资源简介 2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题考点一 三角函数概念一、单项选择题1.(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T8)已知实数“”是“”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解】当时,,且,充分性成立;当时,未必有,例如时,此时,但不满足.所以实数“”是“”的充分而不必要条件.故选:A.二.填空题:1.(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T11)如图所示,在平面直角坐标系中,角的终边与单位圆交于点在第二象限,,则点的坐标为__________.【答案】【解】∵,∴,∴.故答案为考点二 三角恒等变换一、单项选择题1.(2025届成都市郫都区高三三模T4),,,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由得,由,可得,由差角公式可解.【解】由,可得,又,所以,故,,解得,故选:B.2.(2025届烟台市、东营市高三联考一模T3)已知,则( )A. B. C. D. 2【答案】C【分析】应用诱导公式化简,再由弦化切求值即可.【解】由;故选:C.3.(2025届安徽皖南八校高三8月考试T5)已知,则值为( )A. B. C. D. 1【答案】C【解】因为,所以,,即,所以,解得(负根舍去).故选:C.4.(2025届福建省漳州市高三第一次质量检测T4)若,则( )A. B. C. D.【答案】C【解】由,得,即,由,得,故,则,故选:C5.(2025届广东省八校高三上8月联考T4)已知,则( )A. B. C. D. 1【答案】C【解】由,由,可得,所以;故选:C6.(2025届广东省高三毕业班第一次调研考试T4)已知 ,则 ( )A. B. C. D.【答案】B【解】由题干得所以 ,故选:B.7.(2025届广东省六校高三第一次联考T4)已知,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解】因为,所以,因为,所以,故,,,,所以,,所以;故选:C.8.(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T7)已知,且,则( )A. -1 B. C. D.【答案】D【解】由题意得,则,又因为,所以,同号,又因为,则,同正,所以,则,所以,所以,故D正确;故选:D.9.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T6)已知,则( )A. B. C. D.【答案】A【解】∵,∴,∴,故选:A.10.(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T6),则( )A. B. C. D.【答案】D【解】由已知可得,解得,,,故选:D.11.(2025届湖南省名校高三上第二次联考T6)若为锐角,且,则( )A. B. C. D.【答案】B【解】,所以,因为为锐角,故.故选:B12.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T4)已知,则( )A. B. C. D.【答案】A【解】因为,又,则可得;所以,故选:A.13.(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T5)若,则( )A. B. C. D.【答案】B【解】因为,所以,所以,故选:B14.(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T6)已知,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解】由得,由得,联立方程得:,,所以;故选:A15.(2025届江苏省常州市高三上第一次质量测试T3),,,若,则( )A. B. C. D.【答案】B【解】因为,所以,,,所以或,又,所以,所以,所以,故选:B.16.(2025届江苏省高三云帆杯8月学情调研考试T4)已知,,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解】因为且,;所以;因为且,;所以,所以;故选:B.17.(2025届高三天枢杯第二届线上联考T9)不是方程的解的选项是( )A. B. C. D.【答案】B【解】由于,由于,其中,,,由可得,结合三倍角公式可得当时,,故只需要,且即可,故,,均是方程的根,但,故不是方程的根;故选:B18.(2025届江苏省海门中学高三第一次调研考试T7)锐角、满足,若,则( )A B. C. D.【答案】B【解】由,所以,所以;又、均为锐角,所以,所以;所以;故选:B19.(2025届江西省多所学校第一次大联考T5)锐角满足,则( )A. B. C. D.【答案】A【解】因为,所以,又因为为锐角,则,而在上单调递减,从而,即;故选:A.20.(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T6)已知角,满足,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解】,,,,,故选:A.21.(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T7)若,则( )A. B. C. D.【答案】C【解】,;故选:C.22.(2025届山西省大同市高三第一次学情调研T3)已知,且,则( )A. B. C. D.【答案】D【解】因为,整理得,又,所以.故选:D.23.(2025届陕西省宝鸡市金台区高三上第一次模拟T4)若,且,则( )A. B. C. D.【答案】D【解】因为,又,即,则,所以,故.故选:D24.(2025届四川省高三上入学摸底考试T3),则( )A. B. C. D.【答案】D【解】由,则,因此可得,故选:D.25.(2025届浙江省部分学校高三上返校联考T4)已知,则( )A. B. C. D.【答案】A【解】,,解得:,.故选:A.26.(2025届浙江省数海漫游高三第一次模拟考试T2)已知,,则( )A. 1 B. 2 C. D.【答案】C【解】因为,且,所以;故选:C.27.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T2)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则( )A. 0 B. C. D.【答案】D【解】因为,即,所以,,所以;故选:D28.(2025届安徽省部分学校高三上8月联考T6)( ).A. B. C. D.【答案】D【解】;故选:D.29.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T3)已知点是角终边上一点,则( )A. B. C. D.【答案】B【解】;所以;故选:B.二、多项选择题1.(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T9),则下列正确的是( )A. B. C. D.【答案】BC【解】,则,故A错误;,故B正确;又,当,则,所以,所以,即,故C正确;当,则,所以,所以,故不使得,故D错误;故选:BC2.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T10),则( )A. 的值域为 B. 是周期函数C. 在递减 D. 的图像关于直线对称,但不关于点对称【答案】BCD【解】对于A,.因为,且,所以的值域是,A错误.对于B,的定义域且,对任意恒有,B正确.对于C,在有意义,当时,,所以在单调递减,C正确.对于D,,的图象关于直线对称,且的定义域关于对称,所以的图像关于直线称.,的图象关于点对称,但的定义域不关于点对称,所以的图象不关于点对称,D正确.故选:BCD.三.填空题:1.(2025届成都市郫都区高三三模T12)____________.【答案】【解】;故答案为.2.(2025届四川省大数据精准联盟高三上一模T12)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则________.【答案】【解】由题意可知,所以,故答案为:3.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试T13)如图,圆与轴的正半轴的交点为,点,在圆上,且点位于第一象限,点的坐标为,.若,则的值为____________.【答案】【解】圆的半径为1;又,为等边三角形;,且为锐角..由三角函数的定义可得,;故答案为:.4.(2025届上海新高三开学摸底T6)若,则 .【答案】【解】,,.故答案为:.5.(2025届安徽省江淮十校高三第一次联考T12)已知,则______.【答案】或.【解】当,当;故答案为:或.考点三 三角函数图象性质一、单项选择题1.(2025成都市川师附中二诊模拟T4)已知函数的部分图象如图所示,将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则( )A. B. C. 1 D. 0【答案】B【分析】根据图象求出的解析式,再由图象平移确定的解析式,进而求函数值.【解】由图知,则,由,则,可得,又,则,故,由题意,故.故选:B2.(2025届成都七中高新校区二诊模拟T8)已知函数的图象如图所示,图象与轴的交点为,与轴的交点为,最高点,且满足.若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为,则( )A. B. 0 C. D.【答案】A【分析】根据图象,利用正弦型函数的性质、向量垂直的充要条件以及诱导公式进行求解.【解】由图象可知,,所以,又,所以,所以,又,所以,又,所以,所以,所以点的坐标为,因为,所以,即,又,解得,所以,将的图象向左平移1个单位,得到的图象对应的函数为:,所以,故选:A.3.(2025届四川省自贡市二模T7)已知函数的部分图象如图所示,为图象与轴的交点,为图象与轴的一个交点,且.若实数,满足,则( )A. B. 0 C. D. 2【答案】C【分析】先根据函数图象确定的值,再利用、两点坐标及距离公式求出点纵坐标,进而确定,然后求出得到函数表达式,最后根据计算.【解】由的图象可知,,则.已知,设,根据两点间距离公式,因为,所以,即,解得(由图象可知点纵坐标为负).因为在的图象上,所以,即,又因为,所以,则.因为在的图象上,所以,即,,,,.由图象可知,(为函数周期),,又,所以,,当时,满足条件,所以.因为的最大值为,最小值为,已知,所以,一个为,一个为.不妨设,,则,,解得;,,解得;所以;将代入得:;故选:C.4.(2025届湖南省名校高三上第二次联考T5)函数在()内没有最小值,且存在,使得,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解】当时,此时,; ,,不满足存在,使得,故排除A,D当时,此时,, ,,,此时不满足题意,故排除C;综上所述B正确;故选:B5.(2025解湖南省长郡中学高三上第一次调研考试T7)函数,对于任意的,,都恒成立,且函数在上单调递增,则的值为( )A. 3 B. 9 C. 3或9 D.【答案】A【解】设周期为,在上单调递增,所以,得,因此.由知的图象关于直线对称,则①.由知图象关于点对称,则②.②①得,令,则,结合可得或9.当时,代入①得,又,所以,此时,因为,故在上单调递增,符合题意;当时,代入①得,,又,所以,此时,因为,故在上不是单调递增的,所以不符合题意,应舍去.综上,的值为3.故选:A.6.(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T1)在下列区间函数单调递减的是( )A. B. C. D.【答案】B【解】根据正弦函数的图象,作出函数的图象,如图所示,可得函数区间上单调递减;故选:C.7.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T7)将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合,则的最小值为( )A. 7 B. 5 C. 9 D. 11【答案】D【解】,,,由题可知,,,解得,,又,当时,取得最小值11.故选:D.8.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T8)函数在上只有一个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解】由,易知,令,则由题意知;故选:A9.(2025届山东省部分学校高三上开学联考T7)设函数,若对于任意实数在区间上至少2个零点,至多有3个零点,则取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解】令,则,令,则,则原问题转化为在区间上至少2个,至多有3个t,使得,求得取值范围,作出与的图象,如图所示,由图知,满足条件的最短区间长度为,最长区间长度为,∴,解得.故选:B.10.(2025届山西省大同市高三第一次学情调研T6)已知函数在区间内有最大值,但无最小值,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解】,因为,所以时,;因为函数在区间内有最大值,无最小值,结合正弦函数图像得,解得,故选:A.11.(2025届浙江省部分学校高三上返校联考T7)已知函数,若方程在上有且只有五个实数根,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解】由,得:或,即,或,易知由小到大第5、6个正根分别为,;因为方程在上有且只有五个实数根,所以有且,解得;故选:C.12.(2025届福建省漳州市高三第一次教学质量检测T7)已知函数,若方程在区间上恰有3个实数根,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解】当时,,由题意得在上有3个实根,即可得,解得,即的取值范围是;故选:C.13.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试T5)在区间上是增函数,且,,则函数在区间上( )A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值【答案】C【解】函数在区间上是增函数,且,,则当时,,而函数在区间上先增后减,所以,函数在区间上先增后减,当,该函数取到最大值.故选:C.14.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T7)将函数的图象绕原点逆时针旋转角,得到曲线.若曲线始终为函数图象,则的最大值为( )A. B. C. D. 1【答案】A【解】令原函数为,即,求导得,当时,,函数在上单调递增,函数的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2,记时的点为,令函数图象在处的切线倾斜角为,则,曲线在除端点外的任意一点处的切线垂直于轴时,则曲线上存在两点,其横坐标相同,而曲线始终为函数图象,因此,而,则,所以的最大值为;故选:A二、多项选择题1.(2025届成都七中高新校区二诊模拟T10)在上恰有3个零点,则( )A. B. 在上单调递减C. 函数在上最多有3个零点 D. 在上恰有2个极值点【答案】BC【分析】,根据范围得到的范围,结合图像列出不等式,则得到的范围,利用代入检验法即可判断B选项,对C选项证明达不到四个零点,再列举三个零点的情况即可,对D选项,找到一个值满足3个极值点即可.【解】,;,,,函数在上恰有3个零点,故,解得,故A错误,当,,,,,而正弦函数在上单调递减,故函数在上单调递减,故B正确,令,即,解得,,,区间长度为,若在某闭区间上有四个解,则区间长度至少为,比如,则不可能存在四个解,当时,即,,则或或,解得或或,故最多有3个零点,故C正确.当时,此时,令,;解得,,则 ,解得,,,当时,,当时,,当时,,此时上有3个极值点,故D错误,故选:BC.【点睛】关键点睛:首先利用辅助角公式将函数化成关于正弦的函数,然后整体法结合图像得到关于的不等式,即可求出其范围,单调性问题可以通过代入检验,零点个数和极值点个数问题,通过寻找特例去证明或反驳,这也是选择题常用的方法.2.(2025届四川省自贡一中二模T9)已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到,则( )A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称【答案】AD【分析】首先求出函数解析式,由周期知A正确;整体代入法求函数的增区间、对称轴、对称中心知其他选项是否正确.【解】因为,向右平移个单位得,对于选项A:则最小正周期为,故A选项正确;对于选项B:令,解得,所以单调递增区间为,故B选项错误;对于选项C:令,解得,故C选项错误;对于选项D:令,解得所以函数的对称中心为,故D选项正确.故选:AD.3.(2025届烟台市、东营市高三一模T9)已知函数,则( )A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称C. 在区间上的取值范围为D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到【答案】ABD【分析】应用二倍角正余弦公式化简函数式,再应用正弦型函数性质判断A、B、C;根据图象平移写出解析式即可判断D.【解】由,所以,A对;,即的图象关于直线对称,B对;由上,故,C错;向右平移个单位长度,,D对;故选:ABD4.(2025届山东省部分学校高三7月联考T10)如图为函数的部分图象,则下列说法中正确的是( )A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于点成中心对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移后关于轴对称【答案】BC【解】对于A,由图可知,所以,A错误;对于B,因,图象过点,所以,所以,即,所以,因为,所以点为函数的一个对称中心,B正确;对于C,,由解得,所以为函数的一个单调递增区间,所以,在区间上单调递增,C正确;对于D,将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得,再向右平移得,为奇函数,D错误;故选:BC5.(2025届安徽省江淮十校高三第一次联考T10)函数部分图象如图所示,其中,图象向右平移个单位后得到函数的图象,且在上单调递减,则下列说正确的是( )A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于5 D. 的最小值为2【答案】BD【解】由函数图象,可得,所以,所以,解得,又由函数的图象过点,且,当时,可得,所以,解得,因为,可得;当时,可得,所以,解得,因为,不存在,舍去,综上可得,,,所以,所以A不正确,B正确;又因为,所以是函数的一条对称轴,所以B正确;将函数的图象向右平移个单位后,得到,因为在上单调递减,则满足.解得,当时,,而,故不可能等于5,所以C错误.当时,,又因为,所以,所以D正确.故选:BD.6.(2025届广东省部分学校高三摸底联考T10)如图,与轴的其中两个交点为,,与轴交于点,点为中点,,,,则( )A. 的图象不关于直线对称 B. 的最小正周期为C. 图像关于原点对称 D. 在单调递减【答案】ACD【解】由题可,,,则,有,;,,把代入上式,得,解得(负值舍去),,,由,解得,;解得,,对A,,故A正确;对B:的最小正周期为,故B错误;对C:,为奇函数,故C正确;对D:当时,,在单调递减,为奇函数,故D正确;故选:ACD.7.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T9)已知函数的最小正周期为,则下列结论中正确的是( )A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为【答案】BCD【解】,故,故,对于A, ,故的图像关于点对称,A错误,对于B,,的图像关于直线对称,故B正确,对于C,当时,,故在上单调递增,C正确,对于D,时,,故,故,D正确,故选:BCD8.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T10)函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )A. B. 函数在区间上单调递增C. D. 函数的图象关于直线对称【答案】BC【解】由图象可知,,解得,所以,将点代入中,得,解得,又,所以,所以,故A错误;所以函数的解析式为;由,得,令,则在上单调递增,所以函数在区间上单调递增,故B正确;,故C正确;,所以函数的图象不关于直线对称,故D错误;故选:BC.9.