2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题 (原卷版+解析版)

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2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题 (原卷版+解析版)

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2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题
考点一 三角函数概念
一、单项选择题
1.(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T8)已知实数“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A【解】当时,,
且,充分性成立;
当时,未必有,
例如时,此时,但不满足.
所以实数“”是“”的充分而不必要条件.故选:A.
二.填空题:
1.(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T11)如图所示,在平面直角坐标系中,角的终边与单位圆交于点在第二象限,,则点的坐标为__________.
【答案】【解】∵,∴,∴.故答案为
考点二 三角恒等变换
一、单项选择题
1.(2025届成都市郫都区高三三模T4),,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B【分析】由得,由,可得,由差角公式可解.
【解】由,可得,又,所以,
故,,解得,故选:B.
2.(2025届烟台市、东营市高三联考一模T3)已知,则( )
A. B. C. D. 2
【答案】C【分析】应用诱导公式化简,再由弦化切求值即可.
【解】由;故选:C.
3.(2025届安徽皖南八校高三8月考试T5)已知,则值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】C【解】因为,所以,
,即,
所以,解得(负根舍去).故选:C.
4.(2025届福建省漳州市高三第一次质量检测T4)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】由,得,即,
由,得,故,
则,故选:C
5.(2025届广东省八校高三上8月联考T4)已知,则( )
A. B. C. D. 1
【答案】C【解】由,
由,
可得,所以;故选:C
6.(2025届广东省高三毕业班第一次调研考试T4)已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】由题干得
所以 ,故选:B.
7.(2025届广东省六校高三第一次联考T4)已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】因为,所以,
因为,所以,故,,,,
所以,,所以;故选:C.
8.(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T7)已知,且,则( )
A. -1 B. C. D.
【答案】D【解】由题意得,则,
又因为,所以,同号,
又因为,则,同正,
所以,则,所以,
所以,故D正确;故选:D.
9.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T6)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】∵

∴,∴,故选:A.
10.(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T6),则( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】由已知可得,解得
,,,故选:D.
11.(2025届湖南省名校高三上第二次联考T6)若为锐角,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】,
所以,因为为锐角,故.故选:B
12.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T4)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】因为,又,
则可得;所以,故选:A.
13.(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T5)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】因为,所以,
所以,故选:B
14.(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T6)已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】由得,由得,
联立方程得:,,所以;故选:A
15.(2025届江苏省常州市高三上第一次质量测试T3),,,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】因为,所以,
,,所以或,
又,所以,所以,所以,故选:B.
16.(2025届江苏省高三云帆杯8月学情调研考试T4)已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】因为且,;所以;
因为且,;所以,
所以
;故选:B.
17.(2025届高三天枢杯第二届线上联考T9)不是方程的解的选项是( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】由于,
由于,其中,,,由可得,
结合三倍角公式可得当时,,
故只需要,且即可,故,,均是方程的根,
但,故不是方程的根;故选:B
18.(2025届江苏省海门中学高三第一次调研考试T7)锐角、满足,若,则( )
A B. C. D.
【答案】B【解】由,
所以,
所以;
又、均为锐角,所以,所以;所以;故选:B
19.(2025届江西省多所学校第一次大联考T5)锐角满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】因为,
所以,
又因为为锐角,则,而在上单调递减,
从而,即;故选:A.
20.(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T6)已知角,满足,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】,,
,,
,故选:A.
21.(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T7)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】,
;故选:C.
22.(2025届山西省大同市高三第一次学情调研T3)已知,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】因为,
整理得,又,所以.故选:D.
23.(2025届陕西省宝鸡市金台区高三上第一次模拟T4)若,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】因为,又,即,
则,所以,
故.故选:D
24.(2025届四川省高三上入学摸底考试T3),则( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】由,
则,因此可得,故选:D.
25.(2025届浙江省部分学校高三上返校联考T4)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】,,解得:,
.故选:A.
26.(2025届浙江省数海漫游高三第一次模拟考试T2)已知,,则( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C【解】因为,且,所以;故选:C.
27.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T2)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则( )
A. 0 B. C. D.
【答案】D【解】因为,即,所以,,
所以;故选:D
28.(2025届安徽省部分学校高三上8月联考T6)( ).
A. B. C. D.
【答案】D【解】;故选:D.
29.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T3)已知点是角终边上一点,则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】;所以;故选:B.
二、多项选择题
1.(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T9),则下列正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】BC【解】,则,故A错误;
,故B正确;
又,当,则,所以,
所以,即,故C正确;
当,则,所以,所以,故不使得,故D错误;故选:BC
2.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T10),则( )
A. 的值域为 B. 是周期函数
C. 在递减 D. 的图像关于直线对称,但不关于点对称
【答案】BCD【解】对于A,.
因为,且,
所以的值域是,A错误.
对于B,的定义域且,
对任意恒有,B正确.
对于C,在有意义,
当时,,
所以在单调递减,C正确.
对于D,,
的图象关于直线对称,且的定义域关于对称,
所以的图像关于直线称.,
的图象关于点对称,但的定义域不关于点对称,
所以的图象不关于点对称,D正确.故选:BCD.
三.填空题:
1.(2025届成都市郫都区高三三模T12)____________.
【答案】【解】
;故答案为.
2.(2025届四川省大数据精准联盟高三上一模T12)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则________.
【答案】【解】由题意可知,所以,故答案为:
3.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试T13)如图,圆与轴的正半轴的交点为,点,在圆上,且点位于第一象限,点的坐标为,.若,则的值为____________.
【答案】【解】圆的半径为1;又,
为等边三角形;,且为锐角.
.
由三角函数的定义可得,;故答案为:.
4.(2025届上海新高三开学摸底T6)若,则  .
【答案】【解】,,.故答案为:.
5.(2025届安徽省江淮十校高三第一次联考T12)已知,则______.
【答案】或.【解】
当,
当;故答案为:或.
考点三 三角函数图象性质
一、单项选择题
1.(2025成都市川师附中二诊模拟T4)已知函数的部分图象如图所示,将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则( )
A. B. C. 1 D. 0
【答案】B【分析】根据图象求出的解析式,再由图象平移确定的解析式,进而求函数值.
【解】由图知,则,由,则,
可得,又,则,故,
由题意,故.故选:B
2.(2025届成都七中高新校区二诊模拟T8)已知函数的图象如图所示,图象与轴的交点为,与轴的交点为,最高点,且满足.若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为,则( )
A. B. 0 C. D.
【答案】A【分析】根据图象,利用正弦型函数的性质、向量垂直的充要条件以及诱导公式进行求解.
【解】由图象可知,,所以,又,所以,
所以,又,所以,
又,所以,所以,所以点的坐标为,
因为,所以,即,又,解得,
所以,将的图象向左平移1个单位,得到的图象对应的函数为:

所以,故选:A.
3.(2025届四川省自贡市二模T7)已知函数的部分图象如图所示,为图象与轴的交点,为图象与轴的一个交点,且.若实数,满足,则( )
A. B. 0 C. D. 2
【答案】C【分析】先根据函数图象确定的值,再利用、两点坐标及距离公式求出点纵坐标,进而确定,然后求出得到函数表达式,最后根据计算.
【解】由的图象可知,,则.
已知,设,根据两点间距离公式,因为,
所以,即,解得(由图象可知点纵坐标为负).
因为在的图象上,所以,即,
又因为,所以,则.
因为在的图象上,所以,即,,
,,.
由图象可知,(为函数周期),,又,所以,,
当时,满足条件,所以.
因为的最大值为,最小值为,已知,所以,一个为,一个为.
不妨设,,则,,解得;,,
解得;所以;将代入得:
;故选:C.
4.(2025届湖南省名校高三上第二次联考T5)函数在()内没有最小值,且存在,使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】当时,此时
,; ,,
不满足存在,使得,故排除A,D
当时,此时
,, ,
,,此时不满足题意,故排除C;综上所述B正确;故选:B
5.(2025解湖南省长郡中学高三上第一次调研考试T7)函数,对于任意的,,都恒成立,且函数在上单调递增,则的值为( )
A. 3 B. 9 C. 3或9 D.
【答案】A【解】设周期为,在上单调递增,所以,得,因此.
由知的图象关于直线对称,则①.
由知图象关于点对称,则②.
②①得,令,则,
结合可得或9.
当时,代入①得,又,所以,
此时,因为,故在上单调递增,符合题意;
当时,代入①得,,又,所以,此时,
因为,故在上不是单调递增的,所以不符合题意,应舍去.
综上,的值为3.故选:A.
6.(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T1)在下列区间函数单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】根据正弦函数的图象,作出函数的图象,如图所示,
可得函数区间上单调递减;故选:C.
7.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T7)将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合,则的最小值为( )
A. 7 B. 5 C. 9 D. 11
【答案】D【解】,,,
由题可知,,,解得,,
又,当时,取得最小值11.故选:D.
8.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T8)函数在上只有一个零点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】由,
易知,令,则由题意知;故选:A
9.(2025届山东省部分学校高三上开学联考T7)设函数,若对于任意实数在区间上至少2个零点,至多有3个零点,则取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】令,则,令,则,则原问题转化为
在区间上至少2个,至多有3个t,使得,求得取值范围,
作出与的图象,如图所示,
由图知,满足条件的最短区间长度为,最长区间长度为,
∴,解得.故选:B.
10.(2025届山西省大同市高三第一次学情调研T6)已知函数在区间内有最大值,但无最小值,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】,
因为,所以时,;因为函数在区间内有最大值,无最小值,
结合正弦函数图像得,解得,故选:A.
11.(2025届浙江省部分学校高三上返校联考T7)已知函数,若方程在上有且只有五个实数根,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】由,
得:或,即,或,
易知由小到大第5、6个正根分别为,;因为方程在上有且只有五个实数根,
所以有且,解得;故选:C.
12.(2025届福建省漳州市高三第一次教学质量检测T7)已知函数,若方程在区间上恰有3个实数根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】当时,,由题意得在上有3个实根,
即可得,解得,即的取值范围是;故选:C.
13.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试T5)在区间上是增函数,且,,则函数在区间上( )
A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值
【答案】C【解】函数在区间上是增函数,
且,,则当时,,
而函数在区间上先增后减,
所以,函数在区间上先增后减,
当,该函数取到最大值.故选:C.
14.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T7)将函数的图象绕原点逆时针旋转角,得到曲线.若曲线始终为函数图象,则的最大值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】A【解】令原函数为,即,求导得,
当时,,函数在上单调递增,
函数的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2,记时的点为,
令函数图象在处的切线倾斜角为,则,
曲线在除端点外的任意一点处的切线垂直于轴时,则曲线上存在两点,其横坐标相同,
而曲线始终为函数图象,因此,而,
则,所以的最大值为;故选:A
二、多项选择题
1.(2025届成都七中高新校区二诊模拟T10)在上恰有3个零点,则( )
A. B. 在上单调递减
C. 函数在上最多有3个零点 D. 在上恰有2个极值点
【答案】BC【分析】,根据范围得到的范围,结合图像列出不等式,则得到的范围,利用代入检验法即可判断B选项,对C选项证明达不到四个零点,再列举三个零点的情况即可,对D选项,找到一个值满足3个极值点即可.
【解】,;,,,
函数在上恰有3个零点,故,解得,故A错误,
当,,
,,,
而正弦函数在上单调递减,故函数在上单调递减,故B正确,
令,即,解得
,,,
区间长度为,若在某闭区间上有四个解,
则区间长度至少为,比如,则不可能存在四个解,
当时,即,,
则或或,解得或或,故最多有3个零点,故C正确.
当时,此时,令,;解得,,
则 ,解得,,,
当时,,当时,,当时,,
此时上有3个极值点,故D错误,故选:BC.
【点睛】关键点睛:首先利用辅助角公式将函数化成关于正弦的函数,然后整体法结合图像得到关于的不等式,即可求出其范围,单调性问题可以通过代入检验,零点个数和极值点个数问题,通过寻找特例去证明或反驳,这也是选择题常用的方法.
2.(2025届四川省自贡一中二模T9)已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到,则( )
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
【答案】AD【分析】首先求出函数解析式,由周期知A正确;
整体代入法求函数的增区间、对称轴、对称中心知其他选项是否正确.
【解】因为,向右平移个单位得,
对于选项A:则最小正周期为,故A选项正确;
对于选项B:令,解得,
所以单调递增区间为,故B选项错误;
对于选项C:令,解得,故C选项错误;
对于选项D:令,解得所以函数的对称中心为,故D选项正确.
故选:AD.
3.(2025届烟台市、东营市高三一模T9)已知函数,则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上的取值范围为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
【答案】ABD【分析】应用二倍角正余弦公式化简函数式,再应用正弦型函数性质判断A、B、C;根据图象平移写出解析式即可判断D.
【解】由,所以,A对;
,即的图象关于直线对称,B对;
由上,故,C错;
向右平移个单位长度,,D对;故选:ABD
4.(2025届山东省部分学校高三7月联考T10)如图为函数的部分图象,则下列说法中正确的是( )
A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于点成中心对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移后关于轴对称
【答案】BC【解】对于A,由图可知,所以,A错误;
对于B,因,图象过点,所以,
所以,即,所以,
因为,所以点为函数的一个对称中心,B正确;
对于C,,由解得,
所以为函数的一个单调递增区间,所以,在区间上单调递增,C正确;
对于D,将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得,
再向右平移得,为奇函数,D错误;故选:BC
5.(2025届安徽省江淮十校高三第一次联考T10)函数部分图象如图所示,其中,图象向右平移个单位后得到函数的图象,且在上单调递减,则下列说正确的是( )
A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于5 D. 的最小值为2
【答案】BD【解】由函数图象,可得,所以,所以,解得,
又由函数的图象过点,且,
当时,可得,所以,
解得,因为,可得;
当时,可得,所以,
解得,因为,不存在,舍去,
综上可得,,,所以,所以A不正确,B正确;
又因为,所以是函数的一条对称轴,所以B正确;
将函数的图象向右平移个单位后,得到,
因为在上单调递减,则满足.解得,
当时,,而,故不可能等于5,所以C错误.
当时,,又因为,所以,所以D正确.故选:BD.
6.(2025届广东省部分学校高三摸底联考T10)如图,与轴的其中两个交点为,,与轴交于点,点为中点,,,,则( )
A. 的图象不关于直线对称 B. 的最小正周期为
C. 图像关于原点对称 D. 在单调递减
【答案】ACD【解】由题可,,,则,
有,;,,
把代入上式,得,解得(负值舍去),
,,由,解得,;解得,,
对A,,故A正确;对B:的最小正周期为,故B错误;
对C:,为奇函数,故C正确;
对D:当时,,在单调递减,为奇函数,故D正确;故选:ACD.
7.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T9)已知函数的最小正周期为,则下列结论中正确的是( )
A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称
C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为
【答案】BCD【解】,故,故,
对于A, ,故的图像关于点对称,A错误,
对于B,,的图像关于直线对称,故B正确,
对于C,当时,,故在上单调递增,C正确,
对于D,时,,故,故,D正确,故选:BCD
8.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T10)函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A. B. 函数在区间上单调递增
C. D. 函数的图象关于直线对称
【答案】BC【解】由图象可知,,解得,所以,
将点代入中,得,解得,
又,所以,所以,故A错误;
所以函数的解析式为;由,得,令,
则在上单调递增,所以函数在区间上单调递增,故B正确;
,故C正确;

