资源简介

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分课时教学设计
第八课时《第八章 实数 章末复习》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本章学方根和立方根，并通过开平方、开立方运算认识了一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围从有理数扩充到实数．随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展．在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对０和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算，学生的运算能力也得到了提升． 在本章中，类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念以及实数的运算和运算律；类比用数轴上的点表示有理数，用数轴上的点表示无理数．学习时应注意体会“类比”这种思想方法的作用．由于实数与数轴上的点是一一对应的，所以可以利用数轴将数与形联系起来，借助几何直观理解实数的有关概念及运算．
学习者分析 学生在学习实数相关知识前，已具备一定的知识储备和能力基础。知识储备上，他们掌握有理数的概念、运算及数轴表示，熟悉平方、立方运算及简单代数式变形。能力方面，具备初步的类比迁移能力，例如能从有理数到实数进行扩展，也能用数轴解决有理数的大小比较问题。然而，在后续学习中，存在一些学习困难需要预判。认知障碍上，学生易对无理数的存在性感到困惑，且会混淆平方根与立方根的符号特征，比如不清楚负数没有平方根但有立方根。运算易错点集中在忽略算术平方根的非负性，以及在实数混合运算中出现符号处理错误。针对这些情况，教师可采取相应教学策略。可通过直观化解抽象的方式，并结合数轴作图强化学生的几何理解。采用对比强化记忆的方法，列表对比平方根与立方根的性质，包括被开方数范围、结果的符号等。还可进行分层练习设计，设置基础题用于概念辨析，提升题进行混合运算训练，探究题开展能力提升练习 。
教学目标 1．了解算术平方根、平方根和立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根。 3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化。 4．能用有理数估计一个无理数的大致范围，累积一些数学思想方法。
教学重点 平方根、立方根的计算，实数运算，估计无理数的取值范围。
教学难点 平方根、立方根的计算，实数运算，估计无理数的取值范围。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．了解算术平方根、平方根和立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根。 3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化。 4．能用有理数估计一个无理数的大致范围，累积一些数学思想方法。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．什么是平方根？什么样的数有平方根？ 预设：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根. 即：x2＝a，那么x叫做a的平方根或二次方根。 记作： 非负数有平方根，即： 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0； 负数没有平方根. 注意：任何一个数的平方都是非负数，所以负数没有平方根. 2．什么是算术平方根？平方根与算术平方根有什么联系和区别？ 预设：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根。 正数a的算术平方根用来表示． 规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为 注意：非负数a的算术平方根 具有双重非负性： (1) 被开方数 a 是非负数；( a ≥ 0 ) (2) 非负数 a 的算术平方根是非负数.( ≥ 0 ) 联系：算术平方根是平方根的非负部分。 区别：平方根包含正负两值，算术平方根仅取非负值，且符号表示不同。 关键点：在数学问题中，需根据题意判断是求平方根（±结果）还是算术平方根（仅正数）。 3．什么是立方根？任何实数都有立方根吗？ 预设：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 即：x3＝a，那么x叫做a的立方根或三次方根。 记作： 任何实数都有立方根，即： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 4．开平方与平方有怎样的关系？开立方与立方呢？ 预设：互逆运算，互逆运算 5．什么是无理数？无理数与有理数有什么区别？举例说明，怎样用有理数估计一个开方开不尽的数的范围． 预设：无限不循环小数又叫作无理数． 有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 有理数可以写成两个整数之比（分数）的数； 无理数是不能写成两个整数之比（分数）的数 例如：用有理数估计的范围 步骤一：确定相邻的两个完全平方数 找到与被开方数5相邻的两个完全平方数，因为4<5<9，而4= 2 ，9= 3 。 步骤二：确定的整数部分范围 所以< < ，即2<<3，这就确定了5的整数部分是2. 步骤三：进一步精确范围 为了更精确地估计的范围，我们可以计算2.32=5.29，因为5<5.29，所以< 2.3. 再计算2.2 = 4.84，由于4.84<5，所以2.2< ，所以2.2< < 2.3。 6．实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有怎样的对应关系？ 预设： 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．