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江苏省南通市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线 = 1在 轴， 轴上的截距分别为( )
2 3
A. 2，3 B. 2，3 C. 2， 3 D. 2， 3
2.椭圆16 2 + 25 2 = 400的离心率为( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
3.直线 : 3 + 4 1 = 0被圆 : ( 1)2 + ( 2)2 = 5截得的弦长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.在等比数列{ }中，“ 1 < 2 < 3”是“{ }是递增数列”的( )条件
A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不充分不必要
5.已知平行六面体 1 1 1 1的所有棱长均为1，∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 60
，则对角线 1 的
长为( )
A. √ 6 B. 2 C. √ 3 D. √ 2
6.已知点 (2, )( > 0)在抛物线 : 2 = 2 上， 为 的焦点，| | = 4，则 =( )
A. 16 B. 8√ 2 C. 8√ 2 D. 16
2 27.已知 , , 三点不共线，点 在平面 外，点 满足 = + + ，则当点 , , , 共面时，
5 5
实数 =( )
4 1 1 2
A. B. C. D.
5 5 5 5
8.在等比数列{ }中， 1 2 = 1 2 11 ( < 11)，则 6 =( )
A. 1 B. 1 C. ±1 D. 无法确定
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 1 ⊥平面 , 2 ⊥平面 , , 分别为 1, 2的一个方向向量，则下列结论正确的是( )
A. 若 ⊥ ，则 ⊥
1
B. 若cos , = ，则 1, 2所成角为60

2
1
C. 若cos , = ，则 1与 所成角为60

2
1
D. 若cos , = ，则 , 的夹角为60
2
10.下列结论正确的是( )
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A. 若{ }是等差数列，则 1 2, 2 3, 3 4是等差数列
B. 若{ }是等比数列，则2 1 + 3, 2 2 + 4, 2 3 + 5是等比数列
C. 若 , , 1 2 31 2 3是等差数列，则2 , 2 , 2 是等比数列
D. 若ln 1, ln 2, ln 3是等差数列，则
2
1 ,
2
2 ,
2
3是等比数列
11.在平面直角坐标系 中，直线 = ( 1)过抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点，且与 交于点 , ，则
下列结论正确的是( )
A. 的通径长为4
B. 线段 的中点在定直线上
C. 直线 , 的斜率之积为定值
5
D. 若 (4,4)，直线 与 的准线交于点 ，则| | =
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.圆 1:
2 + 2 = 9与圆 2 22: + 8 6 + 16 = 0的位置关系 ．
2
13.设直线 : + + 1 = 0与双曲线 : 2 = 1恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对( , )可以
4
是 ．
, 为奇数
14.已知数列{

}的前 项和为 , 1 = 1, +1 = { ，则 11 = ．
+ , 为偶数
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，公差 不为0, 1, 2, 5成等比数列， 5 = 25．
(1)求数列{ }的通项公式；
1 1
(2)记 = , ∈
，数列{ }的前 项和为 ，证明： < ． +1 2
16.(本小题12分)
2 2
设椭圆 : + = 1的右焦点为 ，过原点 的直线与 交于点 , ，且 ⊥ 轴.
