内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高二(下)开学考试数学试卷(PDF版,含答案)

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内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高二(下)开学考试数学试卷(PDF版,含答案)

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内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学 2024-2025 学年高二(下)开学考试数
学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列{ }满足 3 + 4 = 4, 7 + 8 = 8,则 11 + 12 =( )
A. 6 B. 10 C. 12 D. 24
2.设直线 : 2 + 2 = 0的倾斜角为 ,则cos 的值为( )
√ 5 √ 5 2√ 5 2√ 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
3.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ,抛物线上一点 (1, )满足| | = 2,则抛物线方程为( )
1 1
A. 2 = B. 2 = C. 2 = 2 D. 2 = 4
4 2
4.设 ∈ ,则“直线 1: + 2 = 0与直线 2: (
2 2) + 2 = 0平行”是“ = ±1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知数列{ }满足 +1 = ( 1) + 1,且 2 = 1,则 6 =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
6.如图,在直三棱柱 1 1 1中, , 分别为棱 , 1 1的中点.设 = , 1 = , = ,则 =( )
1 1 1 1 1 1 1
A. + + B. + + C. + + D. +
2 2 2 2 2 2 2
2 2
7.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的中心是坐标原点 , 是椭圆 的焦点.若椭圆 上存在点 ,使△
是等边三角形,则椭圆 的离心率为( )
1 √ 3
A. B. 4 2√ 3 C. √ 3 1 D.
2 2
8.在平面直角坐标系 中,已知直线 + 1 = 0与圆( 1)2 + 2 = 4相交于 , 两点,则| |的
最小值为( )
A. 1 B. √ 3 C. 2 D. 2√ 3
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二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
2
9.已知双曲线 : 2 = 1的实轴长是虚轴长的3倍,则下列关于双曲线 的说法正确的是( )