因此实数与数轴上的点是一一对应的. 7．数的范围是如何从正整数逐步扩充到实数的？随着数的范围的不断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？ 预设：数的产生和发展离不开生活和生产的需要 实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．同级运算从左到右依次进行，有括号的要先算括号里面的． 加法与乘法的运算律始终保持不变 加法交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：(ab)c＝a(bc) 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点一：平方根、立方根、算术平方根的意义 技巧：求一个数的平（立）方根，一般分为两步： （1）对待求数进行整理，确定被开方数； （2）确定哪个数的平（立）方等于这个数，如果能找到那个数，就直接写出平（立）方根；如果找不到那个数，就用根号表示平（立）方根． 例1：下列说法中错误的是（　　）． A．0 没有平方根 B．的算术平方根是 C．任何实数都有立方根 D．(－11)2的平方根是±11　 答案：A 考点二：实数的分类 技巧：解决实数分类问题时应注意以下三点： （1）0 既不是正实数也不是负实数． （2）对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，再根据它的最终结果进行分类．不要看到带根号的数，就认为它是无理数． （3）π 是无理数，所以一般含有 π 的数也是无理数． 例2：把下列各数填入相应的集合内． －7，0.32，，，0，，，0.010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），，． （1）有理数集合：{ …}； （2）无理数集合：{ …}； （3）正实数集合：{ …}； （4）实数集合：{ …}； 答案：－7，0.32，，，0， ,,0.010 010 001…（相邻两个1之间依次多1个0）,,, 0.32,,,,,0.010 010 001…(相邻两个1之间依次多1个0),, －7,0.32,,,0,,,0.010 010 001…(相邻两个1之间依次多1个0),,, 考点三：数轴与实数的大小比较 技巧：1.实数与数轴上的点是一一对应的关系． 2.数轴上表示正实数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负实数 （＞0）的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度． 3.对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 例3：实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，若－a＜c＜b，则实数 c 的值可能是（　　）． A．　B．0　　　C．1　　　D． 　　 答案：D 考点四：实数的性质与运算 技巧：与实数有关的常用性质 （1）a与b互为倒数，即：ab＝1．0没有倒数． （2）数 a 的相反数是－a，这里 a 表示任意一个实数． （3）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． （4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a|． 例4：计算． 解： ＝3 (2＋ )＋(4 ) 3 ＝3 2 ＋2 3 ＝(3 2＋2 3) () ＝ 学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对应用平方根、立方根、算术平方根、实数分类、实数与数轴、实数的性质与运算等知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系。
板书设计 课题：第八章 实数 章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1.平方根、立方根、算术平方根的意义 2.实数的分类 3.数轴与实数的大小比较 4.实数的性质与运算教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列实数中，无理数是（　　）． A． B．π＋5 C．0 D． 答案：B 2．下列四种说法： ①负数的平方根仍是负数； ②1的平方根与立方根都是1； ③4的平方根的立方根是； ④互为相反数的两个数的立方根仍互为相反数． 其中正确说法的个数是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 3．计算下列各题： （1）|1－|＋|－|＋|－2|＋|2－|； （2）×＋×－； 解：（1）|1－|＋|－|＋|－2|＋|2－| ＝－(1－)－(－)－(－2)－(2－) ＝－1＋－＋－＋2－2＋ ＝－1＋． （2）×＋×－ ＝－8×4＋(－4)×－3 ＝－32－1－3 ＝－36． 选做题： 4．若x，y为实数，且|x＋3|＋＝0，则的值为（　　） A．1 B．2 025 C．－1 D．－2 025 答案：C 【综合拓展类练习】 5．已知＝0，求实数a，b的值，并求出的整数部分和小数部分． 解：因为＝0， 所以＝0， 且≠0． 因为≠0， 所以a≠－7． 因为＝0， 且≥0，|－49|≥0， 所以＝0，|－49|＝0． 所以3a－b＝0，－49＝0． 因为－49＝0，a≠－7， 所以a＝7． 又因为3a－b＝0， 所以b＝21． 因为16＜21＜25， 所以4＜＜5． 所以的整数部分是4． 所以小数部分是－4．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．的平方根是（　　）． A．2 B． C．－2 D．± 答案：D 2．将下列各数填入相应的集合内． －7，0.32，，0，，－，，π，0.404 004 000 4…（相邻的两个4之间依次多一个0）． 有理数集合:{ 　…}; 无理数集合:{ 　　…}; 负实数集合:{ 　　　…}. 答案：－7，0.32，，0，， ，－，π，0.404 004 000 4…（相邻的两个4之间依次多一个0）， －7，－， 3．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为－512时，输出的y的值为（　　）． A．－2 B．－ C．－ D．－ 答案：D 选做题： 4．求下列各式中x的值： （1）4－25＝0； （2）8＝－． 解：（1）因为4－25＝0， 所以4＝25． 所以＝． 所以x＝±． （2）因为8＝－， 所以＝－． 所以x－2＝－． 所以x＝． 【综合拓展类作业】 5．先观察下列等式，再回答下面的问题： ①＝1＋－＝； ②＝1＋－＝； ③＝1＋－＝． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式中反映的规律，直接写出用n（n为正整数）的式子表示的等式． 解：（1）＝1＋－＝． 验证： ＝ ＝ ＝＝； （2）＝1＋－＝1＋（n为正整数）．
