2024-2025学年湖南省示范性高中高二下学期2月联考数学试卷(含答案)

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2024-2025学年湖南省示范性高中高二下学期2月联考数学试卷(含答案)

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2024-2025学年湖南省示范性高中高二下学期2月联考数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若,则( )
A. B. C. D.
2.已知机器中有个娃娃,机器中有个娃娃,且这个娃娃互不相同,某人从,机器中分别抓取个娃娃,则此人抓取娃娃的不同情况共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.若数列满足,则称为“对奇数列”已知为“对奇数列”,且,则( )
A. B. C. D.
4.已知点的坐标为,动点满足,为坐标原点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.从名男生和名女生中任选人参加一项创新大赛,则选出的人中既有男生又有女生的概率为( )
A. B. C. D.
6.将个相同的商品放在,,,个空货架上,则有且仅有个货架上有商品的放法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.设,为椭圆的两个焦点,若在上存在点,满足,则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数与的定义域均为,且与均为奇函数,,则下列结论错误的是( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 从书架上任取数学书、语文书各本,求共有多少种取法的问题是分步计数问题
B. 分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情
C. 分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题
D. 求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题
10.已知点,到直线的距离相等,且过点,则的方程可能是( )
A. B. C. D.
11.如图,阴影部分含边界所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转,,后所得的三条曲线及围成的,若,则( )
A. 开口向上的抛物线的方程为
B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为
C. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
D. 四叶图的面积小于
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若,则 .
13.已知反比例函数的图象是双曲线,则这个双曲线的离心率为 .
14.已知,若在函数,的图象上存在个点,,,构成一个以原点为对称中心的平行四边形,则实数的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的通项公式为,是公比为的等比数列,且,.
求的通项公式;
设与的公共项由小到大排列构成新数列,求的前项和.
16.本小题分
在如图所示的几何体中,四边形为矩形,平面,,,,为的中点.
证明:平面;
求直线与平面所成角的正弦值.
17.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为,,且,为的上顶点,的面积为.
求的方程;
过点作斜率为的直线交于,两点,设点、关于轴的对称点分别为、,当四边形的面积为时,求直线的方程.
18.本小题分
已知函数,,.
讨论的单调性;
若当时,与的单调性相同,求实数的取值范围;
若当时,有最小值,证明:.
19.本小题分
已知函数的所有正零点从小到大排列组成数列.
求的通项公式.
从的前项中随机选出不同的两项相乘,所得结果为偶数的概率记为,问:是否存在正整数,使得当时,恒有?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.
若,且数列的前项和为,求证:.
参考答案
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15.【详解】因为,,
所以,解得负值舍去,
所以.
设的第项与的第项相等,
则,即,.
当时,,当时,,则,
当时,,当时,,则,
当时,,当时,,则,
当时,,当时,,则,
当时,,当时,,则.
故.

16.【详解】如图,连接,交于点,连接.
因为四边形为矩形,所以,
因为,分别为和的中点,所以,
又平面,平面,
所以平面.
因为平面,平面,
所以,,
因为四边形为矩形,所以,
以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
,,.
设平面的法向量为,
则,令,则,得.
设直线与平面所成的角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.

17.【详解】设,,由,可知.
因为的面积为,所以,
由得,解得或,即或,
所以或,结合,可得,所以的方程为.
由题意得直线的方程为,设,.
由,关于轴的对称点分别为,,构成四边形,
可知点,位于轴同侧,
则四边形的面积.
将代入,化简得,
则,,
且,解得,
所以,
整理得,所以,解得,
所以直线的方程为或.

18.【详解】由题可知的定义域,,
令,可得,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
由可知在上单调递增,
即在时恒成立,
即在时恒成立.
令,,则,
可得当时,,当时,,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,且,
又时,,所以
所以,
即实数的取值范围是.
由题可知,
令,,则,
因为,,所以,
所以在上单调递增.
又,,
所以存在唯一的,使得,即,即.
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以.
令,则在上恒成立,
所以在上单调递减,
所以,即,即,
所以.

19.【详解】因为,
所以令,可得,,解得,,
则的所有正零点可表示为,,
故的通项公式为.
从的前项中随机选出不同的两项相乘,共有种方法.
设事件“不同的两项相乘,所得乘积为偶数”,则“不同的两项相乘,所得乘积为奇数”,可知.
当为偶数时,前项中有个奇数,个偶数,要使所得乘积为奇数,则两项均为奇数,
易得当时,,
当时,即从个奇数中任取个不同的奇数,共有种方法,
则,所以.
由,可得,解得,
由为偶数,可得.
当为奇数时,前项中有个奇数,个偶数,要使所得乘积为奇数,
则两项均为奇数,即从个奇数中任取个不同的奇数,共有种方法,
则,所以.
由,可得,
由,可知该不等式对任意大于或等于的奇数恒成立.
综上,存在正整数,当时,恒有.
故的最小值为.
由可知,


令,则在上恒成立,
所以在上单调递减.
所以,
所以对任意的,,即恒成立.
令,则,即,
所以有.
以上各式相加得,
故,得证.

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