资源简介 江苏省沭阳县建陵高级中学 2024-2025 学年高二(上)期末调研测试数学试卷一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设等差数列{ }的前 项和为 ,若 1 = 2, 4 = 8,则 5的值为( )A. 6 B. 20 C. 25 D. 302.函数 ( ) = 2 sin 在区间[0, ]上的平均变化率为( )1 1A. B. C. D. + 3.已知直线 过直线 2 = 0与直线 + + 3 = 0的交点,且与直线3 + 1 = 0平行,则直线 的方程为( )A. 3 + + 7 = 0 B. 3 + 7 = 0 C. 3 + + 3 = 0 D. 3 + 3 = 0 2 24.若方程 + = 1表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的取值范围是( )2 13 3 3 3A. (1,2) B. (1, ) C. ( , 2) D. (1, ) ∪ ( , 2)2 2 2 25.圆( 1)2 + ( 2)2 = 4上恰有3个点到直线 = 2 + 的距离等于1,则实数 的值为( )A. ±1 B. ±2 C. ±√ 5 D. ±2√ 5 6.当某种针剂药注入人体后,血液中该药的浓度 与时间 的关系式近似满足 ( ) = ,其中 ≥ 0,则血液中 该药的浓度,在 = 3时的瞬时变化率约是 = 4时的瞬时变化率的多少倍( ≈ 2.7)( )A. 1.8 B. 1.8 C. 3.6 D. 3.67.设 为数列{ }的前 项和,若3 + 2 = 2 ,则数列{ }的通项公式为( )1 1 A. = ( ) B. = ( ) C. = 2 D. = ( 2) 2 2 2 28.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 、 ,过 的直线与双曲线的左支相交于 , 两点,且∣ 1 ∣= 3 ∣ 1 ∣, ∠ 1 2 = 90 ,则双曲线的离心率为( )√ 5 √ 6 √ 10 5A. B. C. D.2 2 2 2二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的有( )A. 直线 + ( 1) + 2 = 0过定点(2,0)B. 点(1,1)关于直线 + 1 = 0的对称点为(0,2)第 1 页,共 10 页√ 10C. 两条平行直线 + 3 4 = 0与2 + 6 9 = 0之间的距离为20D. 当实数 = 2时,直线2 + 2 = 0和 + 1 = 0互相垂直10.已知数列{ }的首项 1 = 2,则下列说法中正确的有( )A. 若{ }是公差为2的等差数列,则{2 + 1}是以5为首项,4为公差的等差数列B. 若{ }是公差为2的等差数列,则{3 }是以9为首项,3为公比的等比数列C. 若{ }是公比为3的等比数列,则{ +1}是以8为首项,3为公比的等比数列D. 若{ }是公比为3的等比数列,则{ 3 }是以 32为首项,1为公差的等差数列11.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的通径长为2,焦点为 ,经过点 的直线交抛物线 于 ( 1, 1)、 ( 2, 2)两点,则下列说法中正确的有( )1A. 1 2 = 41B. 点 的坐标为( , 0)2C. 设点 (3, 2),若点 为 上的动点,则| | + | |的最小值为4D. 过点 ( 2,1)作抛物线 的两条切线,切点分别为 、 ,点 为 的曲线段 上任意一点,则△ 面5√ 5积的最大值为2三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 2 2 2 212.已知椭圆 + 2 = 1与双曲线 = 1有相同的焦点,则实数 的值为 . 4 213.已知点 ( 1,0), (1,0),若直线 = + 4上存在点 ,使| |2 +| |2 = 10,则实数 的取值范围是 .14.