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江苏省沭阳县建陵高级中学 2024-2025 学年高二（上）期末调研测试数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列{ }的前 项和为 ，若 1 = 2, 4 = 8，则 5的值为( )
A. 6 B. 20 C. 25 D. 30
2.函数 ( ) = 2 sin 在区间[0, ]上的平均变化率为( )
1 1
A. B. C. D. +

3.已知直线 过直线 2 = 0与直线 + + 3 = 0的交点，且与直线3 + 1 = 0平行，则直线 的方程为
( )
A. 3 + + 7 = 0 B. 3 + 7 = 0 C. 3 + + 3 = 0 D. 3 + 3 = 0
2 2
4.若方程 + = 1表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是( )
2 1
3 3 3 3
A. (1,2) B. (1, ) C. ( , 2) D. (1, ) ∪ ( , 2)
2 2 2 2
5.圆( 1)2 + ( 2)2 = 4上恰有3个点到直线 = 2 + 的距离等于1，则实数 的值为( )
A. ±1 B. ±2 C. ±√ 5 D. ±2√ 5

6.当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度 与时间 的关系式近似满足 ( ) = ,其中 ≥ 0，则血液中
该药的浓度，在 = 3时的瞬时变化率约是 = 4时的瞬时变化率的多少倍( ≈ 2.7)( )
A. 1.8 B. 1.8 C. 3.6 D. 3.6
7.设 为数列{ }的前 项和，若3 + 2 = 2 ,则数列{ }的通项公式为( )
1 1
A. = ( ) B. = ( ) C.

= 2 D. = ( 2)

2 2
2 2
8.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线与双曲线的左支相交于 ，
两点，且∣ 1 ∣= 3 ∣ 1 ∣, ∠ 1 2 = 90
,则双曲线的离心率为( )
√ 5 √ 6 √ 10 5
A. B. C. D.
2 2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 直线 + ( 1) + 2 = 0过定点(2,0)
B. 点(1,1)关于直线 + 1 = 0的对称点为(0,2)
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√ 10
C. 两条平行直线 + 3 4 = 0与2 + 6 9 = 0之间的距离为
20
D. 当实数 = 2时，直线2 + 2 = 0和 + 1 = 0互相垂直
10.已知数列{ }的首项 1 = 2，则下列说法中正确的有( )
A. 若{ }是公差为2的等差数列，则{2 + 1}是以5为首项，4为公差的等差数列
B. 若{ }是公差为2的等差数列，则{3
}是以9为首项，3为公比的等比数列
C. 若{ }是公比为3的等比数列，则{ +1}是以8为首项，3为公比的等比数列
D. 若{ }是公比为3的等比数列，则{ 3 }是以 32为首项，1为公差的等差数列
11.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的通径长为2，焦点为 ，经过点 的直线交抛物线 于 ( 1, 1)、 ( 2, 2)
两点，则下列说法中正确的有( )
1
A. 1 2 = 4
1
B. 点 的坐标为( , 0)
2
C. 设点 (3, 2)，若点 为 上的动点，则| | + | |的最小值为4
D. 过点 ( 2,1)作抛物线 的两条切线，切点分别为 、 ，点 为 的曲线段 上任意一点，则△ 面
5√ 5
积的最大值为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2 2 2
12.已知椭圆 + 2 = 1与双曲线 = 1有相同的焦点，则实数 的值为 ． 4 2
13.已知点 ( 1,0), (1,0)，若直线 = + 4上存在点 ，使| |2 +| |2 = 10,则实数 的取值范围
是 ．
14.令 ( ) = 2,对抛物线 = ( )持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点(1,1)处作抛物线的切线交 轴于( 1, 0)；
在点( 1, ( 1))处作抛物线的切线，交 轴于( 2, 0)；
在点( 2, ( 2))处作抛物线的切线，交 轴于( 3, 0)；
……
得到一个数列{ }，则 1的值为 ；数列{ 1 +1}的前 项和 =
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
1 1
已知函数 ( ) = 3 + , ∈ ，且满足 ′(2) = 0
3 3
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(1)求实数 的值；
(2)求函数 = ( )在区间[ 3,3]上的最大值和最小值．
16.(本小题12分)
已知圆 的圆心在直线 2 = 0上，且过两点 (0,2)、 (4,6)．
(1)求圆 的方程；
(2)直线 过点 (6,1)，且与圆 相交于 ， 两点，若∣ ∣= 4√ 3,求直线 方程．
17.(本小题12分)
2 2 1 3
已知椭圆 1: 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且过点(1, )，其中 为坐标原点． 2 2
(1)求椭圆 1的方程；
(2)过椭圆 1的右顶点作直线与抛物线 :
2
2 = 2 相交于 ， 两点；
①求证： ⊥ ；
②设射线 ， 分别与椭圆 1相交于点 ， ，求 到直线 的距离．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ln + + 2， ∈ ．
(1)若曲线 = ( )在点(1, (1))处切线方程为 = + 1，求实数 的值；
1+ 2 ( (2)设函数 = ( )在区间 上有定义，若对任意的 , ∈ ,都有 ( ) ≤ 1
)+ ( 2)
1 2 ,则称函数 = ( )2 2
为区间 上的下凸函数.利用上述定义证明：函数为定 = ( )定义域上的下凸函数；
(3)若对任意的 ∈ (0,+∞)，都有 ( ) ≥ 0，求实数 的最小值．
19.(本小题12分)
北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：
“怎么求这些酒坛的总数呢 ”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它
们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有 个，下底有 个，共 层的堆积物(如图1所示)，可

