足,且．
(1)设,证明：是等比数列；
(2)设数列的前n项和为,求使得不等式成立的n的最小值．
【解析】（1）证明：∵,
,,,,
又, ,,
,,
又,,,
,即,,
又,
,,
∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
,即,
,,
,又,
,
即,
,
,
,
在是一个增数列,
,
,
∴满足题意的n的最小值是20．
（三）根据不等式恒成立求参数范围
不等式恒成立问题,通常通过分离参数,把问题转化为或的形式,再利用数列单调性或函数单调性,求的最值,然后确定的范围.
【例4】（2024届贵州省六盘水市高三下学期三诊）已知为等差数列,且,．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立,求实数λ的取值范围．
【解析】（1）设数列 的公差为d,则根据题意可得,
解得,则．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式,得到,
又恒成立,则恒成立,
设,则,
当时,,即；
当时,,则,则；
则,故,
故实数λ的取值范围为．
（四）证明与通项有关的不等式
求解此类问题,一般是先确定通项,再通过放缩或数列单调性证明.
【例5】（2024届江苏省盐城市高三5月考前指导卷）在数列的第项与第项之间插入个1,称为变换．数列通过变换所得数列记为,数列通过变换所得数列记为,以此类推,数列通过变换所得数列记为（其中）．
(1)已知等比数列的首项为1,项数为,其前项和为,若,求数列的项数；
(2)若数列的项数为3,的项数记为．
①当时,试用表示；
②求证：．
【解析】（1）设等比数列的公比为,显然,
由,得,解得.
故数列有8项,经过1次变换后的项数为,
即的项数为36.
（2）①由的项数为,则当时,,
所以
②因数列是一个3项的数列,所以,
由,所以,
于是,则有
所以,得,即,
所以.
,,于是,
则有,可得,有,即,
所以,综上所述,．
（五）先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式
证明与前n项有关的不等式,若所给数列可以转化为等差（比）数列求和,或可以裂项求和,通常是先求和,再放缩.
【例6】（2024届浙江省精诚联盟高三下学期适应性联考）已知等比数列和等差数列,满足,,,．
(1)求数列,的通项公式；
(2)记数列的前项和为,数列的前项和为．证明：．
【解析】（1）等比数列满足,,所以单调递增,
设的公比为,等差数列的公差为,依题意可得,
解得或（舍去）,
所以,．
（2）由（1）可得,
所以
所以,
故,
又,,
即,
所以
．
（六）先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式
此类问题,通常是所给数列无法求和,要先把所给数列放缩成等差（比）数列或可以裂项求和、错位相减法求和的数列,再求和,放缩时要观察待证结论,防止放缩过度或不足.
【例7】（2024届广西柳州高级中学高三下学期3月热身考）表示正整数a,b的最大公约数.若,且,则将k的最大值记为,例如：
(1)求;
(2)设,数列 的前n项和为 证明：
【解析】（1）依题可得表示所有不超过正整数m,且与m互质的正整数个数.
因为与2互质的数为1,所以,
因为与3互质的数为1,2,所以,
因为在中与互质的正整数只有,
所以在中与互质的正整数的个数为,因此；
（2）,则,
因为,
所以,因此有,
所以,
因为,所以.
【例8】（2024届云南省大理新世纪中学高三数学模拟）自然常数,符号,为数学中的一个常数,是一个无限不循环小数,且为超越数,其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”,以纪念苏格兰数学家约翰 纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位,是数学中最重要的常数之一,它的其中一个定义是.设数列的通项公式为,,
(1)写出数列的前三项,,．
(2)证明：．
【解析】（1）由通项公式得,
；；.
（2）由二项式定理得
,
所以是上的单调递增数列,
因为,则；
又
,
综上可知,．
（七）借助导数证明与前n项和有关的不等式.
求解此类问题,通常先利用导数证明一个不等式,再把不等式中的自变量用代换,通过累加或累乘法证明所给不等式.
【例9】牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设是的一个零点,任意选取作为的初始近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的1次近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的2次近似值．一般地,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,就称为的次近似值,称数列为牛顿数列．
(1)若的零点为,,请用牛顿切线法求的2次近似值；
(2)已知二次函数有两个不相等的实数根,数列为的牛顿数列,数列满足,且．
（ⅰ）设,求的解析式；
（ⅱ）证明：
【解析】（1）
,所以
当,所以
当,
所以的2次近似值为.
（2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根,
所以不妨设,
则,
因为所以
所以在横坐标为的点处的切线方程为
令则
即,
所以.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知,
所以.
因为所以所以.
令则,又
所以,数列是公比为2的等比数列.
.
令,则
当时,,所以在单调递减,
所以,即
因为所以即.
.
【例1】（2024届山东省泰安肥城市高考仿真模拟）在足球比赛中,有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲 乙 丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外人中的 人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为,易知．
① 试证明：为等比数列；
② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为,比较与的大小．
【解析】（1）解法一：依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为,
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为
易知,所以
故的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望．
解法二：的所有可能取值为
在一次扑球中,扑到点球的概率,
所以

所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以的数学期望：
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为,
则当时,第次传球之前球在甲脚下的概率为,
第次传球之前球不在甲脚下的概率为,
则
即,又,
所以是以为首项,公比为的等比数列．
②由①可知,所以,
所以,故．
【例2】（2024届陕西省西北工业大学附中高三适应性训练）已知函数
(1)若函数在内点处的切线斜率为,求点的坐标；
(2)①当时,求在上的最小值；
②证明：．
【解析】（1）设点.
由于,则,得,
则,且,所以点的坐标为.
