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9.8 相似三角形的性质（学案含答案）
列清单·划重点
知识点1 相似三角形的性质一
1.相似三角形的对应角 ，相似三角形的对应边
2.相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于 .
符号语言:如图所示,若△ABC∽△A'B'C',且 AD,AE,AF分别是△ABC 的高、角平分线、中线；A'D',A'E',A'F'分别是△A'B'C'的高、角平分线、中线，
注意
相似三角形性质中的“高、中线、角平分线”必须是对应边上的高、中线、角平分线，一定要讲求对应.这一性质可以用来求线段的比、长度等.
知识点2 相似三角形的性质二
相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 。
符号语言:如图所示,若△ABC∽△A'B'C'且 那么
知识点3 相似多边形的性质
相似多边形除了具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还有如下性质：
(1)相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 .
(2)相似多边形中，对应线段的比等于 .
(3)相似多边形中，连接对角线所得的对应的三角形 ，其相似比等于原相似多边形的
明考点·识方法
考点1 相似三角形的性质
典例1 若两个相似三角形的对应中线之比为2：3，则它们的对应高之比为( )
A.2:3 B.4:9 C.9:4 D.3:2
思路导析 根据相似三角形的性质作答即可.
变式1 某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2：3，面积差为30，则它们的面积和为 ( )
A.74 B.76 C.78 D.81
变式2 两个相似三角形的面积比是 4 ：9，其中一个三角形的周长为36，则另一个三角形的周长是 ( )
A.54 B.16 或81 C.54 或81 D.24或54
变式3 (1)已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为3：2，△ABC 的周长为24,则△DEF 的周长为 ;
(2)两个相似三角形的面积之比是 9 ：25，其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 厘米.
考点2 相似三角形的性质的应用
典例2 如图，有一块三角形余料 ABC,它的边 BC=18 cm,高AD=12 cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件 EFGH，要求一条长边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB，AC上,求矩形 EFGH 的周长.
思路导析 直接利用相似三角形的判定与性质得出 进而得出 EH，EF 的长，即可得出答案.
变式 如图，有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC=12cm，高AD=8cm ,矩形 EFGH 的边 EF 在 BC边上,点 G,H 分别在边AC,AB上.
(1)若EF=HE,求 EF的长;
(2)问 EF长为多少时,矩形 EFGH 的面积是三角形ABC 的面积的
当堂测·夯基础
1.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为 ( )
A.5 B.6 C. D.
2.如图，某校宣传栏(DE)后面2m 处种了一排树，每隔 2m 种一棵，共种了 6 棵.小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3m 处，正好看到两端的树干，其余4棵树均被挡住，则宣传栏长 米.
第2题图 第3题图
3.如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O,且△AOB 与△DOC 的面积比是 1 : 4,若 AB=6,则 CD 的长为
4.两个多边形相似，面积的比是1：2.一个多边形的周长为16，则另一个多边形的周长为 。
5.如图，一块三角形余料ABC,它的边 BC=80 cm,高AD=60 cm.现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件 EFGH 和FGMN，求正方形的边长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 1.相等 成比例 2.相似比
知识点2 相似比 相似比的平方 k k
知识点3 (1)相似比 相似比的平方 (2)相似比 (3)相似 相似比
【明考点·识方法】
典例1 A
变式1 C 变式2 D 变式3 (1)16 (2)3
典例2 解:∵矩形 EFGH中,EH∥FG,EH=GF,∴△AEH∽△ABC,
又∵AD⊥BC,∴AM⊥EH,
设 EH = 3x,则 MD = EF = 2x,AM =12-2x,解得x=3,
∴EH=3x=9,EF=2x=6,∴矩形 EFGH 的周长为 2×(9+6)=30(cm).
变式 解:(1)设 HE 的长为 y cm,EF 的长为x cm.
∵BC=12cm,高AD=8cm,四边形EFGH是矩形，∴AK=AD-y=(8-y) cm,HG=EF=xcm,
∵HG∥BC,∴△AHG∽△ABC,即
又∵x=y,∴8x=96-12x,∴x=4.8cm,即EF=4.8cm;
(2)∵由(1)可知,
∵矩形 EFGH 的面积是三角形ABC 的面积的
即 解得
∴当EF长为( 或( 时，矩形 EFGH 的面积是三角形ABC 的面积的
【当堂测·夯基础】
1. C 2.6 3.12 4.8或16
5.解：设正方形零件的边长为acm，在正方形 EFGH中,HM∥BC,∴△AHM∽△ABC,
∵AD是高,即 ∴a=24,
答：正方形的边长为24 cm.
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