2√ 2
A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为2√ 2 D. 离心率为
3
10.已知空间中三点 (0,1,1), (2,2,1), (2,1,0),则( )
A. | | = 2
√ 2 √ 2
B. 方向上的单位向量坐标是(0, , )
2 2
C. = (1, 2,2)是平面 的法向量
D. 在 上的投影向量的模为√ 2
11.已知圆 : 2 + 2 = 4,动直线 过点 (3,0),下列结论正确的是( )
A. 当 与圆 相切于点 时,| | = √ 5
B. 点 到圆 上点的距离的最大值为5
C. 点 到圆 上点的距离的最小值为2
√ 310
D. 若点 (0,1)在 上, 与圆 相交于点 , ,则| | =
10
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.已知抛物线 2 = 8 上一点 ( 0, 2),则点 到该抛物线的焦点 的距离为 .
13.设数列{ }的前 项和 =
2 + 3 + 1,则 3 = .
14.已知 ( 1,0)、 (1,0)、 (1,2√ 3),若 的周长为6,则| | + | |的最大值为 ,此时点 的坐
标为 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记 为等差数列{ }的前 项和,已知 1 = 7, 3 = 15.
(1)求{ }的通项公式;
(2)求 ,并求 的最小值.
16.(本小题12分)
已知直线 : + 6 = 0,圆 : ( 1)2 + 2 = 9.
1
(1)若 = ,求直线 截圆 所得的弦长;
2
(2)已知直线 过定点 .若过点 作圆 的切线,求点 的坐标及该切线方程.
17.(本小题12分)
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根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)半焦距为√ 6,过点( 5,2),且焦点在 轴上;
(2)两个焦点的坐标分别为 1(0, 5), 2(0,5),双曲线上一点 到 1, 2的距离之差的绝对值等于6; (3)与双
2 2
曲线 = 1有公共焦点,且过点(3√ 2, 2).
16 4
18.(本小题12分)
如图,在四棱锥 中, ⊥平面 ,底面 是直角梯形,其中 // , ⊥ , = 3,
1 1
= = = 2, 为棱 上的点,且 = .
2 4
(1)求证: ⊥平面 ;
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值.
19.(本小题12分)
2 2 √ 3
已知椭圆 的方程为 2 + 2 = 1( > > 0),其右顶点 (2,0),离心率 = . 2
(1)求椭圆 的方程;
(2)若直线 : = + ( ≠ 0)与椭圆 交于不同的两点 , ( , 不与左、右顶点重合),且 = 0.求
证:直线 过定点,并求出定点的坐标.
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】
2
13.【答案】8
8 3√ 3
14.【答案】8; ( , )
5 5
15.【答案】解:(1)设等差数列{ }的公差为 ,
由题意得 3 = 3 1 + 3 = 15.
由 1 = 7,得 = 2.
所以{ }的通项公式为 = 7 + ( 1) × 2 = 2 9.
(2 9 7)
(2)由(1)得 2 = = 8 = ( 4)
2 16.
2
所以当 = 4时, 取得最小值,最小值为 16.
1
16.【答案】解:(1)当 = 时,直线 : + 2 6 = 0,
2
圆 的圆心为 (1,0),半径为3,
|1 6|
则圆心 到直线 的距离为 = √ 5,
√ 4+1
则直线 截圆 所得的弦长为2√ 9 5 = 4;
(2)对于直线 ,令 = 6,则 = 0,所以 (6,0),
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由题意易得切线的斜率存在,
则可设直线 ( 为切点)的方程为 = ( 6),即 6 = 0,
| 6 |
所以 = 3,
√ 2 +1
3
解得 = ± ,
4
3
故所求切线方程为 = ± ( 6),即3 4 18 = 0或3 + 4 18 = 0.
4
17.【答案】解:(1)半焦距为√ 6,则 = √ 6,又焦点在 轴上,
2 2
所以设双曲线的方程为 2 = 1,(0 <
2 < 6),
6 2
∵双曲线经过点( 5,2),
25 4
∴ = 1,
2 6 2
解得 2 = 5,或 2 = 30(舍去),
2
∴双曲线的标准方程为 2 = 1;
5
(2) ∵双曲线的焦点在 轴上,
2 2
设双曲线的标准方程为 2 2 = 1,( > 0, > 0),
由双曲线的定义知2 = 6,又 = 5,
∴ = 3, 2 = 2 2 = 16,
2 2
∴双曲线的标准方程为 = 1;
9 16
2 2
(3)设双曲线的标准方程为 = 1,( 4 < < 16,且 ≠ 0),
16 4+
将点(3√ 2, 2)的坐标代入方程,解得 = 4或 = 14(舍去),
2 2
∴双曲线的标准方程为 = 1.
12 8
18.【答案】解:(1)证明:
因 ⊥ 平面 ,且 ⊥ ,故可以点 为坐标原点,
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, , 所在直线分别为 , , 轴,建立空间直角坐标系(如图所示).
则 (0,0,0), (2,4,0), (0,2,0), (2,1,0), (0,0,3) .
于是, = (0,0,3), = (2,4,0) ,
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1) ,
= 3 1 = 0则 { ,令 1 = 2 ,可得 = ( 2,1,0) ;
= 2 1 + 4 1 = 0
又 = (2, 1,0) ,显然, // ,故得 ⊥ 平面 ;
(2)由(1)建系,则 = ( 2, 2,0), = ( 2, 4,3) ,
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2) ,
= 2 2
则 { 2 2
= 0
,令 2 = 3 ,可得 = (3, 3, 2) .
= 2 2 4 2 + 3 2 = 0
设平面 与平面 所成夹角为 ,
9
因 cos , = = ,
| | | | √ 110
9 29 √ 3190
则 sin = √ 1 2 , = √ 1 ( )2 = √ = .
√ 110 110 110
√ 3190
即平面 与平面 所成夹角的正弦值为
110
√ 3
19.【答案】【详解】(1)右顶点是 (2,0),离心率为 ,
2
√ 3
所以 = 2, = ,
2
∴ = √ 3,则 = 1,
2
∴椭圆的标准方程为 + 2 = 1.
4
2
(2)直线 方程 = + 与椭圆方程 + 2 = 1联立,
4
得(4 2 + 1) 2 + 8 + 4 2 4 = 0,
设 ( 1, 1), ( 2, 2),
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8 4 2 4
1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ,
4 +1 4 +1
1 2 = ( 1 + )( + ) =
2
2 1 2 + ( 1 + 2) +
2,
= (8 )2 4(4 2 + 1)(4 2 4) > 0, ∈ ,
即4 2 2 + 1 > 0,
= 0,则( 1 2, 1)( 2 2, 2) = 0,
即( 1 2)( 2 2) + 1 2 = 0,
4 2 4 8 4 2 4 8
∴ 2 × ( ) + 4 + 2 × + × ( ) + 2 = 0
4 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1
整理得5 2 + 16 + 12 2 = 0,
6
∴ = 或 = 2 ,
5
均满足4 2 2 + 1 > 0
6
∴直线 : = ( )或 = ( 2), 5
6
∴直线过定点( , 0)或(2,0)(与题意矛盾,舍去)
5
6
综上知直线过定点( , 0).
5
第 7 页,共 7 页

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