资源简介 江苏省句容市 2024-2025 学年高二(上)期末数学试卷一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。11.抛物线 = 2的准线方程为( )21 1 1 1A. = B. = C. = D. = 8 8 2 22.函数 ( ) = 2 在区间[1,3]上的平均变化率为( )A. 6 B. 3 C. 2 D. 13.在等差数列{ }中,若 8 = 6, 11 = 0,则 1的值为( )A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 2 24.双曲线 = 1的焦点到渐近线的距离为( )4 3A. 2√ 3 B. 2 C. √ 3 D. 15.已知 1: + (1 + ) + 2 = 0, 2: 2 + 4 + 16 = 0,若 1// 2,则 的值为( )2A. B. 2 C. 1 D. 2或136.已知直线 = ( + 2)与曲线 = √ 1 2有公共点,则实数 的取值范围为( )√ 3 √ 3 √ 3A. [ √ 3, √ 3] B. [ , ] C. [0, √ 3] D. [0, ]3 3 3 2 27.设椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左,右焦点分别为 1, ,点 在 上,若 2 1 2 = 0,∠ 1 2 = 30 , 则 的离心率为( )√ 3 1 1A. √ 3 1 B. C. D.3 2 38.某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上,空盘时盘芯直径为40mm,满盘时直径为120mm,已知卫生纸的厚度为0.1mm,则满盘时卫生纸的总长度大约( )( ≈ 3.14,精确到1m)A. 60m B. 80m C. 100m D. 120m二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.下列函数的求导运算正确的是( )1 1A. (ln2024)′ = B. (tan )′ =2024 2 C. ( 3 + 1)′ = 3 2 2 D. ( 2 )′ = ( + 1) 2 10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点 , 的距离之比为定值 ( > 0且 ≠ 1)的点的轨迹是一个圆,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿第 1 页,共 9 页氏圆.已知在平面直角坐标系 中, ( 1,0), (2,0),点 满足| | = 2| |,设点 的轨迹为曲线 ,则下列结论正确的是( )A. 曲线 与圆 2 + 2 2 8 + 8 = 0有且仅有三条公切线B. 曲线 关于直线 = 对称的曲线方程为 2 + ( 2)2 = 4C. 若点 ( , )在曲线 上,则 + √ 3 的取值范围是[ 6,2]D. 在 轴上存在异于 , 的两点 , ,使得| | = 2| | 211.已知双曲线 : 2 = 1的左、右焦点分别为 1, 2,左、右顶点分别为 , ,过 2的直线 (斜率存在)与3双曲线的右支交于 , 两点, 中点为 ,三角形 1 2, 1 2的内心分别为 1, 2,则下列结论正确的是( )A. = 3 B. 1 2 = 3C. ∠ 2 = 2∠ 2 D. 1, , 2共线三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。12.已知等比数列{ }的前 项和为 ,且 2 = 2, 4 = 6,则 6 = . 213.设 是椭圆 : + 2 = 1的上顶点,点 在 上,则| |的最大值为 .514.抛物线 : 2 = 2 的焦点为 ,点 (2,0),过焦点 的直线交抛物线 于 , 两点,直线 , 与 的另 一个交点分别为 , .当直线 斜率不存在时,| | = ;当直线 斜率存在时, = . 四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知圆心为 的圆经过点 (2,0), (0, 4),且圆心 在直线 + = 0上.(1)求圆 的方程;(2)已知直线 过点(8,0)且直线 截圆 所得的弦长为2,求直线 的方程.16.(本小题12分)已知函数 ( ) = (2 ln ), ( ) = 2,且曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线与直线 = + 1垂直.(1)求 ;(2)讨论函数 ( ) = ( ) + ( )的单调性;(3)若函数 ( ) = ( ) ( )在[1,4]上单调递减,求 的取值范围.17.(本小题12分)已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ,位于第一象限的点 (1, 0)在抛物线 上,且| | = 2.