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《3.2.2频率及其稳定性》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨迪
预备性知识：
问题1：频率与事件发生有什么关系？
问题2：什么是频率的稳定性？
问题3：如何用频率表示事件发生的可能性？
活动1：（基础性目标1）
问题1：当进行足球比赛的时候，裁判会通过掷硬币来决定双方谁先进攻. 那么用掷硬币来解决争端公平吗？
问题2：掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况.你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗
问题3：和同学两人一组做20次掷硬币的游戏，并将记录记载在下表中：
试验总次数
正面朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
正面朝下的频率
问题4：累计全班同学的试验结果， 绘制成折线统计图.
试验总次数
正面朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
正面朝下的频率
活动2：（基础性目标2 ）
问题5：观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？
活动3：（基础性目标2 ）
问题6：下表列出了历史上一些数学家所做的掷硬币试验的数据，表中的数据支持你发现的规律吗？
试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率
布丰 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
总结：
活动4： （拓展性目标3）
问题7：频率能否帮忙判断事件发生的可能性？
问题8：我们通常抛硬币时，会说有50%的概率正面朝上，那什么叫概率呢？
活动5：（拓展性目标4 ）
问题9：事件A发生的概率可以通过什么来估算？
活动6：（挑战性目标5）
问题10：(1)随机事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？
(2)必然事件发生的概率是多少？
(3)不可能事件发生的概率又是多少
活动7：（挑战性目标6）
问题11：请你利用本节知识点创编题目，并与同学分享！
当堂检测
必做题：
1.(基础练习）在一个不透明的盒子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外斗相同.经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则盒子中可能有红球多少个　（ ）
A.2　 B.3 C.4 D.5　
2.(拓展练习) 某射击运动员在同一条件下射击，结果见下表:
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861
集中靶心的频率
(1)请完成上表；
(2)根据上表，刻画出该运动员集中靶心的频率折线统计图；
(3)请估计该运动员射击一次便击中靶心的概率.
3.（挑战练习）下列事件中是必然事件的 ，是随机事件的是 ，是不可能事件的是 .
①内错角相等
②地球围绕太阳转
③太阳从西边升起
④上学路上所有路口都是绿灯
选做题：
1.(基础练习）在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m的值约为（　 　）
A．7 B．3 C．10 D．65
2.(基础练习）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获80条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在2%左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（　 　）
A．2000 B．4000 C．5000 D．8000
3.(拓展练习）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　 　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
课后作业（可根据自身情况选做）
必做题：
1.(基础练习)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法：①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同;②当抛掷的次数n 很大时,正面向上的次数一定为 /2：③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，其中正确的是 （请填写序号）
2.（拓展练习）用频率估计概率，可以发现，拋掷硬币，“正面朝上”的概率为 0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币 10次，下列说法正确的是（ ）
A.每两次必有 1次正面向上 B.可能有5次正面向上
C.必有5次正面向上 D．不可能有10 次正面向上
3.（挑战练习）下列说法中正确的是（ ）
A.小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件
B.确定事件发生的概率是 1
C.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子 600次，点数为1与点数为 6 的频率相同
D.从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校50%的男生引体向上成绩不及格
4.有五个面的石块，每个面上分别标记 1，2，3，4，5，现随机投掷 100 次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记5的面落在地面上的概率是 .
石块的面 1 2 3 4 5
频数 17 28 15 16 24
选做题：
1.(基础练习)一只不透明的袋子中装有3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.7附近摆动，则n的值最可能是（　 　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2.(拓展练习)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900
“射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
3.(挑战练习)下列表述中，正确的是（　 　）
A．“在地面向上抛石子，石子落在地上”是随机事件
B．若彩票的中奖率为10%，则“买100张彩票有10张中奖”是必然事件
C．“从固镇到蚌埠的K371次列车明天准点到达”是随机事件
D．同时掷两枚硬币，朝上面是一正一反的概率为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨迪
预备性知识：
问题1：频率与事件发生有什么关系？
问题2：什么是频率的稳定性？
问题3：如何用频率表示事件发生的可能性？
问题1：频率越大，该事件发生越频繁，这就意味着该事件发生的可能性也越大
频率反映了事件发生的频繁程度
问题2："在试验次数" 很多"时，频率会在一个常数附近" 波动，"即频率具有稳定性."
问题3：在大量重复试验的条件下，频率可以用来近似地表示该事件发生的可能性的大小
活动1：（基础性目标1）
问题1：当进行足球比赛的时候，裁判会通过掷硬币来决定双方谁先进攻. 那么用掷硬币来解决争端公平吗？
公平
问题2：掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况.你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗
相同
问题3：和同学两人一组做20次掷硬币的游戏，并将记录记载在下表中：
试验总次数 20
正面朝上的次数 11
正面朝下的次数 9
正面朝上的频率 0.55
正面朝下的频率 0.45
问题4：累计全班同学的试验结果， 绘制成折线统计图.