4 3
(1)求 的周长；
(2)设点 在 上，求 的面积的最大值．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 , // , = = = = 1, = 2．
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(1)求点 到平面 的距离；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
记正整数 的所有正因数的和为 ( )，如 (4) = 1 + 2 + 4.若 ( ) = 2 ，则称 为“好数”．
(1)判断28是否为“好数”，并说明理由，
(2)证明： ∈ , 2 不是“好数”；
(3)设 ∈ ，求所有形如6 的“好数”．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知点 及曲线 ，过点 向右上、左上方作斜率分别为 , 的两条射线，与曲线 的
交点分别为 , .当 变化时，如果直线 的斜率为定值或直线 经过定点，那么称 是曲线 的“优点”．
2 2
已知曲线 : = 1( > 0)．
4 8
(1)判断 1(0, 2)是否为曲线 的“优点”；
(2)在 2(8, 6), 3(2,0)中任选一个判断是否为曲线 的“优点”，并说明理由；
(3)给出 , 满足的条件，使得 ( , )是曲线 的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点．
①直线 的斜率为定值；②直线 经过定点．
请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】相交
13.【答案】(1,2)(答案不唯一)
14.【答案】31
5×4
5 + = 25 + 2 = 5
15.【答案】解：(1)依题意得{ 1 2 ，且 ≠ 0，化简得{ 12 ,
( 1 + )
2 = 1( 1 + 4 )
= 2 1
= 1
解得{ 1 ∴ = 2 1； = 2,
1 1 1 1
(2) = = ( )， (2 1)×(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则 = (1 ) + ( ) + ( )+. . . + ( ) 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= (1 + + + ) = (1 ) <
2 3 3 5 2 1 2 + 1 2 2 + 1 2
16.【答案】解：(1)
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2 2
已知椭圆 : + = 1的右焦点为 ，因为 2 = 4, 2 = 3 = √ 2 2 = 1，
4 3
2 2 3
所以 (1,0)，因为 ⊥ 轴，把 = 1代入椭圆方程 : + = 1中，得到 = ± ，
4 3 2
3 3
不妨设 (1, )，因为 , 关于原点对称，则 ( 1, )，
2 2
3 3 2
所以| | = √ (1 + 1)2 + ( + ) = √ 4 + 9 = √ 13，
2 2
由椭圆的对称性可知：| | = | 1|，所以| | + | | = | | + | 1| = 2 = 4，
所以 的周长为| | + | | + | | = 4 + √ 13；
(2)
3 3 2
由(1)得| | = √ (1 + 1)2 + ( + ) = √ 4 + 9 = √ 13，
2 2
3 3 3
由 (1, )， ( 1, )可得直线 的方程为： = 3 2 = 0，
2 2 2
当 的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线 的距离最大时，
即与直线 平行且与椭圆相切时，如上图，设 1: 3 2 + = 0，
3 2 + = 0
联立{ 2 2 2 2 ，整理得：12 + 6 + 12 = 0，
+ = 1
4 3
因为直线与椭圆相切，所以判别式 = (6 )2 4 × 12 × ( 2 12) = 0，解得： = ±4√ 3，不妨取 = 4√ 3，
所以直线 1: 3 2 + 4√ 3 = 0，
|4√ 3| 4√ 3
则两平行线的距离 = = ，
2 √ 13√ 3 +( 2)2
1 1 4√ 3
故 的面积的最大值 = | | = × √ 13 × = 2√ 3．
2 2 √ 13
17.【答案】解：(1)过 作 // 于 ，因为 // ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 = = 1， = = 1，所以 = = 1，
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又因为 = 1，所以△ 为等边三角形，
取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，即 ⊥ ，
因为 // ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥底面 ，所以 ， ， 两两互相垂直，