直线 过焦点 且与抛物线 交于 , 两点.(1)若 的倾斜角为45 ,求弦长| |的值;第 2 页,共 9 页(2)若过 且与 垂直的直线交 于 , 两点,求四边形 的面积的最小值,18.(本小题12分)已知数列{ }的前 项和为 , 1 = 2,2 = +1 2 2.(1)证明数列{ + 1}为等比数列并求数列{ }的通项公式;(2)若 =______,且 1 + 2 + 3 + + < 2025,求满足条件的最大整数 .(2 1)( +1)请在① ;② 这两个条件中任意选择一个填入上面横线处,并完成解答. ( +1)19.(本小题12分) 2 已知动点 到定点 ( , 0)的距离与它到定直线 = 的距离之比为常数 .其中 > 0, > 0,且 ≠ ,记点 的轨迹为曲线 .(1)求 的方程,并说明轨迹的形状;(2)当 = 1, = √ 3时,记 的左、右顶点分别为 1, 2,过点( 2,0)的直线与 的左支交于 , 两点,直线 1与 2交于点 ,求证:点 在定直线上;(3)当 = 2, = 1时,设 ′( 1,0),若 上两动点 , 均在 轴上方, ′ // ,且 ′ 与 相交于点 ,求证: ′ 的周长为定值.第 3 页,共 9 页1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】 12.【答案】14513.【答案】214.【答案】2;415.【答案】【详解】(1)由题意圆心在弦 的中垂线上, 4 0又 (2,0), (0, 4)中点 (1, 2), = = 2, 0 21 1 1 3则弦 的中垂线斜率 = ,故中垂线方程: + 2 = ( 1),即 = ,2 2 2 2联立 + = 0可得 = 3, = 3,即 (3, 3),故圆 的半径| | = √ (3 2)2 + ( 3 0)2 = √ 10.故圆 的方程:( 3)2 + ( + 3)2 = 10(2)当直线 斜率不存在时,直线 与圆 不相交;当直线 斜率存在时,设 方程 = ( 8),因为直线 截圆 所得的弦长为2,故圆心 到 的距离 = √ 10 1 = 3.|3 +3 8 |则 8 = 0到 (3, 3)的距离 = 3,√ 2 1+ 15则(5 3)2 = 9(1 + 2),即25 2 30 + 9 = 9 + 9 2,解得 = 或 = 0.815 15故 方程 = ( 8),即 = 15或 = 0.8 8第 4 页,共 9 页16.【答案】【详解】(1) ′( ) = 2 ,故 ′(1) = 2,又 = + 1斜率为1,故 2 = 1,解得 = 1.(2)因为 = 1,故 ( ) = 2 + (2 + 1) ln ( > 0), (2 1)( )则 ′( ) = 2 + (2 + 1) = , 当 ≤ 0时, > 0, > 0,1故在(0, )上, ′( ) > 0, ( )单调递增;21在( , +∞)上, ′( ) < 0, ( )单调递减;21 1当0 < < 时,令 ′( ) = 0有 1 = , 2 2 2 = ,且 2 < 1,故在(0, )上, ′( ) < 0, ( )单调递减;1在( , )上, ′( ) > 0, ( )单调递增;21在( , +∞)上, ′( ) < 0, ( )单调递减.21当 = 时, ′( ) ≤ 0, ( )在(0,+∞)单调递减;21 1当 > 时,在(0, )上, ′( ) < 0, ( )单调递减;2 21在( , )上, ′( ) > 0, ( )单调递增;2在( ,+∞)上, ′( ) < 0, ( )单调递减.(3) ( ) = (2 ln ) + 2 = 2 + (2 1) ln ,2 2+(2 1) 由题意 ′( ) = ≤ 0在[1,4]上恒成立, 即 ( ) = (2 1)( + ) ≤ 0在[1,4]上恒成立,因为2 1 > 0,故 (4) ≤ 0,即 ≤ 4.所以 的取值范围为( ∞, 4]. 17.【答案】【详解】(1)由题意可得| | = 1 + = 2,所以 = 2,2第 5 页,共 9 页得抛物线 的方程为: 2 = 4 ,焦点为(1,0),直线 的方程为: = 1, = 1联立方程{ 2 ,消去 得 2 6 + 1 = 0, = 4 设 ( 1, 1), ( 2, 2),则 1 + 2 = 6,得弦长| | = 1 + 2 + = 6 + 2 = 8.(2)设直线 的方程为: = + 1,( ≠ 0), = + 1联立方程{ 2 ,消去 得 2 4 4 = 0, = 4 设 ( 1, 1), ( 2, 2),则 1 + 2 = 4 , 1 2 = 4,所以| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + 2 √ 16 2 + 16 = 4( 2 + 1),1同理可得| | = 4 ( 2 + 1), 所以四边形 的面积为:1 1 1 1 = | | | | = 8( 2 + 1) ( 2 + 1) = 8(2 + 2 + 2) ≥ 8(2 + 2√ 2 2) = 32, 2 当且仅当 2 = 1,即 = ±1时,等号成立,所以四边形 的面积的最小值为:3218.