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辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2024-2025 学年高二（上）期末考试数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
!
1.已知 = 3 ，则 的值为( ) ( 2)!
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的
4道题，则他能及格的概率是( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
3.( 2 + )5的的展开式中 3 3的系数为( )
A. 30 B. 30 C. 20 D. 20
4.若圆 : 2 + 2 = 1，点 在直线 : 2 + 5 = 0上，过点 作圆 的切线，切点为 ，则切线长| |的最
小值为( )
A. 1 B. 2 C. √ 5 D. 4
5.“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比
1 2
赛，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为( )
3 3
32 16 4 2
A. B. C. D.
729 729 729 729
2 2
6.已知 1、 2是椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点，过 2的直线与椭圆交于 、 两点，若
| 1|: | |: | 1| = 3: 4: 5，则该椭圆的离心率为( )
√ 3 √ 3 1 √ 2
A. B. 2 √ 3 C. D.
2 2 2
7.如图，湖北省分别与湖南 安徽 陕西 江西四省交界，且湘 皖 陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂
色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为( )
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A. 540 B. 600 C. 660 D. 720
2 2
8.曲线| | = + 2与曲线 : + = 1恰有两个不同交点，则实数 的取值范围为( )
4 4
A. [ 1,0) ∪ (1,+∞) B. ( ∞, 1] ∪ (1,+∞)
C. (1,+∞) D. ( ∞, 1]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则
下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有24种
B. 可以有空盒子的方法共有256种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有288种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种
10.下列命题中，正确的是( )
A. 已知随机变量 服从正态分布 (1, 2)，若 ( ≤ 0) = 0.2，则 ( < 2) = 0.8
B. 22024除以15的余数为2
C. 在( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)的展开式中，含 4的项的系数是 15
4 2
D. 已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员 患甲病的概率为 ，患乙病的概率为 ，甲乙两种病都不
15 15
7 3
患的概率为 ，则家系成员 在患甲病的条件下，患乙病的概率为
10 8

11.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0), ( 0, 0)为 上位于焦点 ( , 0)右侧的一个动点， 为坐标原点，则( ) 2
A. 若 = 2, 0 > 0, ( 1,0)，则 ∈ (0,1)
√ 3
B. 若 (2 0 + , 0)满足∠ = ，则sin∠ = 2 6 3
2
C. 若 交 于点 ，则 ∈ ( , +∞) 2

D. 直线 交 于 , 两点，且 + = 0，则 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若直线2 + + 1 = 0与直线(3 ) ( 2) + 3 = 0垂直，则实数 = ．
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13.四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打
破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是 ．
14.已知正三棱柱 1 1 1的各条棱长均为1，则以点 为球心、1为半径的球与正三棱柱各个面的交线
的长度之和为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解．
条件①： 0 = 2；条件②： 1 + 2 +
10
3 + + 10 = 4 2．
问题：已知(2 + + 1) (3 + 1)9 = 2 100 + 1 + 2 + + 10 ( ∈ )，若__________．
(1)求实数 的值；
1 (2)求 2 + + ( 1) +1

2 +
10
3 3 3 310
的值．
16.(本小题12分)
某煤矿发生透水事故，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后，有 1， 2两条巷道通往作业区(如
1
图)， 1巷道有 1， 2， 3三个易堵塞点，两点被堵塞的概率都是 ， 2巷道有 2 1， 2两个易堵塞点，两点
3 3
被堵塞的概率分别为 ， ．
4 5
(1)求 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；
(2)若 2巷道中堵塞点的个数为 ，求 的分布列及均值；
(3)请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理
由．
17.(本小题12分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的准线为 ， (2, 0)是抛物线上一点，| | = 4．
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(1)求抛物线 的方程；
(2)设 与 轴的交点为 ，直线 过定点(1,0)且与抛物线 交于 , 两点．记直线 , 的斜率分别为 1, 2，
1
若 1 + 2 = ，求直线 的方程． 3
18.(本小题12分)
如图，在 中，∠ = 90 ， = 2，∠ = 60 ， 为 的中点，过点 作 垂直 于 ，将
沿 翻折，使得平面 ⊥平面 ，点 是棱 上一点，且 //平面 ．

