资源简介 内蒙古科尔沁右翼前旗第二中学 2024-2025 学年高二(下)开学考试数学试卷一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.等差数列{ }满足 3 + 4 = 4, 7 + 8 = 8,则 11 + 12 =( )A. 6 B. 10 C. 12 D. 242.设直线 : 2 + 2 = 0的倾斜角为 ,则cos 的值为( )√ 5 √ 5 2√ 5 2√ 5A. B. C. D. 5 5 5 53.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ,抛物线上一点 (1, )满足| | = 2,则抛物线方程为( )1 1A. 2 = B. 2 = C. 2 = 2 D. 2 = 4 4 24.设 ∈ ,则“直线 1: + 2 = 0与直线 2: ( 2 2) + 2 = 0平行”是“ = ±1”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.已知数列{ }满足 +1 = ( 1) + 1,且 2 = 1,则 6 =( )A. 1 B. 0 C. 1 D. 26.如图,在直三棱柱 1 1 1中, , 分别为棱 , 1 1的中点.设 = , 1 = , = ,则 =( )1 1 1 1 1 1 1A. + + B. + + C. + + D. + 2 2 2 2 2 2 2 2 27.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的中心是坐标原点 , 是椭圆 的焦点.若椭圆 上存在点 ,使△ 是等边三角形,则椭圆 的离心率为( )1 √ 3A. B. 4 2√ 3 C. √ 3 1 D.2 28.在平面直角坐标系 中,已知直线 + 1 = 0与圆( 1)2 + 2 = 4相交于 , 两点,则| |的最小值为( )A. 1 B. √ 3 C. 2 D. 2√ 3第 1 页,共 7 页二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 29.已知双曲线 : 2 = 1的实轴长是虚轴长的3倍,则下列关于双曲线 的说法正确的是( ) 2√ 2A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为2√ 2 D. 离心率为310.已知空间中三点 (0,1,1), (2,2,1), (2,1,0),则( )A. | | = 2√ 2 √ 2B. 方向上的单位向量坐标是(0, , )2 2C. = (1, 2,2)是平面 的法向量D. 在 上的投影向量的模为√ 211.已知圆 : 2 + 2 = 4,动直线 过点 (3,0),下列结论正确的是( )A. 当 与圆 相切于点 时,| | = √ 5B. 点 到圆 上点的距离的最大值为5C. 点 到圆 上点的距离的最小值为2√ 310D. 若点 (0,1)在 上, 与圆 相交于点 , ,则| | =10三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。12.已知抛物线 2 = 8 上一点 ( 0, 2),则点 到该抛物线的焦点 的距离为 .13.设数列{ }的前 项和 = 2 + 3 + 1,则 3 = .14.已知 ( 1,0)、 (1,0)、 (1,2√ 3),若 的周长为6,则| | + | |的最大值为 ,此时点 的坐标为 .四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记 为等差数列{ }的前 项和,已知 1 = 7, 3 = 15.(1)求{ }的通项公式;(2)求 ,并求 的最小值.16.(本小题12分)已知直线 : + 6 = 0,圆 : ( 1)2 + 2 = 9.1(1)若 = ,求直线 截圆 所得的弦长;2(2)已知直线 过定点 .若过点 作圆 的切线,求点 的坐标及该切线方程.17.(本小题12分)第 2 页,共 7 页根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)半焦距为√ 6,过点( 5,2),且焦点在 轴上;(2)两个焦点的坐标分别为 1(0, 5), 2(0,5),双曲线上一点 到 1, 2的距离之差的绝对值等于6; (3)与双 2 2曲线 = 1有公共焦点,且过点(3√ 2, 2).16 418.(本小题12分)如图,在四棱锥 中, ⊥平面 ,底面 是直角梯形,其中 // , ⊥ , = 3,1 1 = = = 2, 为棱 上的点,且 = .2 4(1)求证: ⊥平面 ;(2)求平面 与平面 所成角的正弦值.19.(本小题12分) 2 2 √ 3已知椭圆 的方程为 2 + 2 = 1( > > 0),其右顶点 (2,0),离心率 = . 2(1)求椭圆 的方程;(2)若直线 : = + ( ≠ 0)与椭圆 交于不同的两点 , ( , 不与左、右顶点重合),且 = 0.