(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T10)已知函数,则( )A. 的一个对称中心为B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象C. 在区间上单调递增D. 若在区间上与有且只有6个交点,则【答案】BD【解】对于A,由,故A错误;对于B,的图象向右平移个单位长度后得:,为奇函数,故B正确;对于C,当时,则,所以:在区间上单调递减,故C错误;对于D,由,得,解得或,在区间上与有且只有6个交点,其横坐标从小到大依次为:,而第7个交点的横坐标为,,故D正确;故选:BD10.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T10)已知函数(,),函数的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )A. 的表达式可以写成B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C. 的对称中心(,1),D. 若方程在(0,m)上有且只有6个根,则【答案】AB【解】对A,由图分析可知:得;由,得,即,又,所以,又,所以,即得,,又,所以,所以,故A正确;对B,向右平移个单位后得,为奇函数,故B正确;对于C,,令()得(),所以对称中心(,1),,故C不正确;对于D,由,得,因为,所以,令,,,,,,解得,,,,,.又在(0,m)上有6个根,则根从小到大为,,,,,,再令,解得,则第7个根为,,故D错误.故选:AB.11.(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T10),则下列结论正确的是( )A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为 D. 最大值为1【答案】AC【解】,故A正确;,所以不是对称轴,故B错误;,所以是的一个零点,故C正确;因为振幅,所以的最大值为,故D错误;故选:AC.12.(2025届湖南省岳阳县一中高三上入学考试T10)函数的图象如图所示,将其向左平移个单位长度,得到的图象,则下列说法正确的是( )A. B. 函数的图象关于点对称C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减【答案】ABD【解】函数,当,此时,,因为,所以,所以,故A正确;,所以关于点对称,故B正确;函数图象向左平移个单位长度后得到,,当时,,所以函数的图象不关于直线对称,故C错误;,当时,,所以函数在上单调递减,故D正确;故选:ABD13.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T9)已知向量,则( )A. 若,则 B. 若,则C. 的最大值为5 D. 若,则【答案】AD【解】因为,,所以,,对于A,若,则,所以,故A正确;对于B,若,则,所以,又,解得或,故B错误;对于C,,其中,当时,取得最大值,故C错误;对于D,若,则,即,所以,所以,故D正确;故选:AD.14.(2025届江苏省常州市高三上第一次质量测试T9),下列说法正确的是( )A. 最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心C. 若在上有两个实数根,则D. 若的导函数为,则函数的最大值为【答案】ACD【解】由题意可得,故A正确;,所以不是图象的一个对称中心,故B错误;令,由得,可转化为直线与曲线,有两个交点,数形结合可得,故C正确;设为的导函数,则,其中,当且仅当,即当且仅当时等号成立,故D正确,故选:ACD.15.(2025届江苏省高三云帆杯8月调研考试T9)已知函数,则下列函数为周期函数的是( )A. B. C. D.【答案】ABD【解】不妨令表示四个选项中的对应函数,对于A,易知, 注意到,因此为周期函数,故A正确;对于B,注意到,因此为周期函数,故B正确;对于D,注意到,因此为周期函数,故D正确;对于C,易知,假设存在正常数T,使得恒成立,分别取,得:,,.不妨设,其中,,,由于,而为无理数,则上式不恒成立,∴T不存在,不是周期函数,故C错误.故选:ABD16.(2025届江苏省海安高中高三上期初检测T9)下列函数中,在区间上单调递减的函数是( )A. B. C. D.【答案】AC【解】A选项,对于,由,得,所以在区间上单调递减的函数,A选项正确.B选项,对于,由,得,不符合题意.C选项,由,得,且,所以在区间上单调递减的函数,C选项正确.D选项,对于,由,得,不符合题意;故选:AC17.(2025届江苏省海安高中高三上期初检测T11).则下列结论正确的是( )A. 图像关于点中心对称 B. 图像关于直线对称C. 的最大值为 D. 既是奇函数又是周期函数【答案】ABD【解】A:因为,,所以,因此图像关于点中心对称,所以本选项结论正确;B:因为,,所以,因此图像关于直线对称,所以本选项结论正确;C:,设,所以,当时,单调递减,当时,单调递增,当时,单调递减,当时,函数有极大值,极大值为:,而,所以函数的最大值为,因此本选项结论不正确;D:因为,所以是奇函数,因为,所以是周期函数,因此本选项结论正确,故选:ABD18.(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T9)函数的部分图象如图所示,令,则( )A. 的一个对称中心是 B. 的对称轴方程为C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为【答案】ABD【解】由题图可得函数的最小值为,,又,,,所以,结合对称性可得函数的图象过点,所以,解得,又,所以,所以,所以,所以.对于A,当,,所以是的一个对称中心,故A正确;对于B,令,,可得,,故的对称轴为,,故B正确;对于C,时,,所以,故在上值域为,故C错误;对于D,令,解得,所以的单调递减区间为,故D正确;故选:ABD.19.(2025届四川省大数据精准联盟高三一模T9)的最小正周期为,则( )A. 的最大值为2B. 在上单调递增C. 的图象关于点中心对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到【答案】ACD【解】易知,其最小正周期为,所以,即,显然,故A正确;令,显然区间不是区间的子区间,故B错误;令,则是的一个对称中心,故C正确;将的图象向右平移个单位得到,故D正确;故选:ACD20.(2025届四川省高三上入学摸底考试T9)已知函数,则( )A. 的最小正周期为 B. 与有相同的最小值C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将向左平移个单位长度后得到的图像【答案】ABD【解】因为,对于选项A:的最小正周期,故A正确;对于选项B:与的最小值均为,故B正确;对于选项C:因为,可知直线不为图象的对称轴,故C错误;对于选项D:将向左平移个单位长度后,得到,故D正确.故选:ABD.三.填空题:1.(2025届山东省部分学校高三7月联考T13)已知函数在区间内恰有3个零点,则的取值范围是______.【答案】【解】,当时,,由于函数在区间内恰有3个零点,则有,解得,所以的取值范围是;故答案为:2.(2025届安徽省部分学校高三上8月联考T13)已知函数在区间上单调递增,且,则__________.【答案】【解】由,,且的最大值为,最小值为,由,可知当且仅当且时等式成立.又函数在区间上单调递增,故与为两条相邻的对称轴,所以周期,从而,故,故,,由代入解析式可得,则,则,故;故答案为:.3.(2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试T13)已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形,则______.【答案】【解】如图,设与的交点分别为,由得,所以,则,由对称性和已知可得为等腰直角三角形,所以点到直线的距离为,即,解得.故答案为:4.(2025届广东省六校高三八月第一次联考T13)若函数与在区间上均单调递增,则实数的取值范围为___________.【答案】【解】当时,不具备单调性,当时,,若在区间上单调递增,则在在区间上单调递减,可得,因为在上是单调递增的,所以在上不可能单调递减,所以不成立,于是.若函数在区间上单调递增,则,,若函数在区间上单调递增,则,,因为,所以时,,综上所述,;故答案为:.5.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T12)将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象,则的值为__________.【答案】1【解】由已知得,所以;故答案为:1.6.(2025届江西省多所学校第一次大联考T13)已知函数在区间内恰有两个极值点,则实数的取值范围为__________.【答案】【解】当时,,由函数在内恰有两个极值点,可知,解得;故答案为:7.(2025届山东省泰安市部分学校高三上摸底联考T14)设是正实数,若函数在上至少存在两个极大值点,则的取值范围是______.【答案】【解】令,解得,.若在上无极大值点,则存在实数,使得,整理得到,解得,因为且存在,故,或,故或.若在上有且只有一个极大值点,则存在实数,使得,或,解得①或者②,对于①,因且存在,故且,故整数满足,当时,,当时,,当时,,故对于②,同理可得综上,在上无极大值点和有且只有一个极大值点时,.故函数在上至少存在两个极大值点,;故答案为:.考点四 解三角形一、单项选择题1.(2025届成都市川师附中二诊模拟T8)在中,若的平分线的长为,则边上的高线的长等于( )A. B. C. 2 D.【答案】B【分析】由可得的值,进而可求得、的值,结合余弦定理可得,由等面积法可求得.【解】由题意知,设,则,如图所示,由可得,整理得,即,又因为,所以,所以,所以,在中,由余弦定理得,所以,由可得,解得;故选:B.2.(2025届河南省部分学校高三7月联考T2)在中,角的对边分别为,若,则中角B的大小是( )A. B. C. D.【答案】D【解】设,则,由余弦定理得,又,所以;故选:D.3.(2025届河南省部分学校高三7月联考T6)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了,如图,测得,若点恰好在边上,则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解】在中,由余弦定理,;因为,所以,在中,由正弦定理,所以,解得,故选:C4.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T5;2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T6) 在△ABC中,,,则( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解】因为,所以,所以;故选:B5.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T2)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若,则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解】在直角中, ,即,在直角中;故选:A.6.(2025届湖南省岳阳县一中高三入学考试T4)在中,,则( )A. 3 B. 2 C. D. 1【答案】A【解】因为,所以,又,所以,得到,整理得,所以,故选:A.7.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T4)在中,“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解】若,则,故必要;当,,时,有,,故不充分;故选:B.8.(2025届江苏省高三云帆杯8月学情调研考试T7)锐角中,,,,则AB边上的高CD长为( )A. B. C. D.【答案】D【解】因为且为锐角三角形,可得,所以,因为为锐角三角形,所以,又,所以,解得,由正弦定理可得,所认,设边上的高长为,所以,;故选:D.9.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T6)在中,若,则的大小为( )A. B. C. D.【答案】D【解】因为,由正弦定理得,得,所以,即,因为,所以,所以,或,所以,或(舍),所以,所以;故选:D.二.填空题:1.(2025届广东省部分学校高三上开学摸底联考T12)在,角,,所对的边分别为,,,,交AC于点,且,则的最小值为___________.【答案】【解】,,,,,∴,当且仅当,即时,等号成立,故答案:2.(2025届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统考T13)已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边,,且,则面积的最大值为______.【答案】【解】因为,根据正弦定理可知,即,由余弦定理可知,又,故,又因为,所以,(当且仅当时取等号),即;所以,即面积的最大值为,故答案为:.3.(2025届吉林省吉林大学附中实验学校高三一模T13)在中,若,则的值为______.【答案】2023【解】因为,由余弦定理得,所以,所以,故答案为:2023.2025 届全国各地高三模拟试题分类精编 05三角函数小题考点一 三角函数概念一、单项选择题1.(2025 届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测 T8)已知实数 , ,“ + 2k ,k Z ”是“ sin + sin sin ”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解】当 + 2k ,k Z时, sin + 0,且 sin sin sin sin( 2k ) sin sin 0 ,充分性成立;当 sin + sin sin 时,未必有 + 2k ,k Z,例如 , 0时,此时 sin + sin sin 0,但不满足 + 2k ,k Z .所以实数 , ,“ + 2k ,k Z ”是“ sin + sin sin ”的充分而不必要条件.故选:A.二.填空题:1.(2025 届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测 T11)如图所示,在平面直角坐标系 xOy中,角 3的终边与单位圆交于点A在第二象限, cos ,则点A的坐标为__________.5 4 3 4 4 3cos 3 sin = 1-cos 2 = A , 4 3 【答案】 , 5 5 【解】∵ ,∴ ,∴ 5 5 .故答案为, 5 5 5 5 考点二 三角恒等变换一、单项选择题π1.(2025 4届成都市郫都区高三三模 T4)0 < β < α < 2,sin(α β) = ,tanα tanβ = 2,则 tanα tanβ =( )5A. 1 B. 1 C. 1 D. 52 2 3 30 < β < α < π π【答案】B【分析】由 得 < α β < π2 2 2,由 sin(α β),可得 tan(α β),由差角公式可解.π π 4 π【解】由 0 π2 ,可得 < α β <2 2,又 sin(α β) = > 0,所以 0 < α β < 2,53故 cos(α β) = ,tan(α β) = 4 = tanα tanβ = 2 13 1+tanαtanβ 1+tanαtanβ,解得 tanα tanβ = ,故选:B.5 2 ( + )2.(2025 届烟台市、东营市高三联考一模 T3)已知 tanα = 2,则 2 =( ) ( ) (3 2 )第 1 页 共 34 页A. 2 B. 2 C. 2 D. 23 3【答案】C【分析】应用诱导公式化简,再由弦化切求值即可. ( 【解】由 2+ )= = = 2 = 2;故选:C. ( ) (3 + +1 2+12 ) π 3.(2025 届安徽皖南八校高三 8 月考试 T5)已知 a 0, , sin3 5sinacos2 ,则 tan 值为( ) 2 A. 3 B.3 C. 2 D. 12 2【答案】C【解】因为 sin3 5sin cos2 ,所以sin 2 5sin cos2 ,sin cos2 cos sin2 5sin cos2 ,即 cos sin2 4sin cos2 ,所以 4tan tan2 2tan 2,解得1 tan 2 tan (负根舍去).故选:C. 24.(2025 届福建省漳州市高三第一次质量检测 T4)若 tan 2tan ,sin t,则 sin ( )A. 2t B. 2t C. 3t D. 3t【答案】C【解】由 tan 2tan sin 2sin ,得 cos cos ,即 sin cos 2cos sin ,由 sin t,得 sin cos cos sin t,故 sin cos 2t, cos sin t,则 sin sin cos cos sin 3t,故选:C1 tanx5.(2025 届广东省八校高三上 8 月联考 T4)已知 sin x y , 24 tany ,则 sin x y ( )1 1 3A. B. C. D. 14 2 4sin xtanx sinxcosy【答案】C cos x【解】由 tany sin y 2 sinxcosy 2cosxsinycosxsiny ,cos y1由 sin x y sinxcosy cosxsiny 2cosxsiny cosxsiny 1 cosxsiny 1 ,4 4 4可得 sinxcosy 2cosxsiny 1 ,所以 sin x y sinxcosy cosxsiny 1 1 3 ;故选:C2 2 4 4sin π 26.(2025 届广东省高三毕业班第一次调研考试 T4)已知 sin ,则 cos 2 π 3 3 ( ) 3 5 1 1 5A. B. C. D.9 9 9 92 π 1 3【答案】B【解】由题干得 sin sin sin cos sin 3 cos 1 sin cos π 3 3 2 2 2 2 6 2cos 2 π 2cos 2 π 2 1所以 1 2 1 ,故选:B. 3 6 3 97.(2025 届广东省六校高三第一次联考 T4)已知 sin m, tan 3tan ,则 sin ( )第 2 页 共 34 页m m m mA. B. C. D. 4 4 2 2【答案】C【解】因为 sin m,所以 sin cos cos sin m,因为 tan 3tan sin sin ,所以 3 ,故 sin cos 3sin cos π πcos cos , kπ , kπ ,k Z,2 2所以 sin cos 3m , cos sin m ,所以 sin sin cos cos sin m ;故选:C.4 4 28.(2025 届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测 T7)已知0 π,且sin cos 0,sin sin 6cos cos ,则 tan ( )1 1 1A. -1 B. C. D. 2 6 7【答案】D【解】由题意得 sin cos ,则 tan 1,又因为 sin sin 6cos cos ,所以 tan tan 6, tan , tan 同号,tan tan tan tan tan 又因为 1,则 tan tan 5, tan , tan 1 同正, tan tan 1 6π所以0 2,则 tan tan ,所以 tan tan tan tan 4 tan tan 52 4 6 1,2tan tan tan tan tan tan tan 1所以 1 tan tan 1 6 7 7 ,故 D 正确;故选:D. π π 1 π9.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T6)已知 cos cos ,则 cos 2 2 3 2 6 4 3( ) 1 1A. B. C. 3 3 D.2 2 2 2A π π π π π π π 【答案】 【解】∵ cos cos cos cos cos sin 2 3 2 6 2 3 2 3 2 2 3 2 3 1 sin 2π 1 sin π π 1 π 1 cos( ) 2 3 2 6 2 2 6 4, ∴ cos π 1 ,∴ cos 2 π π 1 2cos2 6 2 3 6 1 2,故选:A. 10.(2025 π 5届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考 T6) , 0, , cos , tan tan 42 6 ,则 ( ) π π π 2πA. B. C. D.6 4 3 3 5 cos cos 1 cos cos sin sin ,D 6 6【答案】 【解】由已知可得 sin sin ,解得 4 cos cos sin sin2 , 3 cos cos cos sin 1 sin , , π 0, , 0,π2 , 2π ,故选:D.2 3sin 2 911.