则以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
1 √ 3
则 = √ 2 2 = √ 1 = ，
4 2
√ 3 3 √ 3 1
所以 (0,0,0)， (0,0,1)， (0,1,0)， ( , , 0)， ( , , 0)，
2 2 2 2
√ 3 1所以 = (0, 1,1)， = ( , , 0)， = (0, 1,0)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= + = 0
则{ √ 3 1 ，令 = √ 3，则 = 1, = √ 3，所以 = ( 1, √ 3, √ 3)，
= + = 0
2 2
| | √ 3 √ 21
所以点 到平面 的距离为 = = = ；
| | √ 7 7
√ 3 1(2)由(1)知， = (0,0,1)， = ( , , 0)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= = 0
则{ √ 3 1 ，解得 = 0，令 = 1，则 = √ 3，所以 = (1, √ 3, 0)，
= = 0
2 2
2 √ 7
所以cos < , >= = = ，
| || | √ 7×2 7
√ 7
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
7
18.【答案】解：(1)对于 = 28，它的正因数有1,2,4,7,14,28．
计算这些正因数的和 (28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28，通过加法运算得到 (28) = 56．
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而2 × 28 = 56，即 (28) = 2 × 28，满足“好数”的定义，所以28是“好数”．
(2)求2 的正因数之和 (2 )，2 的正因数为1,2, 22, , 2 ，这是一个首项 1 = 1，公比 = 2，项数 = + 1
的等比数列．
1(1
) 1×(1 2
+1)
根据等比数列求和公式 = ，可得 (2 ) = = 2 +1 1． 1 1 2
而2 × 2 = 2 +1，因为2 +1 1 < 2 +1，即 (2 ) ≠ 2 × 2 ，所以2 不是“好数”．
(3)先求 (6 )，因为6 = 2 × 3 ，根据正因数的性质， (6 )等于2 的正因数和与3 的正因数和的乘积．
+1
2
2 1
的正因数和为1 + 2 + + 2 = = 2 +1 1，
2 1
3 +1 1 3
+1 1
3 的正因数和为1 + 3 + + 3 = = ．
3 1 2
3 +1 1
所以 (6 ) = (2 +1 1) ．
2
3 +1 1
令 (6 ) = 2 6 ，即(2 +1 1) = 2 6 ，化简得(2 +1 1)(3 +1 1) = 2 +2 3 ．
2
当 = 1时，左边(21+1 1)(31+1 1) = (4 1)(9 1) = 3 × 8 = 24，
右边21+2 31 = 8 × 3 = 24，等式成立．
当 > 1时，对(2 +1 1)(3 +1 1)展开得2 +1 × 3 +1 2 +1 3 +1 + 1，2 +2 3 = 2 × 2 +1 3 .通
过分析指数函数的增长速度可知，此时左边大于右边，方程无解．
所以 = 1，那么形如6 的“好数”为61 = 6，即形如6 的“好数”集合为{6}．
19.【答案】解：(1)由 1(0, 2)，直线 , 斜率分别为 , ，可知两直线关于 轴对称，
结合双曲线对称性可知， , 关于 轴对称，
故直线 的斜率 = 0，即斜率为定值，
所以 1(0, 2)是曲线 的“优点”；
(2)① 2(8, 6)是曲线 的“优点”，原因如下：
设直线 2 的方程为 + 6 = ( 8)( ≠ 0)，令 1 = 8 6，
则直线 2 的方程为 + 6 = ( 8)( ≠ 0)，令 2 = 8 6，且 1 ≠ 2．
则 = 16 , + 2 2 2 2 22 1 2 1 = 12, 2 + 1 = 128 + 72, 2 1 = 192 ．
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2
( 6) 82 2 2
由 = 1，可知 2(8, 6)在双曲线 = 1的下支上， 4 8 4 8
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
2 2 2 8 = 0
联立{ ，得(2 2 1) 2 + 4 1 + 2
2
= + 1
8 = 0，
1
√ 2 √ 2
由题意 > 或 < ．
2 2
2 2 8
由 1和8是方程的两不等根，则由韦达定理知8 1 =
1
2 ， 2 1
2 4
解得 = 11 ； 4(2 2 1)
2 4
同理，将 换成 ， 1换成 2，可得 2 =
2
4(2 2
．
1)
又 1 = 1 + 1, 2 = 2 + 2，
2 4 2 4
[ 2 + 1 ]+
( 2+ 1)+ 2 1 4(2
