2024-2025学年山东省菏泽市东明县第一中学高二下学期开学检测数学试卷(含答案)

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2024-2025学年山东省菏泽市东明县第一中学高二下学期开学检测数学试卷(含答案)

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2024-2025学年山东省东明县第一中学高二下学期开学检测数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设,分别是空间中的直线,的方向向量,,记甲:,,不共面,乙:与异面,则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
2.设数列是由正数组成的等比数列,公比,且,那么( )
A. B. C. D.
3.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,不重合,且,在以点为圆心的圆上,则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知函数在区间单调递增,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.设,若,则等于( )
A. B. C. D.
6.贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线,一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线三次函数的图象是可由,,,四点确定的贝塞尔曲线,其中,在的图象上,在点,处的切线分别过点,若,,,,则( )
A. B. C. D.
7.函数,的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.已知直线与圆相交于两点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的命题中,正确的有( )
A. 直线的方向向量,平面的法向量是,则;
B. 若非零向量,,满足,,则有;
C. 若,,是空间的一组基底,且,则,,,四点共面;
D. 若,,是空间的一组基底,则向量,,也是空间一组基底;
10.已知函数,则( )
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
11.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,,分别为的中点,点在直线上,且,下列说法中正确的有( )
A. 直线与所成角的大小为
B.
C. 与平面所成最大角的正切值为
D. 点到平面距离的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.正四面体的棱长为,点为平面内的动点,且满足,则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 .
13.已知圆:与圆:相交于、两点,则圆:上的动点到直线距离的最大值为 .
14.设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则实数的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数,求解集;
设曲线在点处的切线与直线垂直,求的值.
16.本小题分
已知直线过椭圆 的 右焦点,且交于两点.
求的离心率;
设点,求的面积.
17.本小题分
已知数列是等差数列,公差,为前项和,且.
求数列的通项公式;
记数列的前项和为,且,求.
18.本小题分
茶起源于中国,盛行于世界,是承载历史文化的中国名片.武夷山,素有茶叶种类王国之称,茶文化历史久远,茶产业生机勃勃.年月日下午,习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察.总书记强调,过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业,今后要成为乡村振兴的支柱产业.月日,人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的足迹,走访了福建武夷山.调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品,十分的畅销.据了解,该企业年固定成本为万元,每生产百件产品需增加投入万元.在年该企业年内生产的产品为百件,并能全部销售完.据统计,每百件产品的销售收入为万元,且满足.
写出该企业今年利润关于该产品年销售量百件的函数关系式;
今年产量为多少百件时,该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大?最大利润多少?
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数.
求的图象在处的切线方程;
求的单调区间和极值;
若,满足,求证:.
参考答案
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15.【详解】由题可得,
由可得或,
又因为,
故不等式的解集为;
由题可得,
依题意:,
所以.

16.解:由题意得,,
且在上,则,
解得,
故椭圆的标准方程为,
离心率 ;
因为直线经过,两点,
可得直线的方程为,
联立
解得或,
所以直线与椭圆的另一交点为,
则,
又点到直线的距离,
故的面积.

17.【详解】,
,,,,,
若,则,与已知矛盾;
若,则,,,即,,符合题意.

由知,,,



18.解:依题意得:
由得,,
则,
令,得或舍去
当时,,则单调递增,
当时,,则单调递减,
所以当时,有
答:当年产量为百件时,该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为万元.

19.【详解】,
,即在处的切线斜率为.
又,
函数的图象在处的切线方程为,
整理得.

当时,;当时,.
则的增区间是,减区间是,
所以在处取得极小值,无极大值.
且,由可知,异号.
不妨设,,则.
令,
则,
所以在上是增函数.
又,

又在上是增函数,
,即.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及单调性,极值关系的综合应用及利用导数证明不等式,属于中档题.

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