(2025 届湖南省名校高三上第二次联考 T6)若 为锐角,且 cos ,则 cos ( )sin cos 1 5第 3 页 共 34 页4 3 7 3A. B. C. D. -5 5 25 5B sin cos 2 1 sin cos 1 sin cos 1 【答案】 【解】 sin cos 19 cos ,sin cos 1 sin cos 1 5所以 sin =4,因为 为锐角,故 cos 3 .故选:B5 52 312.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T4)已知 cos cos , cos ,则 cos ( )5 51 1 4 2A. B. C. D.5 3 5 32 2【答案】A【解】因为 cos cos ,又 cos cos cos sin sin sin sin 3 ,5 5 5则可得 sin sin 1 ;所以 cos cos cos sin sin 1 ,故选:A.5 5 π 13.(2025 届湖南省宁远县三中等高三上入学联考 T5)若 sin 3cos 1,则 cos 6 ( ) 1 1A. 3 B. C. D. 32 2 2 2 π π 1【答案】B【解】因为 sin 3cos 1,所以 2sin 3 1 sin 3 2, cos π cos π cos π 所以 cos π π sin π 16 6 6 2 3 ,故选:B 3 214.(2025 届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试 T6)已知 sin tan m, 2 sin tan ,则 ( )m mA. B. C. 3m D. 3m3 3【答案】A【解】由sin m得 sin cos sin cos m tan 2 sin cos ,由 得 2tan cos sin ,m联立方程得: sin cos 2 1 m, sin cos m,所以 sin sin cos sin cos ;故选:A3 3 3 15.(2025 届江苏省常州市高三上第一次质量测试 T3)a sin ,1 4cos2 ,b 1,3sin 2 , 0, 2 ,若 a//b ,则 tan 4 ( ) 1 1 2A. B. C. 2 D. 7 7 7 7 【答案】B【解】因为 a//b ,所以1 4 cos 2 sin (3 sin 2),1 4 1 2sin2 3sin2 2sin ,5sin2 2sin 3 0,所以 sin 3 或 sin 1,53 3 3 tan 1 1 1又 0, 2 ,所以sin ,所以 tan ,所以 tan 4 5 4 4 1 tan 1 3 7,故选:B.4第 4 页 共 34 页1 π π16.(2025 3届江苏省高三云帆杯 8 月学情调研考试 T4)已知 cos ,sin , 0,3 2 3 6则 sin 2 ( )A. 3 1 B. 3 2 2 C. 3 1 D. 2 2 33 6 3 6π π【答案】B【解】因为 0 cos 1 π π 2 2 2且 3, ;所以3 6 2 6 sin 1 cos2 ;3π 1因为 π 0 π π且 , ;所以 cos 1 sin2 ,3 6 2 6 2所以 sin 2 sin sin cos cos sin 2 2 1 1 3 2 2 3 ;故选:B.3 2 3 2 63 117.(2025 3届高三天枢杯第二届线上联考 T9)不是方程 x x 0的解的选项是( )4 8A. cosπB. cos4πC. cos5π cos 7πD.9 9 9 9【答案】B【解】由于 cos3 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 2cos3 cos 2sin2 cos 4cos3 3cos ,由于 cos3 cosπ 1 ,其中 =π 5π 7π x3 3 x 1 0 4x3 3x 1, , ,由 可得 ,3 2 9 9 9 4 8 21结合三倍角公式 cos3 4cos3 3cos 可得当 x cos 4cos3时, 3cos cos3 ,21 π 5π 7π故只需要 x cos ,且 cos3 即可,故 = , , 均是方程的根,2 9 9 9但 cos 4π 1 4π 3 9 ,故 不是方程的根;故选:B 2 918.(2025 届江苏省海门中学高三第一次调研考试 T7)锐角 、 满足 sin cos( )sin ,若 tan 1 ,2则 cos( ) ( )1A B. 2 C. 3. D.2 2 2 2 2【答案】B【解】由 sin cos( )sin sin cos( )sin ,所以 sin cos cos sin cos( )sin sin cos 2cos( )sin ,所以 tan 2 tan 1;又 、 π 2均为锐角,所以 0, π ,所以 ;所以4 cos( ) ;故选:B219.(2025 届江西省多所学校第一次大联考 T5)锐角 , 满足 sin sin sin cos cos ,则2 ( )π π πA. B. C. D. π2 3 4第 5 页 共 34 页【答案】A【解】因为 sin sin sin cos cos ,所以 cos π sin cos cos sin sin cos 2 , π π 又因为 , 为锐角,则 0, , 0,π ,而 y cos x在 0,π2 2 上单调递减, π从而 ,即 2 π ;故选:A.2 2120.(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T6)已知角 , 满足 tan tan 3, cos ,则2cos ( )1 3 1A. B. 1 C. D.4 8 8sin sin 【答案】A【解】 tan tan 3, sin sin 3cos cos cos cos , cos cos cos sin sin 4cos cos 1 1 , cos cos ,2 8 cos cos cos sin sin 2cos cos 1 ,故选:A.421.(2025 届山东省招远二中等校高三上摸底联考 T7) sin(α 20°) = sin20°若 ,则 cos(2α + 140°) =( )tan20° 31 1A. B. C. 7 7D.8 8 8 81sin(α 20°) = sin20° = sin20°cos20°sin40° 1 sin40° 1【答案】C【解】 = 2 = = tan20° 3 sin20° 3cos20° 2(1sin20° 3cos20°) 4 sin40° 4,2 22cos 2 140 cos 2 20 180 cos 2 20 2 1 7 1 2sin 20 1 2 4 8;故选:C. π cos sin2 22.(2025 届山西省大同市高三第一次学情调研 T3)已知 0, ,且 ,则 tan 2 1 sin 1 cos2 ( ) A. 3 B. 3 C. 3 D. 33 3cos sin2 cos 2sin cos π 【答案】D【解】因为 0, ,1 sin 1 cos2 1 sin 2 2sin 2 2 1 π π 3整理得 sin ,又 0, 2 ,所以 , tan .故选:D.2 6 3123.(2025 届陕西省宝鸡市金台区高三上第一次模拟 T4)若 sin( ) tan 2 tan sin( ) 6 ,且 ,则 ( )2 1A. 3 B. 2 C. D.2 2 3 2【答案】D【解】因为 sin( ) sin cos cos sin 1 ,又 tan 2 tan sin 2sin ,即 6 cos cos ,第 6 页 共 34 页则 sin cos 2cos sin ,所以 sin cos 1 , cos sin 1 ,3 6sin( ) sin cos cos sin 1 1 1故 .故选:D3 6 224.(2025 T3) 3sin π sin π 届四川省高三上入学摸底考试 0,则 tan ( ) 2 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 2 3 2 3【答案】D【解】由 3sin π sin π 0, 2 3sin cos 0 tan sin 3则 ,因此可得 ,故选:D.cos 31 25.(2025 2 届浙江省部分学校高三上返校联考 T4)已知 tan 4,则 cos ( )tan 4 1 1 3 3A. B. C. D. 1 3 4 2 4 4 2 42 2 1【答案】A【解】 tan 1 4 sin cos sin cos 1, 4,解得: sin cos ,tan cos sin sin cos sin cos 41 cos 2 cos2 1 1 1 1 1 1 2 sin 2 sin cos .故选:A. 4 2 2 2 2 4 2 4 π cos126.(2025 届浙江省数海漫游高三第一次模拟考试 T2)已知 0, , tan ,则 ( ) 2 sin1π 2A. 1 B. 2 C. D.2 π 2sin π cos1 1 2 π π π π π π 2【答案】C【解】因为 tan tan 1 ,且 0, , 1 sin1 0, ,所以 1 ;故选:C.cos π 1 2 2 2 2 2 2 2 27.(2025 届重庆市南开中学高三 8 月第三次质量检测 T2)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x轴的非负半 π π π 轴重合,终边经过点 P cos ,sin ,则 cos 3 3 6 ( ) 1A. 0 B. C. 2 D. 32 2 2 π π 1 3 1【答案】D 3【解】因为 P cos ,sin ,即 P , ,所以 sin , cos , 3 3 2 2 2 2cos π cos cos π sin sin π 1 3 3 1 3所以 ;故选:D 6 6 6 2 2 2 2 228.(2025 7 届安徽省部分学校高三上 8 月联考 T6) 2 2 =( ).12 12A. 3 B. 1 C. 1 D. 32 2 2 2D sin2 π sin2 7π sin2 π sin2 π π π π【答案】 【解】 sin2 cos2 cosπ 3 ;故选:D.12 12 12 2 12 12 12 6 2第 7 页 共 34 页29.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T3)已知点P(3, 4)是角 终边上一点,则cos2 ( )7 7 24 24A. B. C. D. 25 25 25 253 3 3 2【答案】B【解】 cos 32 4 2 5;所以 cos2 2cos2 1 2 7 1 ;故选:B. 5 25二、多项选择题1.(2025 届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测 T9) f x sinx cosx,则下列正确的是( )π π π A. f x π f x B. f x f x 2 C. x 0, 4 , f x 0 D. x 0, , f x 0 2 【答案】BC【解】 f x sinxπ π π cosx 2 sin x f x π 2 sin x π 2 sin x f x 4 ,则 4 ,故 A错误; 4 f π π π π π x 2 sin x 2 sin π x 2 sin x f x 2 2 4 4 4 ,故 B正确; 又 f x 2 cos π π π π π π 2 x ,当 x 4 0, ,则 x , ,所以 cos x 4 4 4 2 0, , 4 2 所以 f x 0 π,即 x 0, , f x 04 ,故 C正确; x 0, π x π π , 3π sin x π 2 当 ,则 ,所以 ,1 ,所以 f (x) (1, 2 ù x π 2 4 4 4 4 2 ú ,故不 0, 使得 f x 0, 2 故 D错误;故选:BC2sinx 2 cosx 12.(2025 届重庆市南开中学高三 8 月第三次质量检测 T10) f x ,则( )sinx cosx 1A. f x 的值域为 2, 2 B. f x 是周期函数 π πC. f x 在 2kπ, π 2kπ , k Z 递减 D. f x π 4 的图像关于直线 x 对称,但不关于点 ,1 对称 4 4 BCD A 2sin x 2 cos x 1f x 2sin xcos x 2sin x 2cos x 2 (sin x cos x 1)2【答案】 【解】对于 , sin x cos x 1.sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cos x 1π因为 sin x cos x 1 0,且 sinx cosx 2sin x 4 2, 2 ,所以 f x 的值域是 1 2,0 0,1 2 ,A错误.对于 B π, f x 的定义域D x | x 2kπ且 x π 2kπ,k Z2 ,对任意 x D恒有 f x 2π 2sin x 2ππ 1π 2sin x 1 f x ,4 B正确. 4 π对于 C, f x 在 2kπ, π 2kπ ,k Z 有意义, 4 当 xπ 2kπ, π 2kπ ,k Z π π 5π 4 时,x 2kπ, 2kπ ,k Z4 2 4 , 所以 y 2sin π π x 在 2kπ, π 2kπ ,k Z4 4 单调递减,C正确. 第 8 页 共 34 页f πD 2sin π π 对于 , 1 2 1 f x , 4 4 4 maxy 2sin xπ π π 1的图象关于直线 x 对称,且 f x 的定义域关于 x 对称, 4 4 4f x x π f π 2sin π π 所以 的图像关于直线 称. 1 14 4 4 4 , y 2sin x π 1 π π 的图象关于点 ,14 对称,但 f x 的定义域不关于点 ,14 对称, 4 π 所以 f x 的图象不关于点 ,14 对称,D正确.故选:BCD. 三.填空题:1.(2025 届成都市郫都区高三三模 T12) sin210 sin2 20 sin2 30 sin2 900 ____________.91【答案】 【解】2 sin210 sin220 sin230 sin2900 sin210 sin2890 ( sin220 sin2880 sin2440 sin2460 sin2450 sin2900 sin210 cos210 ( sin220 cos220 sin2440 cos2450 1 1 1 1 1 3 = 911 91 45;故答案为2 .2 2 2 22.(2025 届四川省大数据精准联盟高三上一模 T12)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x轴的非负半轴重合,终边经过点 P 1,2 ,则 cos2 ________.3 1 1【答案】- 【解】由题意可知 cos 2 2 ,所以 cos2 2cos2 1 3 35 ,故答案为:-5 1 2 5 53.(2025 届广东省广州市执信中学高三上第三次测试 T13)如图,圆O与 x轴的正半轴的交点为A,点C,B在O 4 3 圆 上,且点C位于第一象限,点 B的坐标为 , 5 5 , AOC .若 BC 1,则 3 cos2 sin cos 3 2 2 2 2的值为____________.3 B 4【答案】 【解】 ,3 , OB 1, 圆O的半径为 1;又 BC 1,5 5 5 BOC 为等边三角形; AOB ,且 为锐角.33 cos2 sin cos 3 3 1 cos 13 1 sin 3 cos sin sin sin AOB .2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 sin AOB 3 3由三角函数的定义可得, ;故答案为: .5 54.(2025 1届上海新高三开学摸底 T6)若 sin( ) ,则 sin cos .4 2第 9 页 共 34 页2 sin( ) 1 2【答案】 【解】 , cos 2 1 2 2 sin , sin cos .故答案为: .2 4 2 2 2 2 2 25.(2025 届安徽省江淮十校高三第一次联考 T12)已知 cos2x cos2 π x ,则 tanx ______4 . 1 1 cos2x cos2 xπ cos2 2 1 2【答案】 或 .【解】 x sin x cosx sinx cosx sinx cosx sinx 3 4 2当 cosx sinx 0 sinx cosx tanx 1,当 cosx sinx 0 cosx sinx 2cosx 2sinx cosx 3sinx tanx 1 ;故答案为: 1 1或 .3 3考点三 三角函数图象性质一、单项选择题π1.(2025 成都市川师附中二诊模拟 T4)已知函数 f x sin x 0, 2 的部分图象如图所示,将f x π π 的图象向左平移 个单位长度得到函数 g x 的图象,则 g 6 ( )12 A. 12 B.3 C. 1 D. 02【答案】B【分析】根据图象求出 f x 的解析式,再由图象平移确定 g x 的解析式,进而求函数值.3T 11π π 3π T π 2π π 2 f π sin π π π【解】由图知 ,则 ,由 2 1,则 2kπ, k Z,4 12 6 4 6 6 3 2 π可得 2kπ,k Z π,又 ,则 π f x π,故 sin 6 2 6 2x 6 , g(x) f x π sin 2x π π π π 2π 3由题意 12 3 ,故g 6 sin 2 sin .故选:B 6 3 3 2 π 2.(2025 届成都七中高新校区二诊模拟 T8)已知函数 f x Asin x A 0, 0, 的图象如图所示, 2 x M 5 图象与 轴的交点为 ,02 ,与y轴的交点为 N ,最高点 P 1, A ,且满足 NM NP.若将 f x 的图 象向左平移 1个单位得到的图象对应的函数为 g x ,则 g 2024 ( )A. 10 10 B. 0 C. D.2 2 10第 10 页 共 34 页【答案】A【分析】根据图象,利用正弦型函数的性质、向量垂直的充要条件以及诱导公式进行求解.T 5 3 2π π【解】由图象可知, 1 ,所以T 6,又 0,T 6,所以 ,4 2 2 3所以 f (x) Asin(π x ),又 f (5) Asin(π 5 ) 0 5π,所以 π+2kπ,k Z,3 2 3 2 6π π又 | | ,所以 ,所以 f (x) Asin(π x π ) A ,所以点 N 0, f (0) 的坐标为 0, ,2 6 3 6 2 NM NP 5 , A A 5 A2因为 ,所以 NM NP 0,即 1, 0,又 A 0,解得2 2 A 10 , 2 2 4所以 f (x) 10 sin(π x π ),将 f (x)的图象向左平移 1个单位,得到的图象对应的函数为:3 6g(x) 10 sin π x 1 π 10 sin π x π 10 cos π x, 3 6 3 2 3所以 g(2024) 10 cos 2024π 10 cos 2π 674π 10 cos2π 10 ,故选:A.3 3 3 2π3.(2025 届四川省自贡市二模 T7)已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0, )的部分图象如图所示,C为233图象与 y轴的交点, B为图象与 x轴的一个交点,且 BC .若实数x , x2满足 f (x1) f (x2 ) 41 ,则2f (x1 x2 ) ( )A. 1 B. 0 C. 2 D. 2【答案】C【分析】先根据函数图象确定A的值,再利用 B、C两点坐标及距离公式求出C点纵坐标,进而确定 ,然后求出 得到函数表达式,最后根据 f (x1) f (x2 ) 4计算 f (x1 x2 ) .【解】由 f x Asin x (A 0, 0, π )的图象可知, A 2,则 f (x) 2sin( x ) .2B(5已知 ,0),设C(0, yC )33,根据两点间距离公式,因为 | BC | ,2 2(5 0)2 (0 y )2 33 (5)2 y2 ( 33所以 22 C,即 2 2 C ) ,解得 y 2 (由图象可知C点纵坐标为负).2 C因为C(0, 2)在 f (x) 2sin( x )的图象上,所以 f (0) 2sin 2,即 sin 2 ,2π π又因为 | | ,所以 ,则 f (x) 2sin( x π ) .2 4 45因为 B( ,0)在 f (x) 2sin( xπ ) 的图象上,所以 2sin(5 π 5 π ) 0,即 kπ, k Z,2 4 2 4 2 4第 11 页 共 34 页5 kπ π 2 (kπ π) 2kπ π , , k Z .2 4 5 4 5 10T 5 T T 10 T 2π 2π π由图象可知, ( 为函数周期), ,又 ,所以 10, ,4 2 5当 k 1 2π π π π π 时, 满足条件,所以 f (x) 2sin( x ) .5 10 2 2 4因为 f (x)的最大值为 2,最小值为 2,已知 f (x1) f (x2 ) 4,所以 f (x1), f (x2 )一个为 2,一个为 2 .