所以函数的图象不关于直线对称,故D错误;故选:BC.
9.(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T10)已知函数,则( )
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有6个交点,则
【答案】BD【解】对于A,由,故A错误;
对于B,的图象向右平移个单位长度后得:
,为奇函数,故B正确;
对于C,当时,则,所以:在区间上单调递减,故C错误;
对于D,由,得,解得或,
在区间上与有且只有6个交点,其横坐标从小到大依次为:,
而第7个交点的横坐标为,,故D正确;故选:BD
10.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T10)已知函数(,),函数的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )
A. 的表达式可以写成
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的对称中心(,1),
D. 若方程在(0,m)上有且只有6个根,则
【答案】AB【解】对A,由图分析可知:得;
由,得,即,又,所以,
又,所以,即得,,又,
所以,所以,故A正确;
对B,向右平移个单位后得
,为奇函数,故B正确;
对于C,,令()得(),
所以对称中心(,1),,故C不正确;
对于D,由,得,因为,所以,
令,,,,,,解得,,,,,.
又在(0,m)上有6个根,则根从小到大为,,,,,,
再令,解得,则第7个根为,,故D错误.故选:AB.
11.(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T10),则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 最大值为1
【答案】AC【解】,故A正确;,所以不是对称轴,故B错误;
,所以是的一个零点,故C正确;
因为振幅,所以的最大值为,故D错误;故选:AC.
12.(2025届湖南省岳阳县一中高三上入学考试T10)函数的图象如图所示,将其向左平移个单位长度,得到的图象,则下列说法正确的是( )
A. B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减
【答案】ABD【解】函数,当,此时,
,因为,所以,所以,故A正确;
,所以关于点对称,故B正确;
函数图象向左平移个单位长度后得到,,
当时,,所以函数的图象不关于直线对称,故C错误;
,当时,,
所以函数在上单调递减,故D正确;故选:ABD
13.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T9)已知向量,则( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 的最大值为5 D. 若,则
【答案】AD【解】因为,,所以,,
对于A,若,则,所以,故A正确;
对于B,若,则,所以,
又,解得或,故B错误;
对于C,,其中,
当时,取得最大值,故C错误;
对于D,若,则,即,所以,
所以,故D正确;故选:AD.
14.(2025届江苏省常州市高三上第一次质量测试T9),下列说法正确的是( )
A. 最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心
C. 若在上有两个实数根,则
D. 若的导函数为,则函数的最大值为
【答案】ACD【解】由题意可得,故A正确;
,所以不是图象的一个对称中心,故B错误;
令,由得,
可转化为直线与曲线,有两个交点,数形结合可得,故C正确;
设为的导函数,则,其中,
当且仅当,即当且仅当时等号成立,故D正确,故选:ACD.
15.(2025届江苏省高三云帆杯8月调研考试T9)已知函数,则下列函数为周期函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】ABD【解】不妨令表示四个选项中的对应函数,
对于A,易知, 注意到,
因此为周期函数,故A正确;
对于B,
注意到,
因此为周期函数,故B正确;
对于D,
注意到,
因此为周期函数,故D正确;
对于C,易知,假设存在正常数T,使得恒成立,
分别取,得:,
,.
不妨设,其中,
,,
由于,而为无理数,则上式不恒成立,∴T不存在,不是周期函数,故C错误.
故选:ABD
16.(2025届江苏省海安高中高三上期初检测T9)下列函数中,在区间上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
【答案】AC【解】A选项,对于,由,得,
所以在区间上单调递减的函数,A选项正确.
B选项,对于,由,得,不符合题意.
C选项,由,得,且,
所以在区间上单调递减的函数,C选项正确.
D选项,对于,由,得,不符合题意;故选:AC
17.(2025届江苏省海安高中高三上期初检测T11).则下列结论正确的是( )
A. 图像关于点中心对称 B. 图像关于直线对称
C. 的最大值为 D. 既是奇函数又是周期函数
【答案】ABD【解】A:因为,
,所以,
因此图像关于点中心对称,所以本选项结论正确;
B:因为,,
所以,因此图像关于直线对称,所以本选项结论正确;
C:,
设,所以,
当时,单调递减,当时,单调递增,当时,单调递减,当时,函数有极大值,
极大值为:,而,所以函数的最大值为,因此本选项结论不正确;
D:因为,所以是奇函数,
因为,
所以是周期函数,因此本选项结论正确,故选:ABD
18.(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T9)函数的部分图象如图所示,令,则( )
A. 的一个对称中心是 B. 的对称轴方程为
C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为
【答案】ABD【解】由题图可得函数的最小值为,
,又,,,所以,
结合对称性可得函数的图象过点,
所以,解得,又,所以,
所以,所以,
所以.
对于A,当,,所以是的一个对称中心,故A正确;
对于B,令,,可得,,故的对称轴为,,故B正确;
对于C,时,,所以,故在上值域为,故C错误;
对于D,令,解得,
所以的单调递减区间为,故D正确;故选:ABD.
19.(2025届四川省大数据精准联盟高三一模T9)的最小正周期为,则( )
A. 的最大值为2
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
【答案】ACD【解】易知,其最小正周期为,
所以,即,显然,故A正确;
令,
显然区间不是区间的子区间,故B错误;
令,则是的一个对称中心,故C正确;
将的图象向右平移个单位得到
,故D正确;故选:ACD
20.(2025届四川省高三上入学摸底考试T9)已知函数,则( )
A. 的最小正周期为 B. 与有相同的最小值
C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将向左平移个单位长度后得到的图像
【答案】ABD【解】因为,
对于选项A:的最小正周期,故A正确;
对于选项B:与的最小值均为,故B正确;
对于选项C:因为,可知直线不为图象的对称轴,故C错误;
对于选项D:将向左平移个单位长度后,得到,故D正确.
故选:ABD.
三.填空题:
1.(2025届山东省部分学校高三7月联考T13)已知函数在区间内恰有3个零点,则的取值范围是______.
【答案】【解】,
当时,,由于函数在区间内恰有3个零点,
则有,解得,所以的取值范围是;故答案为:
2.(2025届安徽省部分学校高三上8月联考T13)已知函数在区间上单调递增,且,则__________.
【答案】【解】由,,
且的最大值为,最小值为,由,
可知当且仅当且时等式成立.
又函数在区间上单调递增,故与为两条相邻的对称轴,
所以周期,从而,故,故,
,由代入解析式可得,
则,则,故;故答案为:.
3.(2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试T13)已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形,则______.
【答案】【解】如图,设与的交点分别为,
由得,所以,则,
由对称性和已知可得为等腰直角三角形,所以点到直线的距离为,
即,解得.故答案为:
4.(2025届广东省六校高三八月第一次联考T13)若函数与在区间上均单调递增,则实数的取值范围为___________.
【答案】【解】当时,不具备单调性,
当时,,
若在区间上单调递增,则在在区间上单调递减,
可得,因为在上是单调递增的,
所以在上不可能单调递减,所以不成立,于是.
若函数在区间上单调递增,则,,
若函数在区间上单调递增,则,,
因为,所以时,,综上所述,;故答案为:.
5.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T12)将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象,则的值为__________.
【答案】1【解】由已知得,所以;故答案为:1.
6.(2025届江西省多所学校第一次大联考T13)已知函数在区间内恰有两个极值点,则实数的取值范围为__________.
【答案】【解】当时,,由函数在内恰有两个极值点,
可知,解得;故答案为:
7.(2025届山东省泰安市部分学校高三上摸底联考T14)设是正实数,若函数在上至少存在两个极大值点,则的取值范围是______.
【答案】【解】令,解得,.
若在上无极大值点,则存在实数,使得,
整理得到,解得,
因为且存在,故,或,故或.
若在上有且只有一个极大值点,
则存在实数,使得,或,
解得①或者②,
对于①,因且存在,故且,故整数满足,
当时,,当时,,当时,,故
对于②,同理可得
综上,在上无极大值点和有且只有一个极大值点时,.
故函数在上至少存在两个极大值点,;故答案为:.
考点四 解三角形
一、单项选择题
1.(2025届成都市川师附中二诊模拟T8)在中,若的平分线的长为,则边上的高线的长等于( )
A. B. C. 2 D.
【答案】B【分析】由可得的值,进而可求得、的值,结合余弦定理可得,由等面积法可求得.
【解】由题意知,设,则,如图所示,
由可得,整理得,
即,又因为,所以,
所以,所以,
在中,由余弦定理得,所以,
由可得,解得;故选:B.
2.(2025届河南省部分学校高三7月联考T2)在中,角的对边分别为,若,则中角B的大小是( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】设,则,
由余弦定理得,又,所以;故选:D.
3.(2025届河南省部分学校高三7月联考T6)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了,如图,测得,若点恰好在边上,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】在中,由余弦定理,;
因为,所以,
在中,由正弦定理,所以,解得,故选:C
4.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T5;2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T6) 在△ABC中,,,则( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B【解】因为,所以,所以;故选:B
5.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T2)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】在直角中, ,即,
在直角中;故选:A.
6.(2025届湖南省岳阳县一中高三入学考试T4)在中,,则( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】A【解】因为,所以,
又,所以,
得到,
整理得,所以,故选:A.
7.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T4)在中,“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B【解】若,则,故必要;
当,,时,有,,故不充分;故选:B.
8.(2025届江苏省高三云帆杯8月学情调研考试T7)锐角中,,,,则AB边上的高CD长为( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】因为且为锐角三角形,可得,所以,
因为为锐角三角形,所以,又,所以,
解得,由正弦定理可得,所认,
设边上的高长为,所以,
;故选:D.
9.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T6)在中,若,则的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】因为,由正弦定理得,得,
所以,即,
因为,所以,所以,或,
所以,或(舍),所以,所以;故选:D.
二.填空题:
1.(2025届广东省部分学校高三上开学摸底联考T12)在,角,,所对的边分别为,,,,交AC于点,且,则的最小值为___________.
【答案】【解】,,
,,,
∴,
当且仅当,即时,等号成立,故答案:
2.(2025届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统考T13)已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边,,且,则面积的最大值为______.
【答案】【解】因为,根据正弦定理可知,
即,由余弦定理可知,又,故,
又因为,所以,(当且仅当时取等号),
即;所以,即面积的最大值为,故答案为:.
3.(2025届吉林省吉林大学附中实验学校高三一模T13)在中,若,则的值为______.
【答案】2023【解】因为,
由余弦定理得,所以,
所以,
故答案为:2023.2025 届全国各地高三模拟试题分类精编 05三角函数小题
考点一 三角函数概念
一、单项选择题
1.(2025 届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测 T8)已知实数 , ,“ + 2k ,k Z ”是
“ sin + sin sin ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A【解】当 + 2k ,k Z时, sin + 0,
且 sin sin sin sin( 2k ) sin sin 0 ,充分性成立;
当 sin + sin sin 时,未必有 + 2k ,k Z,
例如 , 0时,此时 sin + sin sin 0,但不满足 + 2k ,k Z .
所以实数 , ,“ + 2k ,k Z ”是“ sin + sin sin ”的充分而不必要条件.故选:A.
二.填空题:
1.(2025 届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测 T11)如图所示,在平面直角坐标系 xOy中,角
3
的终边与单位圆交于点A在第二象限, cos ,则点A的坐标为__________.
5
4 3 4 4 3cos 3 sin = 1-cos 2 = A , 4 3 【答案】 , 5 5 【解】∵ ,∴ ,∴ 5 5 .故答案为

5 5 5 5
考点二 三角恒等变换
一、单项选择题
π
1.(2025 4届成都市郫都区高三三模 T4)0 < β < α < 2,sin(α β) = ,tanα tanβ = 2,则 tanα tanβ =( )5
A. 1 B. 1 C. 1 D. 5
2 2 3 3
0 < β < α < π π【答案】B【分析】由 得 < α β < π2 2 2,由 sin(α β),可得 tan(α β),由差角公式可解.
π π 4 π
【解】由 0 π2 ,可得
< α β <
2 2,又 sin(α β) = > 0,所以 0 < α β < 2,5
3
故 cos(α β) = ,tan(α β) = 4 = tanα tanβ = 2 13 1+tanαtanβ 1+tanαtanβ,解得 tanα tanβ = ,故选:B.5 2
( + )
2.(2025 届烟台市、东营市高三联考一模 T3)已知 tanα = 2,则 2 =( )
( ) (3 2 )
第 1 页 共 34 页
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
3 3
【答案】C【分析】应用诱导公式化简,再由弦化切求值即可.
(
【解】由 2
+ )
= = = 2 = 2;故选:C.
( ) (3 + +1 2+12 )
π
3.(2025 届安徽皖南八校高三 8 月考试 T5)已知 a 0, , sin3 5sinacos2 ,则 tan 值为( )
2
A. 3 B.
3 C. 2 D. 1
2 2
【答案】C【解】因为 sin3 5sin cos2 ,所以sin 2 5sin cos2 ,
sin cos2 cos sin2 5sin cos2 ,即 cos sin2 4sin cos2 ,
所以 4tan tan2
2tan
2,解得
1 tan 2 tan
(负根舍去).故选:C.
2
4.(2025 届福建省漳州市高三第一次质量检测 T4)若 tan 2tan ,sin t,则 sin ( )
A. 2t B. 2t C. 3t D. 3t
【答案】C【解】由 tan 2tan sin 2sin ,得 cos cos ,即 sin cos 2cos sin ,
由 sin t,得 sin cos cos sin t,故 sin cos 2t, cos sin t,
则 sin sin cos cos sin 3t,故选:C
1 tanx
5.(2025 届广东省八校高三上 8 月联考 T4)已知 sin x y , 24 tany ,则 sin x y ( )
1 1 3
A. B. C. D. 1
4 2 4
sin x
tanx sinxcosy
【答案】C cos x【解】由 tany sin y 2 sinxcosy 2cosxsinycosxsiny ,
cos y
1
由 sin x y sinxcosy cosxsiny 2cosxsiny cosxsiny 1 cosxsiny 1 ,
4 4 4
可得 sinxcosy 2cosxsiny 1 ,所以 sin x y sinxcosy cosxsiny 1 1 3 ;故选:C
2 2 4 4
sin π 26.(2025 届广东省高三毕业班第一次调研考试 T4)已知 sin ,则 cos

2
π

3 3
( )
3
5 1 1 5
A. B. C. D.
9 9 9 9
2 π 1 3
【答案】B【解】由题干得 sin sin sin cos sin
3
cos 1 sin cos π
3 3 2 2 2 2 6
2
cos 2 π 2cos 2 π 2 1所以 1 2
1 ,故选:B.
3 6 3 9
7.(2025 届广东省六校高三第一次联考 T4)已知 sin m, tan 3tan ,则 sin ( )
第 2 页 共 34 页
m m m m
A. B. C. D.
4 4 2 2
【答案】C【解】因为 sin m,所以 sin cos cos sin m,
因为 tan 3tan
sin sin
,所以 3 ,故 sin cos 3sin cos π πcos cos , kπ , kπ ,k Z,2 2
所以 sin cos 3m , cos sin m ,所以 sin sin cos cos sin m ;故选:C.
4 4 2
8.(2025 届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测 T7)已知0 π,且
sin cos 0,sin sin 6cos cos ,则 tan ( )
1 1 1
A. -1 B. C. D.
2 6 7
【答案】D【解】由题意得 sin cos ,则 tan 1,
又因为 sin sin 6cos cos ,所以 tan tan 6, tan , tan 同号,
tan tan tan tan tan 又因为 1,则 tan tan 5, tan , tan 1 同正, tan tan 1 6
π
所以0 2,则 tan tan ,所以 tan tan tan tan 4 tan tan 52 4 6 1,2
tan tan tan tan tan tan tan 1所以 1 tan tan 1 6 7 7 ,故 D 正确;故选:D.
π π 1 π
9.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T6)已知 cos cos ,则 cos 2
2 3 2 6 4 3
( )

1 1
A. B. C. 3 3 D.
2 2 2 2
A
π π π π π π π
【答案】 【解】∵ cos cos cos cos cos sin
2 3 2 6 2 3 2 3 2 2 3 2 3
1
sin
2π 1
sin
π π 1 π 1
cos( ) 2 3 2 6 2 2 6 4,
∴ cos
π 1 ,∴ cos
2 π π 1 2cos
2
6 2 3 6
1
2,故选:A.
10.(2025 π 5届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考 T6) , 0, , cos , tan tan 42 6 ,则 ( )
π π π 2π
A. B. C. D.
6 4 3 3
5 cos cos 1 cos cos sin sin ,
D 6 6【答案】 【解】由已知可得
sin sin
,解得
4
cos cos sin sin
2

3
cos cos cos sin 1 sin , , π 0, , 0,π2 ,

,故选:D.
2 3
sin 2 9
11.(2025 届湖南省名校高三上第二次联考 T6)若 为锐角,且 cos ,则 cos ( )
sin cos 1 5
第 3 页 共 34 页
4 3 7 3
A. B. C. D. -
5 5 25 5
B sin cos
2 1 sin cos 1 sin cos 1
【答案】 【解】 sin cos 1
9
cos ,
sin cos 1 sin cos 1 5
所以 sin =
4
,因为 为锐角,故 cos 3 .故选:B
5 5
2 3
12.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T4)已知 cos cos , cos ,则 cos ( )
5 5
1 1 4 2
A. B. C. D.
5 3 5 3
2 2
【答案】A【解】因为 cos cos ,又 cos cos cos sin sin sin sin 3 ,5 5 5
则可得 sin sin
1
;所以 cos cos cos sin sin 1 ,故选:A.
5 5
π
13.(2025 届湖南省宁远县三中等高三上入学联考 T5)若 sin 3cos 1,则 cos 6 ( )
1 1
A. 3 B. C. D. 3
2 2 2 2
π π 1
【答案】B【解】因为 sin 3cos 1,所以 2sin 3 1 sin 3 2,
cos π cos π cos π 所以 cos
π π sin π 1
6 6 6 2 3
,故选:B
3 2
14.(2025 届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试 T6)已知 sin tan m, 2 sin tan ,则 ( )
m m
A. B. C. 3m D. 3m
3 3
【答案】A【解】由sin m得 sin cos sin cos m tan 2 sin cos ,由 得 2tan cos sin ,
m
联立方程得: sin cos
2 1
m, sin cos m,所以 sin sin cos sin cos ;故选:A3 3 3

15.(2025 届江苏省常州市高三上第一次质量测试 T3)a sin ,1 4cos2 ,b 1,3sin 2 , 0, 2 ,若
a//b ,则 tan 4 ( )
1 1 2
A. B. C. 2 D.
7 7 7 7