以用公式 = [(2 + ) + ( + 2 ) ] + ( )求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数6 6
列 , ( + 1)( + 1), ( + 2)( + 2), , ( + 1)( + 1) = 的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于
提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创
了我国“垛积数”的研究．
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(1)若 = 3， = 4，求 的值;
(2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数 ;
(3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，
设第 层放 个物体堆成的堆垛(如图2所示)，利用上述材料，求从上往下 层三角垛的物体总数 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】 ≤ √ 3或 ≥ √ 3
1 +3
14.【答案】 ；3
2 2
1 1
15.【答案】【详解】(1)因为 ( ) = 3 + ，
3 3
所以 ′( ) = 2 ，
令 ′(2) = 0，即方程22 = 0，
解得 = 4
1 1
(2)由(1)知， ( ) = 3 4 + ，所以 ′( ) = 2 4，
3 3
令 ′( ) = 0，即 2 4 = 0，
解得 = ±2．
列表如下：
3 ( 3, 2) 2 ( 2,2) 2 (2,3) 3
′( ) + 0 0 +
10 17 8
( ) ↗ ↘ 5 ↗
3 3 3
当 ∈ ( 3, 2)时， ′( ) > 0, ( )单调递增：
当 ∈ ( 2,2)时， ′( ) < 0, ( )单调递减：
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当 ∈ (2,3)时， ′( ) > 0, ( )单调递增．
17
所以 ( )有极大值 ( 2) = ； ( )有极小值 (2) = 5
3
10 8
又 ( 3) = , (3) = ．
3 3
17
所以函数 ( )在区间[ 3,3]上的最大值为 ，最小值为 5．
3
16.【答案】【详解】(1)设圆 的方程为( )2 + ( )2 = 2，
因为圆 的圆心在直线 2 = 0上，所以 = 2 ．
因为圆 过 (0,2), (4,6)，
(0 )2 + (2 )2 = 2
代入圆 方程{
(4 )2 + (6 )2 2
=
解得 = 4, = 2, = 4
故圆 的标准方程为( 4)2 + ( 2)2 = 16．
(2)设 到 的距离为 ，由 = 2√ 16 2 = 4√ 3，解得 = 2
当直线 斜率不存在时， : = 6, = 2，满足题意．
当直线 斜率存在时，设直线 方程为 1 = ( 6)，即 6 + 1 = 0
|2 +1| 3
则圆心 (4,2)到直线 的距离为 = = 2，解得 = ，
2 4√ +1
3 7
直线 方程为 =
4 2
综上，直线 方程为 = 6或3 4 14 = 0
2 21 1
17.【答案】【详解】(1)由椭圆 1的离心率为 ，可得： 2 = ，整理得：3
2 = 4 2，
2 4
2 2 2 4 2
则椭圆 1: 2 + 2 = 1的方程可化为 + 2 3 2
= 1．
3
代入点(1, )得 2 = 4，
2
2 2
则椭圆 1的方程为 + = 1． 4 3
(2)
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2 2
由椭圆 1方程为 + = 1可得：该椭圆的右顶点为(2,0)． 4 3
①设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
当直线 的斜率为0时，直线 与抛物线 2只有一个交点，不满足题意．
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 = + 2，
2 = 2
联立方程组{ ，整理得 2 2 4 = 0，
= + 2
= 4 2 + 16 > 0
则 1, 2为方程
2 2 4 = 0的两不等根，有{ 1 + 2 = 2 ．
1 2 = 4
因为 = ( , ), 1 1 = ( 2, 2)，
2 2 16
所以 = 1 21 2 + 1 2 = + = 4 = 0， 2 2 1 2 4
故 ⊥ ．
②法一：设 ( 3, 3), ( 4, 4)，直线 为 = + ．
= +
由联立方程组{ 2 2 ，整理得：(3 2 + 4) 2 + 6 + 3 2 12 = 0( )，
+ = 1
4 3
= 36
2 2 12(3 2 + 4)( 2 4) > 0
6
由 , 为方程 的两不等实数根，得 3 + 4 =3 4 3 2+4 ．
3
2 12
3 { 4
=
3 2+4
由①知 ⊥ ，
则 ⊥ ，有 = 0．
因为 = ( 3, 3), = ( 4, 4)，
所以 3 4 + 3 4 = ( 3 + )( 4 + ) + 3 4 = (
2 + 1) 3 4 + ( 3 +
2
4) + = 0，
3 2 12 6 7 2 12 2 12
整理得：( 2 + 1) 2 + 2 +
2 = = 0，
3 +4 3 +4 3 2+4
则有7 2 = 12( 2 + 1)．
| | √ 12√ 2+1 2√ 21
则根据点到直线距离公式可得：点 到直线 的距离为 = = = ．
√ 2+1 √ 7√ 2+1 7
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法二：不妨设 位于 轴的上方，则点 在第一象限，点 在第四象限
1
设直线 : = ( > 0)，则直线 : =

