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内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学 2024-2025 学年高二（下）开学考试数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列{ }满足 3 + 4 = 4， 7 + 8 = 8，则 11 + 12 =( )
A. 6 B. 10 C. 12 D. 24
2.设直线 : 2 + 2 = 0的倾斜角为 ，则cos 的值为( )
√ 5 √ 5 2√ 5 2√ 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
3.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，抛物线上一点 (1, )满足| | = 2，则抛物线方程为( )
1 1
A. 2 = B. 2 = C. 2 = 2 D. 2 = 4
4 2
4.设 ∈ ，则“直线 1: + 2 = 0与直线 2: (
2 2) + 2 = 0平行”是“ = ±1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知数列{ }满足 +1 = ( 1) + 1，且 2 = 1，则 6 =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
6.如图，在直三棱柱 1 1 1中， ， 分别为棱 ， 1 1的中点.设 = ， 1 = ， = ，则 =( )
1 1 1 1 1 1 1
A. + + B. + + C. + + D. +
2 2 2 2 2 2 2
2 2
7.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的中心是坐标原点 ， 是椭圆 的焦点.若椭圆 上存在点 ，使△
是等边三角形，则椭圆 的离心率为( )
1 √ 3
A. B. 4 2√ 3 C. √ 3 1 D.
2 2
8.在平面直角坐标系 中，已知直线 + 1 = 0与圆( 1)2 + 2 = 4相交于 , 两点，则| |的
最小值为( )
A. 1 B. √ 3 C. 2 D. 2√ 3
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2
9.已知双曲线 : 2 = 1的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线 的说法正确的是( )

2√ 2
A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为2√ 2 D. 离心率为
3
10.已知空间中三点 (0,1,1)， (2,2,1)， (2,1,0)，则( )
A. | | = 2
√ 2 √ 2
B. 方向上的单位向量坐标是(0, , )
2 2
C. = (1, 2,2)是平面 的法向量
D. 在 上的投影向量的模为√ 2
11.已知圆 : 2 + 2 = 4，动直线 过点 (3,0)，下列结论正确的是( )
A. 当 与圆 相切于点 时，| | = √ 5
B. 点 到圆 上点的距离的最大值为5
C. 点 到圆 上点的距离的最小值为2
√ 310
D. 若点 (0,1)在 上， 与圆 相交于点 , ，则| | =
10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知抛物线 2 = 8 上一点 ( 0, 2)，则点 到该抛物线的焦点 的距离为 ．
13.设数列{ }的前 项和 =
2 + 3 + 1，则 3 = ．
14.已知 ( 1,0)、 (1,0)、 (1,2√ 3)，若 的周长为6，则| | + | |的最大值为 ，此时点 的坐
标为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记 为等差数列{ }的前 项和，已知 1 = 7， 3 = 15．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求 ，并求 的最小值．
16.(本小题12分)
已知直线 : + 6 = 0，圆 : ( 1)2 + 2 = 9．
1
(1)若 = ，求直线 截圆 所得的弦长;
2
(2)已知直线 过定点 .若过点 作圆 的切线，求点 的坐标及该切线方程．
17.(本小题12分)
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根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)半焦距为√ 6，过点( 5,2)，且焦点在 轴上;
(2)两个焦点的坐标分别为 1(0, 5)， 2(0,5)，双曲线上一点 到 1， 2的距离之差的绝对值等于6; (3)与双
2 2
曲线 = 1有公共焦点，且过点(3√ 2, 2)．
16 4
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是直角梯形，其中 // ， ⊥ ， = 3，
1 1
= = = 2， 为棱 上的点，且 = ．
2 4
(1)求证： ⊥平面 ;
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
2 2 √ 3
已知椭圆 的方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，其右顶点 (2,0)，离心率 = ． 2