教学反思 在教学过程中，采用思维导图和问题串的方式帮助学生梳理知识框架，构建起完整的知识体系，效果显著。通过典型例题的探究和课堂练习，大部分学生对基础知识的掌握较好，能够运用所学定理解决简单的几何证明和计算问题，在小组讨论探究中也激发了学生的学习积极性，促进了学生之间的思维碰撞。
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第八章 实数
第八章 实数 章末复习
1．了解算术平方根、平方根和立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根。
3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化。
4．能用有理数估计一个无理数的大致范围，累积一些数学思想方法。
乘
方
开
方
开平方
开立方
平方根
立方根
算术平方根
实数
实数的有关概念
实数的运算
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．什么是平方根？什么样的数有平方根？
2．什么是算术平方根？平方根与算术平方根有什么联系和区别？
3．什么是立方根？任何实数都有立方根吗？
4．开平方与平方有怎样的关系？开立方与立方呢？
5．什么是无理数？无理数与有理数有什么区别？举例说明，怎样用有理数估计一个开方开不尽的数的范围．
6．实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有怎样的对应关系？
7．数的范围是如何从正整数逐步扩充到实数的？随着数的范围的不断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？
1．什么是平方根？什么样的数有平方根？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根.
即：x2＝a，那么x叫做a的平方根或二次方根。
负数没有平方根.
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是 0；
任何一个数的平方都是非负数，所以负数没有平方根.
记作：
2．什么是算术平方根？平方根与算术平方根有什么联系和区别？
正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根。
正数a的算术平方根用来表示．
规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为
非负数a的算术平方根 具有双重非负性：
(1) 被开方数 a 是非负数；( a ≥ 0 )
(2) 非负数 a 的算术平方根是非负数.( ≥ 0 )
2．什么是算术平方根？平方根与算术平方根有什么联系和区别？
联系：算术平方根是平方根的非负部分。
区别：平方根包含正负两值，算术平方根仅取非负值，且符号表示不同。
关键点：在数学问题中，需根据题意判断是求平方根（±结果）还是算术平方根（仅正数）。
3．什么是立方根？任何实数都有立方根吗？
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根.
即：x3＝a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
任何实数都有立方根
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
记作：
4．开平方与平方有怎样的关系？开立方与立方呢？
平方
开平方
互逆 运算
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。
4．开平方与平方有怎样的关系？开立方与立方呢？
立方
开立方
互逆 运算
求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根。
5．什么是无理数？无理数与有理数有什么区别？举例说明，怎样用有理数估计一个开方开不尽的数的范围．
无限不循环小数又叫作无理数．
有理数可以写成两个整数之比（分数）的数；
无理数是不能写成两个整数之比（分数）的数
有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式
例如：用有理数估计的范围
步骤一：确定相邻的两个完全平方数
找到与被开方数5相邻的两个完全平方数，因为4<5<9，而4= 2 ，9= 3 。
步骤二：确定的整数部分范围
所以< < ，即2<<3，这就确定了5的整数部分是2.
步骤三：进一步精确范围
为了更精确地估计的范围，我们可以计算2.32=5.29，因为5<5.29，所以< 2.3. 再计算2.2 = 4.84，由于4.84<5，所以2.2< ，所以2.2< < 2.3。
6．实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有怎样的对应关系？
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
　　或
实数
正实数
负实数
正有理数
负有理数
负无理数
0
正无理数
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．因此实数与数轴上的点是一一对应的.