令 ( ) = 2,对抛物线 = ( )持续实施下面“牛顿切线法”的步骤:在点(1,1)处作抛物线的切线交 轴于( 1, 0);在点( 1, ( 1))处作抛物线的切线,交 轴于( 2, 0);在点( 2, ( 2))处作抛物线的切线,交 轴于( 3, 0);……得到一个数列{ },则 1的值为 ;数列{ 1 +1}的前 项和 =2四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)1 1已知函数 ( ) = 3 + , ∈ ,且满足 ′(2) = 03 3第 2 页,共 10 页(1)求实数 的值;(2)求函数 = ( )在区间[ 3,3]上的最大值和最小值.16.(本小题12分)已知圆 的圆心在直线 2 = 0上,且过两点 (0,2)、 (4,6).(1)求圆 的方程;(2)直线 过点 (6,1),且与圆 相交于 , 两点,若∣ ∣= 4√ 3,求直线 方程.17.(本小题12分) 2 2 1 3已知椭圆 1: 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ,且过点(1, ),其中 为坐标原点. 2 2(1)求椭圆 1的方程;(2)过椭圆 1的右顶点作直线与抛物线 : 22 = 2 相交于 , 两点;①求证: ⊥ ;②设射线 , 分别与椭圆 1相交于点 , ,求 到直线 的距离.18.(本小题12分)已知函数 ( ) = ln + + 2, ∈ .(1)若曲线 = ( )在点(1, (1))处切线方程为 = + 1,求实数 的值; 1+ 2 ( (2)设函数 = ( )在区间 上有定义,若对任意的 , ∈ ,都有 ( ) ≤ 1)+ ( 2)1 2 ,则称函数 = ( )2 2为区间 上的下凸函数.利用上述定义证明:函数为定 = ( )定义域上的下凸函数;(3)若对任意的 ∈ (0,+∞),都有 ( ) ≥ 0,求实数 的最小值.19.(本小题12分)北宋的数学家沈括博学多才,善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢 ”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体,但中间是有空隙的,应该把它们看成离散的量.经过反复尝试,沈括提出对于上底有 个,下底有 个,共 层的堆积物(如图1所示),可 以用公式 = [(2 + ) + ( + 2 ) ] + ( )求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”,相当于求数6 6列 , ( + 1)( + 1), ( + 2)( + 2), , ( + 1)( + 1) = 的和.然而,“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式,而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究,开创了我国“垛积数”的研究.第 3 页,共 10 页(1)若 = 3, = 4,求 的值;(2)若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,求该垛积最上层的小球个数 ;(3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况,即指的是顶层放1个,第二层放3个,第三层放6个,第四层放10个,…,设第 层放 个物体堆成的堆垛(如图2所示),利用上述材料,求从上往下 层三角垛的物体总数 .第 4 页,共 10 页1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】 12.【答案】113.【答案】 ≤ √ 3或 ≥ √ 31 +314.【答案】 ;3 2 2 1 115.【答案】【详解】(1)因为 ( ) = 3 + ,3 3所以 ′( ) = 2 ,令 ′(2) = 0,即方程22 = 0,解得 = 41 1(2)由(1)知, ( ) = 3 4 + ,所以 ′( ) = 2 4,3 3令 ′( ) = 0,即 2 4 = 0,解得 = ±2.列表如下: 3 ( 3, 2) 2 ( 2,2) 2 (2,3) 3 ′( ) + 0 0 +10 17 8 ( ) ↗ ↘ 5 ↗ 3 3 3当 ∈ ( 3, 2)时, ′( ) > 0, ( )单调递增:当 ∈ ( 2,2)时, ′( ) < 0, ( )单调递减:第 5 页,共 10 页当 ∈ (2,3)时, ′( ) > 0, ( )单调递增.17所以 ( )有极大值 ( 2) = ; ( )有极小值 (2) = 5310 8又 ( 3) = , (3) = .3 317所以函数 ( )在区间[ 3,3]上的最大值为 ,最小值为 5.316.