资源简介 2024-2025学年湖南省示范性高中高二下学期2月联考数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若,则( )A. B. C. D.2.已知机器中有个娃娃,机器中有个娃娃,且这个娃娃互不相同,某人从,机器中分别抓取个娃娃,则此人抓取娃娃的不同情况共有( )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种3.若数列满足,则称为“对奇数列”已知为“对奇数列”,且,则( )A. B. C. D.4.已知点的坐标为,动点满足,为坐标原点,则的最大值为( )A. B. C. D.5.从名男生和名女生中任选人参加一项创新大赛,则选出的人中既有男生又有女生的概率为( )A. B. C. D.6.将个相同的商品放在,,,个空货架上,则有且仅有个货架上有商品的放法有( )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种7.设,为椭圆的两个焦点,若在上存在点,满足,则的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.8.已知函数与的定义域均为,且与均为奇函数,,则下列结论错误的是( )A. B. 的图象关于直线对称C. D.二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是( )A. 从书架上任取数学书、语文书各本,求共有多少种取法的问题是分步计数问题B. 分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情C. 分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题D. 求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题10.已知点,到直线的距离相等,且过点,则的方程可能是( )A. B. C. D.11.如图,阴影部分含边界所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转,,后所得的三条曲线及围成的,若,则( )A. 开口向上的抛物线的方程为B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为C. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为D. 四叶图的面积小于三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.若,则 .13.已知反比例函数的图象是双曲线,则这个双曲线的离心率为 .14.已知,若在函数,的图象上存在个点,,,构成一个以原点为对称中心的平行四边形,则实数的取值范围是 .四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.本小题分已知数列的通项公式为,是公比为的等比数列,且,.求的通项公式;设与的公共项由小到大排列构成新数列,求的前项和.16.本小题分在如图所示的几何体中,四边形为矩形,平面,,,,为的中点.证明:平面;求直线与平面所成角的正弦值.17.本小题分已知椭圆的左、右焦点分别为,,且,为的上顶点,的面积为.求的方程;过点作斜率为的直线交于,两点,设点、关于轴的对称点分别为、,当四边形的面积为时,求直线的方程.18.本小题分已知函数,,.讨论的单调性;若当时,与的单调性相同,求实数的取值范围;若当时,有最小值,证明:.19.本小题分已知函数的所有正零点从小到大排列组成数列.求的通项公式.从的前项中随机选出不同的两项相乘,所得结果为偶数的概率记为,问:是否存在正整数,使得当时,恒有?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.若,且数列的前项和为,求证:.参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.【详解】因为,,所以,解得负值舍去,所以.设的第项与的第项相等,则,即,.当时,,当时,,则,当时,,当时,,则,当时,,当时,,则,当时,,当时,,则,当时,,当时,,则.故. 16.【详解】如图,连接,交于点,连接.因为四边形为矩形,所以,因为,分别为和的中点,所以,又平面,平面,所以平面.因为平面,平面,所以,,因为四边形为矩形,所以,以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,.设平面的法向量为,则,令,则,得.设直线与平面所成的角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为. 17.【详解】设,,由,可知.因为的面积为,所以,由得,解得或,即或,所以或,结合,可得,所以的方程为.由题意得直线的方程为,设,.由,关于轴的对称点分别为,,构成四边形,可知点,位于轴同侧,则四边形的面积.将代入,化简得,则,,且,解得,所以,整理得,所以,解得,所以直线的方程为或. 18.【详解】由题可知的定义域,,令,可得,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.由可知在上单调递增,即在时恒成立,即在时恒成立.令,,则,可得当时,,当时,,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,且,又时,,所以所以,即实数的取值范围是.由题可知,令,,则,因为,,所以,所以在上单调递增.又,,所以存在唯一的,使得,即,即.当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以.令,则在上恒成立,所以在上单调递减,所以,即,即,所以. 19.【详解】因为,所以令,可得,,解得,,则的所有正零点可表示为,,故的通项公式为.从的前项中随机选出不同的两项相乘,共有种方法.设事件“不同的两项相乘,所得乘积为偶数”,则“不同的两项相乘,所得乘积为奇数”,可知.当为偶数时,前项中有个奇数,个偶数,要使所得乘积为奇数,则两项均为奇数,易得当时,,当时,即从个奇数中任取个不同的奇数,共有种方法,则,所以.由,可得,解得,由为偶数,可得.当为奇数时,前项中有个奇数,个偶数,要使所得乘积为奇数,则两项均为奇数,即从个奇数中任取个不同的奇数,共有种方法,则,所以.由,可得,由,可知该不等式对任意大于或等于的奇数恒成立.综上,存在正整数,当时,恒有.故的最小值为.由可知,则.令,则在上恒成立,所以在上单调递减.所以,所以对任意的,,即恒成立.令,则,即,所以有.以上各式相加得,故,得证. 第1页,共1页 展开更多...... 收起↑ 资源预览