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2025年数学中考复习
3.9 平面直角坐标系与函数
基础知识
项目三 函数
考点要求
壹
1.图形的位置与坐标
(1)理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标;
(2)在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置;
(3)对给定的正方形,会选择合适的平面直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会可以用坐标刻画一个简单图形;
(4)在平面上,运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
2.函数
(1)能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义,并能找出变量之间的数量关系及变化规律,形成初步的抽象能力;
(2)了解函数的概念和表示法,能举出函数的实例,初步形成模型观念;
(3)能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义;
(4)能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值;
(5)能根据函数图像分析出实际问题中变量的信息,发现变量间的变化规律;
(6)能结合函数图像对简单实际问题中的函数关系进行分析,结合对函数关系的分析,能对变量的变化趋势进行初步推测.
核心知识点
贰
点P(x,y)
(1)在第一象限，则x>0,y>0;
(2)在第二象限，则
(3)在第三象限，则x<0,y<0;
(4)在第四象限，则
各象限内点的坐标特征
知识点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标 ;
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标 .
相等
互为相反数
原点的坐标为(0,0).
点P(x,y)在x轴上则y=0;
点P(x,y)在y轴上则
【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限.
坐标轴上点的坐标特征
与轴平行的直线上的点, 坐标相等;
与轴平行的直线上的点,横坐标相等.
平行线上点的坐标特征
对称点的坐标特征
点
(1)关于轴的对称点P' 的坐标为,即横坐标不变,纵坐标变号;
(2)关于轴的对称点的坐标为 ,即横坐标 ,纵坐标 ;
(3)关于原点的对称点P 的坐标为 ,即横纵坐标都 .
纵
变号
不变
变号
点平移的坐标特征
点(,)
(1)向右平移个单位长度,得到对应点的坐标为(,);
(2)向左平移个单位长度,得到对应点的坐标为 ;
(3)向上平移个单位长度,得到对应点的坐标为(,+);
(4)向下平移个单位长度,得到对应点的坐标为 ;
【温馨提示】横坐标右加左减,纵坐标上加下减.
点P(x,y)
(1)到x轴的距离为：||
(2)到y轴的距离为|x|;
(3)到原点的距离为：
点到坐标轴及原点的距离
点的旋转
(1)点绕原点顺时针旋转90°对应点坐标变为 ;
(2)逆时针旋转90°对应点坐标变为.
(1)在轴上或与轴平行的直线上的两点(,),(,)间的距离是|| ;
(2)在轴上或与轴平行的直线l上的两点(,),(,)间的距离是 .
两点间的距离
知识点2 函数的表示
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量与,并且对于的每一个确定的值,都有 确定的值与之对应,那么我们就说 是自变量,是的函数.
函数的概念
函数的表示
(1)列表法;
(2)解析式法;
(3)图像法.
唯一
知识点3 函数自变量的取值范围
函数解析式 自变量的取值范围
含有分式 使 的实数.
含有二次根式 使被开方数大于或等于0的实数.
含有分式与 二次根式 使被开方数大于或等于0且分母不为0的实数.
分母不为0
知识点4 分析判断函数图像
分析判断函数图像
(1)明确“两轴”所表示的量;
(2)明确图像上的点所表示的意义;
(3)弄清图像上的转折点、最高(低)点、交点所表示的意义;
(4)弄清上升线、下降线及与x轴平行的线所表示的意义.
考点攻坚
叁
考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
(2024·河南)如果单项式与单项式的和仍是一个单项式,则在平面直角坐标系中点(,)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例1
【解析】本题主要考查同类项和确定点的坐标,根据同类项的性质求出的值,再确定点的位置即可.
∵单项式与单项式的和仍是一个单项式,
∴单项式与单项式是同类项,
∴,,
解得,,,
∴点(,)在第四象限,故选D.
(2024·张家口)如图所示,一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体,向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度与注水时间的函数关系的是( )
例2
考点2 函数的表示
【解析】本题考查了函数图象;根据题意,分3段分析,即可求解.下层圆柱底面半径大,水面上升块,上层圆柱底面半径稍小,水面上升稍慢,再往上则水面上升更慢,所以对应图象是第一段比较陡,第二段比第一段缓,第三段比第二段缓.故选D.
考点3 函数自变量的取值范围
(2022·黑龙江)函数自变量的取值范围是( )
A.≥1且≠3 B.≥1
C.≠3 D.1且≠3
例3
【解析】
如图1所示,在中,90°,点从点出发,沿三角形的边以1cm/秒的速度逆时针运动一周,图2是点运动时,线段的长度(cm)随运动时间(秒)变化的关系图像,则图2中点的坐标是( )
例4
考点4 分析判断函数图像
A.(13,4.5) B.(13,4.8) C.(13,5) D.(13,5.5)
【解析】
专项训练
肆
通关必练
1.(2022·黄山)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为,则圆周长与的关系式为.下列判断正确的是( )
A.2是变量 B.是变量
C.是变量 D.是常量
C
2.(2023·十堰)已知则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是( D )
A.(a,b) B.(-a,b) C. (-a,-b) D.(a,-b)
3.(2023·个旧)如图所示,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,点的坐标为(2,1),则点的坐标为( )
A.(3,0) B.(0,2)
C.(3,2) D.(1,2)
C
4.(2024·黄冈)为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(,0),(0,0),则“技”所在的象限为( )
A
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
5.(2023·苏州)如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度()与注水时间()关系的是( )
B
6.(2024·甘肃)如图1所示,“燕几”即宴几,是世界上最早的一套组合桌,由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子,包括两张长桌、两张中桌和三张小桌,每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式,若设每张桌面的宽为尺,长桌的长为尺,则与的关系可以表示为( )