=
2√ 3 2√ 3
联立直线 和椭圆 1得方程{ 2 2 ，解得 ( , )．
+ = 1 √ 2 24 3 3+4 √ 3+4
2√ 3 2√ 3
同理可得 ( , )
√ 2 √ 2 3 +4 3 +4
2 2
1 1
则| | = 2√ 3√ ( ) + ( + )
√ 2 2 2 2 3+4 √ 3 +4 √ 3+4 √ 3 +4
2
√ 7(1+ )
= 2√ 3 ，
√ 2 2 3+4 √ 3 +4
2√ 3
| | = √ 1 + 2 ,，
√ 2 3+4
2√ 3
| | = √ 1 + 2 ，
√ 2 3 +4
则根据三角形等面积可得：
2 2
2√ 3√ 1+ 2√ 3√ 1+

| | | | √ 2 2 3+4 √ 3 +4 2√ 21
点 到直线 的距离为： = = 2 = ． | | 7
2√ 3;√ 7 (1+ )
√ 2√ 2 3+4 3 +4
1
18.【答案】【详解】(1)因为 ′( ) = + ，

所以 ′(1) = 1 + = 1，解得 = 2．
(2)定义域为(0,+∞)，设 1, 2 ∈ (0,+∞)，
+
则 ( 1 21) + ( 2) 2 ( ) 2
1 + 2 1 + 2
= ln 1 + 1 + 2 ln 2 + 2 + 2 2( ln + + 2) 2 2
1 + 2 1 +
2
2
= ln 1 ln 2 + 2ln = ln ( ) ln( 1 2 2 2
)
( 1 + 2)2
= ln
4 1 2
因为 1, 2 ∈ (0,+∞)，
所以( 1 + )
2
2 =
2
1 +
2
2 + 2 1 2 ≥ 4 1 2 > 0，
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( 1+ )
2
所以 2 ≥ 1(当且仅当 1 = 2时取等号) 4 1 2
( + )2
所以ln 1 2 ≥ ln1 = 0(当且仅当
4 1
= 2时取等号)
1 2