(1)求 的值；

(2)求二面角 的正弦值．
19.(本小题12分)
2
已知双曲线 : 2 = 1，点 (4,0)，经过点 的直线交双曲线 于不同的两点 、 ，过点 ， 分别作双
4
曲线 的切线，两切线交于点 . (二次曲线 2 + 2 = 1在曲线上某点( 0, 0)处的切线方程为 0 +
0 = 1)
(1)求证：点 恒在一条定直线 上；
(2)若两直线与 交于点 ， = , = ，求 + 的值；
(3)若点 、 都在双曲线 的右支上，过点 、 分别做直线 的垂线，垂足分别为 、 ，记 ， ，
的面积分别为 1, 2, 3，问：是否存在常数 ，使得 =
2
1 2 3？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
8 2
12.【答案】 /2
3 3
13.【答案】12600
3
14.【答案】
2
15.【答案】【详解】(1)因为(2 + + 1) (3 + 1)9 = + + 2 100 1 2 + + 10 ，
若选条件①：令 = 0，可得 0 = + 1 = 2，解得 = 1；
若选条件②：令 = 0，可得 0 = + 1，
令 = 1，可得 90 + 1 + 2 + 3 + + 10 = ( + 3) 4 ，
则 91 + 2 + 3 + + 10 = ( + 3) 4 ( + 1) = 4
10 2，解得 = 1．
(2)由(1)可知：(2 + 2) (3 + 1)9 = 0 +
2 10
1 + 2 + + 10 ，且 0 = 2，
1
令 = ，可得 1 + 2 + ( 1) + + 10 = 0，
3 0 3 32 3 310

则 1 + 22 + ( 1)

+ +
10
3 3 3 310
= 0 2 = 2，
1 所以 22 + + ( 1)
+1 10
+ 10 = [
1 + 2 10
3 3 3 3 3 32
+ ( 1) + + 10] = 2． 3 3
16.【答案】【详解】(1)设“ 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件 ，
1 3 1 1 2 1
则 ( ) = 03 × ( ) +
1
3 × × ( ) = ． 2 2 2 2
(2)依题意，知 的所有可能取值为0，1，2．
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3 3 1 3 3 3 3 9
( = 0) = (1 ) × (1 ) = ， ( = 1) = × (1 ) + (1 ) × = ，
4 5 10 4 5 4 5 20
3 3 9
( = 2) = × = .所以随机变量 的分布列为
4 5 20
0 1 2
1 9 9

10 20 20
1 9 9 27
= 0 × + 1 × + 2 × = ．
10 20 20 20
1 1 3
(3)设 1巷道中堵塞点的个数为 ，则 (3, )，所以 = 3 × = ． 2 2 2
因为 < ，所以选择 2巷道为抢险路线较好．

17.【答案】【详解】(1)根据抛物线定义，| | = 2 + = 4，得 = 4，∴抛物线 的方程为 2 = 8 ．
2
(2)当直线 的斜率不存在时， 1 + 2 = 0与题意不符，
所以直线的斜率一定存在，设直线 的方程为 = ( 1)，代入到 2 = 8 中，得
2 2 (2 2 + 8) + 2 = 0，
2 2+8
1 + 2 = 2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则{

2 ,

1 2 = 2 = 1

1 2 ( 1 1) ( 2 1) [2 1 2 + ( 1 + 2) 4] 8 1 1 + 2 = + = + = = = 1 + 2 2 + 2 1 + 2 2 + 2 ( 1 + 2)( 2 + 2) 9 2 + 16 3
4
∴ = ，
3
所以直线 的方程为4 3 4 = 0．
18.【答案】【详解】(1)因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
由题意可知 ⊥ ， ⊥ ，故∠ 为平面 与平面 的二面角，
所以∠ = 90 ．
过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ．
显然 // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
又因为 //平面 ， ∩ = ， , 平面 ，
所以平面 //平面 ．
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又因为平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ．
在折叠前的图形中，因为 = 2，∠ = 60 ，
所以 = 1．