π π π 3 π π π不妨设 f (x1) 2, f (x2 ) 2,则 x1 2k2 4 1π ,k1 Z ,解得 x1 4k1 ; x2 2k2π ,k2 Z ,2 2 2 4 2x 4k 1 π π解得 2 2 ;所以 x1 x2 4(k1 k2 ) 1;将 x1 x2 4(k1 k2 ) 1代入 f (x) 2sin( x )得:2 2 4f (x1 xπ2 ) 2sin[ (4(kπ1 k2 ) 1) ] 2sin(2(k1 k2 )ππ π ) 2sin(π ) 2;故选:C.2 4 2 4 44.(2025 届湖南省名校高三上第二次联考 T5)函数 f x sin x cos x 在 0, ( 0 )内没有最小值,且存在 x0 0, ,使得 f x0 0,则 的取值范围是( ) π 3πA. , B. π,5π C. π,3π π 3π , 2 4 D. 4 2 2 2 1 sin2x, x ∈ (0, π ,【答案】B【解】当 π时,此时 f(x) = 2 2 1 sin2x, x ∈ ( π , π),2 2x 0, π 1 π , 2x 0,π , f (x) 0, ; x , π , 2x π,2π , f (x) 0,1 , 2 2 2 2 不满足存在 x0 0, ,使得 f x0 0,故排除 A,D1 sin2x, x ∈ (0, π , 5π2 2当 时,此时 f(x) = 1 sin2x, x ∈ ( π , π ,4 2 2 1 sin2x, x ∈ (π, 5π ),2 4x 0,π , 2x 0, π π, f (x)1 0, , x , π , 2x π,2π , f (x) 0, 1 2 2 2 2 x 5π 5π 1 π , 2x 4 2π, , f (x) , 02 ,此时不满足题意,故排除 C;综上所述 B正确;故选:B 2 5.(2025 解湖南省长郡中学高三上第一次调研考试 T7)函数 f x 2sin x π 0, 2 ,对于任意的 x R , f x π π π f x ,f x f x 0都恒成立,且函数 f x π在 , 0 10 上单调递增,则 的值为( ) 12 12 2 A. 3 B. 9 C. 3或 9 D. 3【答案】A【解】设周期为T ,f x π ,0 0 π T 2π π在 上单调递增,所以 10 ,得 T ,因此0 10. 10 2 5 π π π π π由 f x f x 知 f x12 12 的图象关于直线 x 对称,则 k π ,k Z ①. 12 12 1 2 1第 12 页 共 34 页 π f x π π由 f x f x 0知 的图象关于点 , 0 对称,则 k2π,k2 Z 2 4 ②. 4② ①得 π k π2 k1 π ,k1,k2 Z ,令 k k2 k1,则 6k 3,k Z,6 2结合0 10可得 3或 9.π π π当 3时,代入①得 k1π,k1 Z,又 ,所以 ,4 2 4此时 f x 2sin 3xπ π π π π ,因为 3x f x , 0 4 20 4 4,故 在 10 上单调递增,符合题意; π π当 9 π时,代入①得 k π k Z f x 2sin 9x π 4 1 , 1 ,又 ,所以 ,此时2 4 4 , 23π π π因为 9x ,故 f x π 在 ,010 上不是单调递增的,所以 9不符合题意,应舍去.20 4 4 综上, 的值为 3.故选:A.6.(2025 届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试 T1)在下列区间函数 f(x) = sinx 单调递减的是( ) 0, π π 3π 3π 5πA. 2 B., π 2 C. π,2 D. , 2 2 【答案】B【解】根据正弦函数 y sin x的图象,作出函数 f x sin x 的图象,如图所示,可得函数 f x sin x π在区间 , π 2 上单调递减;故选:C. π π7.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T7)将函数 f (x) sin x 3 ( 0)的图象向右平移 个单位长 6度后与函数 g(x) cos( x)的图象重合,则 的最小值为( )A. 7 B. 5 C. 9 D. 11 π 【答案】D【解】 y f x sin x π π sin xπ π cos ( x) π sin x k Z 6 6 3 6 3 , 2 , , π π π由题可知, 2kπ , k Z,解得 12k 1, k Z,6 3 2又 0, 当 k 1时, 取得最小值 11.故选:D.8.(2025 2 π 届江苏省海门中学高三上第一次调研考试 T8)函数 f x sin 2 x 2 3 cos x 3 0 在 0, 2 上 只有一个零点,则 的取值范围为( )A. 1 , 4 B. 1 , 4 1 7 1 7 3 3 C.3 3 , , 6 6 D. 6 6 A f x sin 2 x 2 3 cos 2【答案】 【解】由 x 3 sin 2 x 3 cos 2 x 2sin 2 x π 3 , 第 13 页 共 34 页f 0 3 0 2 x π kπ x π kπ π π π π 1 4易知 ,令 , 3 6 2 ,则由题意知 6 2 6 2 ;故选:A 3 3 9.(2025 届山东省部分学校高三上开学联考 T7)设函数 f x 2sin x 1( 0),若对于任意实数 , f x π在区间 ,3π 4 4 上至少 2个零点,至多有 3个零点,则 的取值范围是( ) 8 ,5 4,5 4, 20 8 20A. 3 B. C. D. , 3 3 3 【答案】B【解】令 f x 0,则 sin x 2 2 ,令 t x ,则 sin t ,则原问题转化为2 2y sin t π 3π 2在区间 , 4 4 上至少 2个,至多有 3个 t,使得 y sin t ,求 得取值范围, 22作出 y sin t与 y 的图象,如图所示,29π π 11π π 5π由图知,满足条件的最短区间长度为 2π,最长区间长度为 ,4 4 4 4 22π 3π∴ π 5π ,解得4 4 2 4 5.故选:B. 10.(2025 1 3届山西省大同市高三第一次学情调研 T6)已知函数 f x 3cos2 x sin2 x ( 0)在区间 0,π 2 2内有最大值,但无最小值,则 的取值范围是( )1 7A. 1 7 1 7 1 7 , B. , , , 6 12 12 12 C. D. 6 12 12 12 A 1 cos2 x 1 3 3 1【答案】 【解】 f x 3 sin2 x cos2 x sin2 x sin 2 x π ,2 2 2 2 2 3 因为 0,所以 x 0, π 2 x π π ,2 π π时, ;因为函数 f x 在区间 0,π 内有最大值,无最小值,3 3 3 2π π 3π 1结合正弦函数图像得 2 π ,解得 7 3 3 2 ,故选:A.6 1211.(2025 届浙江省部分学校高三上返校联考 T7)已知函数 f x sin x 3 cos x 0 ,若方程f x 1在 0, 上有且只有五个实数根,则实数 的取值范围为( ) 13A. ,7 7 25 25 11 11 376 2 B. , 2 6 C. ,6 2 D. , 2 6 【答案】C【解】由 f x sin x 3 cos x 2sin( x ) 1 ,3 x 5 2k x 得: 或 2k ,k Z 2k 2k ,即 x ,或 x ,k Z,3 6 3 6 2 6 第 14 页 共 34 页25 11 易知由小到大第 5、6个正根分别为 , ;因为方程 f x 1在 0, 上有且只有五个实数根,6 2 25 11 25 11所以有 且 ,解得 6 2 ;故选:C.6 2 π12.(2025 届福建省漳州市高三第一次教学质量检测 T7)已知函数 f x tan x 4 ( 0),若方程 f x 1在 区间 0, π 上恰有 3个实数根,则 的取值范围是( )A. 2,3 B. 2,3 C. 3,4 D. 3,4 π π πC 【答案】 【解】当 ∈ 0,π 时, x , π ,由题意得 y tan x 1 x π在 , ππ 4 4 4 4 4 上有 3个实根, π π π即可得 3π π 4π,解得3 4,即 的取值范围是 3,4 ;故选:C.4 4 413.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试 T5) f x Asin x A 0, 0 在区间 m,n 上是增函数,且 f m A, f n A,则函数 g x Acos x A 0, 0 在区间 m,n 上( )A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值A D. 可以取到最小值 A【答案】C【解】函数 f x Asin x A 0, 0 在区间 m,n 上是增函数,且 f m A, f n A ,则当 x m,n 时, x 2k , 2k 2 2 k Z , y cos x 而函数 在区间 2k , 2k 2 2 k Z 上先增后减, 所以,函数 g x Acos x 在区间 m,n 上先增后减,当 x 2k k Z ,该函数取到最大值A .故选:C.1 1 π14.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T7)将函数 y x cos2x , x [0, ]的图象绕原点逆时针旋转 角,2 2 4得到曲线C .若曲线C始终为函数图象,则 tan 的最大值为( )1 π 2A. B. C. D. 12 π 2 31 1【答案】A【解】令原函数为 y f (x),即 f (x) x cos2x ,求导得 f (x) 1 sin 2x,2 2当 x [0,π ]时, 2x [0, π] π π,函数 f (x)在[0, ]上单调递增, f (0) 1, f ( ) 24 2 4 4函数 f (x), x [0, π] π的图象上点 (x, f (x))处切线斜率由 1逐渐增大到 2,记 x 时的点为 P,4 4令函数 f (x)图象在 P处的切线倾斜角为 ,则 tan 2,曲线C在除端点 P外的任意一点处的切线垂直于 x轴时,则曲线C上存在两点,其横坐标相同,而曲线C π始终为函数图象,因此 ,而 0,2第 15 页 共 34 页sin(π ) 1则 tan tan(π ) 2 cos 1 1 2 π sin tan 2,所以 tan 的最大值为 ;故选:Acos( )2 2二、多项选择题1.(2025届成都七中高新校区二诊模拟 T10) f x sin x 3cos x 0 在 0,2 上恰有 3个零点,则( )7 5A. B. f x 5 11 在 ,7 10 上单调递减6 3 C. g x f x 2 函数 在 , 2 2 上最多有 3个零点 D. f x 在 , 2 2 上恰有 2个极值点 【答案】BC【分析】 f (x) 2sin x 3 ,根据x范围得到 x 的范围,结合图像列出不等式,则得到 的 3范围,利用代入检验法即可判断 B选项,对 C选项证明 g x 达不到四个零点,再列举三个零点的情况即可,对 D选项,找到一个 值满足 3个极值点即可.【解】 f (x) sin x 3 cos x 2sin x , 0; x 0,2 3 , x , 2 , 0, 3 3 3 7 5函数 f x 在[0, 2 ]上恰有 3个零点,故 2 2 ,3 ,解得 3 ,故 A错误,6 3 5 11 当 x 5 ,11 7 10 , x , 3 , 7 3 10 3 7 5 5 ,6 11 19 3 6 3, 7 3 , , 2 7 10 3 20 2 , 而正弦函数 y sin x 3 在 , 上单调递减,故函数 f (x) 5 ,11 在 2 2 7 10 上单调递减,故 B正确, 令 g(x) f (x) 2 0 ,即 2sin x 2 ,解得 sin 2 3 x 3 2 7 5 , x 6 3 , 2 2 , x , 2 3 , 2 3 3 3 7 5 区间长度为 , ,若 y sin x2 在某闭区间上有四个解,2 4 2 25 11 2则区间长度至少为 ,比如 ,4 4 ,则sin x 不可能存在四个解,2 3 2 8 sin 8 8 7 43当 时,即 x 2 , x , 2 , x , 5 , 5 3 2 2 5 3 15 15 8 x 3 9 11 65 155 则 或 或 ,解得 x 185 4 或 或 96 ,故最多有 3个零点,故 C正确.5 3 4 4 96 96第 16 页 共 34 页3当 时,此时 f (x) 2sin 3 x 3 k Z 2 5 ,令 x k 2 3 2 , ;解得 x k ,2 3 3 9 k Z,2 2则 k 5 , 2 1 13 3 9 2 ,解得k , k 0,1, 212 6 , k Z, , k 0 x 5 k 1 x 11当 时, ,当 时, 17,当9 k 2时, x ,9 9f (x) 此时 在 , 2 2 上有 3个极值点,故 D错误,故选:BC. 【点睛】关键点睛:首先利用辅助角公式将函数化成关于正弦的函数,然后整体法结合图像得到关于 的不等式,即可求出其范围,单调性问题可以通过代入检验,零点个数和极值点个数问题,通过寻找特例去证明或反驳,这也是选择题常用的方法.2.(2025 π届四川省自贡一中二模 T9)已知函数 f x 的图象是由函数 y 2sinxcosx的图象向右平移 6个单位得到,则( )A. f x 的最小正周期为 π B. f x π π 在区间 , 6 3 上单调递增 π πC. f x 的图象关于直线 x 对称 D. f x 的图象关于点 ,06 对称3 π 2 【答案】AD【分析】首先求出函数解析式 f x sin2 x sin 2x π T 6 ,由周期 知 A正确; 3 整体代入法求函数的增区间、对称轴、对称中心知其他选项是否正确.【解】因为 y 2sinxcosx sin2x π π ,向右平移 个单位得 f x sin2 x sin 2xπ 6 6 , 3 2π对于选项 A:则最小正周期为T π2 ,故 A选项正确;π π π对于选项 B:令 2kπ 2x 2kπ π 5π,解得 kπ x kπ,2 3 2 12 12 π 5π 所以单调递增区间为 kπ, kπ ,k Z12 12 ,故 B选项错误; 2x π π kπ x 5π kπ对于选项 C:令 ,解得 ,k Z,故 C选项错误;3 2 12 2π π kπ π kπ 对于选项 D:令 2x kπ3 ,解得 x ,k Z所以函数 f x 的对称中心为 ,06 2 6 2 ,k Z,故 D选项正确. 故选:AD.3.(2025 届烟台市、东营市高三一模 T9)已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1,则( )A. f x π的最小正周期为 π B. f x 的图象关于直线 x 对称6C. f x π π 在区间 , 1,1 4 6 上的取值范围为 πD. f x y 2cos 2x π的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到 3 6【答案】ABD【分析】应用二倍角正余弦公式化简函数式,再应用正弦型函数性质判断 A、B、C;根据图象第 17 页 共 34 页平移写出解析式即可判断 D.2【解】由 f x 2 3 sin xcos x 2cos x 1 3 sin 2x cos2x 2sin(2x π ) 2π,所以T π2 ,A对;6f π π π π 2sin( ) 2,即 f x 的图象关于直线 x 6对称,B对; 6 3 6 π , π 2x π [ 2π π由 上 , ],故 f x [ 2,1]4 6 ,C错; 6 3 6y 2cos 2x π π π π π π π 3 向右平移 个单位长度,y 2cos 6 2x 2cos 2x 2sin(2x ),D对;故选:ABD 3 3 6 2 64.(2025 届山东省部分学校高三 7 月联考 T10)如图为函数 f x Asin x (A 0, 0)的部分图象,则下列说法中正确的是( )A. 函数 f x 的最小正周期是 2π B. 函数 f x 4π 的图象关于点 , 03 成中心对称 5π π C. 函数 f x 在区间 , 上单调递增 12 6 D. 函数 f x π的图象上所有的点横坐标扩大到原来的 2倍(纵坐标不变),再向右平移 3后关于 y轴对称T π π π【答案】BC【解】对于 A,由图可知 2 3 6 2,所以T π,A错误; B 2π 2 π π π 对于 ,因为 T ,图象过点 , 06 ,所以f 6 Asin 0, 3 π π π π所以 2kπ,k Z ,即 2kπ ,k Z ,所以 f x Asin 2x 2kπ Asin 2x 3 3 3 3 , f 4π Asin 2 4π π Asin 3π 0 4π ,0 因为 ,所以点 为函数 f x3 的一个对称中心,B正确; 3 3 3 π对于 C, A 0,由 2kπ 2x π π 5π π 2kπ解得 kπ x kπ,k Z ,2 3 2 12 12 5π , π 所以 为函数 f12 12 x 5π π 的一个单调递增区间,所以, f x 在区间 , 12 6 上单调递增,C正确; π 对于 D,将 f x 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的 2倍得 y Asin x 3 , π再向右平移 得 y Asin x, y Asin x为奇函数,D错误;故选:BC35.(2025 π π届安徽省江淮十校高三第一次联考 T10)函数 f x sin x 部分图象如图所示,其中 2 2 ,* π π 图象向右平移 s s N 个单位后得到函数 = 的图象,且 = 在 , 上单调递减,则下列说 3 3 第 18 页 共 34 页正确的是( )A. π 1 B. x 为 f x 图象的一条对称轴 C. s可以等于 5 D. s的最小值为 263 5π 2π 3π【答案】BD【解】由函数 f x 图象,可得 T ,所以4 6 3 2 T 2π2π,所以 1,解得 1,T 5π π π又由函数 f x 的图象过点 ,1 ,且 , 6 2 2当 1时,可得 sin(5π ) 1 5π π,所以 2kπ,k Z,6 6 2π解得 2kπ,k Z π π π ,因为 ,可得 ;3 2 2 3当 1时,可得 sin(5π ) 1 5π ,所以 π 2kπ,k Z,6 6 24π π解得 2kπ,k Z,因为 π ,不存在,舍去,3 2 2π 1 π 综上可得, , ,所以 f x sin x ,所以 A 不正确,B 正确;3 3 f ( π又因为 ) sin( π π π ) 1,所以 x 是函数 f x 的一条对称轴,所以 B正确;6 6 3 6f x 将函数 的图象向右平移 s个单位后,得到 g x sin x sπ , 3 π π s 2kππ 因为 y g x π π 3 3 2 3π 7π在 , 上单调递减,则满足 ,k Z.解得 2kπ s 2kπ,k Z, 3 3 π s π 3π 2kπ 2 6 3 3 2k 2 5π s 17π 5π当 时, ,而 5,故 s不可能等于 5,所以 C错误.2 6 2当 k π 5π 1时, s ,又因为 s N ,所以 smin 2,所以 D正确.故选:BD.2 66.(2025 π届广东省部分学校高三摸底联考 T10)如图, = sin + > 0, > 0, ≤ 与 x轴的其2中两个交点为A, B,与 y 轴交于点C,点D为 BC中点,OB 3OC,OA 2 AD 2 21, ,则( )3第 19 页 共 34 页A. f x 的图象不关于直线 x 8对称 B. f x 的最小正周期为12πC. + 2 的图像关于原点对称 D. f x 在 5,7 单调递减【答案】ACD【解】由题可 A 2,0 , B π 2 , 0 ,C 0, Asin π Asin ,则D 1 , 2 2 , 2 2 2有 3 Asin 2 π , sin 2 0 AD 2 21 π 1 A sin 28; , , 3 2 4 32把 Asin 1 2 π π π3 代入上式,得 2 24 0,解得 6 (负值舍去), π π π π π 16 16 π π sin , 3 0,由 ,解得 , 3 Asin 8;解得 A , f x sin3 3 x 6 3 ,6 2 3 3 16 π π 2π对 A, f 8 sin 8 0,故 A 12正确;对 B: f x 的最小正周期为 π ,故 B错误;3 6 3 6对 C: f x 2 16 sin π x 2 π 16 π sin x 3 6 3 3 , f x 2 为奇函数,故 C正确; 6 对 D:当5 x 7 π π x π 5π时, ,\ f (x)在 5,7 单调递减,为奇函数,故 D正确;故选:ACD.2 6 3 67.