【答案】【详解】(1)设圆 的方程为( )2 + ( )2 = 2,因为圆 的圆心在直线 2 = 0上,所以 = 2 .因为圆 过 (0,2), (4,6),(0 )2 + (2 )2 = 2代入圆 方程{(4 )2 + (6 )2 2= 解得 = 4, = 2, = 4故圆 的标准方程为( 4)2 + ( 2)2 = 16.(2)设 到 的距离为 ,由 = 2√ 16 2 = 4√ 3,解得 = 2当直线 斜率不存在时, : = 6, = 2,满足题意.当直线 斜率存在时,设直线 方程为 1 = ( 6),即 6 + 1 = 0|2 +1| 3则圆心 (4,2)到直线 的距离为 = = 2,解得 = ,2 4√ +13 7直线 方程为 = 4 2综上,直线 方程为 = 6或3 4 14 = 02 21 117.【答案】【详解】(1)由椭圆 1的离心率为 ,可得: 2 = ,整理得:3 2 = 4 2,2 4 2 2 2 4 2则椭圆 1: 2 + 2 = 1的方程可化为 + 2 3 2= 1.3代入点(1, )得 2 = 4,2 2 2则椭圆 1的方程为 + = 1. 4 3(2)第 6 页,共 10 页 2 2由椭圆 1方程为 + = 1可得:该椭圆的右顶点为(2,0). 4 3①设 ( 1, 1), ( 2, 2),当直线 的斜率为0时,直线 与抛物线 2只有一个交点,不满足题意.当直线 的斜率不为0时,设直线 的方程为 = + 2, 2 = 2 联立方程组{ ,整理得 2 2 4 = 0, = + 2 = 4 2 + 16 > 0则 1, 2为方程 2 2 4 = 0的两不等根,有{ 1 + 2 = 2 . 1 2 = 4因为 = ( , ), 1 1 = ( 2, 2), 2 2 16所以 = 1 21 2 + 1 2 = + = 4 = 0, 2 2 1 2 4故 ⊥ .②法一:设 ( 3, 3), ( 4, 4),直线 为 = + . = + 由联立方程组{ 2 2 ,整理得:(3 2 + 4) 2 + 6 + 3 2 12 = 0( ),+ = 14 3 = 36 2 2 12(3 2 + 4)( 2 4) > 0 6 由 , 为方程 的两不等实数根,得 3 + 4 =3 4 3 2+4 .3 2 12 3 { 4=3 2+4由①知 ⊥ ,则 ⊥ ,有 = 0.因为 = ( 3, 3), = ( 4, 4),所以 3 4 + 3 4 = ( 3 + )( 4 + ) + 3 4 = ( 2 + 1) 3 4 + ( 3 + 24) + = 0,3 2 12 6 7 2 12 2 12整理得:( 2 + 1) 2 + 2 + 2 = = 0,3 +4 3 +4 3 2+4则有7 2 = 12( 2 + 1).| | √ 12√ 2+1 2√ 21则根据点到直线距离公式可得:点 到直线 的距离为 = = = .√ 2+1 √ 7√ 2+1 7第 7 页,共 10 页法二:不妨设 位于 轴的上方,则点 在第一象限,点 在第四象限1设直线 : = ( > 0),则直线 : = = 2√ 3 2√ 3 联立直线 和椭圆 1得方程{ 2 2 ,解得 ( , ).+ = 1 √ 2 24 3 3+4 √ 3+4 2√ 3 2√ 3同理可得 ( , )√ 2 √ 2 3 +4 3 +42 21 1则| | = 2√ 3√ ( ) + ( + )√ 2 2 2 2 3+4 √ 3 +4 √ 3+4 √ 3 +42√ 7(1+ )= 2√ 3 ,√ 2 2 3+4 √ 3 +42√ 3| | = √ 1 + 2 ,,√ 2 3+4 2√ 3| | = √ 1 + 2 ,√ 2 3 +4则根据三角形等面积可得:2 22√ 3√ 1+ 2√ 3√ 1+ | | | | √ 2 2 3+4 √ 3 +4 2√ 21点 到直线 的距离为: = = 2 = . | | 72√ 3;√ 7 (1+ )√ 2√ 2 3+4 3 +4118.【答案】【详解】(1)因为 ′( ) = + , 所以 ′(1) = 1 + = 1,解得 = 2.