试验总次数 20 100 300 600 1000
正面朝上的次数 11 47 158 297 501
正面朝下的次数 9 53 142 303 499
正面朝上的频率 0.55 0.47 0.527 0.495 0.501
正面朝下的频率 0.45 0.53 0.473 0.505 0.499
活动2：（基础性目标2 ）
问题5：观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？
当试验的次数较少时，折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度较大，随着实验的次数的增加，折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度会逐渐变小.当试验次数很多时， 正面朝上的频率和正面朝下的概率都稳定在“ 0.5 水平直线”上.
活动3：（基础性目标2 ）
问题6：下表列出了历史上一些数学家所做的掷硬币试验的数据，表中的数据支持你发现的规律吗？
试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率
布丰 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
支持
总结：一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性.
活动4： （拓展性目标3）
问题7：频率能否帮忙判断事件发生的可能性？
可以，频率反映了该事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，这就意味着该事件发生的可能性也越大.
因而，我们就用这个常数来表示该事件发生的可能性的大小.
问题8：我们通常抛硬币时，会说有50%的概率正面朝上，那什么叫概率呢？
我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率.
总结：我们常用大写字母A，B，C等表示事件，用P(A)表示事件A发生的概率.
例如：在掷质地均匀的硬币的试验中，事件“正面朝上”的频率会在 附近摆动，所以P(正面朝上)= .
活动5：（拓展性目标4 ）
问题9：事件A发生的概率可以通过什么来估算？
用事件A发生的频率来估算.
一般地，在大量重复的试验中，我们可以用事件A发生的频率来估计事件A发生的概率.
活动6：（挑战性目标5）
问题10：(1)随机事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？
(2)必然事件发生的概率是多少？
(3)不可能事件发生的概率又是多少
(1)随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数.
(2)必然事件发生的概率是1.
(3)不可能事件发生的概率是0.
因此，0≤ ( )≤1.
活动7：（挑战性目标6）
问题11：请你利用本节知识点创编题目，并与同学分享！
当堂检测
必做题：
1.(基础练习）在一个不透明的盒子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外斗相同.经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则盒子中可能有红球多少个　（ B ）
A.2　 B.3 C.4 D.5　
2.(拓展练习) 某射击运动员在同一条件下射击，结果见下表:
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861
集中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861
(1)请完成上表；
(2)根据上表，刻画出该运动员集中靶心的频率折线统计图；
(3)请估计该运动员射击一次便击中靶心的概率.
解：(2)如图所示
(3)概率大约是0.861.
3.（挑战练习）下列事件中是必然事件的 ② ，是随机事件的是 ①④ ，是不可能事件的是 ③ .
①内错角相等
②地球围绕太阳转
③太阳从西边升起
④上学路上所有路口都是绿灯
选做题：
1.(基础练习）在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m的值约为（　C　）
A．7 B．3 C．10 D．65
2.(基础练习）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获80条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在2%左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（　B　）
A．2000 B．4000 C．5000 D．8000
3.(拓展练习）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　B　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
课后作业（可根据自身情况选做）
必做题：
1.(基础练习)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法：①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同;②当抛掷的次数n 很大时,正面向上的次数一定为 /2：③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，其中正确的是 ①③ （请填写序号）
2.（拓展练习）用频率估计概率，可以发现，拋掷硬币，“正面朝上”的概率为 0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币 10次，下列说法正确的是（ B ）
A.每两次必有 1次正面向上 B.可能有5次正面向上
C.必有5次正面向上 D．不可能有10 次正面向上
3.（挑战练习）下列说法中正确的是（ A ）
A.小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件
B.确定事件发生的概率是 1
C.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子 600次，点数为1与点数为 6 的频率相同
D.从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校50%的男生引体向上成绩不及格
4.有五个面的石块，每个面上分别标记 1，2，3，4，5，现随机投掷 100 次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记5的面落在地面上的概率是 0.24 .
石块的面 1 2 3 4 5
频数 17 28 15 16 24
选做题：
1.(基础练习)一只不透明的袋子中装有3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.7附近摆动，则n的值最可能是（　D　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2.(拓展练习)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ D ）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900
“射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
3.(挑战练习)下列表述中，正确的是（　C　）
A．“在地面向上抛石子，石子落在地上”是随机事件
B．若彩票的中奖率为10%，则“买100张彩票有10张中奖”是必然事件
C．“从固镇到蚌埠的K371次列车明天准点到达”是随机事件
D．同时掷两枚硬币，朝上面是一正一反的概率为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
原创名校精品资源21世纪教育网独家享有版权，侵权必究

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