求证:直线 过定点,并求出定点的坐标.第 3 页,共 7 页1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】 512.【答案】213.【答案】88 3√ 314.【答案】8; ( , )5 515.【答案】解:(1)设等差数列{ }的公差为 ,由题意得 3 = 3 1 + 3 = 15.由 1 = 7,得 = 2.所以{ }的通项公式为 = 7 + ( 1) × 2 = 2 9. (2 9 7)(2)由(1)得 2 = = 8 = ( 4)2 16.2所以当 = 4时, 取得最小值,最小值为 16.116.【答案】解:(1)当 = 时,直线 : + 2 6 = 0,2圆 的圆心为 (1,0),半径为3,|1 6|则圆心 到直线 的距离为 = √ 5,√ 4+1则直线 截圆 所得的弦长为2√ 9 5 = 4;(2)对于直线 ,令 = 6,则 = 0,所以 (6,0),第 4 页,共 7 页由题意易得切线的斜率存在,则可设直线 ( 为切点)的方程为 = ( 6),即 6 = 0,| 6 |所以 = 3,√ 2 +13解得 = ± ,43故所求切线方程为 = ± ( 6),即3 4 18 = 0或3 + 4 18 = 0.417.【答案】解:(1)半焦距为√ 6,则 = √ 6,又焦点在 轴上, 2 2所以设双曲线的方程为 2 = 1,(0 < 2 < 6), 6 2∵双曲线经过点( 5,2),25 4∴ = 1, 2 6 2解得 2 = 5,或 2 = 30(舍去), 2∴双曲线的标准方程为 2 = 1;5(2) ∵双曲线的焦点在 轴上, 2 2设双曲线的标准方程为 2 2 = 1,( > 0, > 0), 由双曲线的定义知2 = 6,又 = 5,∴ = 3, 2 = 2 2 = 16, 2 2∴双曲线的标准方程为 = 1;9 16 2 2(3)设双曲线的标准方程为 = 1,( 4 < < 16,且 ≠ 0),16 4+ 将点(3√ 2, 2)的坐标代入方程,解得 = 4或 = 14(舍去), 2 2∴双曲线的标准方程为 = 1.12 818.【答案】解:(1)证明:因 ⊥ 平面 ,且 ⊥ ,故可以点 为坐标原点,第 5 页,共 7 页 , , 所在直线分别为 , , 轴,建立空间直角坐标系(如图所示).则 (0,0,0), (2,4,0), (0,2,0), (2,1,0), (0,0,3) .于是, = (0,0,3), = (2,4,0) ,设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1) , = 3 1 = 0则 { ,令 1 = 2 ,可得 = ( 2,1,0) ; = 2 1 + 4 1 = 0又 = (2, 1,0) ,显然, // ,故得 ⊥ 平面 ;(2)由(1)建系,则 = ( 2, 2,0), = ( 2, 4,3) ,设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2) , = 2 2 则 { 2 2= 0,令 2 = 3 ,可得 = (3, 3, 2) . = 2 2 4 2 + 3 2 = 0设平面 与平面 所成夹角为 , 9因 cos , = = ,| | | | √ 1109 29 √ 3190则 sin = √ 1 2 , = √ 1 ( )2 = √ = .√ 110 110 110√ 3190即平面 与平面 所成夹角的正弦值为110√ 319.【答案】【详解】(1)右顶点是 (2,0),离心率为 ,2 √ 3所以 = 2, = , 2∴ = √ 3,则 = 1, 2∴椭圆的标准方程为 + 2 = 1.4 2(2)直线 方程 = + 与椭圆方程 + 2 = 1联立,4得(4 2 + 1) 2 + 8 + 4 2 4 = 0,设 ( 1, 1), ( 2, 2),第 6 页,共 7 页8 4 2 4 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ,4 +1 4 +1 1 2 = ( 1 + )( + ) = 22 1 2 + ( 1 + 2) + 2, = (8 )2 4(4 2 + 1)(4 2 4) > 0, ∈ ,即4 2 2 + 1 > 0, = 0,则( 1 2, 1)( 2 2, 2) = 0,即( 1 2)( 2 2) + 1 2 = 0,4 2 4 8 4 2 4 8 ∴ 2 × ( ) + 4 + 2 × + × ( ) + 2 = 04 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1整理得5 2 + 16 + 12 2 = 0,6∴ = 或 = 2 ,5均满足4 2 2 + 1 > 06∴直线 : = ( )或 = ( 2), 56∴直线过定点( , 0)或(2,0)(与题意矛盾,舍去)56综上知直线过定点( , 0).5第 7 页,共 7 页 展开更多...... 收起↑ 资源预览