【答案】B【解】因为 a//b ,所以1 4 cos 2 sin (3 sin 2),
1 4 1 2sin2 3sin2 2sin ,5sin2 2sin 3 0,所以 sin 3 或 sin 1,5
3
3 3 tan 1
1 1
又 0, 2 ,所以
sin ,所以 tan ,所以 tan 4
5 4 4 1 tan 1 3 7
,故选:B.
4
第 4 页 共 34 页
1 π π
16.(2025 3届江苏省高三云帆杯 8 月学情调研考试 T4)已知 cos ,sin , 0,3 2 3 6
则 sin 2 ( )
A. 3 1 B. 3 2 2 C. 3 1 D. 2 2 3
3 6 3 6
π π
【答案】B【解】因为 0 cos 1 π π 2 2 2且 3, ;所以3 6 2 6 sin 1 cos
2 ;
3
π 1
因为
π
0 π π且 , ;所以 cos 1 sin2 ,
3 6 2 6 2
所以 sin 2 sin sin cos cos sin
2 2 1 1 3 2 2 3
;故选:B.
3 2 3 2 6
3 1
17.(2025 3届高三天枢杯第二届线上联考 T9)不是方程 x x 0的解的选项是( )
4 8
A. cos
π
B. cos

C. cos
5π cos 7πD.
9 9 9 9
【答案】B【解】由于 cos3 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 2cos3 cos 2sin2 cos 4cos3 3cos ,
由于 cos3 cos
π 1
,其中 =
π 5π 7π x3 3 x 1 0 4x3 3x 1, , ,由 可得 ,
3 2 9 9 9 4 8 2
1
结合三倍角公式 cos3 4cos3 3cos 可得当 x cos 4cos3时, 3cos cos3 ,2
1 π 5π 7π
故只需要 x cos ,且 cos3 即可,故 = , , 均是方程的根,
2 9 9 9
但 cos
4π 1 4π
3 9 ,故 不是方程的根;故选:B 2 9
18.(2025 届江苏省海门中学高三第一次调研考试 T7)锐角 、 满足 sin cos( )sin ,若 tan 1 ,
2
则 cos( ) ( )
1
A B. 2 C. 3. D.
2

2 2 2 2
【答案】B【解】由 sin cos( )sin sin cos( )sin ,
所以 sin cos cos sin cos( )sin sin cos 2cos( )sin ,
所以 tan 2 tan 1;
又 、 π 2均为锐角,所以 0, π ,所以 ;所以
4 cos( )
;故选:B
2
19.(2025 届江西省多所学校第一次大联考 T5)锐角 , 满足 sin sin sin cos cos ,则2 ( )
π π π
A. B. C. D. π
2 3 4
第 5 页 共 34 页
【答案】A【解】因为 sin sin sin cos cos ,
所以 cos
π


sin cos cos sin sin cos 2 ,
π π
又因为 , 为锐角,则 0, , 0,π ,而 y cos x在 0,π2 2 上单调递减,
π
从而 ,即 2 π ;故选:A.
2 2
1
20.(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T6)已知角 , 满足 tan tan 3, cos ,则
2
cos ( )
1 3 1
A. B. 1 C. D.
4 8 8
sin sin
【答案】A【解】 tan tan 3, sin sin 3cos cos cos cos ,
cos cos cos sin sin 4cos cos 1 1 , cos cos ,
2 8
cos cos cos sin sin 2cos cos 1 ,故选:A.
4
21.(2025 届山东省招远二中等校高三上摸底联考 T7) sin(α 20°) = sin20°若 ,则 cos(2α + 140°) =( )
tan20° 3
1 1
A. B. C. 7 7D.
8 8 8 8
1
sin(α 20°) = sin20° = sin20°cos20°
sin40° 1 sin40° 1
【答案】C【解】 = 2 = = tan20° 3 sin20° 3cos20° 2(1sin20° 3cos20°) 4 sin40° 4

2 2
2
cos 2 140 cos 2 20 180 cos 2 20 2
1 7
1 2sin 20 1 2 4 8;故选:C.
π cos sin2
22.(2025 届山西省大同市高三第一次学情调研 T3)已知 0, ,且 ,则 tan 2 1 sin 1 cos2 ( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
3 3
cos sin2 cos 2sin cos π
【答案】D【解】因为 0, ,
1 sin 1 cos2 1 sin 2 2sin 2 2


1 π π 3
整理得 sin ,又 0, 2 ,所以 , tan .故选:D.2 6 3
1
23.(2025 届陕西省宝鸡市金台区高三上第一次模拟 T4)若 sin( ) tan 2 tan sin( ) 6 ,且 ,则 ( )
2 1
A. 3 B. 2 C. D.
2 2 3 2
【答案】D【解】因为 sin( ) sin cos cos sin 1 ,又 tan 2 tan sin 2sin ,即
6 cos cos

第 6 页 共 34 页
则 sin cos 2cos sin ,所以 sin cos 1 , cos sin 1 ,
3 6
sin( ) sin cos cos sin 1 1 1故 .故选:D
3 6 2
24.(2025 T3) 3sin π sin π 届四川省高三上入学摸底考试 0,则 tan ( )
2
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
2 3 2 3
【答案】D【解】由 3sin π sin π 0,
2
3sin cos 0 tan sin 3则 ,因此可得 ,故选:D.cos 3
1
25.(2025 2 届浙江省部分学校高三上返校联考 T4)已知 tan 4,则 cos ( )tan 4
1 1 3 3A. B. C. D. 1 3
4 2 4 4 2 4
2 2 1
【答案】A【解】 tan
1
4 sin cos sin cos 1, 4,解得: sin cos ,
tan cos sin sin cos sin cos 4
1 cos 2
cos2
1 1 1 1 1 1
2 sin 2 sin cos .故选:A.
4 2 2 2 2 4 2 4
π cos1
26.(2025 届浙江省数海漫游高三第一次模拟考试 T2)已知 0, , tan ,则 ( )
2 sin1
π 2
A. 1 B. 2 C. D.
2 π 2
sin π
cos1
1
2 π π π π π π 2
【答案】C【解】因为 tan tan 1

,且 0,

, 1

sin1 0, ,所以 1 ;故选:C.cos π 1 2 2 2 2 2 2
2
27.(2025 届重庆市南开中学高三 8 月第三次质量检测 T2)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x轴的非负半
π π π
轴重合,终边经过点 P cos ,sin ,则 cos 3 3 6
( )

1
A. 0 B. C. 2 D. 3
2 2 2
π π 1 3 1
【答案】D 3【解】因为 P cos ,sin ,即 P , ,所以 sin , cos , 3 3 2 2 2 2
cos π cos cos π sin sin π 1 3 3 1 3所以 ;故选:D
6 6 6 2 2 2 2 2
28.(2025 7 届安徽省部分学校高三上 8 月联考 T6) 2 2 =( ).
12 12
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
2 2 2

2
D sin2 π sin2 7π sin2 π sin2 π π π π【答案】 【解】 sin
2 cos2 cosπ 3 ;故选:D.
12 12 12 2 12 12 12 6 2
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29.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T3)已知点P(3, 4)是角 终边上一点,则cos2 ( )
7 7 24 24
A. B. C. D.
25 25 25 25
3 3 3 2
【答案】B【解】 cos 32 4 2 5;所以 cos2 2cos
2 1 2 7 1 ;故选:B.
5 25
二、多项选择题
1.(2025 届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测 T9) f x sinx cosx,则下列正确的是( )
π π π
A. f x π f x B. f x f x 2 C. x 0, 4 , f x 0 D. x 0, , f x 0 2
【答案】BC【解】 f x sinx
π π π
cosx 2 sin x f x π 2 sin x π 2 sin x f x
4
,则 4 ,故 A错误; 4
f π π π π π x
2 sin x 2 sin π x 2 sin x f x 2 2 4 4 4 ,故 B正确;

又 f x 2 cos π π π π π π 2 x ,当 x 4 0, ,则 x , ,所以 cos x 4 4 4 2 0, , 4 2


所以 f x 0 π,即 x 0, , f x 04 ,故 C正确;
x 0, π x π π , 3π sin x π
2
当 ,则 ,所以 ,1 ,所以 f (x) (1, 2 ù x π 2 4 4 4 4 2 ú ,故不 0, 使得 f x 0, 2
故 D错误;故选:BC
2sinx 2 cosx 1
2.(2025 届重庆市南开中学高三 8 月第三次质量检测 T10) f x ,则( )
sinx cosx 1
A. f x 的值域为 2, 2 B. f x 是周期函数
π π
C. f x 在 2kπ, π 2kπ , k Z 递减 D. f x π 4 的图像关于直线 x 对称,但不关于点 ,1 对称 4 4
BCD A 2sin x 2 cos x 1f x 2sin xcos x 2sin x 2cos x 2 (sin x cos x 1)
2
【答案】 【解】对于 , sin x cos x 1.
sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cos x 1
π
因为 sin x cos x 1 0,且 sinx cosx 2sin x


4
2, 2 ,
所以 f x 的值域是 1 2,0 0,1 2 ,A错误.
对于 B π, f x 的定义域D x | x 2kπ且 x π 2kπ,k Z2 ,
对任意 x D恒有 f x 2π 2sin x 2π
π
1
π
2sin x

1 f x ,4 B正确. 4
π
对于 C, f x 在 2kπ, π 2kπ ,k Z 有意义,
4
当 x
π
2kπ, π 2kπ
,k Z π π 5π
4 时,
x 2kπ, 2kπ ,k Z4 2 4 ,
所以 y 2sin
π π
x 在 2kπ, π 2kπ

,k Z4 4 单调递减,C正确.
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f πD 2sin
π π
对于 , 1 2 1 f x ,
4 4 4 max
y 2sin x
π
π π 1的图象关于直线 x 对称,且 f x 的定义域关于 x 对称,
4 4 4
f x x π f π 2sin π π 所以 的图像关于直线 称. 1 14 4 4 4 ,
y 2sin x π 1 π π 的图象关于点 ,14 对称,但 f x 的定义域不关于点 ,14 对称, 4
π
所以 f x 的图象不关于点 ,14 对称,D正确.故选:BCD.
三.填空题:
1.(2025 届成都市郫都区高三三模 T12) sin210 sin2 20 sin2 30 sin2 900 ____________.
91
【答案】 【解】
2 sin
210 sin220 sin230 sin2900
sin210 sin2890 ( sin220 sin2880 sin2440 sin2460 sin2450 sin2900
sin210 cos210 ( sin220 cos220 sin2440 cos2450 1 1 1 1 1 3 = 911 91 45;故答案为2 .2 2 2 2
2.(2025 届四川省大数据精准联盟高三上一模 T12)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x轴的非负半轴重合,
终边经过点 P 1,2 ,则 cos2 ________.
3 1 1
【答案】- 【解】由题意可知 cos 2 2 ,所以 cos2 2cos
2 1 3 3
5 ,故答案为:
-
5 1 2 5 5
3.(2025 届广东省广州市执信中学高三上第三次测试 T13)如图,圆O与 x轴的正半轴的交点为A,点C,B在
O 4 3 圆 上,且点C位于第一象限,点 B的坐标为 , 5 5 , AOC .若 BC 1,则 3 cos
2 sin cos 3
2 2 2 2
的值为____________.
3 B 4【答案】 【解】 ,
3
, OB 1, 圆O的半径为 1;又 BC 1,5 5 5
BOC 为等边三角形; AOB ,且 为锐角.
3
3 cos2 sin cos 3 3 1 cos 1
3 1
sin 3 cos sin sin

sin AOB .2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
sin AOB 3 3由三角函数的定义可得, ;故答案为: .
5 5
4.(2025 1届上海新高三开学摸底 T6)若 sin( ) ,则 sin cos .
4 2
第 9 页 共 34 页
2 sin( ) 1 2【答案】 【解】 , cos 2 1 2 2 sin , sin cos .故答案为: .
2 4 2 2 2 2 2 2
5.(2025 届安徽省江淮十校高三第一次联考 T12)已知 cos2x cos2
π
x ,则 tanx ______4 .
1 1 cos2x cos2 x
π
cos2 2 1 2【答案】 或 .【解】 x sin x cosx sinx cosx sinx cosx sinx 3 4 2
当 cosx sinx 0 sinx cosx tanx 1,
当 cosx sinx 0 cosx sinx 2cosx 2sinx cosx 3sinx tanx 1 ;故答案为: 1 1或 .
3 3
考点三 三角函数图象性质
一、单项选择题
π
1.(2025 成都市川师附中二诊模拟 T4)已知函数 f x sin x 0,

2 的部分图象如图所示,将
f x

π π
的图象向左平移 个单位长度得到函数 g x 的图象,则 g 6 ( )12
A. 12 B.
3 C. 1 D. 0
2
【答案】B【分析】根据图象求出 f x 的解析式,再由图象平移确定 g x 的解析式,进而求函数值.
3T 11π π 3π T π 2π π 2 f π sin π π π【解】由图知 ,则 ,由 2 1,则 2kπ, k Z,
4 12 6 4 6 6 3 2
π可得 2kπ,k Z π,又 ,则 π f x π,故 sin
6 2 6
2x
6


g(x) f x π sin 2x π π π π 2π 3由题意 12 3 ,故
g 6 sin 2 sin .故选:B 6 3 3 2
π
2.(2025 届成都七中高新校区二诊模拟 T8)已知函数 f x Asin x A 0, 0, 的图象如图所示,
2
x M 5 图象与 轴的交点为 ,02 ,与
y轴的交点为 N ,最高点 P 1, A ,且满足 NM NP.若将 f x 的图

象向左平移 1个单位得到的图象对应的函数为 g x ,则 g 2024 ( )
A. 10 10 B. 0 C. D.
2 2 10
第 10 页 共 34 页
【答案】A【分析】根据图象,利用正弦型函数的性质、向量垂直的充要条件以及诱导公式进行求解.
T 5 3 2π π
【解】由图象可知, 1 ,所以T 6,又 0,T 6,所以 ,4 2 2 3
所以 f (x) Asin(
π x ),又 f (
5) Asin(π 5 ) 0 5π,所以 π+2kπ,k Z,
3 2 3 2 6
π π
又 | | ,所以 ,所以 f (x) Asin(
π x π ) A ,所以点 N 0, f (0) 的坐标为 0, ,
2 6 3 6

2

NM NP 5 , A A 5 A
2
因为 ,所以 NM NP 0,即 1, 0,又 A 0,解得2 2 A 10 , 2 2 4
所以 f (x) 10 sin(
π x π ),将 f (x)的图象向左平移 1个单位,得到的图象对应的函数为:
3 6
g(x) 10 sin π x 1 π
10 sin π x π 10 cos π x,
3 6 3 2 3
所以 g(2024) 10 cos 2024π 10 cos 2π 674π

10 cos
2π 10
,故选:A.
3 3 3 2
π
3.(2025 届四川省自贡市二模 T7)已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0, )的部分图象如图所示,C为
2
33
图象与 y轴的交点, B为图象与 x轴的一个交点,且 BC .若实数x , x2满足 f (x1) f (x2 ) 41 ,则2
f (x1 x2 ) ( )
A. 1 B. 0 C. 2 D. 2
【答案】C【分析】先根据函数图象确定A的值,再利用 B、C两点坐标及距离公式求出C点纵坐标,进而
确定 ,然后求出 得到函数表达式,最后根据 f (x1) f (x2 ) 4计算 f (x1 x2 ) .
【解】由 f x Asin x (A 0, 0, π )的图象可知, A 2,则 f (x) 2sin( x ) .2
B(5已知 ,0),设C(0, yC )
33
,根据两点间距离公式,因为 | BC | ,
2 2
(5 0)2 (0 y )2 33 (5)2 y2 ( 33所以 2
2 C
,即
2 2 C
) ,解得 y 2 (由图象可知C点纵坐标为负).
2 C
因为C(0, 2)在 f (x) 2sin( x )的图象上,所以 f (0) 2sin 2,即 sin 2 ,
2
π π
又因为 | | ,所以 ,则 f (x) 2sin( x π ) .
2 4 4
5
因为 B( ,0)在 f (x) 2sin( x
π
) 的图象上,所以 2sin(5 π 5 π ) 0,即 kπ, k Z,
2 4 2 4 2 4
第 11 页 共 34 页
5 kπ π 2 (kπ π) 2kπ π , , k Z .
2 4 5 4 5 10
T 5 T T 10 T 2π 2π π由图象可知, ( 为函数周期), ,又 ,所以 10, ,4 2 5
当 k 1 2π π π π π 时, 满足条件,所以 f (x) 2sin( x ) .
5 10 2 2 4
因为 f (x)的最大值为 2,最小值为 2,已知 f (x1) f (x2 ) 4,所以 f (x1), f (x2 )一个为 2,一个为 2 .
π π π 3 π π π
不妨设 f (x1) 2, f (x2 ) 2,则 x1 2k2 4 1
π ,k1 Z ,解得 x1 4k1 ; x2 2k2π ,k2 Z ,2 2 2 4 2
x 4k 1 π π解得 2 2 ;所以 x1 x2 4(k1 k2 ) 1;将 x1 x2 4(k1 k2 ) 1代入 f (x) 2sin( x )得:2 2 4
f (x1 x
π
2 ) 2sin[ (4(k
π
1 k2 ) 1) ] 2sin(2(k1 k2 )π
π π
) 2sin(π ) 2;故选:C.
2 4 2 4 4
4.(2025 届湖南省名校高三上第二次联考 T5)函数 f x sin x cos x 在 0, ( 0 )内没有最小值,且存
在 x0 0, ,使得 f x0 0,则 的取值范围是( )
π 3πA. , B. π,
5π C. π,
3π π 3π
,
2 4
D.
4 2 2 2
1 sin2x, x ∈ (0, π ,
【答案】B【解】当 π时,此时 f(x) = 2 2
1 sin2x, x ∈ ( π , π),
2 2
x 0, π 1 π , 2x 0,π , f (x) 0, ; x , π , 2x π,2π , f (x)