A. B. C. D.
B
提升训练
7.(2024·贵阳)在平面直角坐标系的第四象限内有一点,到轴的距离为4,到轴的距离为5,则点的坐标为( )
A.(4,5) B.(5,4)
C.(4,5) D.(5,4)
D
8.(2022·张家界)若点(,1)与点(2,)关于轴对称,则的值是( )
A.1 B.3 C.1 D.2
9.(2022·西宁)如图所示,(2,0),3,以点为圆心,长为半径画弧交轴负半轴于点,则点的坐标为( )
A
C
A.（3,0)
B.（，0）
C.（—,0）
D.(—3,0)
课堂练习
伍
1.(2024·深圳)如果单项式与单项式的和仍是一个单项式,则在平面直角坐标系中点(,)在( D )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2022·江苏常州)某城市市区人口有万人,市区绿地面积为50万平方米,平均每人拥有绿地平方米,则与之间的函数表达式为( )
C
A.
B.
C.
D.
3.(2022·崇左)在函数中自变量的取值范围是( )
D
A.>4
B.<4
C.≥4
D.≤4
4.(2024·广西)如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,点的坐标为(2,1),则点的坐标为( )
A.(3,0) B.(0,2)
C.(3,2) D.(1,2)
C
5.(2022·台州)在平面直角坐标系中,点与点关于轴对称,点与点关于轴对称.已知点(1,2),则点的坐标是(D )
A.(—2,1)
B.(-2,—1)
C.(-1,2)
D.(—1,—2)
6.(2022·四川雅安)在平面直角坐标系中,点(,)关于原点的对称点为(,),则的值为( )
A. B.
C. D.
D
7.(2022·石河子)如图所示,线段在平面直角坐标系内,点坐标为(2,5),线段绕原点逆时针旋转90°,得到线段,则点的坐标为( A )
A.(-5,2)
B.(5,2)
C.(2,-5)
D.(5,—2)
8.(2024·河北)如图,轴,点(-3,5),,则点的坐标为( )
B
A.（-6,5)
B.（-3,2)
C.(3,-2)
D.（-3,3)
9.（2023·乐山）如图所示，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的时间（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A
10.(2023·大理)画一条水平数轴,以原点为圆心,过数轴上的每一刻度点画同心圆,过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°,60°,90°,120°,…,330°的射线,这样就建立了“圆”坐标系.
如图所示,在建立的“圆”坐标系内,我们可以将点,,的坐标分别表示为(6,60°),(5,180°),(4,330°),则点的坐标可以表示为 .
11.(2024·重庆)在平面直角坐标系中,将点(,)沿轴向上平移1个单位后,得到的点的坐标为( )
A.(,) B.(,)
C.(,) D.(,)
B
12.(2024·山东兰陵)如图,直线与,轴分别交于点,,以为底边在轴右侧作等腰,将点向左平移5个单位,使其对应点恰好落在直线上,则点的坐标为( )
B
A.（3，3）
B.（4,3）
C.（-1,3)
D.（3,4）
13.如图为某蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该店正在举办优惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱桃蛋糕.若阿凯原本的结账金额为元，后来的结账金额为元，则下列与的关系式中不可能的是（ ）
D
A.y=
B.y=+5
D.y=+15
C.y=+10
14.(2023·成都)如图1所示,小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球,再去报亭看报,最后散步回家.小亮离家距离与时间之间的关系如图2所示.下列结论错误的是( )
A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B.小亮打羽毛球的时间是37分钟
C.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟
走75米
D.报亭到小亮家的距离是400米
B
15.(2023·恩施)如图所示,取一根长100cm的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来,在中点的左侧距离中点25cm(25cm)处挂一个重9.8N(9.8N)的物体,在中点的右侧用一个弹簧测力计向下拉,使木杆处于水平状态,弹簧测力计与中点的距离(单位:cm)及弹簧测力计的示数(单位:)满足,以的数值为横坐标,的数值为纵坐标建立直角坐标系,则关于的函数图象大致是( )
B
16.（2024·洛阳）函数的自变量的取值范围是 .
17.（2022·大庆）若点在第四象限，则点在第二 象限.
18.(2023·贵州)如图所示是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图,以喷水池为原点,分别以正东、正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系,若贵阳北站的坐标是(,),则龙洞堡国际机场的坐标是 .
19.（2022·沈阳）如图1所示，在中，36°，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止.若点P的运动速度为1cm/s，设点的运动时间为（s），的长度为（cm），与的函数图象如图2所示.当恰好平分时，的值为 .
知 识 梳 理
巩 固 训

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