2 1) 4(2 2 1) 2 1
则直线 的斜率 = 2 1 = = 2 2 21 2 1 2 4 1
4
4(2 2 1) 4(2 2 1)
( 22 +
2
1 8) + 4(2
2 1)( 2 1)
=
22
2
1
64 (2 2+1)+64 (2 2 1) 2
= = ．
192 3
故 2(8, 6)是曲线 的“优点”．
② 3(2,0)是曲线 的“优点”，原因如下：
设直线 3 的方程为 = + 2( ≠ 0)，直线 3 的方程为 = + 2( ≠ 0)，
1
其中 = ( ≠ 0)， (
1
, 1), ( 2, 2)，
作点 关于 轴的对称点 1，则 1( 2, 2)．
由对称性可知，点 1在直线 3 上，且在双曲线下支上．
2 2
直线 3 与双曲线 = 1相交， , 即分别在上、下支的两个交点． 4 8 1
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2 2 2 8 = 0
联立{ ，得( 2 2) 2 + 4 + 12 = 0，
= + 2
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2
由题意 > 或 < ，即 < < 且 ≠ 0．
2 2 2 2
由上分析可知 1, 2是方程的两根，
4 12
则由韦达定理知 1 + ( 2) = 2
， ( ) = ，
2 1 2 2 2
4 12
即 1 2 = 2 ， 2 1 2
= ，且 = + 2， = + 2，
2 2 1 1 2 2
2 由直线 的方程为 11 = ( )， 2 11
1( 2 1) 令 = 0，得 = + = 1 2
+ 2 1
1 1 2 1 2
( 1 + 2) 2 + ( 2 + 2) 1 2 = = 1
2 + 2
1 2 1 2
12
2 (
2
)
= 2 4 + 2 = 4，
2 2
故直线 过定点( 4,0)，
所以 3(2,0)是曲线 的“优点”．
2 2
(3)若 , 满足条件 = 0或 = 1，
4 8
则 ( , )是曲线 的“优点”，且①直线 的斜率为定值．
当 = 0，即点 在 轴上时，直线 的斜率为定值0；
2 2
当 = 1，即点 在双曲线上时，直线 的斜率为定值 ；
4 8 2
若 , 满足条件 ≠ 0, = 0，即点 在 轴上(且不为原点)时，
8
则 ( , )是曲线 的“优点”，且②直线 经过定点，定点为( , 0)．

理由如下：
若 = 0，即点 在 轴上，由对称性可知，直线 的斜率为定值0；
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2 2 2 2
若 = 1，即点 在双曲线 : = 1上时，
4 8 4 8
设直线 : = ( )( ≠ 0)，
2 2 2 8 = 0
联立{ 得，(2 2 1) 2 + 4 ( ) + 2( )2 8 = 0，
= ( )
√ 2 √ 2
题意 > 或 < ．
2 2
4 ( ) 4 ( )
+ = 2 ，则 = 2 ， = ( ) + ， 2 1 2 1
4 ( + )
以 代 得， = 2 ， = ( ) + ， 2 1
4 ( ) 4 ( + )
[ + 4 ]
∴ =
( + 2 )
= = 2
2 1 2 2 1
4 ( + ) 4 ( )
2 2 1 2 2 1
[8 2 4 (2 2 1)]
= = ；
8 2
若 , 满足条件 ≠ 0, = 0，即点 在 轴上时， ( , 0)( ≠ 0)，
设直线 的方程为 = + ( ≠ 0)，直线 的方程为 = + ( ≠ 0)，
1
其中 = ， ( 1, 1), ( 2, 2)，
作点 关于 轴的对称点 1，则 1( 2, 2)．
由对称性可知，点 1在直线 上，且在双曲线下支上．
2 2
直线 与双曲线 = 1相交， , 1即分别在上、下支的两个交点． 4 8
2 2 2 8 = 0
联立{ ，得( 2 2) 2 + 2 + 2 + 8 = 0，
= +
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2
题意 > 或 < ，即 < < 且 ≠ 0．
2 2 2 2
由上分析可知 1, 2是方程的两根，
2 2+8
则由韦达定理知 1 + ( 2) = 2 ， ( ) = ， 2 1 2 2 2
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2 2+8
即 1 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，且 1 = 1 + ， 2 = 2 + ， 2 2

由直线 的方程为 = 2
1
1 ( 1
)，
2 1
( ) +
令 = 0，得 = + 1 2 1 = 1 2 2 11 1 2 1 2
( 1 + ) 2 + ( = 2
+ ) 1 2 = 1 2 +
1 2 1 2
2+8
2 (
2
)
2 8
= 2 + = ．
2 2
8
故直线 过定点( , 0)．

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