0,
1

2 2 2 2
不满足存在 x0 0, ,使得 f x0 0,故排除 A,D
1 sin2x, x ∈ (0, π ,

2 2
当 时,此时 f(x) = 1 sin2x, x ∈ ( π , π ,
4 2 2
1 sin2x, x ∈ (π, 5π ),
2 4
x 0,
π
, 2x 0, π
π
, f (x)
1
0, , x , π

, 2x π,2π , f (x)
0, 1
2 2 2 2
x 5π 5π 1 π , 2x

4
2π, , f (x) , 02 ,此时不满足题意,故排除 C;综上所述 B正确;故选:B 2
5.(2025 解湖南省长郡中学高三上第一次调研考试 T7)函数 f x 2sin x
π
0,
2 ,对于任意的 x R ,
f x π π π f

x

,f x f

x

0都恒成立,且函数 f x π在 , 0 10 上单调递增,则 的值为( ) 12 12 2
A. 3 B. 9 C. 3或 9 D. 3
【答案】A【解】设周期为T ,f x π ,0 0 π T 2π π在 上单调递增,所以 10 ,得 T ,因此0 10. 10 2 5
π π π π π
由 f x f x

知 f x12 12 的图象关于直线 x 对称,则 k π ,k Z ①. 12 12 1 2 1
第 12 页 共 34 页
π f x π π由 f x f x 0知 的图象关于点 , 0 对称,则 k2π,k2 Z 2 4 ②. 4
② ①得
π
k π2 k1 π ,k1,k2 Z ,令 k k2 k1,则 6k 3,k Z,6 2
结合0 10可得 3或 9.
π π π
当 3时,代入①得 k1π,k1 Z,又 ,所以 ,4 2 4
此时 f x 2sin 3x
π
π π π π ,因为 3x f x , 0
4 20 4 4
,故 在 10 上单调递增,符合题意;
π π
当 9 π时,代入①得 k π k Z f x 2sin 9x π 4 1 , 1 ,又 ,所以 ,此时2 4 4


23π π π
因为 9x ,故 f x π 在 ,010 上不是单调递增的,所以 9不符合题意,应舍去.20 4 4
综上, 的值为 3.故选:A.
6.(2025 届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试 T1)在下列区间函数 f(x) = sinx 单调递减的是( )
0, π π 3π 3π 5πA. 2 B.
, π 2 C.
π,
2 D.
,
2 2
【答案】B【解】根据正弦函数 y sin x的图象,作出函数 f x sin x 的图象,如图所示,
可得函数 f x sin x π在区间 , π
2
上单调递减;故选:C.

π π
7.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T7)将函数 f (x) sin x 3
( 0)的图象向右平移 个单位长
6
度后与函数 g(x) cos( x)的图象重合,则 的最小值为( )
A. 7 B. 5 C. 9 D. 11
π
【答案】D【解】 y f x sin

x π π sin

x
π
π cos ( x) π sin x k Z
6 6 3 6 3
, 2 , ,
π π π
由题可知, 2kπ , k Z,解得 12k 1, k Z,
6 3 2
又 0, 当 k 1时, 取得最小值 11.故选:D.
8.(2025 2 π 届江苏省海门中学高三上第一次调研考试 T8)函数 f x sin 2 x 2 3 cos x 3 0 在 0, 2 上
只有一个零点,则 的取值范围为( )
A.
1 , 4 B.
1 , 4 1 7 1 7
3 3
C.
3 3
, ,
6 6
D.
6 6
A f x sin 2 x 2 3 cos 2【答案】 【解】由 x 3 sin 2 x 3 cos 2 x 2sin 2 x π
3


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f 0 3 0 2 x π kπ x π kπ π π π π 1 4易知 ,令 , 3 6 2 ,则由题意知 6 2 6 2 ;故选:A 3 3
9.(2025 届山东省部分学校高三上开学联考 T7)设函数 f x 2sin x 1( 0),若对于任意实数
, f x π在区间 ,

4 4 上至少 2个零点,至多有 3个零点,则
的取值范围是( )

8 ,5 4,5 4, 20 8 20A. 3 B. C. D.

,

3 3 3
【答案】B【解】令 f x 0,则 sin x 2 2 ,令 t x ,则 sin t ,则原问题转化为
2 2
y sin t π 3π 2在区间 , 4 4 上至少 2个,至多有 3个 t,使得 y sin t ,求 得取值范围, 2
2
作出 y sin t与 y 的图象,如图所示,
2
9π π 11π π 5π
由图知,满足条件的最短区间长度为 2π,最长区间长度为 ,
4 4 4 4 2
2π 3π∴


π 5π




,解得4 4 2 4 5.故选:B.
10.(2025 1 3届山西省大同市高三第一次学情调研 T6)已知函数 f x 3cos2 x sin2 x ( 0)在区间 0,π
2 2
内有最大值,但无最小值,则 的取值范围是( )
1 7
A.
1 7 1 7 1 7
, B.

,
, ,
6 12 12 12
C. D.
6 12 12 12
A 1 cos2 x 1 3 3 1【答案】 【解】 f x 3 sin2 x cos2 x sin2 x sin 2 x π ,
2 2 2 2 2 3
因为 0,所以 x 0, π 2 x π π ,2 π π时, ;因为函数 f x 在区间 0,π 内有最大值,无最小值,3 3 3
2π π 3π 1
结合正弦函数图像得 2 π ,解得
7

3 3 2 ,故选:A.6 12
11.(2025 届浙江省部分学校高三上返校联考 T7)已知函数 f x sin x 3 cos x 0 ,若方程
f x 1在 0, 上有且只有五个实数根,则实数 的取值范围为( )
13A. ,
7 7 25 25 11 11 37
6 2 B.

,
2 6
C. ,6 2 D.
,
2 6

【答案】C【解】由 f x sin x 3 cos x 2sin( x ) 1 ,
3
x 5 2k x 得: 或 2k ,k Z
2k 2k
,即 x ,或 x ,k Z,
3 6 3 6 2 6
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25 11
易知由小到大第 5、6个正根分别为 , ;因为方程 f x 1在 0, 上有且只有五个实数根,
6 2
25 11 25 11
所以有 且 ,解得 6 2 ;故选:C.6 2
π
12.(2025 届福建省漳州市高三第一次教学质量检测 T7)已知函数 f x tan x 4 ( 0),若方程 f x 1在
区间 0, π 上恰有 3个实数根,则 的取值范围是( )
A. 2,3 B. 2,3 C. 3,4 D. 3,4
π π πC 【答案】 【解】当 ∈ 0,π 时, x , π ,由题意得 y tan x 1 x
π
在 , π
π

4 4 4 4 4
上有 3个实根,

π π π
即可得 3π π 4π,解得3 4,即 的取值范围是 3,4 ;故选:C.
4 4 4
13.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试 T5) f x Asin x A 0, 0 在区间 m,n
上是增函数,且 f m A, f n A,则函数 g x Acos x A 0, 0 在区间 m,n 上( )
A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值A D. 可以取到最小值 A
【答案】C【解】函数 f x Asin x A 0, 0 在区间 m,n 上是增函数,
且 f m A, f n A ,则当 x m,n 时, x 2k , 2k 2 2 k Z ,
y cos x 而函数 在区间 2k ,

2k
2 2
k Z 上先增后减,

所以,函数 g x Acos x 在区间 m,n 上先增后减,
当 x 2k k Z ,该函数取到最大值A .故选:C.
1 1 π
14.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T7)将函数 y x cos2x , x [0, ]的图象绕原点逆时针旋转 角,2 2 4
得到曲线C .若曲线C始终为函数图象,则 tan 的最大值为( )
1 π 2
A. B. C. D. 1
2 π 2 3
1 1
【答案】A【解】令原函数为 y f (x),即 f (x) x cos2x ,求导得 f (x) 1 sin 2x,
2 2
当 x [0,
π
]时, 2x [0, π] π π,函数 f (x)在[0, ]上单调递增, f (0) 1, f ( ) 2
4 2 4 4
函数 f (x), x [0, π] π的图象上点 (x, f (x))处切线斜率由 1逐渐增大到 2,记 x 时的点为 P,
4 4
令函数 f (x)图象在 P处的切线倾斜角为 ,则 tan 2,
曲线C在除端点 P外的任意一点处的切线垂直于 x轴时,则曲线C上存在两点,其横坐标相同,
而曲线C π始终为函数图象,因此 ,而 0,
2
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sin(π ) 1
则 tan tan(
π
) 2 cos 1 1
2 π

sin tan 2,所以 tan 的最大值为 ;故选:Acos( )
2 2
二、多项选择题
1.(2025届成都七中高新校区二诊模拟 T10) f x sin x 3cos x 0 在 0,2 上恰有 3个零点,则( )
7 5A. B. f x 5 11 在 ,7 10 上单调递减6 3
C. g x f x 2 函数 在 , 2 2 上最多有 3个零点 D. f x

在 , 2

2
上恰有 2个极值点


【答案】BC【分析】 f (x) 2sin x 3 ,根据
x范围得到 x 的范围,结合图像列出不等式,则得到 的
3
范围,利用代入检验法即可判断 B选项,对 C选项证明 g x 达不到四个零点,再列举三个零点的情况即可,
对 D选项,找到一个 值满足 3个极值点即可.
【解】 f (x) sin x 3 cos x

2sin x

, 0; x 0,2

3 , x , 2 , 0, 3 3 3
7 5函数 f x 在[0, 2 ]上恰有 3个零点,故 2 2 ,3 ,解得 3 ,故 A错误,6 3
5 11
当 x
5 ,11 7 10 ,
x ,
3 , 7 3 10 3
7 5 5 ,6 11 19 3
6 3, 7 3 ,
,
2 7 10 3 20 2


而正弦函数 y sin x 3 在 , 上单调递减,故函数 f (x)
5 ,11 在
2 2 7 10
上单调递减,故 B正确,


令 g(x) f (x) 2 0 ,即 2sin x 2 ,解得 sin 2
3
x
3 2
7 5 , x
6 3
, 2
2 ,
x , 2 3 , 2 3 3
3 7 5
区间长度为 , ,若 y sin x
2
在某闭区间上有四个解,
2 4 2 2
5 11 2
则区间长度至少为 ,比如 ,4 4 ,则
sin x 不可能存在四个解,2 3 2
8 sin 8
8 7 43
当 时,即 x


2
, x , 2 , x
,
5 , 5 3 2 2 5 3 15 15
8 x 3 9 11 65 155 则 或 或 ,解得 x 185 4 或 或 96 ,故最多有 3个零点,故 C正确.5 3 4 4 96 96
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3
当 时,此时 f (x) 2sin
3 x 3 k Z 2 5 ,令 x k 2 3 2 , ;解得 x k ,2 3 3 9 k Z,2
2
则 k
5 , 2 1 13
3 9 2 ,解得
k , k 0,1, 212 6 , k Z, ,
k 0 x 5 k 1 x 11当 时, ,当 时, 17,当9 k 2时, x ,9 9
f (x) 此时 在 , 2

2 上有 3个极值点,故 D错误,故选:BC.
【点睛】关键点睛:首先利用辅助角公式将函数化成关于正弦的函数,然后整体法结合图像得到关于 的不
等式,即可求出其范围,单调性问题可以通过代入检验,零点个数和极值点个数问题,通过寻找特例去证明
或反驳,这也是选择题常用的方法.
2.(2025 π届四川省自贡一中二模 T9)已知函数 f x 的图象是由函数 y 2sinxcosx的图象向右平移 6个单位得
到,则( )
A. f x 的最小正周期为 π B. f x π π 在区间 , 6 3 上单调递增
π π
C. f x 的图象关于直线 x 对称 D. f x 的图象关于点 ,06 对称3
π 2
【答案】AD【分析】首先求出函数解析式 f x sin2 x sin
2x π
T
6
,由周期 知 A正确;
3
整体代入法求函数的增区间、对称轴、对称中心知其他选项是否正确.
【解】因为 y 2sinxcosx sin2x π π ,向右平移 个单位得 f x sin2 x sin 2x
π

6 6

3

对于选项 A:则最小正周期为T π2 ,故 A选项正确;
π π π
对于选项 B:令 2kπ 2x 2kπ π 5π,解得 kπ x kπ,
2 3 2 12 12
π 5π
所以单调递增区间为 kπ, kπ ,k Z12 12 ,故 B选项错误;
2x π π kπ x 5π kπ对于选项 C:令 ,解得 ,k Z,故 C选项错误;
3 2 12 2
π π kπ π kπ
对于选项 D:令 2x kπ3 ,解得 x ,k Z所以函数 f x 的对称中心为 ,06 2 6 2 ,k Z,故 D选项正确.
故选:AD.
3.(2025 届烟台市、东营市高三一模 T9)已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1,则( )
A. f x π的最小正周期为 π B. f x 的图象关于直线 x 对称6
C. f x π π 在区间 , 1,1 4 6 上的取值范围为
π
D. f x y 2cos 2x π的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
3 6
【答案】ABD【分析】应用二倍角正余弦公式化简函数式,再应用正弦型函数性质判断 A、B、C;根据图象
第 17 页 共 34 页
平移写出解析式即可判断 D.
2
【解】由 f x 2 3 sin xcos x 2cos x 1 3 sin 2x cos2x 2sin(2x π ) 2π,所以T π2 ,A对;6
f π π π π 2sin( ) 2,即 f x 的图象关于直线 x 6对称,B对; 6 3 6
π , π 2x π [ 2π π由 上 , ],故 f x [ 2,1]4 6 ,C错; 6 3 6
y 2cos 2x π π π π π π π 3 向右平移 个单位长度,
y 2cos
6
2x 2cos 2x 2sin(2x ),D对;故选:ABD
3 3 6 2 6
4.(2025 届山东省部分学校高三 7 月联考 T10)如图为函数 f x Asin x (A 0, 0)的部分图象,
则下列说法中正确的是( )
A. 函数 f x 的最小正周期是 2π B. 函数 f x 4π 的图象关于点 , 03 成中心对称
5π π
C. 函数 f x 在区间 , 上单调递增 12 6
D. 函数 f x π的图象上所有的点横坐标扩大到原来的 2倍(纵坐标不变),再向右平移 3后关于 y轴对称
T π π π
【答案】BC【解】对于 A,由图可知 2 3 6 2,所以T π,A错误;
B 2π 2
π π π
对于 ,因为 T ,图象过点
, 0
6 ,所以
f 6
Asin 0,
3
π π π π
所以 2kπ,k Z ,即 2kπ ,k Z ,所以 f x Asin 2x 2kπ Asin 2x

3 3 3 3


f 4π Asin 2 4π π Asin 3π 0 4π ,0 因为 ,所以点 为函数 f x3 的一个对称中心,B正确; 3 3 3
π
对于 C, A 0,由 2kπ 2x π π 5π π 2kπ解得 kπ x kπ,k Z ,
2 3 2 12 12
5π , π 所以 为函数 f12 12 x
5π π
的一个单调递增区间,所以, f x 在区间 , 12 6 上单调递增,C正确;
π
对于 D,将 f x 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的 2倍得 y Asin x 3 ,
π
再向右平移 得 y Asin x, y Asin x为奇函数,D错误;故选:BC
3
5.(2025 π π届安徽省江淮十校高三第一次联考 T10)函数 f x sin x 部分图象如图所示,其中 2 2 ,
* π π
图象向右平移 s s N 个单位后得到函数 = 的图象,且 = 在 , 上单调递减,则下列说 3 3
第 18 页 共 34 页
正确的是( )
A. π 1 B. x 为 f x 图象的一条对称轴 C. s可以等于 5 D. s的最小值为 2
6
3 5π 2π 3π
【答案】BD【解】由函数 f x 图象,可得 T ,所以4 6 3 2 T 2π

,所以 1,解得 1,
T
5π π π
又由函数 f x 的图象过点 ,1 ,且 ,
6 2 2
当 1时,可得 sin(

) 1 5π π,所以 2kπ,k Z,
6 6 2
π
解得 2kπ,k Z π π π ,因为 ,可得 ;
3 2 2 3
当 1时,可得 sin(

) 1 5π ,所以 π 2kπ,k Z,
6 6 2
4π π
解得 2kπ,k Z,因为 π ,不存在,舍去,
3 2 2
π
1
π
综上可得, , ,所以 f x sin x ,所以 A 不正确,B 正确;3 3
f ( π又因为 ) sin( π π π ) 1,所以 x 是函数 f x 的一条对称轴,所以 B正确;
6 6 3 6
f x 将函数 的图象向右平移 s个单位后,得到 g x sin x s
π