因为 = = 4，所以 = 3，
cos60
3
易知 为 的中点，所以 = ，
2
3 3
所以 = ，所以 = ．
2 2
(2)由(1)知，以 为原点，以 , , 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图，
√ 3 5 3 3 3
则 (0,0,0)， ( , 0,0)， (0, , 0)， (√ 3, , 0)， (0, , )，
2 2 2 2 5
易知平面 的一个法向量 = (0,0,1)，
√ 3 3 = ( , , 0)，
3
= (√ 3, 0, )．
2 2 5
设平面 的法向量为 = ( , , )，

√ 3 3 √ 3 3
= ( , , ) ( , , 0) = + = 0
所以{ 2 2 2 2 ,
3 3
= ( , , ) (√ 3, 0, ) = √ 3 = 0
5 5
令 = √ 3，则 = 1， = 5，故 = (√ 3, 1,5)，
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(0,0,1) (√ 3, 1,5) 5√ 29
所以cos , = = = ，
| || | √ 3+1+25 29
2 2√ 29所以二面角 的正弦值为√ 1 , = ．
29
19.【答案】证明：(1)设 ( 0, 0), ( 1, 1), ( 2, 2)，

由题意得：切线 的方程为： 1 1 = 1，将点 代入得：
1 0
4 4 1
0 = 1，

同理可得： 2 0 0
4 2
0 = 1，易知点 ， 都在直线 0 = 1上， 4

所以直线 的方程为： 0
4 0
= 1，
因为直线 过点 (4,0)，所以 0 = 1，
所以点 恒在定直线 : = 1上．
1 1 = ( 4),(2)法一：设 (1, 3)，因为 = ，所以{
1
3 1 = 1,
1+4
1 = ,
整理得{ 1+
1 =
3 ,
1+
1+4 2
( ) 2
因为点 ( 1, 1)在双曲线上，所以
1+ ( 3 ) = 1，
4 1+
整理得12 2 4 23 3 = 0，
同理可得12 2 4 23 3 = 0，
所以， , 是关于 的方程12 2 4 23 3 = 0的两个实根，
所以 + = 0．
法二：由题意知， 的斜率存在，设 的方程： = ( 4)，
= ( 4)
联立{ 2 得：(1 4 2) 2 + 32
2 (64 2 + 4) = 0， = (32 2)2 + 4(1 4 2)(64 2 + 4) > 0
2 = 1
4
2 2
32 64 +4
所以 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
4 1 4 1
1
设 (1, 3)，因为 = ，所以1 1 = (
1
1 4)，所以 = ， 1 4
1
同理 = 2，
2 4
1
所以 + = 1
1 2 +5( + ) 8
+ 2 = 1 2 1 2
1 4 2 4 1 2 4( 1+ 2)+16
2 2 2
128 8+160 32 +8
= 2 2 2 = 0．
64 +4 128 +64 16
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2
(3)设 : = + 4，与 : 2 = 1联立得：
4
( 2 4) 2 + 8 + 12 = 0，
8 12
1 + 2 = 2 , 4 1
2 = ， 2 4
因为直线 的方程为 = 1，所以 (1, 1), (1, 2)，
1 1 1
所以 1 = | | | 1| = | 1 1| | 2 2 1
| = | 1 + 3| | 2 1
|，
1 3
同理 2 = | 2 + 3| | 2|, 2 3
= |
2 1
2|，
12 12 21 24
2
1 2 | 1 2| |
2 1 2+3 (
| | | +9|
所以 = = 4 1
+ 2)+9| 2 4 2 4 2 4 1
2 9 2
= 2 = ，
3 ( 1 2)
8 48 4
4 9[( 2 ) 2 ] 4 4
1 1
故存在 = ，使得 2
4 1
2 = ． 4 3
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