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2025年数学中考复习
2.5 一次方程(组)及其应用
基础知识
项目二 方程(组)与不等式(组)
考 点 要 求
壹
1.知道数学建模是数学与现实联系的基本途径;初步感知数学建模的基本过程,从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程(组)表示数学问题中的数量关系,求出结果并讨论结果的意义.
2.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义,经历估计方程解的过程.
3.掌握等式的基本性质;能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程.
4.掌握消元法,能解二元一次方程组.
5.能解简单的三元一次方程.
核 心 知 识 点
贰
方程
含有未知数的等式叫作方程.
方程的解
能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解.只含有一个未知数的方程的解,也叫作方程的根.
解方程
求方程的解或说明方程无解的过程叫作解方程.
知识点1 方程的概念
性质1 若a=b,则a=b(用于解方程中的移项),
性质2 若a=b,则a=b (用于解方程中的去分母)，a=b(a≠0)(用于解方程中的系数化为1).
知识点2 等式的性质
知识点3 解一元一次方程
步骤 去分母 去括号 移项 合并同 类项 系数化为1
注意 事项 不要漏乘 的项(尤其是常数项),分子是多项式时注意添 . 方程中有括号时,先去括号,若括号前是负号,去括号后,括号内各项均要 . 移项要 . 把方程化成的形式. 等号两边同
.
不含分母
括号
变号
变号
除以未知数的系数.
知识点4 二元一次方程组的解法(消元思想)
代入消元法
当方程组中有一个方程的未知数的系数是 ,或有一个未知数是由另一个未知数的代数式表示时,选择代入消元法较简单.
加减消元法
当方程组中同一未知数的系数 时,选择加减消元法较简单.
1或-1
相反、相等或成倍数关系
知识点5 一次方程(组)的应用
题型
(1)和、差、倍、分问题;(2)等积变形问题;(3)工程问题;
(4)行程问题;(5)商品销售问题;(6)数字问题;(7)劳力调配问题.
步骤
(1)审题,理解题意,弄清问题中的已知量和未知量,以及给出和涉及的相等关系;
(2)设元(未知数),未知数有直接未知数和间接未知数,往往二者兼用,一般来说未知数越多,方程越易列,但越难解;
(3)用含未知数的代数式表示相关的量;
(4)寻找相等关系(有的题目中已给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程,一般来说未知数个数与方程个数相同;
(5)解方程及检验;
(6)作答.
综上所述,列方程(组)解应用题的实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),再借由数学问题的解决而使得实际问题得以解决[解方程(组)写出答案].
(1)售价=标价×折扣
(2)利润=售价-进价,利润率=利润进价×100%
(3)总利润=单件利润×数量
(4)路程=速度×时间
常用等量关系
考 点 攻 坚
叁
考点1 方程(组)的概念
（2024·苏州）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
例1
【解析】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程.把代入再进行求解即可.得，解得.故选A.
A.3 B.-3 C.7 D-7
考点2 等式的性质
(2024·西宁)根据等式的性质,下列各式变形正确的是( )
例2
【解析】若,则,故A选项符合题意;若(≠0),则,故B选项不符合题意;若,则±,故C选项不符合题意;6,则18,故D选项不符合题意.故选A.
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.6,则18
考点3 解一元一次方程
（2024·嘉兴）解方程：
例3
【解析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可．
去分母，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：．
考点4 二元一次方程组的解法
【解析】解：
得：,
解得：,把代入,得：.
∴方程组的解为
(2023·大理)解方程组:
例4
(2024·黑龙江)《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著,其中“盈不足术”记载:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.问人数、金价各几何 译文:今有人合伙买金,每人出400钱,剩余3400钱;每人出300钱,剩余100钱.问合伙人数和金价各是多少 请解答这个问题.
例5
考点5 一次方程(组)的应用
【解析】
设合伙人数为人,根据每人出400钱,剩余3400钱,每人出300钱,剩余100钱,列一元一次方程,解得的值,可得合伙人数和金价各是多少
解:设合伙人数为人,
由题意得,,
解得:,
∴(钱),
答:合伙人数为33人,金价为 9800钱.
专 项 训 练
肆
达标训练
1. 已知是二元一次方程组的解,则的值为( )
A. B.1 C.2 D.3
A
2.(2024·云南)《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱.第三年5亩1钱.三年共得100钱.问:出租的田有多少亩 设出租的田有亩,可列方程为( )
B
3.(2024·桂林).
解:
.
4.解方程组:
答案：
提升训练
6.阅读与思考：
定义：若，则称与是关于1的平衡数．
任务一：（1）3与______是关于1的平衡数，与______（用含的整式表示）是关于1的平衡数；
任务二：（2）若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
(2)与是关于1的平衡数.理由如下：
，
，
答案：
课 堂 练 习
伍
1.(2022·太原)下列属于方程的是(A )
A.2x=3 B.2x>-1
C.1-3=—2 D.7y-1
2.(2024·武汉)若是方程的解,则的值为(B )
A.1 B.-1
C.0 D.-2
3.(2023·郴州)下列等式变形错误的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
4.(2024·福州)《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数,的系数与相应的常数项,如:
即可表示方程,则 表示的方程为( )
B
A.+3y=13 B.3+y=41
C.2十3y=23 D.3+y=31
5.(2023·杭州)我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问人与车各几何 其大意是:每车坐3人,两车空出来;每车坐2人,多出9人无车坐.问人数和车数各多少 设车x辆,根据题意,可列出的方程是(B )
A.3—2=2+9
B.3(—2)=2+9
D. 3(-2)=2(+9)
+2= -9
C.
6.(2023·哈尔滨)端午节前夕,某食品加工厂准备将生产的粽子装入A,B两种食品盒中,A种食品盒每盒装8个粽子,B种食品盒每盒装10个粽子,若现将200个粽子分别装入A,B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满),则不同的分装方式有(C)
A.2种 B.3种
C.4种 D.5种
7.(2024·成都)已知是方程的解,则代数式的值为 .
1
8.(2022·湖南)如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”.如图所示，“优美矩形”的周长为26,则正方形的边长为 .
9.解方程组:
②
答案：
解得=-6，把=-6 代入得=1
则方程组的解为
10.解一元一次方程：
解：
3()62(3)
33626
32636
3.
11.(2023·陕西)在伦敦奥运会举办前夕,国家足球协会举办了一次足球热身赛,其计分规则及奖励方案(每人)如下表所示:
当比赛进行到每队各比赛12场时,A队(11名队员)共积20分,并且没有负一场.
(1)试判断A队胜、平各几场
(2)若每赛一场每名队员均得出场费500元,那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少
答案：
11.解：(1)设A队胜利场，
∵一共打了12场，∴平了12-场，
∴(12-)=20 解得=4
∴12一=8
∴A队胜4场，平8场；
(2)∵每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元，赢了4场，奖金为1500X4=6000元，平了8场，奖金为700×8=5600元，
∴奖金加出场费一共17600元；
答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元。
12.某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地.每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如下表所示：
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有辆，这20辆货车的总运费为元.
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆
(2)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围；
(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费的最小值.
12.解：(1)设大货车、小货车各有m与n辆，由题意可知
解得
∴大小货车各有12辆、8辆。
(2)运往A地的物资共有[15+10(10—)]吨，
∵15+10(10-)≥140,解得≥8,∴8≤≤10。
∵为整数，
∴当=8时，有最小值，此时=100×8+15600=16400(元),
∴总运费最小值为16400元。
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