资源简介 江苏省南通市 2024-2025 学年高二(上)期末数学试卷一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.直线 = 1在 轴, 轴上的截距分别为( )2 3A. 2,3 B. 2,3 C. 2, 3 D. 2, 32.椭圆16 2 + 25 2 = 400的离心率为( )1 2 3 4A. B. C. D.5 5 5 53.直线 : 3 + 4 1 = 0被圆 : ( 1)2 + ( 2)2 = 5截得的弦长为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.在等比数列{ }中,“ 1 < 2 < 3”是“{ }是递增数列”的( )条件A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不充分不必要5.已知平行六面体 1 1 1 1的所有棱长均为1,∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 60 ,则对角线 1 的长为( )A. √ 6 B. 2 C. √ 3 D. √ 26.已知点 (2, )( > 0)在抛物线 : 2 = 2 上, 为 的焦点,| | = 4,则 =( )A. 16 B. 8√ 2 C. 8√ 2 D. 16 2 27.已知 , , 三点不共线,点 在平面 外,点 满足 = + + ,则当点 , , , 共面时,5 5实数 =( )4 1 1 2A. B. C. D.5 5 5 58.在等比数列{ }中, 1 2 = 1 2 11 ( < 11),则 6 =( )A. 1 B. 1 C. ±1 D. 无法确定二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.设 1 ⊥平面 , 2 ⊥平面 , , 分别为 1, 2的一个方向向量,则下列结论正确的是( )A. 若 ⊥ ,则 ⊥ 1B. 若cos , = ,则 1, 2所成角为60 21C. 若cos , = ,则 1与 所成角为60 21D. 若cos , = ,则 , 的夹角为60 210.下列结论正确的是( )第 1 页,共 11 页A. 若{ }是等差数列,则 1 2, 2 3, 3 4是等差数列B. 若{ }是等比数列,则2 1 + 3, 2 2 + 4, 2 3 + 5是等比数列C. 若 , , 1 2 31 2 3是等差数列,则2 , 2 , 2 是等比数列D. 若ln 1, ln 2, ln 3是等差数列,则 21 , 22 , 23是等比数列11.在平面直角坐标系 中,直线 = ( 1)过抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点,且与 交于点 , ,则下列结论正确的是( )A. 的通径长为4B. 线段 的中点在定直线上C. 直线 , 的斜率之积为定值5D. 若 (4,4),直线 与 的准线交于点 ,则| | =4三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。12.圆 1: 2 + 2 = 9与圆 2 22: + 8 6 + 16 = 0的位置关系 . 213.设直线 : + + 1 = 0与双曲线 : 2 = 1恰有一个公共点,则满足题设的一组实数对( , )可以4是 . , 为奇数14.已知数列{ }的前 项和为 , 1 = 1, +1 = { ,则 11 = . + , 为偶数四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知等差数列{ }的前 项和为 ,公差 不为0, 1, 2, 5成等比数列, 5 = 25.(1)求数列{ }的通项公式;1 1(2)记 = , ∈ ,数列{ }的前 项和为 ,证明: < . +1 216.(本小题12分) 2 2设椭圆 : + = 1的右焦点为 ,过原点 的直线与 交于点 , ,且 ⊥ 轴.4 3(1)求 的周长;(2)设点 在 上,求 的面积的最大值.17.(本小题12分)如图,在四棱锥 中, ⊥底面 , // , = = = = 1, = 2.第 2 页,共 11 页(1)求点 到平面 的距离;(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.18.