3
π π
s 2kπ
π

因为 y g x π π 3 3 2 3π 7π在 , 上单调递减,则满足 ,k Z.解得 2kπ s 2kπ,k Z, 3 3 π s π 3π 2kπ 2 6
3 3 2
k 2 5π s 17π 5π当 时, ,而 5,故 s不可能等于 5,所以 C错误.2 6 2
当 k π 5π 1时, s ,又因为 s N ,所以 smin 2,所以 D正确.故选:BD.2 6
6.(2025 π届广东省部分学校高三摸底联考 T10)如图, = sin + > 0, > 0, ≤ 与 x轴的其
2
中两个交点为A, B,与 y 轴交于点C,点D为 BC中点,OB 3OC,OA 2 AD 2 21, ,则( )3
第 19 页 共 34 页
A. f x 的图象不关于直线 x 8对称 B. f x 的最小正周期为12π
C. + 2 的图像关于原点对称 D. f x 在 5,7 单调递减
【答案】ACD【解】由题可 A 2,0 , B π 2 , 0 ,C 0, Asin π Asin ,则D 1 ,
2 2


2 2 2
有 3 Asin 2 π , sin 2 0 AD 2 21 π 1 A sin 28; , ,
3 2 4 3
2
把 Asin
1
2 π π π
3
代入上式,得

2 24 0,解得 6 (负值舍去),

π π π π π 16 16 π π
sin , 3
0,由 ,解得 , 3 Asin 8;解得 A , f x sin3 3
x
6 3 ,6 2 3 3
16 π π 2π
对 A, f 8 sin 8

0,故 A
12
正确;对 B: f x 的最小正周期为 π ,故 B错误;3 6 3 6
对 C: f x 2 16 sin π x 2 π 16 π sin x 3 6 3 3 , f x 2 为奇函数,故 C正确; 6
对 D:当5 x 7 π π x π 5π时, ,\ f (x)在 5,7 单调递减,为奇函数,故 D正确;故选:ACD.2 6 3 6
7.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T9)已知函数 f x sin x 3cos x 1 0 的最小正周期为
π,则下列结论中正确的是( )
π
A. f x 的图像关于点 ,06 对称 B. f x

的图像关于直线 x 对称
12
C. f x 在 0,1 π π 上单调递增 D. f x 在区间 , 上的值域为 0,3 12 2
π π
【答案】BCD【解】 f x sin x 3cos x 1 2sin x 13 ,故 2,故 f x 2sin 2x 3 1,
π π π π
对于 A, f 2sin 2 1 1 ,

6 6 3 故 f x 的图像关于点 ,16 对称,A错误,
f 5π 2sin 2 5π π对于 B, 1 3 f x 5π12 , 的图像关于直线 x 对称,故 B正确, 12 3 12
π π πC
π π
对于 ,当 ∈ 0,1 时, 2x ,3 3 3
, ,故 f2 2 x 在 0,1 上单调递增,C正确,
x π , π 2x π π , 2π sin 2x π 1对于 D, 时,

,故

,1 ,故 f x 0,312 2 3 6 3 3 2 ,D正确,故选:BCD
8.(2025 届湖南省衡阳县一中高三上开学考试 T10)函数 f (x) sin x π 0, 2 的部分图象如图所示,
下列说法正确的是( )
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A. φ π B. 函数 f (x) 5π 在区间 , π
3 6
上单调递增

C. π 11πf ( ) 3 D. 函数 f (x)的图象关于直线 x
4 2 12
对称
T π π π 2π 2π
【答案】BC【解】由图象可知, ,解得 ,所以 2,
4 3 12 4 T π T π
π
将点 ,1 代入 f (x) sin 2x 中,得 sin 2π π3 3 1,解得 2kπ ,k Z, 6
π π π π又 ,所以 ,所以 ,故 A错误;
2 2 2 6
所以函数 f x 的解析式为 f (x) sin 2x π 5π π 3π 11π ;由 x π 3π 2x π 11π t 2x ,
6 6
,得 ,令 ,
2 6 6 6 2 6
y sin t 3π 11π 5π 则 在 , 上单调递增,所以函数 f (x)2 6 在区间 , π6 上单调递增,故 B正确;
f ( π) π π π 3 sin
4
2 sin ,故 C正确;
4 6 3 2
f ( 11π) sin 2 11π π sin 12π

sin 2 π 0 112 12 6 6


f (x) 11π所以函数 的图象不关于直线 x 12 对称,故 D错误;故选:BC.
9.(2025 届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考 T10)已知函数 f x 2cos 2x

,则( )
4
3
A. f x 的一个对称中心为 π,08
B. f x 3π的图象向右平移 8 个单位长度后得到的是奇函数的图象
5π 7π
C. f x 在区间 , 8 8 上单调递增
D. 若 y f x 在区间 0,m y 1 m 5π ,13π6 上与 有且只有 个交点,则
2 4
3 5π 3
【答案】BD【解】对于 A,由 f π 2cos 2 π 2 08 ,故 A错误; 4 8
对于 B, f x 3π的图象向右平移 个单位长度后得:
8
y f x 3π 2cos 2 x 3π 5π π 2cos

2x

2sin2x
8 8 4 2
,为奇函数,故 B正确;

x 5π , 7π 5π 5π对于 C,当 时,则2x

,3π ,所以: f x 5π在区间 , 7π 8 8 4 2 8 8 上单调递减,故 C错误;
对于 D,由 f x 1 cos 2x 5π 2 π π,得 ,解得 x kπ或 kπ,k Z,
4 2 4 2
y f x 在区间 0,m π π 5π 3π 9π 5π上与 y 1有且只有 6个交点,其横坐标从小到大依次为: , , , , , ,
4 2 4 2 4 2
13π 5π 13π
而第 7个交点的横坐标为 , m ,故 D正确;故选:BD
4 2 4
第 21 页 共 34 页
10.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T10)已知函数 f (x) 2 sin( x ) (0 2 , ),2 2
1
函数 g(x) f (x) 2 的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )
f (x) f (x) 2 sin 2x A. 的表达式可以写成
4
B. f (x)
3
的图象向右平移 个单位长度后得到的新函数是奇函数
8
k
C. h x f x 1的对称中心( ,1), k Z
8 2
5 13
D. 若方程 f x 1在(0,m)上有且只有 6 个根,则m ,
2 4
1 1 3
【答案】AB【解】对 A,由图分析可知: f 0 得 f 0 1; f
2 2
2
8
由 f 0 1 ,得 2 sin 1,即 sin 2 ,又 ,所以 ,
2 2 2 4
3 3 3
又 f 2 sin 2,所以 2k
16
,即得 k 2, k Z,又 ,
8 8 4 8 4 2 3
0 2
2 f (x) 2 sin 2x 所以 ,所以 4 ,故 A正确;
对 B, f x 3 向右平移 个单位后得
8
y f x 3 2 sin

2
x 3 2 sin(2x ) 2 sin 2x ,为奇函数,故 B正确; 8 8 4
k
对于 C, h(x) 2 sin 2x

4
1,令 2x k ( k Z )得 x ( k Z ),
4 8 2
k
所以对称中心( ,1), k Z,故 C不正确;
8 2
D f x 1 sin 2x 2对于 ,由 ,得 ,因为 x (0,m),所以 2x

, 2m


4 2 4

4 4
3 9 11 17 19 5 3 9 5
令 2m , , , , , ,解得m , , , 2 , , .4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 2
5 3 9 5
又在(0,m)上有 6个根,则根从小到大为 , , , 2 , , ,4 2 4 4 2
第 22 页 共 34 页
25 13 13 m 5 ,13 再令 2m ,解得m ,则第 7个根为 , ,故 D错误.故选:AB.4 4 4 4 2 4
π
11.(2025 T10) f x 2sin 2x 届湖南省宁远县三中等高三上入学联考 3 ,则下列结论正确的是( )
A. f x π的最小正周期为 π B. f x 的图象关于直线 x 6对称
π
C. f x 的一个零点为 x D. f x 的最大值为 16
2π 2π
【答案】AC【解】T π,故 A正确; f 2sin 3,所以 x
π
不是对称轴,故 B错误;
2 6 3 6
f π 2sin 0 0
π
,所以 x 是 f x 的一个零点,故 C正确;
6 6
因为振幅 A 2,所以 f x 的最大值为 2,故 D错误;故选:AC.
π
12.(2025 届湖南省岳阳县一中高三上入学考试 T10)函数 f (x) 2sin 2 x (0 1)的图象如图所示,
3
π
将其向左平移 个单位长度,得到 y g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
6
A.
1
B. 函数 f (x) π , 0 的图象关于点
2 3
对称

C. 函数 y g(x) π π π π 的图象关于直线 x 对称 D. 函数 y g 2x 3 在6
, 上单调递减
9 9
π π π π π π π
【答案】ABD【解】函数 f (x) 2sin 2 x

,当 f 2sin
2,此时 2kπ,k Z3 6 3 3 , 3 3 2
1 6k,k 1 Z,因为0 1,所以 ,所以 f x 2sin x
π
3 ,故 A正确;2 2
f π 2sin π π
π
2sin 0 03 3 3 ,所以
f x 关于点 , 0 对称,故 B正确; 3
π g x 2sin x π π 函数图象向左平移 个单位长度后得到 2cos x g x 2cos x6 6 3
, ,

π
当 x 时, g πx 2cos π 3,所以函数 y g(x)的图象不关于直线 x 对称,故 C错误;
6 6 6
g 2x π 2cos 2x π x π , π 2x π π 5π ,当
3 3 9 9
时, , 0, π 3 9 9 ,
g 2x π π , π所以函数 在

3 9 9 上单调递减,故 D正确;故选:ABD
第 23 页 共 34 页

13.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T9)已知向量a cos ,sin ,b 3,4 ,则( )
A. a
4
//b
3
若 ,则 tan B. 若
3 a b
,则 sin
5

C. a b

的最大值为 5 D. 若 a a b 0,则 a b 2 6

【答案】AD【解】因为 a cos ,sin ,b 3,4 a sin2 cos2 1 b 3 2,所以 , 42 5,

对于 A,若 a//b ,则 4cos 3sin ,所以 tan
4
,故 A正确;
3
3
对于 B,若 a b ,则 a b 3cos 4sin 0 ,所以 tan ,4

tan
sin 3

又 cos 4 ,解得 sin 3 或 sin θ 3 ,故 B错误;
sin
2 cos2 1 5 5
2 3
对于 C, a b a b a2 b2 2a b 1 25 2 3cos 4sin 26 10sin ,其中 tan ,4

当 sin 1时, a b 取得最大值6,故 C错误;

对于 D,若 a a b 0 a ,则 2 a b 0,即1 3cos 4sin 0,所以4sin 3cos 1,
2 所以 a b a b a 2 b2 2a b 1 25 2 3cos 4sin 26 2 2 6,故 D正确;故选:AD.
π
14.(2025 届江苏省常州市高三上第一次质量测试 T9) f (x) sin 3x 3 ,下列说法正确的是( )
A. f x 2π π 的最小正周期为 B. ,0 f x3 点 6 为 图象的一个对称中心
C. f (x) a(a R) x π若 在 ,
π 3
18 9 上有两个实数根,则 a 1 2
D. 若 f x 的导函数为 f x ,则函数 y f x f x 的最大值为 10

【答案】ACD【解】由题意可得T ,故 A正确;
3
f π sin 5π 1 π 0,所以 , 0

不是 f x6 图象的一个对称中心,故 B错误; 6 6 2
令 t 3x
π π π π 2π
,由 x 得 t ,
3 18 9 6 3
π π π 3
可转化为直线 y a与曲线 f (x) sin 3x x ,
3

18 9
有两个交点,数形结合可得 a 1,故 C正确;
2
第 24 页 共 34 页
设 ′ 为 f x 的导函数,则 f x f x sin 3x π 3cos 3x π π 10 sin 3x 10,其中 tan 3,
3 3 3
π π
当且仅当3x 2kπ,k Z π 2kπ,即当且仅当 x , k Z时等号成立,故 D正确,故选:ACD.
3 2 3 18 3
15.(2025 届江苏省高三云帆杯 8 月调研考试 T9)已知函数 f x sin 2x,则下列函数为周期函数的是( )
x 1
A. f cos x B. f x sin f x2 2 f sin x sin2 2x
2
C. D. 2


【答案】ABD【解】不妨令 g(x)表示四个选项中的对应函数,
对于A,易知 g x f cos x sin 2cos x ,注意到 g(x 2π) sin(2cos(x 2π)) sin(2cos x) g(x),
因此 f (cos x)为周期函数,故 A正确;
x x x
对于 B, g x f x sin sin 2 x sin sin 2x 2sin2 2 2
g x 4π sin 2 x 4π 2sin x 4π sin 注意到, 8π 2x 2sin
x


sin

2x 2sin
π g x
2 2 2
f x sin x因此

2 为周期函数,故 B正确;
2 2 2 2
对于 D, g x f sin x sin 2x sin 2 sin x sin 2x sin 2sin2 x 2sin2 2x
注意到 g x π sin 2sin2 x π 2sin2 2x 2π sin 2sin2 x 2sin2 2x g x ,
2 2
因此 f sin x sin 2x 为周期函数,故 D正确;
1
C 2 2对于 ,易知 g x f x sin x ,假设存在正常数 T,使得 g x T g x 2 恒成立,
分别取 x 0, π, 2π 2,得: g 0 g 0 T sin 0 sin T 0,
g π g π T sin π sin( π T )2 0, g 2π g 2π T sin 2π sin( 2π T )2 0.
2 2 2不妨设T l , π T mπ, 2π T nπ,其中 l,m,n Z,
(m l 1)π 2 πT , (n l 2)π 2 2π T , m 1 2 2(m l 1),
由于m l 1 2 Z,而 2(m l 1) 2 为无理数,则上式不恒成立,∴T不存在, f x 不是周期函数,故 C错误.
2
故选:ABD
π π
16.(2025 届江苏省海安高中高三上期初检测 T9)下列函数中,在区间 ,4 2 上单调递减的函数是( )
π π
A. y sin x B.4 y 3sinx cosx C. y sin2x D. y cos x 3
π π π π π 3π
【答案】AC【解】A选项,对于 y sin x ,由 x ,得 x ,
4 4 2 2 4 4
所以 y sin
π
x
π
在区间 ,
π
上单调递减的函数,A选项正确.
4 4 2
第 25 页 共 34 页
B选项,对于 y 3sinx cosx 2sin x
π
π π π π π ,由 x ,得 x ,不符合题意.
6 4 2 12 6 3
π x π
π
C选项,由 ,得 2x π,且 y sin 2x sin 2x,
4 2 2
π π
所以 y sin2x 在区间 , 上单调递减的函数,C选项正确.
4 2
π π π π π π
D选项,对于 y cos x ,由 x ,得 x ,不符合题意;故选:AC
3 4 2 12 3 6
17.(2025 届江苏省海安高中高三上期初检测 T11) f x cos xsin 2x.则下列结论正确的是( )
y f x ,0 y f x x A. 图像关于点 中心对称 B. 图像关于直线 对称2
C. f x 3的最大值为 D. f x 既是奇函数又是周期函数
2
【答案】ABD【解】A:因为 f x cos x sin 2 x cos x sin 2x,
f x cos x sin 2 x cos x sin 2x,所以 f x f x ,
因此 y f x 图像关于点 ,0 中心对称,所以本选项结论正确;
f x cos x sin 2 x sin xsin 2x f B:因为 , x cos x sin
2 x sin x sin 2x2 2 2 , 2 2 2
f x f 所以 x

,因此 y f x 图像关于直线 x 对称,所以本选项结论正确;
2 2 2
C: f x cos xsin 2x 2sin x cos2 x 2sin x(1 sin2 x) 2sin3 x 2sin x,
设 sin x t( 1 t 1),所以 g t 2t3 2t g ' t 6t 2 2 6(t 3 )(t 3 ),
3 3
3 ' '
当 1 t 3 3 时, g t 0, g t 单调递减,当 t 时, g t 0, g t 3单调递增,当 t 1时,
3 3 3 3
g ' t 0, g t 3单调递减,当 t 时,函数有极大值,
3
3 4 3 4 3
极大值为: g ,而 g 1 03 9 ,所以函数 f x 的最大值为 ,因此本选项结论不正确; 9
D:因为 f x cos x sin 2 x cos x sin 2x f x ,所以 f x 是奇函数,
因为 f x 2 cos x 2 sin 2 x 2 cos x sin 2x f x ,
所以 f x 是周期函数,因此本选项结论正确,故选:ABD
18.(2025 届山东省招远二中等校高三上摸底联考 T9)函数 f x Acos x (A 0, 0,0 π)的部分图
象如图所示,令 g x f x cos2x,则( )
A. g x π π kπ的一个对称中心是 ,0 B. g x12 的对称轴方程为 x k Z 6 2
第 26 页 共 34 页
C. g x π 1 π π 在 0, 上的值域为 ,1 D. g x 的单调递减区间为 kπ , kπ k Z 2 2 6 3
【答案】ABD【解】由题图可得函数 f x Acos x 的最小值为 3,
2π π 3π 3 2π T3 12 4 4 ,又 A 0, 0,
T

