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2024-2025学年山东省东明县第一中学高二下学期开学检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，分别是空间中的直线，的方向向量，，记甲：，，不共面，乙：与异面，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
2.设数列是由正数组成的等比数列，公比，且，那么( )
A. B. C. D.
3.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，不重合，且，在以点为圆心的圆上，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知函数在区间单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.设，若，则等于( )
A. B. C. D.
6.贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线三次函数的图象是可由，，，四点确定的贝塞尔曲线，其中，在的图象上，在点，处的切线分别过点，若，，，，则( )
A. B. C. D.
7.函数，的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.已知直线与圆相交于两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 直线的方向向量，平面的法向量是，则；
B. 若非零向量，，满足，，则有；
C. 若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
D. 若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；
10.已知函数，则( )
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
11.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点在直线上，且，下列说法中正确的有( )
A. 直线与所成角的大小为
B.
C. 与平面所成最大角的正切值为
D. 点到平面距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正四面体的棱长为，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 ．
13.已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：上的动点到直线距离的最大值为 ．
14.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，求解集；
设曲线在点处的切线与直线垂直，求的值．
16.本小题分
已知直线过椭圆 的 右焦点，且交于两点．
求的离心率；
设点，求的面积．
17.本小题分
已知数列是等差数列，公差，为前项和，且．
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，且，求．
18.本小题分
茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．年月日下午，习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．总书记强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．月日，人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为万元，每生产百件产品需增加投入万元．在年该企业年内生产的产品为百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足．
写出该企业今年利润关于该产品年销售量百件的函数关系式；
今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数．
求的图象在处的切线方程；
求的单调区间和极值；
若，满足，求证：．
参考答案
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14.
15.【详解】由题可得，
由可得或，
又因为，
故不等式的解集为；
由题可得，
依题意：，
所以．

16.解：由题意得，，
且在上，则，
解得，
故椭圆的标准方程为，
离心率 ；
因为直线经过，两点，
可得直线的方程为，
联立
解得或，
所以直线与椭圆的另一交点为，
则，
又点到直线的距离，
故的面积．

17.【详解】，
，，，，，
若，则，与已知矛盾；
若，则，，，即，，符合题意．
．
由知，，，
，
．

18.解：依题意得：
由得，，
则，
令，得或舍去
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有
答：当年产量为百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为万元．

19.【详解】，
，即在处的切线斜率为．
又，
函数的图象在处的切线方程为，
整理得．
，
当时，；当时，．
则的增区间是，减区间是，
所以在处取得极小值，无极大值．
且，由可知，异号．
不妨设，，则．
令，
则，
所以在上是增函数．
又，
，
又在上是增函数，
，即．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及单调性，极值关系的综合应用及利用导数证明不等式，属于中档题．

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