(本小题12分)记正整数 的所有正因数的和为 ( ),如 (4) = 1 + 2 + 4.若 ( ) = 2 ,则称 为“好数”.(1)判断28是否为“好数”,并说明理由,(2)证明: ∈ , 2 不是“好数”;(3)设 ∈ ,求所有形如6 的“好数”.19.(本小题12分)在平面直角坐标系中,已知点 及曲线 ,过点 向右上、左上方作斜率分别为 , 的两条射线,与曲线 的交点分别为 , .当 变化时,如果直线 的斜率为定值或直线 经过定点,那么称 是曲线 的“优点”. 2 2已知曲线 : = 1( > 0).4 8(1)判断 1(0, 2)是否为曲线 的“优点”;(2)在 2(8, 6), 3(2,0)中任选一个判断是否为曲线 的“优点”,并说明理由;(3)给出 , 满足的条件,使得 ( , )是曲线 的“优点”,且__________,并求出对应的定值或定点.①直线 的斜率为定值;②直线 经过定点.请在①②中任选一个填在横线上并作答,不必证明.第 3 页,共 11 页1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】 12.【答案】相交13.【答案】(1,2)(答案不唯一)14.【答案】315×45 + = 25 + 2 = 515.【答案】解:(1)依题意得{ 1 2 ,且 ≠ 0,化简得{ 12 ,( 1 + )2 = 1( 1 + 4 ) = 2 1 = 1解得{ 1 ∴ = 2 1; = 2,1 1 1 1(2) = = ( ), (2 1)×(2 +1) 2 2 1 2 +11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1则 = (1 ) + ( ) + ( )+. . . + ( ) 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 +11 1 1 1 1 1 1 1 1= (1 + + + ) = (1 ) <2 3 3 5 2 1 2 + 1 2 2 + 1 216.【答案】解:(1)第 4 页,共 11 页 2 2已知椭圆 : + = 1的右焦点为 ,因为 2 = 4, 2 = 3 = √ 2 2 = 1,4 3 2 2 3所以 (1,0),因为 ⊥ 轴,把 = 1代入椭圆方程 : + = 1中,得到 = ± ,4 3 23 3不妨设 (1, ),因为 , 关于原点对称,则 ( 1, ),2 23 3 2所以| | = √ (1 + 1)2 + ( + ) = √ 4 + 9 = √ 13,2 2由椭圆的对称性可知:| | = | 1|,所以| | + | | = | | + | 1| = 2 = 4,所以 的周长为| | + | | + | | = 4 + √ 13;(2)3 3 2由(1)得| | = √ (1 + 1)2 + ( + ) = √ 4 + 9 = √ 13,2 23 3 3由 (1, ), ( 1, )可得直线 的方程为: = 3 2 = 0,2 2 2当 的面积的最大值时,就是椭圆上的点到直线 的距离最大时,即与直线 平行且与椭圆相切时,如上图,设 1: 3 2 + = 0,3 2 + = 0联立{ 2 2 2 2 ,整理得:12 + 6 + 12 = 0,+ = 14 3因为直线与椭圆相切,所以判别式 = (6 )2 4 × 12 × ( 2 12) = 0,解得: = ±4√ 3,不妨取 = 4√ 3,所以直线 1: 3 2 + 4√ 3 = 0,|4√ 3| 4√ 3则两平行线的距离 = = ,2 √ 13√ 3 +( 2)21 1 4√ 3故 的面积的最大值 = | | = × √ 13 × = 2√ 3.2 2 √ 1317.