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2024-2025学年四川省成都市新都区天元中学七年级（下）素养选拔数学试卷
一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.使代数式的值为整数的全体自然数x的和是______.
2.如图，直角三角形AOB的周长为98，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形的周长之和为______.
3.如图，在中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于点若，，则______.
4.设，，，…，是n个互不相同的正整数，且…，则n的最大值是______.
5.有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，如果把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看到的面上的数字的和是17，现在把三个骰子放在桌子上如图，凡是能看得到的点数之和最大是______，最小是______.
6.已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，则的最大值等于______.
7.如果关于x的方程有正整数解，那么正整数k的所有可能取值之和为______.
8.用表示正整数n的各位数字之和.如果不相等的正整数a，b满足，那么的最小值为______.
9.如图，在长方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的一个三等分点，FB与EC，ED分别交于点G，H，FC与ED交于点则______.
10.有16位选手参加象棋晋级赛.每两人都只赛一盘.每盘胜者积1分，败者积0分.如果和棋，每人各积分.比赛全部结束后，积分不少于10分者可以晋级.则本次比赛最多有______名晋级者.
二、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题8分
n个人参加象棋循环赛，每两人都对弈一局且决出胜负.
求总共对弈多少局？
证明：比赛结束后，一定可以将这n个人列为一队，使得队列中的每一个人都战胜了紧跟在他后面的那个人！
12.本小题8分
将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？
13.本小题8分
设，，……，是0，，2中的一个数，已知……，……，求……的值.
14.本小题8分
扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌的张数相同，且不少于两张；
第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.这时，小明准确说出了中间一堆牌现在的张数.你认为中间一堆牌现在的张数是多少？说明你的理由.
15.本小题8分
已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…
求出5秒钟后动点Q所处的位置；
如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由.
16.本小题8分
某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：注：获利=售价-进价
甲 乙
进价元/件 22 30
售价元/件 29 40
该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
17.本小题8分
求所有正整数n，使得存在正整数，，…，，满足…，且
18.本小题8分
将2，3，…，任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，可以相同，使得，求n的最小值.
参考答案
1.22
2.98
3.
4.63
5.51 26
6.961926
7.23
8.191
9.
10.11
11.解：根据题意知：局
答：总共对弈局；
证明：我们可以让这n名选手依次上台排队，为了叙述方便起见，当某位选手上台时，台上已经排好队的人从前往后依次命名为、、、……
先让2人上台，胜者排在前，负者排在后；
第3人上台，如果他胜，则排前面，如果他负于，再与比，胜则排在前面即之间，若负于，则排在的后面；
然后第4人上台，从前往后逐一比较，……直到n人全部上台为止．
所以，可以满足队列中的每一个人都战胜了紧跟在他后面的那个人．
12.解：先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩12个小球，
三个盒内每个至少再放入1个，将12个球排成一排，
有11个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中，
共有种方法．
13.解：设有p个x取2，有q个x取，
根据题意得，
解得，
……
14.解：设第一步时候，每堆牌的数量都是；
第二步时候：左边，中间，右边x；
第三步时候：左边，中间，右边；
第四步开始时候，左边有张牌，则从中间拿走张，则中间所剩牌数为
所以中间一堆牌此时有5张牌．
15.解：，
点Q走过的路程是，
Q处于：；
　
①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则
，
解得，
动点Q走过的路程是
…，
…，
，
时间秒分钟；
②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则，
解得，
动点Q走过的路程是
…，
…，
，
时间秒 分钟
16.解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
根据题意得，
解得，
，
答：该超市购进甲种商品150件，乙种商品90件；
元
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
根据题意得，
解得
答：第二次乙商品是按原价打折销售．
17.解：由于，，…，都是正整数，且…，
所以，，…，
于是 ，
当时，令，，…，，
则
当时，其中，
令 ，，…，，，，，
则
综上，满足条件的所有正整数n为1，2，…，
18.解：当时，把2，3，…，n分成如下两个数组：…，和…，
在A组…，中，由于，，
所以其中不存在数a，b，c，使得
在B组…，中，由于，
所以其中不存在数a，b，c，使得
所以，
下面证明当时，满足题设条件．
不妨设2在第A组，若也在第A组，则结论已经成立．故不妨设在第B组． 同理可设在第A组，在第B组．
此时考虑数如果8在第A组，我们取，，，此时；如果8在第B组，我们取，，，此时
综上，满足题设条件．
所以，n的最小值为

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