7．数的范围是如何从正整数逐步扩充到实数的？随着数的范围的不断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？
数的产生和发展离不开生活和生产的需要
7．数的范围是如何从正整数逐步扩充到实数的？随着数的范围的不断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．同级运算从左到右依次进行，有括号的要先算括号里面的．
加法交换律：a+b=b+a
加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律：ab＝ba
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
加法与乘法的运算律始终保持不变
考点一：平方根、立方根、算术平方根的意义
求一个数的平（立）方根，一般分为两步：
（1）对待求数进行整理，确定被开方数；
（2）确定哪个数的平（立）方等于这个数，如果能找到那个数，就直接写出平（立）方根；如果找不到那个数，就用根号表示平（立）方根．
考点一：平方根、立方根、算术平方根的意义
　　例1：下列说法中错误的是（　　）．
　　A．0 没有平方根 B．的算术平方根是
　　C．任何实数都有立方根 D．(－11)2的平方根是±11　
A
考点二：实数的分类
解决实数分类问题时应注意以下三点：
（1）0 既不是正实数也不是负实数．
（2）对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，再根据它的最终结果进行分类．不要看到带根号的数，就认为它是无理数．
（3）π 是无理数，所以一般含有 π 的数也是无理数．
考点二：实数的分类
　　例2：把下列各数填入相应的集合内．
　　－7，0.32，，，0，，，0.010 010 001…（相邻两个1之间依次多1个0），，．
　　（1）有理数集合：{ …}；
　　（2）无理数集合：{ … }；
　　（3）正实数集合：{ … }；
　　（4）实数集合：{ …}.
－7，0.32，，，0，
,,0.010 010 001…（相邻两个1之间依次多1个0）,,,
0.32,,,,,0.010 010 001…(相邻两个1之间依次多1个0),,
－7,0.32,,,0,,,0.010 010 001…(相邻两个1之间依次多1个0),,,
考点三：数轴与实数的大小比较
1.实数与数轴上的点是一一对应的关系．
2.数轴上表示正实数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负实数 （＞0）的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度．
3.对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
考点三：数轴与实数的大小比较
例3：实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，若－a＜c＜b，则实数 c 的值可能是（　　）．
　　
　
　　A． 　　　B．0　　　　　C．1　　　　D． 　　
D
－2
0
2
4
－1
－3
1
3
6
5
a
b
考点四：实数的性质与运算
与实数有关的常用性质
（1）a与b互为倒数，即：ab＝1．0没有倒数．
（2）数 a 的相反数是－a，这里 a 表示任意一个实数．
（3）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a|．
考点四：实数的性质与运算
例4：计算．
　　解：
　　＝3 (2＋ )＋(4 ) 3
　　＝3 2 ＋2 3
　　＝(3 2＋2 3) ()
　　＝
【知识技能类练习】必做题：
1．下列实数中，无理数是（　　）．
A． B．π＋5 C．0 D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．下列四种说法：
①负数的平方根仍是负数；
②1的平方根与立方根都是1；
③4的平方根的立方根是；
④互为相反数的两个数的立方根仍互为相反数．
其中正确说法的个数是（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
A
【知识技能类练习】必做题：
3．计算下列各题：
（1）|1－|＋|－|＋|－2|＋|2－|；
（2）×＋×－；
解：（1）|1－|＋|－|＋|－2|＋|2－|
＝－(1－)－(－)－(－2)－(2－)
＝－1＋－＋－＋2－2＋
＝－1＋．
（2）×＋×－
＝－8×4＋(－4)×－3
＝－32－1－3
＝－36．
【知识技能类练习】选做题：
4．若x，y为实数，且|x＋3|＋＝0，则的值为（　　）
A．1 B．2 025 C．－1 D．－2 025
C
【综合拓展类练习】
5．已知＝0，求实数a，b的值，并求出的整数部分和小数部分．
解：因为＝0，
所以＝0，
且≠0．
因为≠0，
所以a≠－7．
因为＝0，
且≥0，|－49|≥0，
所以＝0，|－49|＝0．
所以3a－b＝0，－49＝0．
因为－49＝0，a≠－7，
所以a＝7．
又因为3a－b＝0，
所以b＝21．
因为16＜21＜25，
所以4＜＜5．
所以的整数部分是4．
所以小数部分是－4．
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
1．的平方根是（　　）．
A．2 B． C．－2 D．±
D
【知识技能类作业】必做题：
2．将下列各数填入相应的集合内．
－7，0.32，，0，，－，，π，0.404 004 000 4…（相邻的两个4之间依次多一个0）．
有理数集合:{　　　　　　 　　　 　 　…};
无理数集合:{　　　　　　　 　　　 　　…};
负实数集合:{　　　　　　　　 　　　…}.