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T9)已知函数 f x sin x 3cos x 1 0 的最小正周期为π,则下列结论中正确的是( )πA. f x 的图像关于点 ,06 对称 B. f x 5π的图像关于直线 x 对称 12C. f x 在 0,1 π π 上单调递增 D. f x 在区间 , 上的值域为 0,3 12 2 π π 【答案】BCD【解】 f x sin x 3cos x 1 2sin x 13 ,故 2,故 f x 2sin 2x 3 1, π π π π对于 A, f 2sin 2 1 1 , 6 6 3 故 f x 的图像关于点 ,16 对称,A错误, f 5π 2sin 2 5π π对于 B, 1 3 f x 5π12 , 的图像关于直线 x 对称,故 B正确, 12 3 12π π πC π π 对于 ,当 ∈ 0,1 时, 2x ,3 3 3 , ,故 f2 2 x 在 0,1 上单调递增,C正确, x π , π 2x π π , 2π sin 2x π 1对于 D, 时, ,故 ,1 ,故 f x 0,312 2 3 6 3 3 2 ,D正确,故选:BCD 8.(2025 届湖南省衡阳县一中高三上开学考试 T10)函数 f (x) sin x π 0, 2 的部分图象如图所示, 下列说法正确的是( )第 20 页 共 34 页A. φ π B. 函数 f (x) 5π 在区间 , π3 6 上单调递增 C. π 11πf ( ) 3 D. 函数 f (x)的图象关于直线 x 4 2 12对称T π π π 2π 2π【答案】BC【解】由图象可知, ,解得 ,所以 2,4 3 12 4 T π T π π 将点 ,1 代入 f (x) sin 2x 中,得 sin 2π π3 3 1,解得 2kπ ,k Z, 6π π π π又 ,所以 ,所以 ,故 A错误;2 2 2 6所以函数 f x 的解析式为 f (x) sin 2x π 5π π 3π 11π ;由 x π 3π 2x π 11π t 2x , 6 6,得 ,令 ,2 6 6 6 2 6 y sin t 3π 11π 5π 则 在 , 上单调递增,所以函数 f (x)2 6 在区间 , π6 上单调递增,故 B正确; f ( π) π π π 3 sin 4 2 sin ,故 C正确; 4 6 3 2f ( 11π) sin 2 11π π sin 12π sin 2 π 0 112 12 6 6, f (x) 11π所以函数 的图象不关于直线 x 12 对称,故 D错误;故选:BC.9.(2025 届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考 T10)已知函数 f x 2cos 2x5π ,则( ) 4 3A. f x 的一个对称中心为 π,08 B. f x 3π的图象向右平移 8 个单位长度后得到的是奇函数的图象5π 7πC. f x 在区间 , 8 8 上单调递增 D. 若 y f x 在区间 0,m y 1 m 5π ,13π6 上与 有且只有 个交点,则 2 4 3 5π 3 【答案】BD【解】对于 A,由 f π 2cos 2 π 2 08 ,故 A错误; 4 8 对于 B, f x 3π的图象向右平移 个单位长度后得:8y f x 3π 2cos 2 x 3π 5π π 2cos 2x 2sin2x 8 8 4 2,为奇函数,故 B正确; x 5π , 7π 5π 5π对于 C,当 时,则2x ,3π ,所以: f x 5π在区间 , 7π 8 8 4 2 8 8 上单调递减,故 C错误; 对于 D,由 f x 1 cos 2x 5π 2 π π,得 ,解得 x kπ或 kπ,k Z, 4 2 4 2y f x 在区间 0,m π π 5π 3π 9π 5π上与 y 1有且只有 6个交点,其横坐标从小到大依次为: , , , , , ,4 2 4 2 4 213π 5π 13π而第 7个交点的横坐标为 , m ,故 D正确;故选:BD4 2 4第 21 页 共 34 页10.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T10)已知函数 f (x) 2 sin( x ) (0 2 , ),2 21函数 g(x) f (x) 2 的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )f (x) f (x) 2 sin 2x A. 的表达式可以写成 4 B. f (x)3 的图象向右平移 个单位长度后得到的新函数是奇函数8 k C. h x f x 1的对称中心( ,1), k Z8 25 13 D. 若方程 f x 1在(0,m)上有且只有 6 个根,则m , 2 4 1 1 3 【答案】AB【解】对 A,由图分析可知: f 0 得 f 0 1; f2 2 2 8 由 f 0 1 ,得 2 sin 1,即 sin 2 ,又 ,所以 ,2 2 2 4 3 3 3 又 f 2 sin 2,所以 2k 16,即得 k 2, k Z,又 , 8 8 4 8 4 2 30 2 2 f (x) 2 sin 2x 所以 ,所以 4 ,故 A正确; 对 B, f x 3 向右平移 个单位后得8y f x 3 2 sin 2 x 3 2 sin(2x ) 2 sin 2x ,为奇函数,故 B正确; 8 8 4 k 对于 C, h(x) 2 sin 2x 4 1,令 2x k ( k Z )得 x ( k Z ), 4 8 2 k 所以对称中心( ,1), k Z,故 C不正确;8 2D f x 1 sin 2x 2对于 ,由 ,得 ,因为 x (0,m),所以 2x , 2m , 4 2 4 4 4 3 9 11 17 19 5 3 9 5 令 2m , , , , , ,解得m , , , 2 , , .4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 2 5 3 9 5 又在(0,m)上有 6个根,则根从小到大为 , , , 2 , , ,4 2 4 4 2第 22 页 共 34 页 25 13 13 m 5 ,13 再令 2m ,解得m ,则第 7个根为 , ,故 D错误.故选:AB.4 4 4 4 2 4 π11.(2025 T10) f x 2sin 2x 届湖南省宁远县三中等高三上入学联考 3 ,则下列结论正确的是( ) A. f x π的最小正周期为 π B. f x 的图象关于直线 x 6对称πC. f x 的一个零点为 x D. f x 的最大值为 162π 2π【答案】AC【解】T π,故 A正确; f 2sin 3,所以 xπ 不是对称轴,故 B错误;2 6 3 6f π 2sin 0 0π,所以 x 是 f x 的一个零点,故 C正确; 6 6因为振幅 A 2,所以 f x 的最大值为 2,故 D错误;故选:AC. π 12.(2025 届湖南省岳阳县一中高三上入学考试 T10)函数 f (x) 2sin 2 x (0 1)的图象如图所示, 3 π将其向左平移 个单位长度,得到 y g(x)的图象,则下列说法正确的是( )6A. 1 B. 函数 f (x) π , 0 的图象关于点2 3 对称 C. 函数 y g(x) π π π π 的图象关于直线 x 对称 D. 函数 y g 2x 3 在6 , 上单调递减 9 9 π π π π π π π【答案】ABD【解】函数 f (x) 2sin 2 x ,当 f 2sin 2,此时 2kπ,k Z3 6 3 3 , 3 3 2 1 6k,k 1 Z,因为0 1,所以 ,所以 f x 2sin xπ 3 ,故 A正确;2 2 f π 2sin π π π 2sin 0 03 3 3 ,所以f x 关于点 , 0 对称,故 B正确; 3 π g x 2sin x π π 函数图象向左平移 个单位长度后得到 2cos x g x 2cos x6 6 3 , , π当 x 时, g πx 2cos π 3,所以函数 y g(x)的图象不关于直线 x 对称,故 C错误;6 6 6g 2x π 2cos 2x π x π , π 2x π π 5π ,当 3 3 9 9 时, , 0, π 3 9 9 , g 2x π π , π所以函数 在 3 9 9 上单调递减,故 D正确;故选:ABD 第 23 页 共 34 页 13.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T9)已知向量a cos ,sin ,b 3,4 ,则( )A. a 4//b 3若 ,则 tan B. 若3 a b,则 sin 5 C. a b 的最大值为 5 D. 若 a a b 0,则 a b 2 6 【答案】AD【解】因为 a cos ,sin ,b 3,4 a sin2 cos2 1 b 3 2,所以 , 42 5, 对于 A,若 a//b ,则 4cos 3sin ,所以 tan 4 ,故 A正确;3 3对于 B,若 a b ,则 a b 3cos 4sin 0 ,所以 tan ,4 tan sin 3 又 cos 4 ,解得 sin 3 或 sin θ 3 ,故 B错误; sin2 cos2 1 5 5 2 3对于 C, a b a b a2 b2 2a b 1 25 2 3cos 4sin 26 10sin ,其中 tan ,4 当 sin 1时, a b 取得最大值6,故 C错误; 对于 D,若 a a b 0 a ,则 2 a b 0,即1 3cos 4sin 0,所以4sin 3cos 1, 2 所以 a b a b a 2 b2 2a b 1 25 2 3cos 4sin 26 2 2 6,故 D正确;故选:AD.π14.(2025 届江苏省常州市高三上第一次质量测试 T9) f (x) sin 3x 3 ,下列说法正确的是( ) A. f x 2π π 的最小正周期为 B. ,0 f x3 点 6 为 图象的一个对称中心 C. f (x) a(a R) x π若 在 ,π 318 9 上有两个实数根,则 a 1 2D. 若 f x 的导函数为 f x ,则函数 y f x f x 的最大值为 102π【答案】ACD【解】由题意可得T ,故 A正确;3f π sin 5π 1 π 0,所以 , 0 不是 f x6 图象的一个对称中心,故 B错误; 6 6 2 令 t 3xπ π π π 2π ,由 x 得 t ,3 18 9 6 3 π π π 3可转化为直线 y a与曲线 f (x) sin 3x x , 3 , 18 9 有两个交点,数形结合可得 a 1,故 C正确; 2第 24 页 共 34 页设 ′ 为 f x 的导函数,则 f x f x sin 3x π 3cos 3x π π 10 sin 3x 10,其中 tan 3, 3 3 3 π π当且仅当3x 2kπ,k Z π 2kπ,即当且仅当 x , k Z时等号成立,故 D正确,故选:ACD.3 2 3 18 315.(2025 届江苏省高三云帆杯 8 月调研考试 T9)已知函数 f x sin 2x,则下列函数为周期函数的是( )x 1A. f cos x B. f x sin f x2 2 f sin x sin2 2x 2 C. D. 2 【答案】ABD【解】不妨令 g(x)表示四个选项中的对应函数,对于A,易知 g x f cos x sin 2cos x ,注意到 g(x 2π) sin(2cos(x 2π)) sin(2cos x) g(x),因此 f (cos x)为周期函数,故 A正确; x x x 对于 B, g x f x sin sin 2 x sin sin 2x 2sin2 2 2 g x 4π sin 2 x 4π 2sin x 4π sin 注意到, 8π 2x 2sin x 2π sin 2x 2sinπ g x 2 2 2 f x sin x因此 2 为周期函数,故 B正确; 2 2 2 2对于 D, g x f sin x sin 2x sin 2 sin x sin 2x sin 2sin2 x 2sin2 2x 注意到 g x π sin 2sin2 x π 2sin2 2x 2π sin 2sin2 x 2sin2 2x g x ,2 2因此 f sin x sin 2x 为周期函数,故 D正确;1C 2 2对于 ,易知 g x f x sin x ,假设存在正常数 T,使得 g x T g x 2 恒成立, 分别取 x 0, π, 2π 2,得: g 0 g 0 T sin 0 sin T 0,g π g π T sin π sin( π T )2 0, g 2π g 2π T sin 2π sin( 2π T )2 0.2 2 2不妨设T l , π T mπ, 2π T nπ,其中 l,m,n Z, (m l 1)π 2 πT , (n l 2)π 2 2π T , m 1 2 2(m l 1),由于m l 1 2 Z,而 2(m l 1) 2 为无理数,则上式不恒成立,∴T不存在, f x 不是周期函数,故 C错误. 2 故选:ABDπ π16.(2025 届江苏省海安高中高三上期初检测 T9)下列函数中,在区间 ,4 2 上单调递减的函数是( ) π π A. y sin x B.4 y 3sinx cosx C. y sin2x D. y cos x 3 π π π π π 3π【答案】AC【解】A选项,对于 y sin x ,由 x ,得 x , 4 4 2 2 4 4所以 y sin π x π 在区间 ,π 上单调递减的函数,A选项正确. 4 4 2 第 25 页 共 34 页B选项,对于 y 3sinx cosx 2sin xπ π π π π π ,由 x ,得 x ,不符合题意. 6 4 2 12 6 3π x ππC选项,由 ,得 2x π,且 y sin 2x sin 2x,4 2 2 π π 所以 y sin2x 在区间 , 上单调递减的函数,C选项正确. 4 2 π π π π π πD选项,对于 y cos x ,由 x ,得 x ,不符合题意;故选:AC 3 4 2 12 3 617.(2025 届江苏省海安高中高三上期初检测 T11) f x cos xsin 2x.则下列结论正确的是( )y f x ,0 y f x x A. 图像关于点 中心对称 B. 图像关于直线 对称2C. f x 3的最大值为 D. f x 既是奇函数又是周期函数2【答案】ABD【解】A:因为 f x cos x sin 2 x cos x sin 2x,f x cos x sin 2 x cos x sin 2x,所以 f x f x ,因此 y f x 图像关于点 ,0 中心对称,所以本选项结论正确;f x cos x sin 2 x sin xsin 2x f B:因为 , x cos x sin 2 x sin x sin 2x2 2 2 , 2 2 2 f x f 所以 x ,因此 y f x 图像关于直线 x 对称,所以本选项结论正确; 2 2 2C: f x cos xsin 2x 2sin x cos2 x 2sin x(1 sin2 x) 2sin3 x 2sin x,设 sin x t( 1 t 1),所以 g t 2t3 2t g ' t 6t 2 2 6(t 3 )(t 3 ),3 33 ' '当 1 t 3 3 时, g t 0, g t 单调递减,当 t 时, g t 0, g t 3单调递增,当 t 1时,3 3 3 3g ' t 0, g t 3单调递减,当 t 时,函数有极大值,3 3 4 3 4 3极大值为: g ,而 g 1 03 9 ,所以函数 f x 的最大值为 ,因此本选项结论不正确; 9D:因为 f x cos x sin 2 x cos x sin 2x f x ,所以 f x 是奇函数,因为 f x 2 cos x 2 sin 2 x 2 cos x sin 2x f x ,所以 f x 是周期函数,因此本选项结论正确,故选:ABD18.(2025 届山东省招远二中等校高三上摸底联考 T9)函数 f x Acos x (A 0, 0,0 π)的部分图象如图所示,令 g x f x cos2x,则( )A. g x π π kπ的一个对称中心是 ,0 B. g x12 的对称轴方程为 x k Z 6 2第 26 页 共 34 页C. g x π 1 π π 在 0, 上的值域为 ,1 D. g x 的单调递减区间为 kπ , kπ k Z 2 2 6 3 【答案】ABD【解】由题图可得函数 f x Acos x 的最小值为 3,2π π 3π 3 2π T3 12 4 4 ,又 A 0, 0,T ,所以 A 3, 2, π 结合对称性可得函数 f x 的图象过点 , 3 12 , f π 3 3cos π π π所以 12 6 ,解得 2kπ,k Z,又0 π,所以 , 6 6 π π 3 3所以 f x 3cos 2x 6 ,所以 g x f x cos2x 3cos 2x cos2x cos2x sin2x cos2x , 6 2 2g x 1所以 cos2x 3 sin2x cos 2x π .2 2 3 π π 对于 A,当 x , g cos π π 0 π ,0 ,所以 是 g x 的一个对称中心,故 A正确;12 12 6 3 12 2x πB kπ k Z kπ π kπ π对于 ,令 , ,可得 x 2 6, k Z,故 g x 的对称轴为 x , k Z,故 B正确;3 2 6π π π 4π π 1 π 1对于 C, x 0, 时, 2x , ,所以 cos 2x 1, g x 0, 3 3 3 3 ,故 在 上值域为 1, ,故2 C错误; 2 2 2 对于 D,令 2kπ 2x π π 2kπ k Z π π,解得 kπ x kπ k Z ,3 6 3所以 g x π π 的单调递减区间为 kπ ,kπ k Z 6 3 ,故 D正确;故选:ABD. 19.(2025 届四川省大数据精准联盟高三一模 T9) f x sin x 3cos x( 0)的最小正周期为 π,则( )A. f x 的最大值为 2B. f x π , π 在 上单调递增 3 6 f x πC. 的图象关于点 ,0 6 中心对称 f x πD. 的图象可由 y 2cos2x的图象向右平移 个单位得到12【答案】ACD【解】易知 f x sin x 3cos x 2sin xπ 2π3 ,其最小正周期为T π ,所以 2 π,即 f x 2sin 2x ,显然 f x 2,故 A正确; 3 π π令 2x 2kπ,π 2 kπ x π kπ,π kπ k Z 3 2 2 12 12 , 第 27 页 共 34 页 π , π π kπ, π显然区间 不是区间 kπ k Z 3 6 12 12 的子区间,故 B错误; x π令 2 xπ 0 π ,则 ,0 是 f x6 的一个对称中心,故 C正确;6 3 将 y 2cos2x π的图象向右平移 个单位得到12y cos 2 x π π π π π cos 2x sin 2x sin 2x f x 12 6 2 6 3 ,故 D正确;故选:ACD x π 20.(2025 届四川省高三上入学摸底考试 T9)已知函数 f x 3sin , g x 3cosx,则( ) 2 3 2A. f x 的最小正周期为 4π B. f x 与 g x 有相同的最小值C. 直线 x π π为 f x 图象的一条对称轴 D. 将 f x 向左平移 个单位长度后得到 g x 的图像3 x π x【答案】ABD 【解】因为 f x 3sin , g x 3cos2 3 2, T 2π 4π对于选项 A: f x 的最小正周期 1 ,故 A正确;2对于选项 B: f x 与 g x 的最小值均为 3,故 B正确;5π 3对于选项 C:因为 f π 3sin 3,可知直线 x π不为 f x 图象的对称轴,故 C错误;6 2π π x π x对于选项 D:将 f x 向左平移 个单位长度后,得到 f x 3sin 3cos g x ,故 D正确.3 3 2 2 2故选:ABD.三.填空题: π 1.(2025届山东省部分学校高三 7月联考 T13)已知函数 f x sin x cos x 0 在区间 0,2π6 内恰 有 3个零点,则 的取值范围是______. 17 23 π 3 1【答案】 , 【解】f x sin x cos x sin x cos x sin x3 sin x 3 cos x 3 sin x π , 12 12 6 2 2 2 2 6 当 x 0,2π 时, x π π , 2 π π ,由于函数 f x 3 sin x π 在区间 0,2π6 6 6 6 内恰有 3个零点, 3π 2 π π 4π 17 23 17 , 23 17 23 则有 ,解得 ,所以 的取值范围是6 12 12 12 12 ;故答案为: , 12 12 2.(2025 2届安徽省部分学校高三上 8 月联考 T13)已知函数 f x cos x 在区间 , 4 3 3 上单调递增,且 f 4 2 f 23 3 ,则f 2 __________. 1【答案】 【解】由 f x cos x , f (x) sin x ,2且 f (x) 1 4 2 的最大值为 ,最小值为 1,由 f f 2 f (x)max f (x) 3 3 min, 第 28 页 共 34 页 4 2可知当且仅当 f f (x)max 1且 f f (x)min 1时等式成立. 