【答案】解:(1)过 作 // 于 ,因为 // ,所以四边形 为平行四边形,所以 = = 1, = = 1,所以 = = 1,第 5 页,共 11 页又因为 = 1,所以△ 为等边三角形,取 的中点 ,连接 ,则 ⊥ ,即 ⊥ ,因为 // ,所以 ⊥ ,因为 ⊥底面 ,所以 , , 两两互相垂直,则以 为坐标原点, , , 所在直线分别为 , , 轴,建立空间直角坐标系,1 √ 3则 = √ 2 2 = √ 1 = ,4 2√ 3 3 √ 3 1所以 (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), ( , , 0), ( , , 0),2 2 2 2 √ 3 1所以 = (0, 1,1), = ( , , 0), = (0, 1,0),2 2设平面 的法向量为 = ( , , ), = + = 0则{ √ 3 1 ,令 = √ 3,则 = 1, = √ 3,所以 = ( 1, √ 3, √ 3), = + = 02 2| | √ 3 √ 21所以点 到平面 的距离为 = = = ;| | √ 7 7 √ 3 1(2)由(1)知, = (0,0,1), = ( , , 0),2 2设平面 的法向量为 = ( , , ), = = 0则{ √ 3 1 ,解得 = 0,令 = 1,则 = √ 3,所以 = (1, √ 3, 0), = = 02 2 2 √ 7所以cos < , >= = = ,| || | √ 7×2 7√ 7所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .718.【答案】解:(1)对于 = 28,它的正因数有1,2,4,7,14,28.计算这些正因数的和 (28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28,通过加法运算得到 (28) = 56.第 6 页,共 11 页而2 × 28 = 56,即 (28) = 2 × 28,满足“好数”的定义,所以28是“好数”.(2)求2 的正因数之和 (2 ),2 的正因数为1,2, 22, , 2 ,这是一个首项 1 = 1,公比 = 2,项数 = + 1的等比数列. 1(1 ) 1×(1 2 +1)根据等比数列求和公式 = ,可得 (2 ) = = 2 +1 1. 1 1 2而2 × 2 = 2 +1,因为2 +1 1 < 2 +1,即 (2 ) ≠ 2 × 2 ,所以2 不是“好数”.(3)先求 (6 ),因为6 = 2 × 3 ,根据正因数的性质, (6 )等于2 的正因数和与3 的正因数和的乘积. +12 2 1的正因数和为1 + 2 + + 2 = = 2 +1 1,2 13 +1 1 3 +1 13 的正因数和为1 + 3 + + 3 = = .3 1 23 +1 1所以 (6 ) = (2 +1 1) .23 +1 1令 (6 ) = 2 6 ,即(2 +1 1) = 2 6 ,化简得(2 +1 1)(3 +1 1) = 2 +2 3 .2当 = 1时,左边(21+1 1)(31+1 1) = (4 1)(9 1) = 3 × 8 = 24,右边21+2 31 = 8 × 3 = 24,等式成立.当 > 1时,对(2 +1 1)(3 +1 1)展开得2 +1 × 3 +1 2 +1 3 +1 + 1,2 +2 3 = 2 × 2 +1 3 .通过分析指数函数的增长速度可知,此时左边大于右边,方程无解.所以 = 1,那么形如6 的“好数”为61 = 6,即形如6 的“好数”集合为{6}.19.【答案】解:(1)由 1(0, 2),直线 , 斜率分别为 , ,可知两直线关于 轴对称,结合双曲线对称性可知, , 关于 轴对称,故直线 的斜率 = 0,即斜率为定值,所以 1(0, 2)是曲线 的“优点”;(2)① 2(8, 6)是曲线 的“优点”,原因如下:设直线 2 的方程为 + 6 = ( 8)( ≠ 0),令 1 = 8 6,则直线 2 的方程为 + 6 = ( 8)( ≠ 0),令 2 = 8 6,且 1 ≠ 2.则 = 16 , + 2 2 2 2 22 1 2 1 = 12, 2 + 1 = 128 + 72, 2 1 = 192 .第 7 页,共 11 页2( 6) 82 2 2由 = 1,可知 2(8, 6)在双曲线 = 1的下支上, 4 8 4 8设 ( 1, 1), ( 2, 2),2 2 2 8 = 0联立{ ,得(2 2 1) 2 + 4 1 + 2 2 = + 1 8 = 0,1√ 2 √ 2由题意 > 或 < .2 22 2 8由 1和8是方程的两不等根,则由韦达定理知8 1 =12 , 2 1 2 4解得 = 11 ; 4(2 2 1) 2 4同理,将 换成 , 1换成 2,可得 2 =24(2 2. 