－7，0.32，，0，，
，－，π，0.404 004 000 4…（相邻的两个4之间依次多一个0），
－7，－，
3．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为－512时，输出的y的值为（　　）．
A．－2 B．－ C．－ D．－
【知识技能类作业】必做题：
D
【知识技能类作业】选做题：
4．求下列各式中x的值：
（1）4－25＝0； （2）8＝－．
解：（1）因为4－25＝0，
所以4＝25．
所以＝．
所以x＝±．
（2）因为8＝－，
所以＝－．
所以x－2＝－．
所以x＝．
【综合拓展类作业】
5．先观察下列等式，再回答下面的问题：
①＝1＋－＝；
②＝1＋－＝；
③＝1＋－＝．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式中反映的规律，直接写出用n（n为正整数）的式子表示的等式．
【综合拓展类作业】
解：（1）＝1＋－＝．
验证：
＝
＝
＝＝；
（2）＝1＋－＝1＋（n为正整数）．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 第八章 实数 章末复习 单元 第八章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1．了解算术平方根、平方根和立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根。 3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化。 4．能用有理数估计一个无理数的大致范围，累积一些数学思想方法。
重点 平方根、立方根的计算，实数运算，估计无理数的取值范围。
难点 平方根、立方根的计算，实数运算，估计无理数的取值范围。
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．什么是平方根？什么样的数有平方根？ 2．什么是算术平方根？平方根与算术平方根有什么联系和区别？ 3．什么是立方根？任何实数都有立方根吗？ 4．开平方与平方有怎样的关系？开立方与立方呢？ 5．什么是无理数？无理数与有理数有什么区别？举例说明，怎样用有理数估计一个开方开不尽的数的范围． 6．实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有怎样的对应关系？ 7．数的范围是如何从正整数逐步扩充到实数的？随着数的范围的不断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？ 考点梳理： 考点一：平方根、立方根、算术平方根的意义 例1：下列说法中错误的是（　　）． A．0 没有平方根 B．的算术平方根是 C．任何实数都有立方根 D．(－11)2的平方根是±11　 考点二：实数的分类 例2：把下列各数填入相应的集合内． －7，0.32，，，0，，，0.010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），，． （1）有理数集合：{ …}； （2）无理数集合：{ …}； （3）正实数集合：{ …}； （4）实数集合：{ …}； 考点三：数轴与实数的大小比较 例3：实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，若－a＜c＜b，则实数 c 的值可能是（　　）． A．　B．0　　　C．1　　　D． 　　 考点四：实数的性质与运算 例4：计算．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列实数中，无理数是（　　）． A． B．π＋5 C．0 D． 2．下列四种说法： ①负数的平方根仍是负数； ②1的平方根与立方根都是1； ③4的平方根的立方根是； ④互为相反数的两个数的立方根仍互为相反数． 其中正确说法的个数是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．计算下列各题： （1）|1－|＋|－|＋|－2|＋|2－|； （2）×＋×－； 选做题： 4．若x，y为实数，且|x＋3|＋＝0，则的值为（　　） A．1 B．2 025 C．－1 D．－2 025 【综合拓展类练习】 5．已知＝0，求实数a，b的值，并求出的整数部分和小数部分．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．的平方根是（　　）． A．2 B． C．－2 D．± 2．将下列各数填入相应的集合内． －7，0.32，，0，，－，，π，0.404 004 000 4…（相邻的两个4之间依次多一个0）． 有理数集合:{ 　…}; 无理数集合:{ 　　…}; 负实数集合:{ 　　　…}. 3．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为－512时，输出的y的值为（　　）． A．－2 B．－ C．－ D．－ 选做题： 4．求下列各式中x的值： （1）4－25＝0； （2）8＝－． 【综合拓展类作业】 5．先观察下列等式，再回答下面的问题： ①＝1＋－＝； ②＝1＋－＝； ③＝1＋－＝． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式中反映的规律，直接写出用n（n为正整数）的式子表示的等式．
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