3 3 2 4 4 2又函数 f x cos x 在区间 , 上单调递增,故 x 与 x 3 3 为两条相邻的对称轴, 3 3T 2 4 2 2π π π π所以周期 4,从而 ,故 ,故 f (x) cos x 3 3 , 4 2 2 2 f (2) cos π cos ,由 f 4 1代入解析式可得 f 4 cos 4 π cos 2π 3 3 3 2 1 , 3 2π 1则 2kπ,k Z2π,则 2kπ ,故 f (2) cos cos 2kπ 2π cos2π 1 ;故答案为: .3 3 3 3 2 23.(2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试 T13)已知函数 f x 2sin x与 g x 2cos x( 0)的图象上任意 3个相邻的交点构成直角三角形,则 ______.2π【答案】 【解】如图,设 f x 2sin x( 0)与 g x 2cos x的交点分别为 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,C x3, y3 ,42sin x 2cos x tan x 1 x π , x 5π , x 9π由 得 ,所以 1 2 3 ,则 y1 y3 2sinπ 2, y2 2,4 4 4 41由对称性和已知可得VABC为等腰直角三角形,所以点 B到直线 AC的距离为 AC ,2y y 1即 1 2 x3 x1 2π 2π,解得 .故答案为:2 4 4 π π 4.(2025 届广东省六校高三八月第一次联考 T13)若函数 f x sin x 与 g x sin x 在区间 4 4 0,π 上均单调递增,则实数 的取值范围为___________. 2 1 π 【答案】 0, f x sin 2 【解】当 0时, 不具备单调性, 4 0 f x sin x π π当 时, sin 4 x , 4 π 若在区间 0, 上单调递增,则在 y sin x π π 2 4 在区间 0, 上单调递减, 2 π x π π π y sint π π可得 ,因为 在 , 上是单调递增的,4 4 2 4 4 2 π所以 y sin x 0, π 4 在 2 上不可能单调递减,所以 0不成立,于是 0 . 第 29 页 共 34 页 2kπ π π k 1 若函数 f x π π sin x 2 4 8 4 在区间 0, 上单调递增,则 k Z 2 π π, 3, 2kπ π 4k 2 4 2 2 2kπ π π k3 若函数 g x sin xπ 在区间 0,π 2 4 k Z 84 上单调递增,则 π π π , 1, 2 2kπ 4k 2 4 2 21因为 0,所以 k 0时, 01 1 ≤ ,综上所述, 0 ≤ ;故答案为:2 2 0, . 2 π π5.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T12)将函数 f x sin 2x 的图象沿 x轴向左平移 个单位长 3 6 π 度后得到函数 g x 的图象,则 g 4 的值为__________. g x sin 2 x π π sin2x g π π【答案】1【解】由已知得 ,所以 sin 2 1 . 6 3 4 4 ;故答案为:1 π π 6.(2025 届江西省多所学校第一次大联考 T13)已知函数 f x 2024sin 2x 在区间 ,m 内恰有两个极值 6 6 点,则实数m的取值范围为__________. 5π , 4π x π ,m 2x π π【答案】 【解】当 时, , 2mπ f x π ,m 6 3 ,由函数6 6 6 在 内恰有两个极值点, 6 6 3π 2m π 5π 5π m 4π可知 5π 4π ,解得 ;故答案为: ,2 6 2 6 3 6 3 7.(2025 届山东省泰安市部分学校高三上摸底联考 T14)设 是正实数,若函数 y sin x在 , 2 上至少存在两个极大值点,则 的取值范围是______. 9 , 5 13 , 4k 1 【答案】 4 2 4 【解】令 sin x 1,解得 x , k Z . 2 y sin x , 2 k 4k 1 4k 5 若 在 上无极大值点,则存在实数 ,使得 2 ,2 2 4k 1 4k 5 2k 1 5整理得到 2 ,解得 k ,2 2 2 4 2k 1 k 5 1 5 1因为 0 且存在,故 2 4, k 0或 k 1,故 或0 . k 1 2 4 4若 y sin x在 , 2 上有且只有一个极大值点,k 4k 3 4k 1 4k 5 4k 3 4k 1 4k 5 则存在实数 ,使得 2 ,或 2 ,2 2 2 2 2 2 2k 33 1 2k1 2k 2k 2 2 2 2解得 k 1①或者 ②, k 5 1 k k5 4 4 4 4第 30 页 共 34 页1 1对于①,因为 0且存在,故2k 且 2k 3 5 k ,故整数 k满足 k 0,1,2,2 4 2 4当 k 0 1 1 5 9 5 13 1 1 5 9 5 13 时, ,当 k 1时, ,当 k 2时, ,故 , , ,4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 1 , 1 5 , 9 5 13对于② ,同理可得 , 4 2 4 4 2 4 综上, y sin x在 , 2 上无极大值点和有且只有一个极大值点时, 0, 9 5 13 , . 4 2 4 9 5 13 9 5 13 故函数 y sin x在 , 2 上至少存在两个极大值点, , , ;故答案为: , , 4 2 4 4 2 4 . 考点四 解三角形一、单项选择题1.(2025 4 6届成都市川师附中二诊模拟 T8)在VABC中,若c 3,b 2, BAC的平分线 AD的长为 ,则 BC5边上的高线 AH 的长等于( )4A. B. 4 2 C. 2 D. 4 33 3 3【答案】B【分析】由 S ABC S ABD S ACD 可得 cos 的值,进而可求得 cos2 、 sin 2 的值,结合余弦1 1定理可得 a,由等面积法 S△ABC bcsin 2 a | AH |可求得 | AH | .2 2【解】由题意知,设 BAD CAD ,则 BAC 2 ,如图所示,1 1 4 6 1 4 6由 S ABC S ABD S ACD 可得 3 2sin 2 3 sin 2 sin ,整理得2 2 5 2 5 3sin 2 2 6 sin ,即 sin (3cos 6) 0,又因为 sin 0 cos 6,所以 ,3cos 2 2cos2 1 1所以 ,所以3 sin 2 1 cos2 2 2 2 ,3在VABC中,由余弦定理得 a2 32 22 2 3 2cos2 13 4 9,所以 a 3,S 1 bcsin 2 1由 △ABC a | AH |1可得 3 2 2 2 1 3 | AH | 4 2,解得 | AH | ;故选:B.2 2 2 3 2 32.(2025届河南省部分学校高三 7月联考 T2)在VABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a :b : c 5: 7 :8,则VABC中角 B的大小是( )A. 135 B. 120 C. 90 D. 60o【答案】D【解】设 a :b : c 5: 7 :8 k,则 a 5k ,b 7k ,c 8k,2 2 2 5k 2 8k 2 7k 2由余弦定理得 cosB a c b 1 ,又 ∈ 0,π ,所以 B 60 ;故选:D.2ac 2 5k 8k 2第 31 页 共 34 页3.(2025 届河南省部分学校高三 7 月联考 T6)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用30 45 60 90 120 150 等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD,如图,测得AB 5,BD 6, AC 4, AD 3,若点C恰好在边 BD上,则 sin ACD的值为( )1 5A. B. C. 14 D. 222 9 6 62 2C △ABD cos ADB AD BD AB2 9 36 25 5【答案】 【解】在 中,由余弦定理, ;2AD BD 2 3 6 92 ADB 0, π sin ADB 1 cos2 ADB 1 5 2 14因为 ,所以 , 9 94 3 ACD AC AD 14在 中,由正弦定理 ,所以 2 14 sin ACD,解得 sin ACD ,故选:Csin ADB sin ACD 9 64.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试 T5;2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试 T6) 在△ABC中,2π sinCa2 b2 5bc, A ,则 ( )3 sin BA. 2 B. 4 C. 6 D. 8B a2 b2 c2 2bccos A c2 bc 5bc c 4b sinC【答案】 【解】因为 ,所以 ,所以 4sin B ;故选:B5.(2025 届湖南省临湘市一中高三上入学考试 T2)图 1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图 2所示的四边形 OABC.若 AB BC 1, AOB ,则OC 2 的值为( )1A. 2 1 B. sin21sin 1C. 1 D. 2 cos2 cos 1 ABO sin AB AB 1【答案】A【解】在直角 中, ,即OB ,OB sin sin 2 2 2 1在直角△OBC中OC OB BC 2 1;故选:A.sin A B C6.(2025 届湖南省岳阳县一中高三入学考试 T4)在VABC中,4cos2 2sin 2 3 0 ,则2 2 tan B tanC ( )第 32 页 共 34 页A. 3 B. 2 C. 3 D. 12 A 2 B C【答案】A【解】因为 4cos 2sin 3 0,所以 2cos A cos B C 0 ,2 2又 A B C π,所以 2cos B C cos B C 0,得到 2cos BcosC 2sin BsinC cos BcosC sin BsinC 0 ,整理得3cos BcosC sin BsinC ,所以 tan B tanC 3,故选:A.7.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T4)在VABC中,“ cos A sin B”是“C 90 ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解】若C 90 ,则 cos A cos 180 C B cos 90 B sin B,故必要;当 A 10 , B 100 ,C 70 时,有 cos A cos10 sin100 sin B,C 70 90 ,故不充分;故选:B.1 18.(2025 届江苏省高三云帆杯 8 月学情调研考试 T7)锐角VABC中, sinC , sin A B , ,则3 4AB 8AB边上的高 CD长为( )A. 36 2 B. 19 11 C.7 4 7 6 3 D. 3 15 8 251 2 2 2 2【答案】D【解】因为 sinC 且VABC为锐角三角形,可得3 cosC ,所以 cos(A B) cosC ,3 3 π π cos AcosB sin Asin B15 因为VABC为锐角三角形,所以 A B ,又 cos A B 15 4 ,所以 ,2 2 4 cos AcosB sin Asin B2 2 3AB AC解得 sin Asin B 15 2 2 ,由正弦定理可得 ,所认 ,8 6 sinC sin BAC 24sin B设 AB 1边上的高CD长为 h,所以 S ABC AB h1 AB AC sin A,2 2h AC sin A 24sin Asin B 24( 15 2 2 ) 3 15 8 2;故选:D.8 6π9.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T6)在 ABC中,若C ,b bcosA acosB,则 B的大小为( )3π π π 2πA. B. C. D.6 3 9 9【答案】D【解】因为b bcosA acosB,由正弦定理得,得sinB sinBcosA sinAcosB,所以 sinB sinAcosB sinBcosA,即 sinB sin A B ,因为 A 0, π ,B 0, π ,所以 π A B π,所以 A B B,或 A B π B,π 2π所以 A 2B,或 A π (舍),所以C π A B π 3B ,所以 B ;故选:D.3 9二.填空题:1.(2025 届广东省部分学校高三上开学摸底联考 T12)在VABC,角A, B,C所对的边分别为 a,b, c,第 33 页 共 34 页 ABC 120 , BD BC 交 AC于点D,且 BD 1,则 2a c的最小值为___________.8 3 1【答案】 【解】 S ABC S ABD S BCD , ac sin B1 cBD sin ABD 1 aBD sin CBD ,3 2 2 21 1 2 ac 3 1 1 1 c 1 a 1 1, 3ac c 2a, 3 ,2 2 2 2 2 a c∴ 2a1 c 2a c 1 2 3 2 4a c 2 3 2 4 4 8 3 ,3 a c 3 c a 3 34a c 4 3 2 3 8 3当且仅当 ,即 时,等号成立,故答案为:c a c ,a 3 3 32.(2025 届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统考 T13)已知 a、b、c分别为VABC的三个内角 A、B、C的对边, a 2,且 (a b)(sin A sinB) (c b)sinC,则VABC面积的最大值为______.【答案】 3【解】因为 (a b)(sin A sinB) (c b)sinC,根据正弦定理可知 (a b)(a b) (c b)c,2 2 2 1 π即b c a bc,由余弦定理可知 cos A ,又 A (0,π),故 A ,2 3又因为 a 2,所以b2 c2 4 bc, 4 b2 c2 bc 2bc bc bc (当且仅当b c时取等号),即bc 4 S 1;所以 bc sin A 1 3 4 3,即VABC 面积的最大值为 3,故答案为: 3 .2 2 23.(2025 届吉林省吉林大学附中实验学校高三一模 T13)在 ABC中,若 a2 b2 2024c2 2 tan A tanB,则 tanC(tan A tanB)的值为______.【答案】2023【解】因为 a2 b2 2024c2,由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC 2024c2 2abcosC,所以 2abcosC 2023c2,2sin A sin B2 tan A tan B cos A cosB 2sin A sinB cosC 2ab cosC 2023c2所以 tanC(tan A tan B) sinC sin AcosB sin B cos A 2 2023, ( ) sin C c2 c2cosC cos AcosB故答案为:2023.第 34 页 共 34 页2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题考点一 三角函数概念一、单项选择题1.(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T8)已知实数“”是“”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件二.填空题:1.(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T11)如图所示,在平面直角坐标系中,角的终边与单位圆交于点在第二象限,,则点的坐标为__________.考点二 三角恒等变换一、单项选择题1.(2025届成都市郫都区高三三模T4),,,则( )A. B. C. D.2.(2025届烟台市、东营市高三联考一模T3)已知,则( )A. B. C. D. 23.(2025届安徽皖南八校高三8月考试T5)已知,则值为( )A. B. C. D. 14.(2025届福建省漳州市高三第一次质量检测T4)若,则( )A. B. C. D.5.(2025届广东省八校高三上8月联考T4)已知,则( )A. B. C. D. 16.(2025届广东省高三毕业班第一次调研考试T4)已知 ,则 ( )A. B. C. D.7.(2025届广东省六校高三第一次联考T4)已知,,则( )A. B. C. D.8.(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T7)已知,且,则( )A. -1 B. C. D.9.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T6)已知,则( )A. B. C. D.10.(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T6),则( )A. B. C. D.11.(2025届湖南省名校高三上第二次联考T6)若为锐角,且,则( )A. B. C. D.12.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T4)已知,则( )A. B. C. D.13.(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T5)若,则( )A. B. C. D.14.(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T6)已知,,则( )A. B. C. D.15.(2025届江苏省常州市高三上第一次质量测试T3),,,若,则( )A. B. C. D.16.(2025届江苏省高三云帆杯8月学情调研考试T4)已知,,,则( )A. B. C. D.17.(2025届高三天枢杯第二届线上联考T9)不是方程的解的选项是( )A. B. C. D.18.(2025届江苏省海门中学高三第一次调研考试T7)锐角、满足,若,则( )A B. C. D.19.(2025届江西省多所学校第一次大联考T5)锐角满足,则( )A. B. C. D.20.(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T6)已知角,满足,,则( )A. B. C. D.21.(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T7)若,则( )A. B. C. D.22.(2025届山西省大同市高三第一次学情调研T3)已知,且,则( )A. B. C. D.23.(2025届陕西省宝鸡市金台区高三上第一次模拟T4)若,且,则( )A. B. C. D.24.(2025届四川省高三上入学摸底考试T3),则( )A. B. C. D.25.(2025届浙江省部分学校高三上返校联考T4)已知,则( )A. B. C. D.26.(2025届浙江省数海漫游高三第一次模拟考试T2)已知,,则( )A. 1 B. 2 C. D.27.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T2)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则( )A. 0 B. C. D.28.(2025届安徽省部分学校高三上8月联考T6)( ).A. B. C. D.29.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T3)已知点是角终边上一点,则( )A. B. C. D.二、多项选择题1.(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T9),则下列正确的是( )A. B. C. D.2.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T10),则( )A. 的值域为 B. 是周期函数C. 在递减 D. 的图像关于直线对称,但不关于点对称三.填空题:1.(2025届成都市郫都区高三三模T12)____________.2.(2025届四川省大数据精准联盟高三上一模T12)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则________.3.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试T13)如图,圆与轴的正半轴的交点为,点,在圆上,且点位于第一象限,点的坐标为,.若,则的值为____________.4.(2025届上海新高三开学摸底T6)若,则 .5.(2025届安徽省江淮十校高三第一次联考T12)已知,则______.考点三 三角函数图象性质一、单项选择题1.