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2024-2025学年湖南省示范性高中高二下学期2月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知机器中有个娃娃，机器中有个娃娃，且这个娃娃互不相同，某人从，机器中分别抓取个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.若数列满足，则称为“对奇数列”已知为“对奇数列”，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.从名男生和名女生中任选人参加一项创新大赛，则选出的人中既有男生又有女生的概率为( )
A. B. C. D.
6.将个相同的商品放在，，，个空货架上，则有且仅有个货架上有商品的放法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.设，为椭圆的两个焦点，若在上存在点，满足，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论错误的是( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 从书架上任取数学书、语文书各本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题
B. 分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情
C. 分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题
D. 求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题
10.已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是( )
A. B. C. D.
11.如图，阴影部分含边界所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则( )
A. 开口向上的抛物线的方程为
B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为
C. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
D. 四叶图的面积小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知反比例函数的图象是双曲线，则这个双曲线的离心率为 ．
14.已知，若在函数，的图象上存在个点，，，构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，．
求的通项公式；
设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前项和．
16.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，为的上顶点，的面积为．
求的方程；
过点作斜率为的直线交于，两点，设点、关于轴的对称点分别为、，当四边形的面积为时，求直线的方程．
18.本小题分
已知函数，，．
讨论的单调性；
若当时，与的单调性相同，求实数的取值范围；
若当时，有最小值，证明：．
19.本小题分
已知函数的所有正零点从小到大排列组成数列．
求的通项公式．
从的前项中随机选出不同的两项相乘，所得结果为偶数的概率记为，问：是否存在正整数，使得当时，恒有？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
若，且数列的前项和为，求证：．
参考答案
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13.
14.
15.【详解】因为，，
所以，解得负值舍去，
所以．
设的第项与的第项相等，
则，即，．
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则．
故．

16.【详解】如图，连接，交于点，连接．
因为四边形为矩形，所以，
因为，分别为和的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，
所以，，
因为四边形为矩形，所以，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，令，则，得．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17.【详解】设，，由，可知．
因为的面积为，所以，
由得，解得或，即或，
所以或，结合，可得，所以的方程为．
由题意得直线的方程为，设，．
由，关于轴的对称点分别为，，构成四边形，
可知点，位于轴同侧，
则四边形的面积．
将代入，化简得，
则，，
且，解得，
所以，
整理得，所以，解得，
所以直线的方程为或．

18.【详解】由题可知的定义域，，
令，可得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
由可知在上单调递增，
即在时恒成立，
即在时恒成立．
令，，则，
可得当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，
又时，，所以
所以，
即实数的取值范围是．
由题可知，
令，，则，
因为，，所以，
所以在上单调递增．
又，，
所以存在唯一的，使得，即，即．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，即，
所以．

19.【详解】因为，
所以令，可得，，解得，，
则的所有正零点可表示为，，
故的通项公式为．
从的前项中随机选出不同的两项相乘，共有种方法．
设事件“不同的两项相乘，所得乘积为偶数”，则“不同的两项相乘，所得乘积为奇数”，可知．
当为偶数时，前项中有个奇数，个偶数，要使所得乘积为奇数，则两项均为奇数，
易得当时，，
当时，即从个奇数中任取个不同的奇数，共有种方法，
则，所以．
由，可得，解得，
由为偶数，可得．
当为奇数时，前项中有个奇数，个偶数，要使所得乘积为奇数，
则两项均为奇数，即从个奇数中任取个不同的奇数，共有种方法，
则，所以．
由，可得，
由，可知该不等式对任意大于或等于的奇数恒成立．
综上，存在正整数，当时，恒有．
故的最小值为．
由可知，
则
．
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减．
所以，
所以对任意的，，即恒成立．
令，则，即，
所以有．
以上各式相加得，
故，得证．

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