,所以 A 3, 2,
π
结合对称性可得函数 f x 的图象过点 , 3
12


f π 3 3cos π π π所以

12 6 ,解得
2kπ,k Z,又0 π,所以 ,
6 6
π π 3 3
所以 f x 3cos 2x 6 ,所以 g x f x cos2x 3cos 2x cos2x cos2x sin2x cos2x , 6 2 2
g x 1所以 cos2x 3 sin2x cos 2x π .
2 2 3
π π
对于 A,当 x , g cos π π 0 π ,0 ,所以 是 g x 的一个对称中心,故 A正确;
12 12 6 3 12
2x πB kπ k Z kπ π kπ π对于 ,令 , ,可得 x 2 6, k Z,故 g x 的对称轴为 x , k Z,故 B正确;3 2 6
π π π 4π π 1 π 1
对于 C, x 0, 时, 2x , ,所以 cos
2x 1, g x 0, 3 3 3 3 ,故 在 上值域为 1, ,故2 C错误; 2 2 2
对于 D,令 2kπ 2x π π 2kπ k Z π π,解得 kπ x kπ k Z ,
3 6 3
所以 g x π π 的单调递减区间为 kπ ,kπ k Z 6 3 ,故 D正确;故选:ABD.
19.(2025 届四川省大数据精准联盟高三一模 T9) f x sin x 3cos x( 0)的最小正周期为 π,则( )
A. f x 的最大值为 2
B. f x π , π 在 上单调递增
3 6
f x πC. 的图象关于点 ,0
6
中心对称

f x πD. 的图象可由 y 2cos2x的图象向右平移 个单位得到12
【答案】ACD【解】易知 f x sin x 3cos x 2sin x
π

3 ,其最小正周期为
T π


所以 2 π,即 f x 2sin 2x ,显然 f x 2,故 A正确;
3
π π
令 2x

2kπ,
π
2 kπ x π kπ,
π
kπ k Z
3 2 2 12 12


第 27 页 共 34 页
π , π π kπ, π显然区间 不是区间 kπ

k Z 3 6 12 12 的子区间,故 B错误;
x π令 2 x
π 0 π ,则 ,0

是 f x6 的一个对称中心,故 C正确;6 3
将 y 2cos2x π的图象向右平移 个单位得到
12
y cos 2 x π π π π π cos
2x sin 2x

sin
2x f x 12 6 2 6 3 ,故 D正确;故选:ACD
x π
20.(2025 届四川省高三上入学摸底考试 T9)已知函数 f x 3sin , g x 3cos
x
,则( )
2 3 2
A. f x 的最小正周期为 4π B. f x 与 g x 有相同的最小值
C. 直线 x π π为 f x 图象的一条对称轴 D. 将 f x 向左平移 个单位长度后得到 g x 的图像3
x π x
【答案】ABD

【解】因为 f x 3sin
, g x 3cos
2 3 2,
T 2π 4π
对于选项 A: f x 的最小正周期 1 ,故 A正确;
2
对于选项 B: f x 与 g x 的最小值均为 3,故 B正确;
5π 3
对于选项 C:因为 f π 3sin 3,可知直线 x π不为 f x 图象的对称轴,故 C错误;
6 2
π π x π x
对于选项 D:将 f x 向左平移 个单位长度后,得到 f x 3sin 3cos g x ,故 D正确.3 3 2 2 2
故选:ABD.
三.填空题:
π
1.(2025届山东省部分学校高三 7月联考 T13)已知函数 f x sin x cos x 0 在区间 0,2π6 内恰
有 3个零点,则 的取值范围是______.
17 23 π 3 1
【答案】 , 【解】f x sin x cos x sin x cos x sin x
3
sin x 3 cos x 3 sin x π ,
12 12 6 2 2 2 2 6
当 x 0,2π 时, x π π , 2 π π ,由于函数 f x 3 sin x π 在区间 0,2π6 6 6 6 内恰有 3个零点,
3π 2 π π 4π 17 23 17 , 23 17 23 则有 ,解得 ,所以 的取值范围是
6 12 12 12 12
;故答案为:

,
12 12
2.(2025 2届安徽省部分学校高三上 8 月联考 T13)已知函数 f x cos x 在区间 , 4 3 3 上单调递增,且
f 4 2 f 23 3 ,则
f 2 __________.

1
【答案】 【解】由 f x cos x , f (x) sin x ,2
且 f (x) 1 4 2 的最大值为 ,最小值为 1,由 f f 2 f (x)max f (x)
3 3 min


第 28 页 共 34 页
4 2
可知当且仅当 f f (x)max 1且 f

f (x)min 1时等式成立.
3 3
2 4 4 2
又函数 f x cos x 在区间 , 上单调递增,故 x 与 x 3 3 为两条相邻的对称轴, 3 3
T 2 4 2 2π π π π所以周期 4,从而 ,故 ,故 f (x) cos
x
3 3 , 4 2 2 2
f (2) cos π cos ,由 f 4 1代入解析式可得 f 4 cos 4 π cos 2π 3 3 3 2 1 , 3
2π 1
则 2kπ,k Z

,则 2kπ ,故 f (2) cos cos 2kπ

cos
2π 1
;故答案为: .
3 3 3 3 2 2
3.(2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试 T13)已知函数 f x 2sin x与 g x 2cos x( 0)的图象上
任意 3个相邻的交点构成直角三角形,则 ______.

【答案】 【解】如图,设 f x 2sin x( 0)与 g x 2cos x的交点分别为 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,C x3, y3 ,4
2sin x 2cos x tan x 1 x π , x 5π , x 9π由 得 ,所以 1 2 3 ,则 y1 y3 2sin
π
2, y2 2,4 4 4 4
1
由对称性和已知可得VABC为等腰直角三角形,所以点 B到直线 AC的距离为 AC ,
2
y y 1即 1 2 x3 x1 2π 2π,解得 .故答案为:2 4 4
π π
4.(2025 届广东省六校高三八月第一次联考 T13)若函数 f x sin x 与 g x sin x 在区间
4 4

0,
π
上均单调递增,则实数 的取值范围为___________.
2
1 π
【答案】 0, f x sin
2
【解】当 0时, 不具备单调性,
4
0 f x sin x π π当 时, sin

4
x ,
4
π
若在区间 0, 上单调递增,则在 y sin
x π π
2 4 在区间
0, 上单调递减,
2
π x π π π y sint π π可得 ,因为 在 , 上是单调递增的,
4 4 2 4 4 2
π
所以 y sin x
0, π
4
在 2 上不可能单调递减,所以 0不成立,于是 0 .
第 29 页 共 34 页
2kπ π π
k 1
若函数 f x π π sin x
2 4 8
4
在区间

0, 上单调递增,则 k Z
2 π π
, 3,
2kπ π 4k
2 4 2 2
2kπ π π k
3

若函数 g x sin x
π
在区间 0,
π 2 4 k Z 8
4 上单调递增,则 π π π , 1, 2 2kπ 4k
2 4 2 2
1
因为 0,所以 k 0时, 0
1 1
≤ ,综上所述, 0 ≤ ;故答案为:
2 2
0, .
2
π π
5.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T12)将函数 f x sin 2x 的图象沿 x轴向左平移 个单位长
3 6
π
度后得到函数 g x 的图象,则 g 4 的值为__________.
g x sin 2 x π π sin2x g π π【答案】1【解】由已知得

,所以 sin 2 1 .
6 3

4
4 ;故答案为:1
π π
6.(2025 届江西省多所学校第一次大联考 T13)已知函数 f x 2024sin 2x 在区间 ,m 内恰有两个极值
6 6
点,则实数m的取值范围为__________.
5π , 4π x π ,m 2x π π【答案】 【解】当 时, , 2m
π
f x π ,m
6 3
,由函数
6 6 6 在 内恰有两个极值点, 6 6
3π 2m π 5π 5π m 4π可知 5π 4π ,解得 ;故答案为: ,2 6 2 6 3 6 3
7.(2025 届山东省泰安市部分学校高三上摸底联考 T14)设 是正实数,若函数 y sin x在 , 2 上至少存
在两个极大值点,则 的取值范围是______.
9 , 5 13 , 4k 1 【答案】

4 2 4 【解】令 sin x 1,解得 x , k Z . 2
y sin x , 2 k 4k 1 4k 5 若 在 上无极大值点,则存在实数 ,使得 2 ,
2 2
4k 1 4k 5 2k 1 5整理得到 2 ,解得 k ,
2 2 2 4
2k 1 k 5 1 5 1
因为 0 且存在,故 2 4, k 0或 k 1,故 或0 .
k 1 2 4 4
若 y sin x在 , 2 上有且只有一个极大值点,
k 4k 3 4k 1 4k 5 4k 3 4k 1 4k 5 则存在实数 ,使得 2 ,或 2 ,
2 2 2 2 2 2
2k 3
3 1
2k
1
2k 2k 2 2 2 2
解得
k 1
①或者 ②,
k 5 1
k k
5

4 4 4 4
第 30 页 共 34 页
1 1
对于①,因为 0且存在,故2k 且 2k 3 5 k ,故整数 k满足 k 0,1,2,
2 4 2 4
当 k 0 1 1 5 9 5 13 1 1 5 9 5 13 时, ,当 k 1时, ,当 k 2时, ,故 , , ,4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4
1 , 1 5 , 9 5 13对于② ,同理可得 , 4 2 4 4 2 4
综上, y sin x在 , 2 上无极大值点和有且只有一个极大值点时, 0, 9 5 13 , .
4 2 4
9 5 13 9 5 13
故函数 y sin x在 , 2 上至少存在两个极大值点, , , ;故答案为: , , 4 2 4 4 2 4 .
考点四 解三角形
一、单项选择题
1.(2025 4 6届成都市川师附中二诊模拟 T8)在VABC中,若c 3,b 2, BAC的平分线 AD的长为 ,则 BC5
边上的高线 AH 的长等于( )
4
A. B. 4 2 C. 2 D. 4 3
3 3 3
【答案】B【分析】由 S ABC S ABD S ACD 可得 cos 的值,进而可求得 cos2 、 sin 2 的值,结合余弦
1 1
定理可得 a,由等面积法 S△ABC bcsin 2 a | AH |可求得 | AH | .2 2
【解】由题意知,设 BAD CAD ,则 BAC 2 ,如图所示,
1 1 4 6 1 4 6
由 S ABC S ABD S ACD 可得 3 2sin 2 3 sin 2 sin ,整理得2 2 5 2 5 3sin 2 2 6 sin ,
即 sin (3cos 6) 0,又因为 sin 0 cos 6,所以 ,
3
cos 2 2cos2 1 1所以 ,所以
3 sin 2 1 cos
2 2 2 2 ,
3
在VABC中,由余弦定理得 a2 32 22 2 3 2cos2 13 4 9,所以 a 3,
S 1 bcsin 2 1由 △ABC a | AH |
1
可得 3 2 2 2 1 3 | AH | 4 2,解得 | AH | ;故选:B.
2 2 2 3 2 3
2.(2025届河南省部分学校高三 7月联考 T2)在VABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a :b : c 5: 7 :8,
则VABC中角 B的大小是( )
A. 135 B. 120 C. 90 D. 60o
【答案】D【解】设 a :b : c 5: 7 :8 k,则 a 5k ,b 7k ,c 8k,
2 2 2 5k 2 8k 2 7k 2
由余弦定理得 cosB a c b 1 ,又 ∈ 0,π ,所以 B 60 ;故选:D.
2ac 2 5k 8k 2
第 31 页 共 34 页
3.(2025 届河南省部分学校高三 7 月联考 T6)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,
将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料
得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用30 45 60 90 120 150 等特殊
角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD,如图,测得
AB 5,BD 6, AC 4, AD 3,若点C恰好在边 BD上,则 sin ACD的值为( )
1 5
A. B. C. 14 D. 22
2 9 6 6
2 2
C △ABD cos ADB AD BD AB
2 9 36 25 5
【答案】 【解】在 中,由余弦定理, ;
2AD BD 2 3 6 9
2
ADB 0, π sin ADB 1 cos2 ADB 1 5 2 14因为 ,所以 ,
9 9
4 3

ACD AC AD 14在 中,由正弦定理 ,所以 2 14 sin ACD,解得 sin ACD ,故选:Csin ADB sin ACD 9 6
4.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试 T5;2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试 T6) 在△ABC中,
2π sinC
a2 b2 5bc, A ,则 ( )3 sin B
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B a2 b2 c2 2bccos A c2 bc 5bc c 4b sinC【答案】 【解】因为 ,所以 ,所以 4sin B ;故选:B
5.(2025 届湖南省临湘市一中高三上入学考试 T2)图 1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案
中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图 2所示的四边形 OABC.若 AB BC 1, AOB ,
则OC 2 的值为( )
1
A. 2 1 B. sin2
1
sin 1
C. 1 D. 2
cos2 cos 1
ABO sin AB AB 1【答案】A【解】在直角 中, ,即OB ,
OB sin sin
2 2 2 1
在直角△OBC中OC OB BC 2 1;故选:A.sin
A B C
6.(2025 届湖南省岳阳县一中高三入学考试 T4)在VABC中,4cos2 2sin 2 3 0 ,则2 2 tan B tanC ( )
第 32 页 共 34 页
A. 3 B. 2 C. 3 D. 1
2 A 2 B C
【答案】A【解】因为 4cos 2sin 3 0,所以 2cos A cos B C 0 ,
2 2
又 A B C π,所以 2cos B C cos B C 0,
得到 2cos BcosC 2sin BsinC cos BcosC sin BsinC 0 ,
整理得3cos BcosC sin BsinC ,所以 tan B tanC 3,故选:A.
7.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T4)在VABC中,“ cos A sin B”是“C 90 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B【解】若C 90 ,则 cos A cos 180 C B cos 90 B sin B,故必要;
当 A 10 , B 100 ,C 70 时,有 cos A cos10 sin100 sin B,C 70 90 ,故不充分;故选:B.
1 1
8.(2025 届江苏省高三云帆杯 8 月学情调研考试 T7)锐角VABC中, sinC , sin A B , ,则
3 4
AB 8
AB边上的高 CD长为( )
A. 36 2 B. 19 11 C.
7 4 7 6 3 D. 3 15 8 25
1 2 2 2 2
【答案】D【解】因为 sinC 且VABC为锐角三角形,可得3 cosC ,所以 cos(A B) cosC ,3 3