(2025成都市川师附中二诊模拟T4)已知函数的部分图象如图所示,将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则( )A. B. C. 1 D. 02.(2025届成都七中高新校区二诊模拟T8)已知函数的图象如图所示,图象与轴的交点为,与轴的交点为,最高点,且满足.若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为,则( )A. B. 0 C. D.3.(2025届四川省自贡市二模T7)已知函数的部分图象如图所示,为图象与轴的交点,为图象与轴的一个交点,且.若实数,满足,则( )A. B. 0 C. D. 24.(2025届湖南省名校高三上第二次联考T5)函数在()内没有最小值,且存在,使得,则的取值范围是( )A. B. C. D.5.(2025解湖南省长郡中学高三上第一次调研考试T7)函数,对于任意的,,都恒成立,且函数在上单调递增,则的值为( )A. 3 B. 9 C. 3或9 D.6.(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T1)在下列区间函数单调递减的是( )A. B. C. D.7.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T7)将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合,则的最小值为( )A. 7 B. 5 C. 9 D. 118.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T8)函数在上只有一个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.9.(2025届山东省部分学校高三上开学联考T7)设函数,若对于任意实数在区间上至少2个零点,至多有3个零点,则取值范围是( )A. B. C. D.10.(2025届山西省大同市高三第一次学情调研T6)已知函数在区间内有最大值,但无最小值,则的取值范围是( )A. B. C. D.11.(2025届浙江省部分学校高三上返校联考T7)已知函数,若方程在上有且只有五个实数根,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.12.(2025届福建省漳州市高三第一次教学质量检测T7)已知函数,若方程在区间上恰有3个实数根,则的取值范围是( )A. B. C. D.13.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试T5)在区间上是增函数,且,,则函数在区间上( )A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值14.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T7)将函数的图象绕原点逆时针旋转角,得到曲线.若曲线始终为函数图象,则的最大值为( )A. B. C. D. 1二、多项选择题1.(2025届成都七中高新校区二诊模拟T10)在上恰有3个零点,则( )A. B. 在上单调递减C. 函数在上最多有3个零点 D. 在上恰有2个极值点2.(2025届四川省自贡一中二模T9)已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到,则( )A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称3.(2025届烟台市、东营市高三一模T9)已知函数,则( )A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称C. 在区间上的取值范围为D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到4.(2025届山东省部分学校高三7月联考T10)如图为函数的部分图象,则下列说法中正确的是( )A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于点成中心对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移后关于轴对称5.(2025届安徽省江淮十校高三第一次联考T10)函数部分图象如图所示,其中,图象向右平移个单位后得到函数的图象,且在上单调递减,则下列说正确的是( )A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于5 D. 的最小值为26.(2025届广东省部分学校高三摸底联考T10)如图,与轴的其中两个交点为,,与轴交于点,点为中点,,,,则( )A. 的图象不关于直线对称 B. 的最小正周期为C. 图像关于原点对称 D. 在单调递减7.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T9)已知函数的最小正周期为,则下列结论中正确的是( )A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为8.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T10)函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )A. B. 函数在区间上单调递增C. D. 函数的图象关于直线对称9.(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T10)已知函数,则( )A. 的一个对称中心为B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象C. 在区间上单调递增D. 若在区间上与有且只有6个交点,则10.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T10)已知函数(,),函数的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )A. 的表达式可以写成B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C. 的对称中心(,1),D. 若方程在(0,m)上有且只有6个根,则11.(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T10),则下列结论正确的是( )A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为 D. 最大值为112.(2025届湖南省岳阳县一中高三上入学考试T10)函数的图象如图所示,将其向左平移个单位长度,得到的图象,则下列说法正确的是( )A. B. 函数的图象关于点对称C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减13.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T9)已知向量,则( )A. 若,则 B. 若,则C. 的最大值为5 D. 若,则14.(2025届江苏省常州市高三上第一次质量测试T9),下列说法正确的是( )A. 最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心C. 若在上有两个实数根,则D. 若的导函数为,则函数的最大值为15.(2025届江苏省高三云帆杯8月调研考试T9)已知函数,则下列函数为周期函数的是( )A. B. C. D.16.(2025届江苏省海安高中高三上期初检测T9)下列函数中,在区间上单调递减的函数是( )A. B. C. D.17.(2025届江苏省海安高中高三上期初检测T11).则下列结论正确的是( )A. 图像关于点中心对称 B. 图像关于直线对称C. 的最大值为 D. 既是奇函数又是周期函数18.(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T9)函数的部分图象如图所示,令,则( )A. 的一个对称中心是 B. 的对称轴方程为C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为19.(2025届四川省大数据精准联盟高三一模T9)的最小正周期为,则( )A. 的最大值为2B. 在上单调递增C. 的图象关于点中心对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到20.(2025届四川省高三上入学摸底考试T9)已知函数,则( )A. 的最小正周期为 B. 与有相同的最小值C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将向左平移个单位长度后得到的图像三.填空题:1.(2025届山东省部分学校高三7月联考T13)已知函数在区间内恰有3个零点,则的取值范围是______.2.(2025届安徽省部分学校高三上8月联考T13)已知函数在区间上单调递增,且,则__________.3.(2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试T13)已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形,则______.4.(2025届广东省六校高三八月第一次联考T13)若函数与在区间上均单调递增,则实数的取值范围为___________.5.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T12)将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象,则的值为__________.6.(2025届江西省多所学校第一次大联考T13)已知函数在区间内恰有两个极值点,则实数的取值范围为__________.7.(2025届山东省泰安市部分学校高三上摸底联考T14)设是正实数,若函数在上至少存在两个极大值点,则的取值范围是______.考点四 解三角形一、单项选择题1.(2025届成都市川师附中二诊模拟T8)在中,若的平分线的长为,则边上的高线的长等于( )A. B. C. 2 D.2.(2025届河南省部分学校高三7月联考T2)在中,角的对边分别为,若,则中角B的大小是( )A. B. C. D.3.(2025届河南省部分学校高三7月联考T6)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了,如图,测得,若点恰好在边上,则的值为( )A. B. C. D.4.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T5;2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T6) 在△ABC中,,,则( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 85.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T2)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若,则的值为( )A. B. C. D.6.(2025届湖南省岳阳县一中高三入学考试T4)在中,,则( )A. 3 B. 2 C. D. 17.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T4)在中,“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8.(2025届江苏省高三云帆杯8月学情调研考试T7)锐角中,,,,则AB边上的高CD长为( )A. B. C. D.9.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T6)在中,若,则的大小为( )A. B. C. D.二.填空题:1.(2025届广东省部分学校高三上开学摸底联考T12)在,角,,所对的边分别为,,,,交AC于点,且,则的最小值为___________.2.(2025届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统考T13)已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边,,且,则面积的最大值为______.3.(2025届吉林省吉林大学附中实验学校高三一模T13)在中,若,则的值为______.2025 届全国各地高三模拟试题分类精编 05三角函数小题考点一 三角函数概念一、单项选择题1.(2025 届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测 T8)已知实数 , ,“ + 2k ,k Z ”是“ sin + sin sin ”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件二.填空题:1.(2025 届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测 T11)如图所示,在平面直角坐标系 xOy中,角 3的终边与单位圆交于点A在第二象限, cos ,则点A的坐标为__________.5考点二 三角恒等变换一、单项选择题π1.(2025 4届成都市郫都区高三三模 T4)0 < β < α < 2,sin(α β) = ,tanα tanβ = 2,则 tanα tanβ =( )5A. 1 B. 1 C. 1 D. 52 2 3 3 ( + )2.(2025 届烟台市、东营市高三联考一模 T3)已知 tanα = 2,则 2 3 =( ) ( ) ( 2 )A. 2 B. 2 C. 2 D. 23 3 π 3.(2025 届安徽皖南八校高三 8 月考试 T5)已知 a 0, , sin3 5sinacos2 ,则 tan 值为( ) 2 A. 23 B. 3 C. D. 12 24.(2025 届福建省漳州市高三第一次质量检测 T4)若 tan 2tan ,sin t,则 sin ( )A. 2t B. 2t C. 3t D. 3t第 1 页 共 15 页sin x y 1 , tanx5.(2025 届广东省八校高三上 8 月联考 T4)已知 24 tany ,则 sin x y ( )1 1 3A. B. C. D. 14 2 4π6.(2025 届广东省高三毕业班第一次调研考试 T4)已知 sin sin 2 ,则 cos 2 π 3 3 3 ( ) 5 1 1 5A. B. C. D.9 9 9 97.(2025 届广东省六校高三第一次联考 T4)已知 sin m, tan 3tan ,则 sin ( )m m m mA. B. C. D. 4 4 2 28.(2025 届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测 T7)已知0 π,且sin cos 0,sin sin 6cos cos ,则 tan ( )1 1 1A. -1 B. C. D. 2 6 7 π π 1 π9.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T6)已知 cos cos 2 3 2 6 4,则cos 2 3 ( ) 1 1A. B. C. 3 D. 32 2 2 2π 510.(2025 届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考 T6) , 0, , cos , tan tan 4,则 2 6( ) π π π 2πA. B. C. D.6 4 3 3sin 2 911.(2025 届湖南省名校高三上第二次联考 T6)若 为锐角,且 cos ,则 cos ( )sin cos 1 54 3 7 3A. B. C. D. -5 5 25 5cos cos 212.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T4)已知 , cos 3 ,则 cos ( )5 51 1 4 2A. B. C. D.5 3 5 3第 2 页 共 15 页π13.(2025 届湖南省宁远县三中等高三上入学联考 T5)若 sin 3cos 1 ,则 cos 6 ( ) 1 1A. 3 B. C. D. 3 2 2 2 214.(2025 届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试 T6)已知 sin m tan , 2tan ,则 sin ( )m mA. B. C. 3m D. 3m3 3 15.(2025 届江苏省常州市高三上第一次质量测试 T3)a sin ,1 4cos2 ,b 1,3sin 2 , 0, 2 ,若 a//b ,则 tan 4 ( ) 1 1 2A. B. C. 2 7 7 7D.71 π π16.(2025 届江苏省高三云帆杯 8 月学情调研考试 T4)已知 cos 3,sin , 0,3 2 3 6则 sin 2 ( )A. 3 1 B. 3 2 2 C. 3 1 D. 2 2 33 6 3 63 117.(2025 3届高三天枢杯第二届线上联考 T9)不是方程 x x 0的解的选项是( )4 8A. cosπB. cos4πC. cos5πD. cos7π9 9 9 918.(2025 届江苏省海门中学高三第一次调研考试 T7)锐角 、 满足 sin cos( )sin tan 1,若 ,2则 cos( ) ( )1A. B.2 C. 3 D. 22 2 2 219.(2025 届江西省多所学校第一次大联考 T5)锐角 , 满足 sin sin sin cos cos ,则2 ( )π π πA. B. C. D. π2 3 4120.(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T6)已知角 , 满足 tan tan 3, cos ,则2第 3 页 共 15 页cos ( )1 3 1A. B. 1 C. D.4 8 821.(2025 届山东省招远二中等校高三上摸底联考 T7)若 sin(α 20°) = sin20°tan20° 3,则 cos(2α + 140°) =( )1 1 7 7A. B. C. D.8 8 8 8π22.(2025 届山西省大同市高三第一次学情调研 T3)已知 0, cos sin2 tan 2 ,且 ,则 ( ) 1 sin 1 cos2 A. B. 3 C. 33 D. 33 3123.(2025 届陕西省宝鸡市金台区高三上第一次模拟 T4)若 sin( ) ,且 tan 2 tan ,则 sin( ) 6 ( )3 2 2 1A. B. C. D.2 2 3 224.(2025 届四川省高三上入学摸底考试 T3) 3sin π sin π 0 tan 2 ,则 ( ) A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 2 3 2 31 25.(2025 2 届浙江省部分学校高三上返校联考 T4)已知 tan 4,则 costan 4 ( ) 1 3A. B. 1 3 C. D. 1 3 4 2 4 4 2 4 π cos126.(2025 届浙江省数海漫游高三第一次模拟考试 T2)已知 0, , tan ,则 ( ) 2 sin1π 2A. 1 B. 2 C. D.2 π 227.(2025 届重庆市南开中学高三 8 月第三次质量检测 T2)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x轴的非负半 π π π 轴重合,终边经过点 P cos ,sin ,则 cos 3 3 6 ( ) 1A. 0 B. C. 2 D. 32 2 2第 4 页 共 15 页28.(2025 届安徽省部分学校高三上 8 月联考 T6) 2 2 7 =( ).12 12A. 3 B. 1 C. 1 D. 32 2 2 229.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T3)已知点P(3, 4)是角 终边上一点,则cos2 ( )7 7 24 24A. B. C. D. 25 25 25 25二、多项选择题1.(2025 届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测 T9) f x sinx cosx,则下列正确的是( )A. f x π f x B. f x f π x π C. x 0, , f x π 0 D. x 0, , f x 0 2 4 2 2sinx 2 cosx 12.