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第八章 实数
8.3 实数及其简单运算
课时2 实数的性质及运算
目
录
1. 学习目标
4. 知识点1 实数的性质
7. 课堂小结
8. 当堂小练
CONTENTS
2. 知识回顾
5. 知识点2 实数的运算
10. 拓展与延伸
9. 对接中考
3. 新课导入
6. 知识点3 实数的应用
1.能求实数的相反数与绝对值.
2.能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.
学习目标
知识回顾
有理数关于相反数和绝对值的意义是什么？
只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数.
数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，用 |a| 表示.
新课导入
把有理数扩充到实数之后，有理数关于相反数和绝对值的意义，大小比较以及运算法则和运算律等同样适合于实数，这节课我们就来学习这些内容.
新课讲解
知识点1 实数的性质
【思考】
(1) 的相反数是_____，π 的相反数是_____，0 的相反数是____；
(2)| | =____，|π| =____，| 0 | =____.
π
0
π
0
新课讲解
数a的相反数是-a.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即设a表示任意一个实数，则
|a|=
新课讲解
实数的常用性质：
名称 性质
相反数 若 a 与 b 互为相反数，则 a+b=0
倒数 若 a 与 b 互为倒数，则 ab=1
绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|
平方根 非负数都有平方根
立方根 任意实数都有立方根
新课讲解
例
1. (1)分别写出 ，的相反数；
(2)指出，分别是什么数的相反数；
(3) 求的绝对值；
(4) 已知一个数的绝对值是，求这个数.
解：(1)因为 （ ）= ， -（π - 3.14）= 3.14 - π，
所以，π - 3.14 的相反数分别为，3.14 - π.
(2)因为
所以, ,分别是, 的相反数.
(3)因为，
(4)因为所以绝对值为 的数是或.
新课讲解
练一练
1. 求下列各数的相反数与绝对值：
2.5，， ，，0.
解：2.5的相反数是－2.5，绝对值是2.5；
的相反数是，绝对值是；
的相反数是，绝对值是；
的相反数是，绝对值是；
0的相反数是0，绝对值是0.
新课讲解
练一练
2. 求下列各式中的实数x：
(1) |x|＝； (2) |x|＝0； (3) |x|＝； (4) |x|＝π .
解：(1)x＝ ；
(2)x＝0；
(3)x＝ ；
(4)x＝±π.
新课讲解
知识点2 实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．
新课讲解
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
1.加法交换律 a＋b＝b＋a
2.乘法交换律 a×b＝b×a
3.加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
4.乘法结合律 (a×b)×c＝a×(b×c)
5.分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
运算级别 第一级 第二级 第三级
运算名称 加 减 乘 除 乘方 开方
运算结果 和 差 积 商 幂 方根
新课讲解
有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到：
一“看”——看算式的结构特点，能否运用运算律或公式；
二“用”——运用运算律或公式；
三“查”——检查过程和结果是否正确．
计算结果中若包含开方开不尽的数，则保留根号，结果要化为最简形式．
； ； ；
实数的减法运算规定为a-b = a+ (-b)；
对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b = b·a =1，我们把b叫做a的倒数；
实数的除法运算(除数)，规定为a÷b = a · ；
实数有一条重要性质：如果a ≠ 0，b ≠ 0，那么ab ≠ 0.
新课讲解
例
2. 计算下列各式的值：
解：
新课讲解
例
3. 计算(结果保留小数点后两位)：
(1) - ； (2)π·.
解：(1) - ≈2.236-2.646=-0.41；
(2)π·≈ 3.142×1.442≈4.53.
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.
新课讲解
练一练
1. 计算：(1) ；
(2) ；
(3) (精确到0.01) .
解：(1)
=
=
= .
(2)
=
= .
(3)
≈2.236+1.710-5.021
=-1.075
≈-1.08.
新课讲解
练一练
2. 计算：(1) (-)2 +()3++ ；
(2)+(结果保留小数点后两位).
解：(1) (-)2 +()3++
= 3+(-3)+2+(-2)
= 0；
(2)方法一 +≈1.414+2.646 =4.06.
方法二(去尾法) +≈1.414+2.645=4.059≈4.06.
新课讲解
知识点3 实数的应用
例
4. 要生产一种容积为 36π L 的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米？（球的体积公式是V= πR3，其中 R 是球的半径）
解：由V= πR3 得，36π = πR3，
∴R3 = 27,
∴R = 3(dm).
答：这种球形容器的半径是 3 dm.
新课讲解
5. 规定运算：(a*b) =|a-b|，其中 a， b 为实数，则( *3) + = _____.
解： ( *3) + =| -3|+ =3- + =3.
3
方法点拨：1. 读懂新运算规则，注意其中的限制条件 .
2. 按照规则将新运算转化为常规运算后，按照运算顺序求出结果.
例
新课讲解
1. 如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间 t (单位：s) 与细线的长度 l (单位：m)之间满足关系式 t =2 . 当细线的长度为 0.5 m 时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少( π ≈ 3.14， ≈ 0.22 结果保留小数点后一位)？
解：当 l = 0.5 时，
答：小重物来回摆动一次所用的时间是 1.4 s
t =2 = 2 ≈ 2×3.14×
≈ 2×3.14×0.22 =1.3816 ≈1.4（s）
练一练
新课讲解
2. 有一个数值转换器，其原理如图所示，当 输 入 的 x 为 256 时，输 出 的 y是______ .