π π cos AcosB sin Asin B
15

因为VABC为锐角三角形,所以 A B ,又 cos A B 15 4 ,所以 ,2 2 4
cos AcosB sin Asin B
2 2

3
AB AC
解得 sin Asin B 15 2 2 ,由正弦定理可得 ,所认 ,
8 6 sinC sin B
AC 24sin B
设 AB 1边上的高CD长为 h,所以 S ABC AB h
1
AB AC sin A,
2 2
h AC sin A 24sin Asin B 24( 15 2 2 ) 3 15 8 2;故选:D.
8 6
π
9.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T6)在 ABC中,若C ,b bcosA acosB,则 B的大小为( )
3
π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 9 9
【答案】D【解】因为b bcosA acosB,由正弦定理得,得sinB sinBcosA sinAcosB,
所以 sinB sinAcosB sinBcosA,即 sinB sin A B ,
因为 A 0, π ,B 0, π ,所以 π A B π,所以 A B B,或 A B π B,
π 2π
所以 A 2B,或 A π (舍),所以C π A B π 3B ,所以 B ;故选:D.
3 9
二.填空题:
1.(2025 届广东省部分学校高三上开学摸底联考 T12)在VABC,角A, B,C所对的边分别为 a,b, c,
第 33 页 共 34 页
ABC 120 , BD BC 交 AC于点D,且 BD 1,则 2a c的最小值为___________.
8 3 1
【答案】 【解】 S ABC S ABD S BCD , ac sin B
1
cBD sin ABD 1 aBD sin CBD ,
3 2 2 2
1 1 2
ac 3 1 1 1 c 1 a 1 1, 3ac c 2a, 3 ,
2 2 2 2 2 a c
∴ 2a
1
c 2a c 1 2 3 2 4a c 2
3
2 4 4 8 3 ,3 a c 3 c a 3 3
4a c 4 3 2 3 8 3
当且仅当 ,即 时,等号成立,故答案为:
c a c ,a 3 3 3
2.(2025 届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统考 T13)已知 a、b、c分别为VABC的三个内角 A、B、
C的对边, a 2,且 (a b)(sin A sinB) (c b)sinC,则VABC面积的最大值为______.
【答案】 3【解】因为 (a b)(sin A sinB) (c b)sinC,根据正弦定理可知 (a b)(a b) (c b)c,
2 2 2 1 π即b c a bc,由余弦定理可知 cos A ,又 A (0,π),故 A ,
2 3
又因为 a 2,所以b2 c2 4 bc, 4 b2 c2 bc 2bc bc bc (当且仅当b c时取等号),
即bc 4 S 1;所以 bc sin A 1 3 4 3,即VABC 面积的最大值为 3,故答案为: 3 .
2 2 2
3.(2025 届吉林省吉林大学附中实验学校高三一模 T13)在 ABC中,若 a2 b2 2024c2 2 tan A tanB,则 tanC(tan A tanB)的值为
______.
【答案】2023【解】因为 a2 b2 2024c2,
由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC 2024c2 2abcosC,所以 2abcosC 2023c2,
2sin A sin B
2 tan A tan B cos A cosB 2sin A sinB cosC 2ab cosC 2023c2所以 tanC(tan A tan B) sinC sin AcosB sin B cos A 2 2023, ( ) sin C c2 c2
cosC cos AcosB
故答案为:2023.
第 34 页 共 34 页2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题
考点一 三角函数概念
一、单项选择题
1.(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T8)已知实数“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二.填空题:
1.(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T11)如图所示,在平面直角坐标系中,角的终边与单位圆交于点在第二象限,,则点的坐标为__________.
考点二 三角恒等变换
一、单项选择题
1.(2025届成都市郫都区高三三模T4),,,则( )
A. B. C. D.
2.(2025届烟台市、东营市高三联考一模T3)已知,则( )
A. B. C. D. 2
3.(2025届安徽皖南八校高三8月考试T5)已知,则值为( )
A. B. C. D. 1
4.(2025届福建省漳州市高三第一次质量检测T4)若,则( )
A. B. C. D.
5.(2025届广东省八校高三上8月联考T4)已知,则( )
A. B. C. D. 1
6.(2025届广东省高三毕业班第一次调研考试T4)已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
7.(2025届广东省六校高三第一次联考T4)已知,,则( )
A. B. C. D.
8.(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T7)已知,且,则( )
A. -1 B. C. D.
9.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T6)已知,则( )
A. B. C. D.
10.(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T6),则( )
A. B. C. D.
11.(2025届湖南省名校高三上第二次联考T6)若为锐角,且,则( )
A. B. C. D.
12.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T4)已知,则( )
A. B. C. D.
13.(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T5)若,则( )
A. B. C. D.
14.(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T6)已知,,则( )
A. B. C. D.
15.(2025届江苏省常州市高三上第一次质量测试T3),,,若,则( )
A. B. C. D.
16.(2025届江苏省高三云帆杯8月学情调研考试T4)已知,,,则( )
A. B. C. D.
17.(2025届高三天枢杯第二届线上联考T9)不是方程的解的选项是( )
A. B. C. D.
18.(2025届江苏省海门中学高三第一次调研考试T7)锐角、满足,若,则( )
A B. C. D.
19.(2025届江西省多所学校第一次大联考T5)锐角满足,则( )
A. B. C. D.
20.(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T6)已知角,满足,,则( )
A. B. C. D.
21.(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T7)若,则( )
A. B. C. D.
22.(2025届山西省大同市高三第一次学情调研T3)已知,且,则( )
A. B. C. D.
23.(2025届陕西省宝鸡市金台区高三上第一次模拟T4)若,且,则( )
A. B. C. D.
24.(2025届四川省高三上入学摸底考试T3),则( )
A. B. C. D.
25.(2025届浙江省部分学校高三上返校联考T4)已知,则( )
A. B. C. D.
26.(2025届浙江省数海漫游高三第一次模拟考试T2)已知,,则( )
A. 1 B. 2 C. D.
27.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T2)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则( )
A. 0 B. C. D.
28.(2025届安徽省部分学校高三上8月联考T6)( ).
A. B. C. D.
29.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T3)已知点是角终边上一点,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
1.(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T9),则下列正确的是( )
A. B. C. D.
2.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T10),则( )
A. 的值域为 B. 是周期函数
C. 在递减 D. 的图像关于直线对称,但不关于点对称
三.填空题:
1.(2025届成都市郫都区高三三模T12)____________.
2.(2025届四川省大数据精准联盟高三上一模T12)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则________.
3.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试T13)如图,圆与轴的正半轴的交点为,点,在圆上,且点位于第一象限,点的坐标为,.若,则的值为____________.
4.(2025届上海新高三开学摸底T6)若,则  .
5.(2025届安徽省江淮十校高三第一次联考T12)已知,则______.
考点三 三角函数图象性质
一、单项选择题
1.(2025成都市川师附中二诊模拟T4)已知函数的部分图象如图所示,将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则( )
A. B. C. 1 D. 0
2.(2025届成都七中高新校区二诊模拟T8)已知函数的图象如图所示,图象与轴的交点为,与轴的交点为,最高点,且满足.若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为,则( )
A. B. 0 C. D.
3.(2025届四川省自贡市二模T7)已知函数的部分图象如图所示,为图象与轴的交点,为图象与轴的一个交点,且.若实数,满足,则( )
A. B. 0 C. D. 2
4.(2025届湖南省名校高三上第二次联考T5)函数在()内没有最小值,且存在,使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.(2025解湖南省长郡中学高三上第一次调研考试T7)函数,对于任意的,,都恒成立,且函数在上单调递增,则的值为( )
A. 3 B. 9 C. 3或9 D.
6.(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T1)在下列区间函数单调递减的是( )
A. B. C. D.
7.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T7)将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合,则的最小值为( )
A. 7 B. 5 C. 9 D. 11
8.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T8)函数在上只有一个零点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.(2025届山东省部分学校高三上开学联考T7)设函数,若对于任意实数在区间上至少2个零点,至多有3个零点,则取值范围是( )
A. B. C. D.
10.(2025届山西省大同市高三第一次学情调研T6)已知函数在区间内有最大值,但无最小值,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.(2025届浙江省部分学校高三上返校联考T7)已知函数,若方程在上有且只有五个实数根,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.(2025届福建省漳州市高三第一次教学质量检测T7)已知函数,若方程在区间上恰有3个实数根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
13.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试T5)在区间上是增函数,且,,则函数在区间上( )
A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值
14.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T7)将函数的图象绕原点逆时针旋转角,得到曲线.若曲线始终为函数图象,则的最大值为( )
A. B. C. D. 1
二、多项选择题
1.(2025届成都七中高新校区二诊模拟T10)在上恰有3个零点,则( )
A. B. 在上单调递减
C. 函数在上最多有3个零点 D. 在上恰有2个极值点
2.(2025届四川省自贡一中二模T9)已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到,则( )
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
3.(2025届烟台市、东营市高三一模T9)已知函数,则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上的取值范围为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
4.(2025届山东省部分学校高三7月联考T10)如图为函数的部分图象,则下列说法中正确的是( )
A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于点成中心对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移后关于轴对称
5.(2025届安徽省江淮十校高三第一次联考T10)函数部分图象如图所示,其中,图象向右平移个单位后得到函数的图象,且在上单调递减,则下列说正确的是( )
A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于5 D. 的最小值为2
6.(2025届广东省部分学校高三摸底联考T10)如图,与轴的其中两个交点为,,与轴交于点,点为中点,,,,则( )
A. 的图象不关于直线对称 B. 的最小正周期为
C. 图像关于原点对称 D. 在单调递减
7.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T9)已知函数的最小正周期为,则下列结论中正确的是( )
A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称
C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为
8.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T10)函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A. B. 函数在区间上单调递增
C. D. 函数的图象关于直线对称
9.(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T10)已知函数,则( )
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有6个交点,则
10.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T10)已知函数(,),函数的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )
A. 的表达式可以写成
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的对称中心(,1),
D. 若方程在(0,m)上有且只有6个根,则
11.(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T10),则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 最大值为1
12.(2025届湖南省岳阳县一中高三上入学考试T10)函数的图象如图所示,将其向左平移个单位长度,得到的图象,则下列说法正确的是( )
A. B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减
13.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T9)已知向量,则( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 的最大值为5 D. 若,则
14.(2025届江苏省常州市高三上第一次质量测试T9),下列说法正确的是( )
A. 最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心
C. 若在上有两个实数根,则
D. 若的导函数为,则函数的最大值为
15.(2025届江苏省高三云帆杯8月调研考试T9)已知函数,则下列函数为周期函数的是( )
A. B. C. D.
16.(2025届江苏省海安高中高三上期初检测T9)下列函数中,在区间上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
17.(2025届江苏省海安高中高三上期初检测T11).则下列结论正确的是( )
A. 图像关于点中心对称 B. 图像关于直线对称
C. 的最大值为 D. 既是奇函数又是周期函数
18.(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T9)函数的部分图象如图所示,令,则( )
A. 的一个对称中心是 B. 的对称轴方程为
C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为
19.(2025届四川省大数据精准联盟高三一模T9)的最小正周期为,则( )
A. 的最大值为2
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
20.(2025届四川省高三上入学摸底考试T9)已知函数,则( )
A. 的最小正周期为 B. 与有相同的最小值
C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将向左平移个单位长度后得到的图像
三.填空题:
1.(2025届山东省部分学校高三7月联考T13)已知函数在区间内恰有3个零点,则的取值范围是______.
2.(2025届安徽省部分学校高三上8月联考T13)已知函数在区间上单调递增,且,则__________.
3.(2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试T13)已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形,则______.
4.(2025届广东省六校高三八月第一次联考T13)若函数与在区间上均单调递增,则实数的取值范围为___________.
5.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T12)将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象,则的值为__________.
6.(2025届江西省多所学校第一次大联考T13)已知函数在区间内恰有两个极值点,则实数的取值范围为__________.
7.(2025届山东省泰安市部分学校高三上摸底联考T14)设是正实数,若函数在上至少存在两个极大值点,则的取值范围是______.
考点四 解三角形
一、单项选择题
1.(2025届成都市川师附中二诊模拟T8)在中,若的平分线的长为,则边上的高线的长等于( )
A. B. C. 2 D.
2.(2025届河南省部分学校高三7月联考T2)在中,角的对边分别为,若,则中角B的大小是( )
A. B. C. D.
3.(2025届河南省部分学校高三7月联考T6)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了,如图,测得,若点恰好在边上,则的值为( )
A. B. C. D.
4.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T5;2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T6) 在△ABC中,,,则( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T2)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若,则的值为( )
A. B. C. D.
6.(2025届湖南省岳阳县一中高三入学考试T4)在中,,则( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
7.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T4)在中,“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.(2025届江苏省高三云帆杯8月学情调研考试T7)锐角中,,,,则AB边上的高CD长为( )
A. B. C. D.
9.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T6)在中,若,则的大小为( )
A. B. C. D.
二.填空题:
1.(2025届广东省部分学校高三上开学摸底联考T12)在,角,,所对的边分别为,,,,交AC于点,且,则的最小值为___________.
2.(2025届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统考T13)已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边,,且,则面积的最大值为______.
3.(2025届吉林省吉林大学附中实验学校高三一模T13)在中,若,则的值为______.2025 届全国各地高三模拟试题分类精编 05三角函数小题
考点一 三角函数概念
一、单项选择题
1.(2025 届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测 T8)已知实数 , ,“ + 2k ,k Z ”是
“ sin + sin sin ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二.填空题:
1.(2025 届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测 T11)如图所示,在平面直角坐标系 xOy中,角
3
的终边与单位圆交于点A在第二象限, cos ,则点A的坐标为__________.
5
考点二 三角恒等变换
一、单项选择题
π
1.(2025 4届成都市郫都区高三三模 T4)0 < β < α < 2,sin(α β) = ,tanα tanβ = 2,则 tanα tanβ =( )5
A. 1 B. 1 C. 1 D. 5
2 2 3 3
( + )
2.(2025 届烟台市、东营市高三联考一模 T3)已知 tanα = 2,则 2 3 =( ) ( ) ( 2 )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
3 3
π
3.(2025 届安徽皖南八校高三 8 月考试 T5)已知 a 0, , sin3 5sinacos2 ,则 tan 值为( )
2
A. 23 B. 3 C. D. 12 2
4.(2025 届福建省漳州市高三第一次质量检测 T4)若 tan 2tan ,sin t,则 sin ( )
A. 2t B. 2t C. 3t D. 3t
第 1 页 共 15 页
sin x y 1 , tanx5.(2025 届广东省八校高三上 8 月联考 T4)已知 24 tany ,则 sin x y ( )
1 1 3
A. B. C. D. 1
4 2 4
π
6.(2025 届广东省高三毕业班第一次调研考试 T4)已知 sin sin
2
,则 cos
2 π 3 3 3 ( )
5 1 1 5
A. B. C. D.
9 9 9 9
7.(2025 届广东省六校高三第一次联考 T4)已知 sin m, tan 3tan ,则 sin ( )
m m m m
A. B. C. D.
4 4 2 2
8.(2025 届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测 T7)已知0 π,且
sin cos 0,sin sin 6cos cos ,则 tan ( )
1 1 1
A. -1 B. C. D.
2 6 7
π π 1 π
9.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T6)已知 cos cos 2 3 2 6 4,则
cos 2
3
( )

1 1
A. B. C. 3 D. 3
2 2 2 2
π 5
10.(2025 届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考 T6) , 0, , cos , tan tan 4,则
2 6
( )

π π π 2π
A. B. C. D.
6 4 3 3
sin 2 9
11.(2025 届湖南省名校高三上第二次联考 T6)若 为锐角,且 cos ,则 cos ( )
sin cos 1 5
4 3 7 3
A. B. C. D. -
5 5 25 5
cos cos 212.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T4)已知 , cos 3 ,则 cos ( )
5 5
1 1 4 2
A. B. C. D.
5 3 5 3
第 2 页 共 15 页
π
13.(2025 届湖南省宁远县三中等高三上入学联考 T5)若 sin 3cos 1 ,则 cos
6
( )

1 1
A. 3 B. C. D. 3
2 2 2 2
14.(2025 届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试 T6)已知 sin m tan , 2tan ,则 sin ( )
m m
A. B. C. 3m D. 3m
3 3

15.(2025 届江苏省常州市高三上第一次质量测试 T3)a sin ,1 4cos2 ,b 1,3sin 2 , 0, 2 ,若
a//b ,则 tan 4 ( )
1 1 2
A. B. C. 2
7 7 7
D.
7
1 π π
16.(2025 届江苏省高三云帆杯 8 月学情调研考试 T4)已知 cos 3,sin , 0,3 2 3 6
则 sin 2 ( )
A. 3 1 B. 3 2 2 C. 3 1 D. 2 2 3
3 6 3 6
3 1
17.(2025 3届高三天枢杯第二届线上联考 T9)不是方程 x x 0的解的选项是( )
4 8
A. cos
π
B. cos

C. cos

D. cos

9 9 9 9
18.(2025 届江苏省海门中学高三第一次调研考试 T7)锐角 、 满足 sin cos( )sin tan 1,若 ,
2
则 cos( ) ( )
1
A. B.
2 C. 3 D. 2
2 2 2 2
19.(2025 届江西省多所学校第一次大联考 T5)锐角 , 满足 sin sin sin cos cos ,则2 ( )
π π π
A. B. C. D. π
2 3 4
1
20.(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T6)已知角 , 满足 tan tan 3, cos ,则
2
第 3 页 共 15 页
cos ( )
1 3 1
A. B. 1 C. D.
4 8 8
21.(2025 届山东省招远二中等校高三上摸底联考 T7)若 sin(α 20°) = sin20°tan20° 3,则 cos(2α + 140°) =( )
1 1 7 7
A. B. C. D.
8 8 8 8
π
22.(2025 届山西省大同市高三第一次学情调研 T3)已知 0,
cos sin2
tan 2 ,且 ,则 ( ) 1 sin 1 cos2
A. B. 3 C. 33 D. 3
3 3
1
23.(2025 届陕西省宝鸡市金台区高三上第一次模拟 T4)若 sin( ) ,且 tan 2 tan ,则 sin( ) 6 ( )
3 2 2 1A. B. C. D.
2 2 3 2
24.(2025 届四川省高三上入学摸底考试 T3) 3sin π sin π 0 tan 2 ,则 ( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
2 3 2 3
1
25.(2025 2 届浙江省部分学校高三上返校联考 T4)已知 tan 4,则 cos
tan

4
( )

1 3
A. B. 1 3 C. D. 1 3
4 2 4 4 2 4
π cos126.(2025 届浙江省数海漫游高三第一次模拟考试 T2)已知 0, , tan ,则 ( )
2 sin1
π 2
A. 1 B. 2 C. D.
2 π 2
27.(2025 届重庆市南开中学高三 8 月第三次质量检测 T2)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x轴的非负半
π π π
轴重合,终边经过点 P cos ,sin ,则 cos 3 3 6 ( )
1
A. 0 B. C. 2 D. 3
2 2 2
第 4 页 共 15 页
28.(2025 届安徽省部分学校高三上 8 月联考 T6) 2 2 7 =( ).
12 12
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
2 2 2

2
29.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T3)已知点P(3, 4)是角 终边上一点,则cos2 ( )
7 7 24 24
A. B. C. D.
25 25 25 25
二、多项选择题
1.(2025 届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测 T9) f x sinx cosx,则下列正确的是( )
A. f x π f x B. f x f π x π C. x 0, , f x π 0 D. x 0, , f x 0
2 4 2
2sinx 2 cosx 1
2.(2025 届重庆市南开中学高三 8 月第三次质量检测 T10) f x ,则( )
sinx cosx 1
A. f x 的值域为 2, 2 B. f x 是周期函数
π
C. f x 在 2kπ, π 2kπ , k Z 递减 D. f4 x
π π
的图像关于直线 x 对称,但不关于点 ,1 4 4
对称