1)又 1 = 1 + 1, 2 = 2 + 2, 2 4 2 4 [ 2 + 1 ]+ ( 2+ 1)+ 2 1 4(2 2 1) 4(2 2 1) 2 1则直线 的斜率 = 2 1 = = 2 2 21 2 1 2 4 1 44(2 2 1) 4(2 2 1) ( 22 + 21 8) + 4(2 2 1)( 2 1)= 22 21 64 (2 2+1)+64 (2 2 1) 2= = . 192 3故 2(8, 6)是曲线 的“优点”.② 3(2,0)是曲线 的“优点”,原因如下:设直线 3 的方程为 = + 2( ≠ 0),直线 3 的方程为 = + 2( ≠ 0),1其中 = ( ≠ 0), ( 1, 1), ( 2, 2),作点 关于 轴的对称点 1,则 1( 2, 2).由对称性可知,点 1在直线 3 上,且在双曲线下支上. 2 2直线 3 与双曲线 = 1相交, , 即分别在上、下支的两个交点. 4 8 1第 8 页,共 11 页2 2 2 8 = 0联立{ ,得( 2 2) 2 + 4 + 12 = 0, = + 2√ 2 √ 2 √ 2 √ 2由题意 > 或 < ,即 < < 且 ≠ 0.2 2 2 2由上分析可知 1, 2是方程的两根, 4 12则由韦达定理知 1 + ( 2) = 2, ( ) = , 2 1 2 2 2 4 12即 1 2 = 2 , 2 1 2= ,且 = + 2, = + 2, 2 2 1 1 2 2 2 由直线 的方程为 11 = ( ), 2 11 1( 2 1) 令 = 0,得 = + = 1 2+ 2 11 1 2 1 2 ( 1 + 2) 2 + ( 2 + 2) 1 2 = = 1 2 + 2 1 2 1 212 2 ( 2)= 2 4 + 2 = 4, 2 2故直线 过定点( 4,0),所以 3(2,0)是曲线 的“优点”. 2 2(3)若 , 满足条件 = 0或 = 1,4 8则 ( , )是曲线 的“优点”,且①直线 的斜率为定值.当 = 0,即点 在 轴上时,直线 的斜率为定值0; 2 2 当 = 1,即点 在双曲线上时,直线 的斜率为定值 ;4 8 2 若 , 满足条件 ≠ 0, = 0,即点 在 轴上(且不为原点)时,8则 ( , )是曲线 的“优点”,且②直线 经过定点,定点为( , 0). 理由如下:若 = 0,即点 在 轴上,由对称性可知,直线 的斜率为定值0;第 9 页,共 11 页 2 2 2 2若 = 1,即点 在双曲线 : = 1上时,4 8 4 8设直线 : = ( )( ≠ 0),2 2 2 8 = 0联立{ 得,(2 2 1) 2 + 4 ( ) + 2( )2 8 = 0, = ( )√ 2 √ 2题意 > 或 < .2 24 ( ) 4 ( ) + = 2 ,则 = 2 , = ( ) + , 2 1 2 14 ( + )以 代 得, = 2 , = ( ) + , 2 14 ( ) 4 ( + ) [ + 4 ]∴ = ( + 2 )= = 2 2 1 2 2 1 4 ( + ) 4 ( )2 2 1 2 2 1 [8 2 4 (2 2 1)] = = ;8 2 若 , 满足条件 ≠ 0, = 0,即点 在 轴上时, ( , 0)( ≠ 0),设直线 的方程为 = + ( ≠ 0),直线 的方程为 = + ( ≠ 0),1其中 = , ( 1, 1), ( 2, 2), 作点 关于 轴的对称点 1,则 1( 2, 2).由对称性可知,点 1在直线 上,且在双曲线下支上. 2 2直线 与双曲线 = 1相交, , 1即分别在上、下支的两个交点. 4 82 2 2 8 = 0联立{ ,得( 2 2) 2 + 2 + 2 + 8 = 0, = + √ 2 √ 2 √ 2 √ 2题意 > 或 < ,即 < < 且 ≠ 0.2 2 2 2由上分析可知 1, 2是方程的两根, 2 2+8则由韦达定理知 1 + ( 2) = 2 , ( ) = , 2 1 2 2 2第 10 页,共 11 页 2 2+8即 1 2 = 2 , 1 2 = 2 ,且 1 = 1 + , 2 = 2 + , 2 2 由直线 的方程为 = 2 11 ( 1),2 1 ( ) + 令 = 0,得 = + 1 2 1 = 1 2 2 11 1 2 1 2 ( 1 + ) 2 + ( = 2+ ) 1 2 = 1 2 + 1 2 1 2 2+8 2 ( 2) 2 8= 2 + = . 2 28故直线 过定点( , 0). 第 11 页,共 11 页 展开更多...... 收起↑ 资源预览