(2)定义域为(0,+∞),设 1, 2 ∈ (0,+∞), + 则 ( 1 21) + ( 2) 2 ( ) 2 1 + 2 1 + 2= ln 1 + 1 + 2 ln 2 + 2 + 2 2( ln + + 2) 2 2 1 + 2 1 + 22= ln 1 ln 2 + 2ln = ln ( ) ln( 1 2 2 2)( 1 + 2)2= ln4 1 2因为 1, 2 ∈ (0,+∞),所以( 1 + )22 = 21 + 22 + 2 1 2 ≥ 4 1 2 > 0,第 8 页,共 10 页( 1+ )2所以 2 ≥ 1(当且仅当 1 = 2时取等号) 4 1 2( + )2所以ln 1 2 ≥ ln1 = 0(当且仅当 4 1= 2时取等号)1 2 所以 ( ) + ( ) 2 ( 1+ 21 2 ) ≥ 0, 2 1+ 2 ( 1)+ ( )即 ( ) ≤ 22 2所以 ( )是定义域内的下凸函数.1 1(3)法1:因为 ′( ) = + = , 当 ≤ 0时,因为 > 0,所以 ′( ) < 0,即 ( )为减函数,又 (1) = 2 2 < 0与 ( ) ≥ 0矛盾,所以 ≤ 0不满足题意; 1 1当 > 0时,令 ′( ) = = 0,解得 = ∈ (0,+∞) 1所以当 ∈ (0, )时, ′( ) < 0, ( )单调递减; 1当 ∈ ( ,+∞)时, ′( ) > 0, ( )单调递增; 1所以 ( )min = ( ) = ln + 1. 1设 ( ) = ln + 1( > 0), ′( ) = + 1 > 0,所以 ( )在(0,+∞)是增函数, 又 (1) = ln1 + 1 1 = 0,所以当 ≥ 1时, ( ) ≥ 0;当0 < < 1时, ( ) < 0.因为 ( ) ≥ 0恒成立,所以 ≥ 1.综上可得 ≥ 1,即 的最小值为1.法2(分离法):由 ( ) = ln + + 2 ≥ 0且 > 0,ln +2得 ≥ 对任意 > 0佰成立 +11ln +2 ln + 1设 ( ) = ,所以 ′( ) = 2 , +1 ( +1)1 1 1 +1令 ( ) = ln + 1,则 ′( ) = 2= 2< 01所以函数 ( ) = ln + 1在(0,+∞)上是减函数,且 (1) = 0. 所以当 ≥ 1时, ( ) ≤ 0;当0 < < 1时, ( ) > 0.第 9 页,共 10 页当 ∈ (0,1), ′( ) > 0, ( )单调递增;当 ∈ (1,+∞), ′( ) < 0, ( )单调递减, ( )max = ( )极大值 = (1) = 1,所以 ≥ 1.即 的最小值为1.19.【答案】【详解】(1)依题意, = 3, = 4, = 6,则 = 3 + 6 1 = 8, = 4 + 6 1 = 9,6 6所以 6 = [(2 × 4 + 9) × 3 + (4 + 2 × 9) × 8] + (8 3) = 232. 6 6(2)依愿意, = + 6, = + 6,7 7由给出的公式,得 [(2 + ) + ( + 2 ) ] + ( ) = 238,6 67即 [(3 + 6) + (3 + 12)( + 6)] + 7 = 238,整理得 + 3( + ) = 21,6而 , 为正整数,又21 = + 3( + ) ≥ 4 + 3,则1 ≤ ≤ 4, 3 +21 30而 = = 3+ ,则 + 3是30的正约数,因此 + 3 = 5或 + 3 = 6, +3 +3 = 2 = 3{ 或{ ,所以 = 6. = 3 = 2 ( +1)(3)依题意,第 所放物体个数为1 + 2 + 3 + + = ,2从上往下 层三角垛,将每层所放物体数乘以2,从上往下各层物体数依次为:1 × 2,2 × 3,3 × 4, , ( + 1),物体总数为2 ,此时 = 1, = 2, = , = + 1,项数为 , 2 = [(2 × 2 + + 1) × 1 + (2 + 2 + 2) × ] + ( 1) 6 6 = ( + 5 + 2 2 + 4 ) + ( 1) = (2 2 + 6 + 4),6 6 6 ( 2+3 +2) ( +1)( +2)所以 = = . 6 6【点睛】关键点点睛:正确理解“隙积术”的意义,确定公式中的各量是求解的关键.第 10 页,共 10 页 展开更多...... 收起↑ 资源预览