三.填空题:
1.(2025 届成都市郫都区高三三模 T12) sin210 sin2 20 sin2 30 sin2 900 ____________.
2.(2025 届四川省大数据精准联盟高三上一模 T12)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x轴的非负半轴重合,
终边经过点 P 1,2 ,则 cos2 ________.
3.(2025 届广东省广州市执信中学高三上第三次测试 T13)如图,圆O与 x轴的正半轴的交点为A,点C,B在
O 4 3 3圆 上,且点C位于第一象限,点 B的坐标为 , 5 5 , AOC .若 BC 1,则 3 cos
2 sin cos
2 2 2 2
的值为____________.
4.(2025 1届上海新高三开学摸底 T6)若 sin( ) ,则 sin cos .
4 2
第 5 页 共 15 页
π
5.(2025 届安徽省江淮十校高三第一次联考 T12)已知 cos2x cos2

x

,则 tanx ______4 .
考点三 三角函数图象性质
一、单项选择题
π
1.(2025 成都市川师附中二诊模拟 T4)已知函数 f x sin x 0, 的部分图象如图所示,将 f2 x
π π
的图象向左平移 个单位长度得到函数 g x 的图象,则 g 6 ( )12
A. 12 B.
3 C. 1 D. 0
2
π
2.(2025 届成都七中高新校区二诊模拟 T8)已知函数 f x Asin x A 0, 0, 2 的图象如图所示,
图象与 x
5
轴的交点为M ,0 ,与 y2 轴的交点为 N ,最高点 P 1, A ,且满足 NM NP.若将 f x 的图
象向左平移 1个单位得到的图象对应的函数为 g x ,则 g 2024 ( )
A. 10 B. 0 C. 10 D.
2 2 10
3.(2025 届四川省自贡市二模 T7)已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0,
π
)的部分图象如图所示,C为
2
图象与 y 33轴的交点, B为图象与 x轴的一个交点,且 BC .若实数x , x2满足 f (x1) f (x2 ) 41 ,则2
f (x1 x2 ) ( )
A. 1 B. 0 C. 2 D. 2
4.(2025 届湖南省名校高三上第二次联考 T5)函数 f x sin x cos x 在 0, ( 0 )内没有最小值,且存
在 x0 0, ,使得 f x0 0,则 的取值范围是( )
第 6 页 共 15 页
π 3π 5π 3π π , 3πA. , B. π,2 4 4 C.


π,
2 D. 2 2
π
5.(2025 解湖南省长郡中学高三上第一次调研考试 T7)函数 f x 2sin x 0, 2 ,对于任意的 x R ,
f x π f π x π ,f x f x
0 f x π 12 12 2 都恒成立,且函数 在 , 010 上单调递增,则 的值为( )
A. 3 B. 9 C. 3或 9 D. 3
6.(2025 届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试 T1)在下列区间函数 f(x) = sinx 单调递减的是( )
π π
A. 0, B. , π
π, 3π 3π , 5πC. 2 2 2 D. 2 2
π π
7.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T7)将函数 f (x) sin x ( 0)的图象向右平移 个单位长
3 6
度后与函数 g(x) cos( x)的图象重合,则 的最小值为( )
A. 7 B. 5 C. 9 D. 11
8.(2025 届江苏省海门中学高三上第一次调研考试 T8)函数 f x sin 2 x 2 3 cos2 x 3 0 0, π 在 2 上
只有一个零点,则 的取值范围为( )
1 1
A. ,
4 , 4 1 , 7 1 , 7
3 3
B. C. 6 6 D. 3 3 6 6


9.(2025 届山东省部分学校高三上开学联考 T7)设函数 f x 2sin x 1( 0),若对于任意实数
, f x π , 3π 在区间 4 4 上至少 2个零点,至多有 3个零点,则 的取值范围是( )
8 20 8 20
A. ,5 B. 4,5 C. 4, D. , 3 3 3 3
10.(2025 届山西省大同市高三第一次学情调研 T6)已知函数 f x 3cos2 x 1 sin2 x 3 ( 0)在区间 0,π
2 2
内有最大值,但无最小值,则 的取值范围是( )
1 7 1
A. , B. ,
7 1 , 7 1 7
6 12 12 12
C.
6 12
D. ,12 12
11.(2025 届浙江省部分学校高三上返校联考 T7)已知函数 f x sin x 3 cos x 0 ,若方程
f x 1在 0, 上有且只有五个实数根,则实数 的取值范围为( )
第 7 页 共 15 页
13 , 7 7 , 25 25 ,11 11 37A. B. C. D. ,

6 2 2 6 6 2 2 6
π
12.(2025 届福建省漳州市高三第一次教学质量检测 T7)已知函数 f x tan x

( 0),若方程 f x 1在
4
区间 0, π 上恰有 3个实数根,则 的取值范围是( )
A. 2,3 B. 2,3 C. 3,4 D. 3,4
13.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试 T5) f x Asin x A 0, 0 在区间 m,n
上是增函数,且 f m A, f n A,则函数 g x Acos x A 0, 0 在区间 m,n 上( )
A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值A D. 可以取到最小值 A
1 1 π
14.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T7)将函数 y x cos2x , x [0, ]的图象绕原点逆时针旋转 角,2 2 4
得到曲线C .若曲线C始终为函数图象,则 tan 的最大值为( )
1 π 2
A. B. C. D. 1
2 π 2 3
二、多项选择题
1.(2025届成都七中高新校区二诊模拟 T10) f x sin x 3cos x 0 在 0,2 上恰有 3个零点,则( )
7 5
A.
5 11
B. f x 在 , 上单调递减
6 3 7 10

C. 函数 g x f x 2 在 , 2 2 上最多有 3个零点 D. f x 在 , 2 2 上恰有 2个极值点
2.(2025 π届四川省自贡一中二模 T9)已知函数 f x 的图象是由函数 y 2sinxcosx的图象向右平移 6个单位得
到,则( )
A. f x π π 的最小正周期为 π B. f x 在区间 ,6 3 上单调递增
f x x πC. 的图象关于直线 对称 D. f x π的图象关于点 ,0 3 6 对称
3.(2025 2届烟台市、东营市高三一模 T9)已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos x 1,则( )
A. f x π的最小正周期为 π B. f x 的图象关于直线 x 对称6
π π
C. f x , 在区间 上的取值范围为 1,1 4 6
第 8 页 共 15 页
D. f x π π的图象可由 y 2cos 2x 3 的图象向右平移 个单位长度得到 6
4.(2025 届山东省部分学校高三 7 月联考 T10)如图为函数 f x Asin x (A 0, 0)的部分图象,
则下列说法中正确的是( )

A. 函数 f x 的最小正周期是 2π B. 函数 f x 的图象关于点 , 03 成中心对称
5π π
C. 函数 f x 在区间 , 上单调递增 12 6
D. 函数 f x π的图象上所有的点横坐标扩大到原来的 2倍(纵坐标不变),再向右平移 3后关于 y轴对称
5.(2025 届安徽省江淮十校高三第一次联考 T10)函数 f x sin x π π部分图象如图所示,其中 2 2 ,
* π π
图象向右平移 s s N 个单位后得到函数 = 的图象,且 = 在 , 3 3 上单调递减,则下列说
正确的是( )
A. 1 B. x π 为 f x 图象的一条对称轴 C. s可以等于 5 D. s的最小值为 2
6
6.(2025 届广东省部分学校高三摸底联考 T10)如图, = sin + > 0, > 0, ≤ π 与 x轴的其
2
中两个交点为A, B,与 y 轴交于点C,点D为 BC中点,OB 3OC,OA 2 2 21, AD ,则( )3
A. f x 的图象不关于直线 x 8对称 B. f x 的最小正周期为12π
C. + 2 的图像关于原点对称 D. f x 在 5,7 单调递减
7.(2025 届湖南省部分学校高三开学联考 T9)已知函数 f x sin x 3cos x 1 0 的最小正周期为
π,则下列结论中正确的是( )
A. f x π 的图像关于点 ,0 对称 B. f x 的图像关于直线 x 5π 6 12 对称
π π
C. f x 在 0,1 上单调递增 D. f x 在区间 , 0,3 12 2 上的值域为
第 9 页 共 15 页
π
8.(2025 届湖南省衡阳县一中高三上开学考试 T10)函数 f (x) sin x 0, 2 的部分图象如图所示,
下列说法正确的是( )
φ π 5πA. B. 函数 f (x)在区间 , π6 上单调递增3
C. 11πf (π ) 3 D. 函数 f (x)的图象关于直线 x 12 对称4 2

9.(2025 届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考 T10)已知函数 f x 2cos 2x 4 ,则( )
3
A. f x 的一个对称中心为 π,08
B. f x 3π的图象向右平移 8 个单位长度后得到的是奇函数的图象
f x 5π 7πC. 在区间 ,8 8 上单调递增
D. 若 y f x 在区间 0,m 5π 13π 上与 y 1有且只有 6个交点,则m ,
2 4
f (x) 2 sin( x ) 0 2 10.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T10)已知函数 ( , ),2 2
函数 g(x) f (x)
1

2 的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是( )

A. f (x)的表达式可以写成 f (x) 2 sin 2x 4
f (x) 3 B. 的图象向右平移 个单位长度后得到的新函数是奇函数
8
C. h x f x 1 k 的对称中心( ,1), k Z
8 2
5 13
D. 若方程 f x 1在(0,m)上有且只有 6个根,则m ,
2 4
π
11.(2025 届湖南省宁远县三中等高三上入学联考 T10) f x 2sin 2x ,则下列结论正确的是( )
3
第 10 页 共 15 页
A. f x π的最小正周期为 π B. f x 的图象关于直线 x 6对称
C. f x π的一个零点为 x D. f6 x 的最大值为 1
π
12.(2025 届湖南省岳阳县一中高三上入学考试 T10)函数 f (x) 2sin 2 x (0 1)的图象如图所示,
3
π
将其向左平移 个单位长度,得到 y g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
6
A.
1
B. f (x) π , 0 函数 的图象关于点
2 3
对称

π π π π
C. 函数 y g(x)的图象关于直线 x 对称 D. 函数 y g 2x 在 ,6 3 9 9 上单调递减

13.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T9)已知向量a cos ,sin ,b 3,4 ,则( )
A. 若a//b,则 tan
4 3
B. 若
3 a b
,则 sin
5

a

C. b 的最大值为 5 D. 若 a a b 0,则 a b 2 6
π
14.(2025 届江苏省常州市高三上第一次质量测试 T9) f (x) sin 3x 3 ,下列说法正确的是( )
A. f x 2π π 的最小正周期为 B. 点 ,03 6 为 f x 图象的一个对称中心
C. 若 f (x) a(a R) π π 3在 x ,18 9 上有两个实数根,则 a 1 2
D. 若 f x 的导函数为 f x ,则函数 y f x f x 的最大值为 10
15.(2025 届江苏省高三云帆杯 8 月调研考试 T9)已知函数 f x sin 2x,则下列函数为周期函数的是( )
A. f cos x 1B. f x x sin 2 C. f
x2 f sin
2 x sin2 2x
2
D.

π π16.(2025 届江苏省海安高中高三上期初检测 T9)下列函数中,在区间 ,4 2 上单调递减的函数是( )
y sin x π π A.

4
B. y 3sinx cosx C. y sin2x D. y cos x 3
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17.(2025 届江苏省海安高中高三上期初检测 T11) f x cos xsin 2x.则下列结论正确的是( )
A. y f x 图像关于点 ,0 中心对称 B. y f x 图像关于直线 x 对称2
C. f x 3的最大值为 D. f x 既是奇函数又是周期函数
2
18.(2025 届山东省招远二中等校高三上摸底联考 T9)函数 f x Acos x (A 0, 0,0 π)的部分图
象如图所示,令 g x f x cos2x,则( )
A. g x π π kπ的一个对称中心是 ,0 g x x k Z
12
B. 的对称轴方程为
6 2
C. g x π 10, π π 在 2 上的值域为 ,1 D. g x2 的单调递减区间为 kπ , kπ k Z 6 3
19.(2025 届四川省大数据精准联盟高三一模 T9) f x sin x 3cos x( 0)的最小正周期为 π,则( )
A. f x 的最大值为 2
B. f x π在 , π
3 6
上单调递增

C. f x π的图象关于点 ,0 6 中心对称
f x πD. 的图象可由 y 2cos2x的图象向右平移 个单位得到12
x π x
20.(2025 届四川省高三上入学摸底考试 T9)已知函数 f x 3sin , g x 3cos
2 3 2
,则( )

A. f x 的最小正周期为 4π B. f x 与 g x 有相同的最小值
C. 直线 x π f x f x π为 图象的一条对称轴 D. 将 向左平移 个单位长度后得到 g x 的图像3
三.填空题:
f x sin x cos x π 1.(2025届山东省部分学校高三 7月联考 T13)已知函数 0 在区间 0,2π 内恰
6
有 3个零点,则 的取值范围是______.
2 4
2.(2025 届安徽省部分学校高三上 8 月联考 T13)已知函数 f x cos x 在区间 , 3 3 上单调递增,且
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f 4 f 2 2 f 2 3 3 ,则 __________.
3.(2025届安徽皖南八校高三 8月摸底考试 T13)已知函数 f x 2sin x与 g x 2cos x( 0)的图象上
任意 3个相邻的交点构成直角三角形,则 ______.
π π
4.(2025 届广东省六校高三八月第一次联考 T13)若函数 f x sin x 与 g x sin x 在区间
4 4
0, π 上均单调递增,则实数 的取值范围为___________.
2
π π
5.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T12)将函数 f x sin 2x 3 的图象沿
x轴向左平移 个单位长
6
g x π 度后得到函数 的图象,则 g 的值为__________.
4
π π
6.(2025 届江西省多所学校第一次大联考 T13)已知函数 f x 2024sin 2x 在区间 ,m 内恰有两个极值
6 6
点,则实数m的取值范围为__________.
7.(2025 届山东省泰安市部分学校高三上摸底联考 T14)设 是正实数,若函数 y sin x在 , 2 上至少存
在两个极大值点,则 的取值范围是______.
考点四 解三角形
一、单项选择题
1.(2025 4 6届成都市川师附中二诊模拟 T8)在VABC中,若c 3,b 2, BAC的平分线 AD的长为 ,则 BC5
边上的高线 AH 的长等于( )
4
A. B. 4 2 C. 2 D. 4 3
3 3 3
2.(2025届河南省部分学校高三 7月联考 T2)在VABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a :b : c 5: 7 :8,
则VABC中角 B的大小是( )
A. 135 B. 120 C. 90 D. 60o
3.(2025 届河南省部分学校高三 7 月联考 T6)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,结合中国书法的艺术形态,
将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体,呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料
第 13 页 共 15 页
得知,书法中的一些特殊画笔都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用30 45 60 90 120 150 等特殊
角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD,如图,测得
AB 5,BD 6, AC 4, AD 3,若点C恰好在边 BD上,则 sin ACD的值为( )
1 5
A. B. C. 14 D. 22
2 9 6 6
4.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试 T5;2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试 T6) 在△ABC中,
a2 b2 A

sinC 5bc, ,则 sin B ( )3
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5.(2025 届湖南省临湘市一中高三上入学考试 T2)图 1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案
中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图 2所示的四边形 OABC.若 AB BC 1, AOB ,
则OC 2 的值为( )
1 1
A. 2 1 B. sin2 1 C. 2 1 D. 2sin cos cos 1
6.(2025 届湖南省岳阳县一中高三入学考试 T4)在VABC中,4cos2 A 2sin 2 B C 3 0 ,则
2 2 tan B tanC ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 1
7.(2025 届吉林省吉大附中实验学校高三一模 T4)在VABC中,“ cos A sin B”是“C 90 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 1
8.(2025 届江苏省高三云帆杯 8 月学情调研考试 T7)锐角VABC中, sinC , sin A B ,
3 4 AB 8,则
AB边上的高 CD长为( )
A. 36 2 B. 19 11 C.
7 4 7 6 3 D. 3 15 8 25
第 14 页 共 15 页
π
9.(2025 届湖南省名校高三上入学摸底联考 T6)在 ABC中,若C ,b bcosA acosB,则 B的大小为( )
3
π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 9 9
二.填空题:
1.(2025 届广东省部分学校高三上开学摸底联考 T12)在VABC,角A, B,C所对的边分别为 a,b, c,
ABC 120 , BD BC 交 AC于点D,且 BD 1,则 2a c的最小值为___________.
2.(2025 届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统考 T13)已知 a、b、c分别为VABC的三个内角 A、B、
C的对边, a 2,且 (a b)(sin A sinB) (c b)sinC,则VABC面积的最大值为______.
3.(2025 届吉林省吉林大学附中实验学校高三一模 T13)在 ABC 2 2 2 2 tan A tanB中,若 a b 2024c ,则 tanC(tan A tanB)的值为
______.
第 15 页 共 15 页

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