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2025年数学中考复习
2.6 一元二次方程及其应用
基础知识
项目二 方程(组)与不等式(组)
考 点 要 求
壹
1.从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,列一元二次方程解决问题.
2.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根及两个实数根是否相等.
4.了解一元二次方程的根与系数的关系.
5.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性.
核 心 知 识 点
贰
一元二次方程
只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程.
知识点1 一元二次方程的概念
知识点2 一元二次方程的一般形式
一般形式 ax +bx+c=0(其中a,b,c为常数，a≠0,ax 为二次项，bx为一次项，c为常数项).
知识点3 一元二次方程根与系数的关系
根的判别式△ 运用根的判别式△=b —4ac,不解方程就可以判定一元二次方程的根的情况.
根的判别式△ △>0 方程有两个不相等的实数根；
△=0 方程有两个相等的实数根；
△<0 方程没有实数根.
知识点4 一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系 一元二次方程a +b+c=0(a≠0)的两个根是 ,
那么 + =- ， =
知识点5 一元二次方程的解法
直接开平方法（适用情况及解题步骤）
(1)当方程缺少一次项时,即方程形如(≠0,<0);
(2)形如=(≥0)的方程.
公式法（适用情况及解题步骤）
适用所有一元二次方程,解题步骤如下:
(1)将方程化为0(≠0)的形式(方程右边一定要化为0);
(2)确定,,的值(注意符号);
(3)求出Δ4的值;
(4)若Δ≥0,则代入求根公式 得出,;若Δ0,则方程无实数根.
配方法（适用情况及解题步骤）
适用所有一元二次方程,解题步骤如下:
(1)把常数项移到方程的右边(注意要变号);
(2)若二次项系数不为1,先把系数化为1,再配方;
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(4)把方程左边写成完全平方的形式;
(5)用直接开平方法解方程.
因式分解法（适用情况及解题步骤）
(1)当方程缺少常数项时,即方程0(≠0);
(2)当方程一边为0,另一边可化为两个一次因式的乘积时,即方程()()
知识点6 一元二次方程的实际应用
主要类型
(1)平均增长率(下降率)问题:[为平均增长率(下降率),2为增长(下降)次数,为原来的量,为变化后的量];
(2)图形面积问题,解决此类问题应注意解出来的是否符合题意;
(3)循环赛制问题:①单循环淘汰赛(握手)问题:设支队伍共进行了 场比赛,则;②互赠照片问题:全班人,每人向其他人赠送一张,共赠送张,则(1);
(4)商品销售问题:
①利润=售价-成本
②总利润=每件利润×销售量,
③利润率 = (售价 - 进价)÷ 进价 ×100%.
考 点 攻 坚
叁
(2024·河南)关于的一元二次方程有两个实数根,则的取值范围是( )
考点1 一元二次方程根的判别式
例1
【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程的根的判别式 的意义得到且,即,然后解不等式组即可得到的取值范围,故选D.
解方程：
（1）
（2）
例2
考点2 一元二次方程的解法
【解析】(1)解：
(2)解：，，
(2024·山西)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别约为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为,依题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
例3
考点3 一元二次方程的实际应用
【解析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为,根据题意得，.故选B.
专 项 训 练
肆
提分训练
1.(2024·鸡西)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是和.则原来的方程是( )
B
2.(2024·黑龙江)等腰三角形的两边长分别是方程的两个根,则这个三角形的周长为(C )
A.17或13 B.13或21
C.17 D.13
3.(2022·泉州)如图所示,在等腰直角中,点上,以点为圆心、为半径作圆弧交,连接,已知阴影部分面积为的长度为(C)
A . B. 2 C.2 D.3
4.某年级举办篮球友谊赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共要比赛36场,则参加此次比赛的球队数是( )
D
A.6 B.7 C.8 D.9
5.(2022·滁州)某网店销售运动鞋,若每双盈利40元,则每天可以销售20双,该网店决定适当降价促销。经调查得知,每双运动鞋每降价1元,每天可多销售2双,若想每天盈利1200元,并尽可能让利于顾客,赢得市场,则每双运动鞋应降价(B)
A.10元或20元 B.20元
C.5元 D.5元或10元
6.(2022·江西)已知为方程的根,那么的值为( B)
A.2022
B.0
C.2022
D.4044
7.(2023·芜湖)《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何 ”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少(如图) 答：门高、宽和对角线的长分别是 尺.
8,6,10
8.(2023·广西)设,是方程23的两个实数根,则的值为 .
10
9.解下列方程:
答案：
提升训练
10.(2022·太原)如图所示,一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……,第行有个点……,前行的点数和不能是以下哪个结果(B)
课 堂 练 习
伍
1.(2023·张家界)等腰三角形的两边长分别是方程的两个根,则这个三角形的周长为(C)
A.17或13 B.13或21
C.17 D.13
2.(2024·天水)关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则(D)
A.-9 B.4
C.-1 D.1
3.(2023·广州)两年前生产1克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为,根据题意,下列方程正确的是( )
B
A.80(1—x )=60
B.80(1—x) =60
C.80(1-x)=60
D.80(1-2x)=60
4.(2023·深圳)方程的根是 .
5.(2023·南通)若,是一元二次方程的两个实数根,则的值为 .
3
6.(2024·南京)已知关于的一元二次方程有一个根为,则 .
7.(2024·遵义)已知方程的两根分别为,,则的值为 .
-1
8.(2023·河南)设与为一元二次方程的两根，则元二次方程的值为 20 .
9.如图所示,小明同学用一张长11cm,宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21的无盖长方体纸盒.
他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形,将四周向上折叠即可完成(损耗不计).设剪去的正方形边长为cm,则可列出关于的方程为 .
10.解方程：(1)
(2)
答案：（1）（2）
（3）（4）
(3)
(4)
11.(2024·洛阳)已知,是关于的方程的两实数根,且,求的值.
答案：
12.(2024·成都)已知,是关于的方程的两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围.
(2)若,且,,都是整数,求的值.
12.解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△>0
∴△=(-2k) -4×1×(k -k+1)=4k -4k +4k-4=4k-4>0,解得k>1.
(2).∵1∴整数k的值为2,3,4
当k=2时，方程为 -4+3=0,解得=1=3,
当k=3或4时，此时方程解不为整数。
综上所述，k的值为2.
13.(2023·枣阳)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈,并在边上留一个2m宽的门(建在处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m 的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650m 吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
13.解：(1)设矩形的边m,则边m.
根据题意，得,化简，得,解
得当时，;当时，
答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m时，能围成一个面积为644m 的羊圈；
(2)答：不能，理由：由题意，得,化简，得,,∴一元二次方程没有实数根.∴羊圈的面积不能达到650m .
答案

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