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 : = + ( ≠ 0)与椭圆 交于不同的两点 ， ( , 不与左、右顶点重合)，且 = 0.求
证：直线 过定点，并求出定点的坐标．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】
2
13.【答案】8
8 3√ 3
14.【答案】8； ( , )
5 5
15.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
由题意得 3 = 3 1 + 3 = 15．
由 1 = 7，得 = 2．
所以{ }的通项公式为 = 7 + ( 1) × 2 = 2 9．
(2 9 7)
(2)由(1)得 2 = = 8 = ( 4)
2 16．
2
所以当 = 4时， 取得最小值，最小值为 16．
1
16.【答案】解：(1)当 = 时，直线 : + 2 6 = 0，
2
圆 的圆心为 (1,0)，半径为3，
|1 6|
则圆心 到直线 的距离为 = √ 5，
√ 4+1
则直线 截圆 所得的弦长为2√ 9 5 = 4；
(2)对于直线 ，令 = 6，则 = 0，所以 (6,0)，
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由题意易得切线的斜率存在，
则可设直线 ( 为切点)的方程为 = ( 6)，即 6 = 0，
| 6 |
所以 = 3，
√ 2 +1
3
解得 = ± ，
4
3
故所求切线方程为 = ± ( 6)，即3 4 18 = 0或3 + 4 18 = 0．
4
17.【答案】解：(1)半焦距为√ 6，则 = √ 6，又焦点在 轴上，
2 2
所以设双曲线的方程为 2 = 1，(0 <
2 < 6)，
6 2
∵双曲线经过点( 5,2)，
25 4
∴ = 1，
2 6 2
解得 2 = 5，或 2 = 30(舍去)，
2
∴双曲线的标准方程为 2 = 1；
5
(2) ∵双曲线的焦点在 轴上，
2 2
设双曲线的标准方程为 2 2 = 1，( > 0, > 0)，
由双曲线的定义知2 = 6，又 = 5，
∴ = 3， 2 = 2 2 = 16，
2 2
∴双曲线的标准方程为 = 1；
9 16
2 2
(3)设双曲线的标准方程为 = 1，( 4 < < 16，且 ≠ 0)，
16 4+
将点(3√ 2, 2)的坐标代入方程，解得 = 4或 = 14(舍去)，
2 2
∴双曲线的标准方程为 = 1．
12 8
18.【答案】解：(1)证明：
因 ⊥ 平面 ，且 ⊥ ，故可以点 为坐标原点，
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, , 所在直线分别为 , , 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．
则 (0,0,0), (2,4,0), (0,2,0), (2,1,0), (0,0,3) ．
于是， = (0,0,3), = (2,4,0) ，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1) ，
= 3 1 = 0则 { ，令 1 = 2 ，可得 = ( 2,1,0) ；
= 2 1 + 4 1 = 0
又 = (2, 1,0) ，显然， // ，故得 ⊥ 平面 ；
(2)由(1)建系，则 = ( 2, 2,0), = ( 2, 4,3) ，
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2) ，
= 2 2
则 { 2 2
= 0
，令 2 = 3 ，可得 = (3, 3, 2) ．
= 2 2 4 2 + 3 2 = 0
设平面 与平面 所成夹角为 ，
9
因 cos , = = ，
| | | | √ 110
9 29 √ 3190
则 sin = √ 1 2 , = √ 1 ( )2 = √ = ．
√ 110 110 110
√ 3190
即平面 与平面 所成夹角的正弦值为
110
√ 3
19.【答案】【详解】(1)右顶点是 (2,0)，离心率为 ，
2
√ 3
所以 = 2， = ，
2
∴ = √ 3，则 = 1，
2
∴椭圆的标准方程为 + 2 = 1．
4
2
(2)直线 方程 = + 与椭圆方程 + 2 = 1联立，
4
得(4 2 + 1) 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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8 4 2 4
1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
4 +1 4 +1
1 2 = ( 1 + )( + ) =
2
2 1 2 + ( 1 + 2) +
2，
= (8 )2 4(4 2 + 1)(4 2 4) > 0， ∈ ，
即4 2 2 + 1 > 0，
= 0，则( 1 2, 1)( 2 2, 2) = 0，
即( 1 2)( 2 2) + 1 2 = 0，
4 2 4 8 4 2 4 8
∴ 2 × ( ) + 4 + 2 × + × ( ) + 2 = 0
4 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1
整理得5 2 + 16 + 12 2 = 0，
6
∴ = 或 = 2 ，
5
均满足4 2 2 + 1 > 0
6
∴直线 : = ( )或 = ( 2)， 5
6
∴直线过定点( , 0)或(2,0)(与题意矛盾，舍去)
5
6
综上知直线过定点( , 0)．
5
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