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2024-2025学年广东省佛山市顺德区德胜学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93
4.将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为( )
A. B. C. D.
5.函数的自变量x的取值范围为
A. B. C. D. 且
6.已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，，则( )
A. 1
B. 2
C.
D. 4
9.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点若，，则( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在中，，，，则______.
12.一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为______.
13.若关于x的方程有增根，则m的值为______.
14.若，，则的值为______.
15.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，，若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是______.
16.如图，中，，，，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分
计算：；
先化简，再求值：，其中a的值从的解集中选取一个合适的整数.
18.本小题7分
2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，某校为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：民俗文化，节日文化，古典诗词红色经典.学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个社团，学校随机对部学生选择社团的情况进行了调查.下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次随机调查的学生有______名，在扇形统计图中“ A”部分圆心角的度数为______；
通过计算补全条形统计图；
若该校共有1800名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“D”社团的人数.
19.本小题7分
如图，在中，，，，D为AC上一点，若BD是的角平分线，求线段AD的长.
20.本小题8分
学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
在的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
21.本小题8分
如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向.一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富.若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？结果保留根号
22.本小题8分
如图，中，以AB为直径的交BC于点D，DE是的切线，且，垂足为E，延长CA交于点
求证：；
若，，求AF的长.
23.本小题12分
一兴趣小组在合作探究中，将两块大小不同的等腰直角和等腰直角，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接该兴趣小组进行如下探究，请帮忙解答：
【初步探究】如图2，当时，则______；
【初步探究】如图3，当点E，F重合时，直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：______；
【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由.
【拓展延伸】如图5，在与中，，若，为常数保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6，直接写出线段AF，BF，CF之间的数量关系：______.
24.本小题12分
抛物线与x轴分别交于点A，，与y轴交于点
求抛物线的解析式．
如图1， BCPQ顶点P在抛物线上，如果 BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，，连接BN并延长到点D，使交x轴于点E，与均为锐角，，求点M的坐标．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.D
6.B
7.C
8.B
9.B
10.A
11.
12.11
13.
14.
15.
16.
17.解：原式
；
原式
，
，，
，1，，
的值从的解集中选取一个合适的整数，
当时，原式
18.解：本次调查的总人数为名，
扇形统计图中，A所对应的扇形的圆心角度数是，
故答案为：60，；
活动小组人数为名，
补全图形如下：
；
估计参加“D”活动小组的人数有名
答：估计参加“D”活动小组的540名学生．
19.解：过点D作于点E，
，，，
，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，

20.解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
依题意得：，
解得：
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．
该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，
购买B种跳绳根．
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以取23，24，25，
共有3种购买方案，
方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；
方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；
方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．
设购买跳绳所需总费用为w元，则
，
随m的增大而减小，
当时，w取得最小值，最小值
答：在的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．
21.解：如图：过点D作，垂足为E，
由题意得：，，，，
，，
，
千米，
千米，千米，
在中，，
千米，
千米，
在中，，
千米，
输油管道的最短长度是千米．
22.证明：连接OD，
是的切线，
半径，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接DF，DA，
，，
，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：DE，
，，
：：6，
，
，

23.解：是等腰直角三角形，
，
，
，即，
故答案为：；
，理由如下：
如图3，
和是等腰直角三角形，
，，，，
，
≌，
，
，
；
故答案为：；
如图4，当点E，F不重合时，中的结论仍然成立，理由如下：
由知，≌，
，
过点C作交BF于点G，
，，
，
，，
≌，
，，
为等腰直角三角形，
，
；
理由如下：
由知，，
而，，
即，
∽，
，
过点C作交BF于点G，如图6所示：
由知，，
∽，
，
，，
在中，，
故答案为：
24.解：将、代入得，
，
，
抛物线的解析式为；
如图1，
作直线且与抛物线相切于点，直线l交y轴于E，作直线且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
的解析式为，
设直线l的解析式为：，
由得，
，
，
，
，
，，
，，
即，
，，
，
即，
直线m的解析式为：，
，
，，
，，
综上所述：点或或；
如图2，
作轴于G，作轴于H，过D作轴交x轴于F，作，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
，
，N点的横坐标为：，
，
轴，
∽，
，
，
同理可得：∽，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
当时，，

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