所以 ( ) + ( ) 2 ( 1
+ 2
1 2 ) ≥ 0， 2
1+ 2 ( 1)+ ( )即 ( ) ≤ 2
2 2
所以 ( )是定义域内的下凸函数．
1 1
(3)法1：因为 ′( ) = + = ，

当 ≤ 0时，因为 > 0，所以 ′( ) < 0，即 ( )为减函数，
又 (1) = 2 2 < 0与 ( ) ≥ 0矛盾，
所以 ≤ 0不满足题意；
1 1
当 > 0时，令 ′( ) = = 0，解得 = ∈ (0,+∞)

1
所以当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0, ( )单调递减；

1
当 ∈ ( ,+∞)时， ′( ) > 0, ( )单调递增；

1
所以 ( )min = ( ) = ln + 1．
1
设 ( ) = ln + 1( > 0), ′( ) = + 1 > 0，所以 ( )在(0,+∞)是增函数，

又 (1) = ln1 + 1 1 = 0，
所以当 ≥ 1时， ( ) ≥ 0；
当0 < < 1时， ( ) < 0．
因为 ( ) ≥ 0恒成立，所以 ≥ 1．
综上可得 ≥ 1，即 的最小值为1．
法2(分离法)：由 ( ) = ln + + 2 ≥ 0且 > 0，
ln +2
得 ≥ 对任意 > 0佰成立
+1
1
ln +2 ln + 1
设 ( ) = ，所以 ′( ) = 2 ， +1 ( +1)
1 1 1 +1
令 ( ) = ln + 1，则 ′( ) =
2
=
2
< 0
1
所以函数 ( ) = ln + 1在(0,+∞)上是减函数，且 (1) = 0．

所以当 ≥ 1时， ( ) ≤ 0；当0 < < 1时， ( ) > 0．
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当 ∈ (0,1), ′( ) > 0, ( )单调递增；
当 ∈ (1,+∞), ′( ) < 0, ( )单调递减，
( )max = ( )极大值 = (1) = 1，
所以 ≥ 1．
即 的最小值为1．
19.【答案】【详解】(1)依题意， = 3, = 4, = 6，则 = 3 + 6 1 = 8, = 4 + 6 1 = 9，
6 6
所以 6 = [(2 × 4 + 9) × 3 + (4 + 2 × 9) × 8] + (8 3) = 232． 6 6
(2)依愿意， = + 6, = + 6，
7 7
由给出的公式，得 [(2 + ) + ( + 2 ) ] + ( ) = 238，
6 6
7
即 [(3 + 6) + (3 + 12)( + 6)] + 7 = 238，整理得 + 3( + ) = 21，
6
而 , 为正整数，又21 = + 3( + ) ≥ 4 + 3，则1 ≤ ≤ 4，
3 +21 30
而 = = 3+ ，则 + 3是30的正约数，因此 + 3 = 5或 + 3 = 6，
+3 +3
= 2 = 3
{ 或{ ，所以 = 6．
= 3 = 2
( +1)
(3)依题意，第 所放物体个数为1 + 2 + 3 + + = ，
2
从上往下 层三角垛，将每层所放物体数乘以2，
从上往下各层物体数依次为：1 × 2,2 × 3,3 × 4, , ( + 1)，物体总数为2 ，
此时 = 1, = 2, = , = + 1，项数为 ，

2 = [(2 × 2 + + 1) × 1 + (2 + 2 + 2) × ] + ( 1) 6 6

= ( + 5 + 2 2 + 4 ) + ( 1) = (2 2 + 6 + 4)，
6 6 6
( 2+3 +2) ( +1)( +2)
所以 = = ． 6 6
【点睛】关键点点睛：正确理解“隙积术”的意义，确定公式中的各量是求解的关键．
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