练一练
课堂小结
实数
加、减、乘、除、乘方、开方
有理数关于相反数、绝对值的意义同样适用于实数
运算
应用
性质
有理数的运算法则、运算性质在实数范围内仍然适用
解决实际问题
当堂小练
1. －｜ － ｜的值为( )
A. B. － C. ± D. 2
B
2. 的相反数是 ，绝对值是 .
绝对值等于其相反数
当堂小练
3. 求下列各数的相反数、绝对值
(1)； (2)； (3)； (4).　
解：(1)相反数：－，绝对值：，
(2)相反数：3，绝对值：3，
(3)相反数：－，绝对值：，
(4)相反数：－0.6，绝对值：0.6.
当堂小练
4. 下列各数中，互为相反数的是 ( )
A. 3 与 B. 2 与 ( 2 ) 2
C. ( 1 )2 与 D. 5 与 | 5 |
C
5. | 3 | | 2 |的值是( )
C
A. 5 B. 1 C. 52 D.2 5
解：原式 ( 2 ) =
当堂小练
6. 若 a2 = 25，|b|=3，则 a + b 的所有可能值为（ ）
D
A.8 B.8或2 C.8或-2 D.±8或±2
当堂小练
7. 实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是 .
-2a-b
b<0|b|>|a|
a+b<0
-a-b-a
-2a-b
当堂小练
8. 计算：
(1) |－ |+| －2|；
(2)( ) 2－ +4× .
当堂小练
9. 若实数 a， b 满足a+b=6，我们就说 a 与 b 是关于 6 的“如意数”，则与 3- 是关于 6 的“如意数”是（　　）
A.3+ B.3- C.9- D.9+
10. 写出一个比 大且比 小的整数： _______________.
A
2(答案不唯一)　
当堂小练
11. 计算： +(－1)2024=________ .
12. 在数轴上表示－ 的点与表示 3 的点之间的距离是 ________.
13. 的小数部分可以表示为 ________.
3
当堂小练
14. 若实数 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 是 9 的平方根.
求 + +.
当 m = 3 时，原式 = 0 + 1 + (3 - 1)2 = 1 + 4 = 5；
当 m = -3 时，原式 = 0 + 1 + (-3 - 1)2 = 1 + 16 = 17.
解析：由已知得 a + b = 0，cd = 1，m = ±3.
当堂小练
15. 已知实数a，b，c的位置如图所示，请回答下列问题：
①若a＝－，b＝－1，｜a－b｜＝c，求a2＋｜b｜－c0的值；
②化简｜a＋c｜＋－.
解：①∵ a＝－，b＝－1，｜a－b｜＝c，
∴ c＝｜－－(－1)｜＝－1，
∴ a2＋｜b｜－c0＝(－)2＋｜－1｜－(－1)0
＝2＋1－1＝2.
②由数轴可知，a＜b＜0＜c，
∴ a＋c＜0，b－c＜0，
∴｜a＋c｜＋ －
＝－(a＋c)＋c－b－(－b)
＝－a.
当堂小练
16. 学校原有一个面积为 100 m2 的圆形花坛，现将花坛的半径增加 2 m，重建一个新花坛.求新建花坛的周长.
解：设原有花坛的半径为 r m，根据题意得 πr2=100，
∴ r2= .∵ r>0，∴ r =，
∴ 新建花坛的半径为() m，
∴ 新建花坛的周长为(2π4π) m.
对接中考
1. － 的相反数是( )
A. － B. － C. ± D.
D
2. 3 － =________ .
0
解：原式 =3-3=0.
对接中考
3. 如图 ，数轴上表示 的点是（ ）
A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D
C
解：∵ ＜ ＜ ，
∴ 1 ＜ ＜ 2.
由数轴可知，只有点 C 表示的数在1 和 2 之间 .
对接中考
4. 在 0， －2， － ， π四个数中，最大的数是（　　）
A.－2 B.0 C.π D.－
C
解：∵ － 2 ＜ － ＜ 0 ＜ π ，
∴ 最大的数为 π .
拓展与延伸
1. 已知 ，，， .
(1)请化简 a，b，c，d 这四个数；
(2)根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和 m” 与“无理数的和 n”，并比较 m，n 的大小.
解：(1) ，
，
，
.
(2) ，
，
，
∴ n > m.
拓展与延伸
2. 大家知道 是无理数，且整数部分是 1，将 减去其整数部分，差就是其小数部分，即： 的小数部分用 -1 来表示 . 请解答：
(1)如 果 的 小 数 部 分 为 a， 的 整 数 部 分 是 b，求ab- 的值；
(2)已知：10+ =x+y，其中 x 是整数部分， y 是小数部分，且 0 ＜ y ＜ 1，求 x-y 的相反数 .
方法点拨：判断无理数的整数部分和小数部分的关键是正确利用“夹逼法”判断出其整数部分：与其最接近的两个整数中较小的那个整数 .
解：(1) ∵ 2 ＜ ＜ 3， ∴ 的小数部分 a= -2. ∵ 4 ＜ ＜ 5， ∴ 的整数部分 b=4.
∴ ab- =（ -2） × 4- =4 -8- =3 -8.
(2) ∵ 1 ＜ ＜ 2， ∴ 11 ＜ 10+ ＜ 12.
∵ x 为 10+ 的整数部分， y 为 10+ 的小数部分，∴ x=11， y=10+ -11= -1，
∴ x-y=11-( -1)=11- +1=12- ，∴ x-y 的相反数是 -12.
拓展与延伸
3. 如图，一只蚂蚁从点 A 沿数 轴 向 右 爬 了 2 个 单 位 长 度 到 达 点B，点 A 表 示 － ，设 点 B 所 表 示 的数为 m. 求 |m+1|+|m－1| 的值 .

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