(2025 届重庆市南开中学高三 8 月第三次质量检测 T10) f x ,则( )sinx cosx 1A. f x 的值域为 2, 2 B. f x 是周期函数 πC. f x 在 2kπ, π 2kπ , k Z 递减 D. f4 x π π 的图像关于直线 x 对称,但不关于点 ,1 4 4 对称 三.填空题:1.(2025 届成都市郫都区高三三模 T12) sin210 sin2 20 sin2 30 sin2 900 ____________.2.(2025 届四川省大数据精准联盟高三上一模 T12)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x轴的非负半轴重合,终边经过点 P 1,2 ,则 cos2 ________.3.(2025 届广东省广州市执信中学高三上第三次测试 T13)如图,圆O与 x轴的正半轴的交点为A,点C,B在O 4 3 3圆 上,且点C位于第一象限,点 B的坐标为 , 5 5 , AOC .若 BC 1,则 3 cos2 sin cos 2 2 2 2的值为____________.4.(2025 1届上海新高三开学摸底 T6)若 sin( ) ,则 sin cos .4 2第 5 页 共 15 页π5.(2025 届安徽省江淮十校高三第一次联考 T12)已知 cos2x cos2 x ,则 tanx ______4 . 考点三 三角函数图象性质一、单项选择题π1.(2025 成都市川师附中二诊模拟 T4)已知函数 f x sin x 0, 的部分图象如图所示,将 f2 x π π 的图象向左平移 个单位长度得到函数 g x 的图象,则 g 6 ( )12 A. 12 B.3 C. 1 D. 02 π 2.(2025 届成都七中高新校区二诊模拟 T8)已知函数 f x Asin x A 0, 0, 2 的图象如图所示, 图象与 x 5 轴的交点为M ,0 ,与 y2 轴的交点为 N ,最高点 P 1, A ,且满足 NM NP.若将 f x 的图 象向左平移 1个单位得到的图象对应的函数为 g x ,则 g 2024 ( )A. 10 B. 0 C. 10 D.2 2 103.(2025 届四川省自贡市二模 T7)已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0, π )的部分图象如图所示,C为2图象与 y 33轴的交点, B为图象与 x轴的一个交点,且 BC .若实数x , x2满足 f (x1) f (x2 ) 41 ,则2f (x1 x2 ) ( )A. 1 B. 0 C. 2 D. 24.(2025 届湖南省名校高三上第二次联考 T5)函数 f x sin x cos x 在 0, ( 0 )内没有最小值,且存在 x0 0, ,使得 f x0 0,则 的取值范围是( )第 6 页 共 15 页 π 3π 5π 3π π , 3πA. , B. π,2 4 4 C. π,2 D. 2 2 π5.(2025 解湖南省长郡中学高三上第一次调研考试 T7)函数 f x 2sin x 0, 2 ,对于任意的 x R , f x π f π x π ,f x f x 0 f x π 12 12 2 都恒成立,且函数 在 , 010 上单调递增,则 的值为( ) A. 3 B. 9 C. 3或 9 D. 36.(2025 届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试 T1)在下列区间函数 f(x) = sinx 单调递减的是( )π πA. 0, B. , π π, 3π 3π , 5πC. 2 2 2 D. 2 2 π π7.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T7)将函数 f (x) sin x ( 0)的图象向右平移 个单位长 3 6度后与函数 g(x) cos( x)的图象重合,则 的最小值为( )A. 7 B. 5 C. 9 D. 118.(2025 届江苏省海门中学高三上第一次调研考试 T8)函数 f x sin 2 x 2 3 cos2 x 3 0 0, π 在 2 上 只有一个零点,则 的取值范围为( )1 1A. ,4 , 4 1 , 7 1 , 7 3 3 B. C. 6 6 D. 3 3 6 6 9.(2025 届山东省部分学校高三上开学联考 T7)设函数 f x 2sin x 1( 0),若对于任意实数 , f x π , 3π 在区间 4 4 上至少 2个零点,至多有 3个零点,则 的取值范围是( ) 8 20 8 20A. ,5 B. 4,5 C. 4, D. , 3 3 3 3 10.(2025 届山西省大同市高三第一次学情调研 T6)已知函数 f x 3cos2 x 1 sin2 x 3 ( 0)在区间 0,π 2 2内有最大值,但无最小值,则 的取值范围是( )1 7 1A. , B. ,7 1 , 7 1 7 6 12 12 12 C. 6 12 D. ,12 12 11.(2025 届浙江省部分学校高三上返校联考 T7)已知函数 f x sin x 3 cos x 0 ,若方程f x 1在 0, 上有且只有五个实数根,则实数 的取值范围为( )第 7 页 共 15 页 13 , 7 7 , 25 25 ,11 11 37A. B. C. D. , 6 2 2 6 6 2 2 6 π12.(2025 届福建省漳州市高三第一次教学质量检测 T7)已知函数 f x tan x ( 0),若方程 f x 1在 4 区间 0, π 上恰有 3个实数根,则 的取值范围是( )A. 2,3 B. 2,3 C. 3,4 D. 3,4 13.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试 T5) f x Asin x A 0, 0 在区间 m,n 上是增函数,且 f m A, f n A,则函数 g x Acos x A 0, 0 在区间 m,n 上( )A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值A D. 可以取到最小值 A1 1 π14.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T7)将函数 y x cos2x , x [0, ]的图象绕原点逆时针旋转 角,2 2 4得到曲线C .若曲线C始终为函数图象,则 tan 的最大值为( )1 π 2A. B. C. D. 12 π 2 3二、多项选择题1.(2025届成都七中高新校区二诊模拟 T10) f x sin x 3cos x 0 在 0,2 上恰有 3个零点,则( )7 5A. 5 11 B. f x 在 , 上单调递减6 3 7 10 C. 函数 g x f x 2 在 , 2 2 上最多有 3个零点 D. f x 在 , 2 2 上恰有 2个极值点 2.(2025 π届四川省自贡一中二模 T9)已知函数 f x 的图象是由函数 y 2sinxcosx的图象向右平移 6个单位得到,则( )A. f x π π 的最小正周期为 π B. f x 在区间 ,6 3 上单调递增 f x x πC. 的图象关于直线 对称 D. f x π的图象关于点 ,0 3 6 对称 3.(2025 2届烟台市、东营市高三一模 T9)已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos x 1,则( )A. f x π的最小正周期为 π B. f x 的图象关于直线 x 对称6π πC. f x , 在区间 上的取值范围为 1,1 4 6 第 8 页 共 15 页D. f x π π的图象可由 y 2cos 2x 3 的图象向右平移 个单位长度得到 64.(2025 届山东省部分学校高三 7 月联考 T10)如图为函数 f x Asin x (A 0, 0)的部分图象,则下列说法中正确的是( )4πA. 函数 f x 的最小正周期是 2π B. 函数 f x 的图象关于点 , 03 成中心对称 5π π C. 函数 f x 在区间 , 上单调递增 12 6 D. 函数 f x π的图象上所有的点横坐标扩大到原来的 2倍(纵坐标不变),再向右平移 3后关于 y轴对称5.(2025 届安徽省江淮十校高三第一次联考 T10)函数 f x sin x π π部分图象如图所示,其中 2 2 ,* π π 图象向右平移 s s N 个单位后得到函数 = 的图象,且 = 在 , 3 3 上单调递减,则下列说 正确的是( )A. 1 B. x π 为 f x 图象的一条对称轴 C. s可以等于 5 D. s的最小值为 266.(2025 届广东省部分学校高三摸底联考 T10)如图, = sin + > 0, > 0, ≤ π 与 x轴的其2中两个交点为A, B,与 y 轴交于点C,点D为 BC中点,OB 3OC,OA 2 2 21, AD ,则( )3A. f x 的图象不关于直线 x 8对称 B. f x 的最小正周期为12πC. + 2 的图像关于原点对称 D. f x 在 5,7 单调递减7.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T9)已知函数 f x sin x 3cos x 1 0 的最小正周期为π,则下列结论中正确的是( )A. f x π 的图像关于点 ,0 对称 B. f x 的图像关于直线 x 5π 6 12 对称 π πC. f x 在 0,1 上单调递增 D. f x 在区间 , 0,3 12 2 上的值域为 第 9 页 共 15 页 π 8.(2025 届湖南省衡阳县一中高三上开学考试 T10)函数 f (x) sin x 0, 2 的部分图象如图所示, 下列说法正确的是( )φ π 5πA. B. 函数 f (x)在区间 , π6 上单调递增3 C. 11πf (π ) 3 D. 函数 f (x)的图象关于直线 x 12 对称4 25π9.(2025 届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考 T10)已知函数 f x 2cos 2x 4 ,则( ) 3A. f x 的一个对称中心为 π,08 B. f x 3π的图象向右平移 8 个单位长度后得到的是奇函数的图象f x 5π 7πC. 在区间 ,8 8 上单调递增 D. 若 y f x 在区间 0,m 5π 13π 上与 y 1有且只有 6个交点,则m , 2 4 f (x) 2 sin( x ) 0 2 10.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T10)已知函数 ( , ),2 2函数 g(x) f (x)1 2 的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( ) A. f (x)的表达式可以写成 f (x) 2 sin 2x 4 f (x) 3 B. 的图象向右平移 个单位长度后得到的新函数是奇函数8C. h x f x 1 k 的对称中心( ,1), k Z8 2 5 13 D. 若方程 f x 1在(0,m)上有且只有 6个根,则m , 2 4 π11.(2025 届湖南省宁远县三中等高三上入学联考 T10) f x 2sin 2x ,则下列结论正确的是( ) 3 第 10 页 共 15 页A. f x π的最小正周期为 π B. f x 的图象关于直线 x 6对称C. f x π的一个零点为 x D. f6 x 的最大值为 1 π 12.(2025 届湖南省岳阳县一中高三上入学考试 T10)函数 f (x) 2sin 2 x (0 1)的图象如图所示, 3 π将其向左平移 个单位长度,得到 y g(x)的图象,则下列说法正确的是( )6A. 1 B. f (x) π , 0 函数 的图象关于点2 3 对称 π π π πC. 函数 y g(x)的图象关于直线 x 对称 D. 函数 y g 2x 在 ,6 3 9 9 上单调递减 13.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T9)已知向量a cos ,sin ,b 3,4 ,则( ) A. 若a//b,则 tan 4 3 B. 若3 a b,则 sin 5 a C. b 的最大值为 5 D. 若 a a b 0,则 a b 2 6π14.(2025 届江苏省常州市高三上第一次质量测试 T9) f (x) sin 3x 3 ,下列说法正确的是( ) A. f x 2π π 的最小正周期为 B. 点 ,03 6 为 f x 图象的一个对称中心 C. 若 f (x) a(a R) π π 3在 x ,18 9 上有两个实数根,则 a 1 2D. 若 f x 的导函数为 f x ,则函数 y f x f x 的最大值为 1015.(2025 届江苏省高三云帆杯 8 月调研考试 T9)已知函数 f x sin 2x,则下列函数为周期函数的是( )A. f cos x 1B. f x x sin 2 C. f x2 f sin2 x sin2 2x 2 D. π π16.(2025 届江苏省海安高中高三上期初检测 T9)下列函数中,在区间 ,4 2 上单调递减的函数是( ) y sin x π π A. 4 B. y 3sinx cosx C. y sin2x D. y cos x 3 第 11 页 共 15 页17.(2025 届江苏省海安高中高三上期初检测 T11) f x cos xsin 2x.则下列结论正确的是( )A. y f x 图像关于点 ,0 中心对称 B. y f x 图像关于直线 x 对称2C. f x 3的最大值为 D. f x 既是奇函数又是周期函数218.(2025 届山东省招远二中等校高三上摸底联考 T9)函数 f x Acos x (A 0, 0,0 π)的部分图象如图所示,令 g x f x cos2x,则( )A. g x π π kπ的一个对称中心是 ,0 g x x k Z 12 B. 的对称轴方程为 6 2C. g x π 10, π π 在 2 上的值域为 ,1 D. g x2 的单调递减区间为 kπ , kπ k Z 6 3 19.(2025 届四川省大数据精准联盟高三一模 T9) f x sin x 3cos x( 0)的最小正周期为 π,则( )A. f x 的最大值为 2B. f x π在 , π 3 6 上单调递增 C. f x π的图象关于点 ,0 6 中心对称 f x πD. 的图象可由 y 2cos2x的图象向右平移 个单位得到12 x π x20.(2025 届四川省高三上入学摸底考试 T9)已知函数 f x 3sin , g x 3cos 2 3 2,则( ) A. f x 的最小正周期为 4π B. f x 与 g x 有相同的最小值C. 直线 x π f x f x π为 图象的一条对称轴 D. 将 向左平移 个单位长度后得到 g x 的图像3三.填空题:f x sin x cos x π 1.(2025届山东省部分学校高三 7月联考 T13)已知函数 0 在区间 0,2π 内恰 6 有 3个零点,则 的取值范围是______.2 42.(2025 届安徽省部分学校高三上 8 月联考 T13)已知函数 f x cos x 在区间 , 3 3 上单调递增,且 第 12 页 共 15 页f 4 f 2 2 f 2 3 3 ,则 __________. 3.(2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试 T13)已知函数 f x 2sin x与 g x 2cos x( 0)的图象上任意 3个相邻的交点构成直角三角形,则 ______. π π 4.(2025 届广东省六校高三八月第一次联考 T13)若函数 f x sin x 与 g x sin x 在区间 4 4 0, π 上均单调递增,则实数 的取值范围为___________. 2 π π5.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T12)将函数 f x sin 2x 3 的图象沿x轴向左平移 个单位长 6g x π 度后得到函数 的图象,则 g 的值为__________. 4 π π 6.(2025 届江西省多所学校第一次大联考 T13)已知函数 f x 2024sin 2x 在区间 ,m 内恰有两个极值 6 6 点,则实数m的取值范围为__________.7.(2025 届山东省泰安市部分学校高三上摸底联考 T14)设 是正实数,若函数 y sin x在 , 2 上至少存在两个极大值点,则 的取值范围是______.考点四 解三角形一、单项选择题1.(2025 4 6届成都市川师附中二诊模拟 T8)在VABC中,若c 3,b 2, BAC的平分线 AD的长为 ,则 BC5边上的高线 AH 的长等于( )4A. B. 4 2 C. 2 D. 4 33 3 32.(2025届河南省部分学校高三 7月联考 T2)在VABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a :b : c 5: 7 :8,则VABC中角 B的大小是( )A. 135 B. 120 C. 90 D. 60o3.(2025 届河南省部分学校高三 7 月联考 T6)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料第 13 页 共 15 页得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用30 45 60 90 120 150 等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD,如图,测得AB 5,BD 6, AC 4, AD 3,若点C恰好在边 BD上,则 sin ACD的值为( )1 5A. B. C. 14 D. 222 9 6 64.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试 T5;2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试 T6) 在△ABC中,a2 b2 A2π sinC 5bc, ,则 sin B ( )3A. 2 B. 4 C. 6 D. 85.(2025 届湖南省临湘市一中高三上入学考试 T2)图 1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图 2所示的四边形 OABC.若 AB BC 1, AOB ,则OC 2 的值为( )1 1A. 2 1 B. sin2 1 C. 2 1 D. 2sin cos cos 1 6.(2025 届湖南省岳阳县一中高三入学考试 T4)在VABC中,4cos2 A 2sin 2 B C 3 0 ,则2 2 tan B tanC ( )A. 3 B. 2 C. 3 D. 17.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T4)在VABC中,“ cos A sin B”是“C 90 ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件1 18.(2025 届江苏省高三云帆杯 8 月学情调研考试 T7)锐角VABC中, sinC , sin A B ,3 4 AB 8,则AB边上的高 CD长为( )A. 36 2 B. 19 11 C.7 4 7 6 3 D. 3 15 8 25第 14 页 共 15 页π9.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T6)在 ABC中,若C ,b bcosA acosB,则 B的大小为( )3π π π 2πA. B. C. D.6 3 9 9二.填空题:1.(2025 届广东省部分学校高三上开学摸底联考 T12)在VABC,角A, B,C所对的边分别为 a,b, c, ABC 120 , BD BC 交 AC于点D,且 BD 1,则 2a c的最小值为___________.2.(2025 届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统考 T13)已知 a、b、c分别为VABC的三个内角 A、B、C的对边, a 2,且 (a b)(sin A sinB) (c b)sinC,则VABC面积的最大值为______.3.(2025 届吉林省吉林大学附中实验学校高三一模 T13)在 ABC 2 2 2 2 tan A tanB中,若 a b 2024c ,则 tanC(tan A tanB)的值为______.第 15 页 共 15 页 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题学生版.docx 2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题学生版.pdf 2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题教师版.docx 2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题教师版.pdf