（2）①,
则,记,
则
易知在上单调递减,且,
,即,
所以,当时,,在上单调递增；
当时,,在上单调递减.
因为,
所以时,,在单调递增,
所以,当时,取得最小值.
②由①可知,时恒成立,即恒成立.
设,则,
当时,,在上单调递增,
所以,所以,
又,所以,
取,则,
,得证.
【例3】（2024届重庆市开州中学高三下学期模拟）设有穷数列的项数为,若正整数满足：,则称为数列的“点”．
(1)若,求数列的“点”；
(2)已知有穷等比数列的公比为,前项和为．若数列存在“点”,求正数的取值范围；
(3)若,数列的“点”的个数为,证明：．
【解析】（1）因为
所以,
所以数列 的 “ 点” 为 3,5 ,
（2）依题意,,因为数列存在 “点”,
所以存在 ,使得 ,
所以,即.
因为,所以,所以,
又随的增大而增大,
所以当时,取最大值,
所以,又,所以.
当时,有,
所以数列存在 “点”,所以的取值范围为,
（3）①若,则数列不存在 “点”,即.
由得,,所以,
②若存在,使得. 下证数列有 “点”.
证明: 若,则2是数列的 “点”;
若,因为存在,使得,
所以设数列中第1个小于的项为,
则,所以是数列的第1个 “点”.
综上,数列存在 “点”.
不妨设数列的 “点” 由小到大依次为,
则是中第1个小于的项,
故,因为 ,
所以,所以,所以
所以
所以.综上,,得证.
【例4】（2024届天津市河北区高三质量检测二）已知是等差数列,其前项和为是等比数列,已知,是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记,求证：.
【解析】（1）由题意,
,
又是和的等比中项,得,
又,解得,
；
（2）,设,
则,
将以上两式相减得
,
；
（3）
,
,
.
结论得证.
【例5】如图,已知点列在曲线上,点列在x轴上,,,为等腰直角三角形．
(1)求,,；（直接写出结果）
(2)求数列的通项公式；
(3)设,证明：．
【解析】（1）由为等腰直角三角形,所以直线的直线斜率为1,
故直线的方程为,与抛物线方程联立可得,可解得或,
从而可得,可得的横坐标为1,因为,解得,
由,所以,可得,
可得,解得；
（2）由题意可得,所以,
所以,所以,
所以,
所以是以为首项,为公差的等差数列,
所以,所以,
（3）由（1）可得,
所以,
所以,
,
所以.
1．（2024届新疆喀什地区高三5月适应性检测）已知数列的首项,且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记,求数列的前项和,并证明．
2．（2024届山东省济钢高级中学高三5月适应性考试）已知复数数列的通项公式为（是虚数单位）,为的前项和．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求的通项公式．
3．已知数列满足．
(1)证明是等比数列,并求的通项公式；
(2)证明：
4．已知函数,数列满足正整数
(1)求的最大值；
(2)求证：；
(3)求证：．
5．（2024届天津市南开区高三下学期质量监测二）已知函数,.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：对,恒成立（为的导数）；
(3)设,证明：（）.
6．（2025届江西省多所学校高三第一次大联考）定义：若对于任意,数列满足：①；②,其中的定义域为,则称关于满足性质.
(1)请写出一个定义域为的函数,使得关于满足性质；
(2)设,若关于满足性质,证明：；
(3)设,若关于满足性质,求数列的前项和.
7．（2024届湖南省岳阳市湘阴县第一中学高三下学期期中）设数列的前项和为,且．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列满足,且数列的前项和为,求证：．
8．（2024届陕西省铜川市王益中学高三下学期模拟）不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个,将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验,若两次均摸到彩球,则试验成功并终止试验,否则在袋子中添加一个相同的白球,然后进行下一次试验．
(1)若最多只能进行3次试验,设试验终止时进行的次数为随机变量,求的分布列与数学期望；
(2)若试验可以一直进行下去,第次试验成功的概率记为,求证：．
9．（2024届湖南省娄底市高三下学期高考考前仿真联考）已知等比数列的各项都为正实数,.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,数列的前项和为,证明：.
10．（2024届广西贵港市高考模拟预测）某射击运动员进行射击训练,已知其每次命中目标的概率均为．
(1)若该运动员共射击6次,求其在恰好命中3次的条件下,第3次没有命中的概率；
(2)该运动员射击训练不超过n（）次,当他命中两次时停止射击（射击n次后,若命中的次数不足两次也不再继续）,设随机变量X为该运动员的射击次数,试写出随机变量X的分布列,并证明．
11．（2024届福建省泉州第一中学高三下学期适应性测试）已知有穷正项数列,若将每个项依次围成一圈,满足每一项的平方等于相邻两项平方的乘积,则称该数列可围成一个“HL-Circle”．例如：数列都可围成“HL-Circle”．
(1)设,当时,是否存在使该数列可围成“HL-Circle”,并说明理由：
(2)若的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．
（i）求的取值集合；
（ii）求证：．
12．已知数列中,,设为前项和,,已知数列,设的前项和．
(1)求；
(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围．
13．（2024届河北省邢台市部分高中二模）已知数列的前项和为,且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
14．（2024届江西省宜丰中学高三下学期模拟）设,.
(1)当时,证明：；
(2)证明：.
15．（2024届江苏省扬州中学高三下学期全真模拟）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为：,且满足：,,,…,．注：,,,,…已知在处的阶帕德近似为．
(1)求实数a,b的值；
(2)当时,试比较与的大小,并证明；
(3)已知正项数列满足：,,求证：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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