【答案】【详解】(1)由2 = +1 2 2,①当 = 1时,得2 1 = 2 2 2,得 2 = 8,当 ≥ 2时,得2 1 = 2( 1) 2,②由① ②得2 = +1 2,得 +1 = 3 + 2, +1得 +1 + 1 = 3( + 1),即 +1 = 3, ≥ 2, +1 2+1 8+1 +1 而 = = 3,故 +1 = 3, ∈ , 1+1 2+1 +1第 6 页,共 9 页得数列{ + 1}为等比数列,首项为 1 + 1 = 3,公比为3,得 + 1 = 3 3 1 = 3 ,得 = 3 1.(2)设 = 1 + 2 + 3 + + ,选条件①:则 = = 3 ,令 = 1 31 + 2 32 + 3 33 + + 3 ,则3 = 1 32 + 2 33 + 3 34 + + 3 +1,3(1 3 )两式相减,得 2 = 31 + 32 + 33 + + 3 3 +1 = 3 +1,1 32 1 3得 = 3 +1 + , 4 42 1 +1 3 ( +1)则 = 1 + 2 + 3 + + = 3 + , 4 4 2显然数列{ }单调递增,9×36 3 5×6 11×37 3 6×7得 5 = + = 1626 < 2025, 6 = + = 5994 > 2025, 4 4 2 4 4 2故满足条件的最大整数 = 5;(2 1)( +1) (2 1) 3 3 +1 3 选条件②:则 = = = , ( +1) ( +1) +1 32 31 33 32 3 +1 3 3 +1则 = 1 + 2 + 3 + + = ( ) + ( ) + + ( ) = 3, 2 1 3 2 +1 +1显然数列{ }单调递增,38 39得 7 = 3 = 817.125 2025, 8 8 = 3 = 2184 2025, 9故满足条件的最大整数 = 7.19.【答案】【详解】(1)依题意,设点 ( , ),√ ( )2+ 2 则 2 = , | | 2 2化简得, 2+ 2 = 1, 2当 > 时,曲线 为焦点在 轴上的椭圆,当 < 时,曲线 为焦点在 轴上的双曲线. 2(2)当 = 1, = √ 3时,曲线 的方程为: 2 = 1,则 1( 1,0), 2(1,0), 2设过点( 2,0)的直线为: = 2,第 7 页,共 9 页 = 2由{ 2 (2 ,消去 得 2 2 1) 2 8 + 6 = 0, = 12设 ( 1, 1), ( 2, 2),2 2 1 ≠ 0 8 6得{ , + = , = , = 64 2 24(2 2 1) > 0 1 2 2 2 1 1 2 2 2 14则 1 2 = ( + ), 3 1 2 直线 1: =1 ( + 1),直线 : = 2 ( 1), 21+1 2 13 +1 1+1 2 ( 1 1) ( + ) 1 1联立得: = = 2 = 1 2 2 = 4 1 2 2 = ,解得 = , 1 1 2 1 ( 2 3) 3 31 1 2 1 ( 1+ 2) 3 3 24 11直线 1与 2交于点 在定直线 = 上. 2 2 2(3)当 = 2, = 1时,曲线 的方程为: + = 1, ′( 1,0), (1,0),4 3设点 ( 3, 3), ( 4, 4), ′( 5, 5),其中 3 > 0, 4 > 0,由对称性可知 5 = 3, 5 = 3, 因为 ′ // ,所以 4 = 3 = 5 = 5 , 4 1 3+1 5+1 5 1因此, , , ′三点共线,且| ′ | = √ ( + 1)2 + 23 3 = √ ( 3 1)2 + ( )23 = | ′|,由题干条件可得,22 1动点 到定点 (1,0)的距离与它到定直线 = = 4的距离的比为常数 ,1 2设∠ = (不妨记 为锐角),过点 作 ⊥ 轴于点 ,作 ⊥直线 = 4于点 ,直线 = 4与 轴交点为 ,则| | = | |cos ,| | = | |,故| | = | | = | | | | = 3 | |cos ,| | 1 3所以 = ,解得| | = ,3 | |cos 2 2+cos 第 8 页,共 9 页| ′| 1 3同理由 = ,解得| ′| = ,3+| ′|cos 2 2 cos 1 1 1 1 2+cos 2 cos 4所以 + = + = + = ,| | | ′ | | | | ′| 3 3 31 1 4所以 + 为定值 ;| | | ′ | 3| | | | 4 | ′ | | |由椭圆定义| ′ | + | | + | | = 4,得| | = 4 | ′ | | |,∵ // ′ , ∴ = = ,| ′ | | ′ | | ′ |(4 | |) | ′ | (4 | ′ |) | |解得| ′ | = ,同理可得| | = ,| |+| ′ | | |+| ′ |(4 | |) | ′ | (4 | ′ |) | | 4(| |+| ′ |) 2| | | ′ |所以| ′ | + | | = + =| |+| ′ | | |+| ′ | | |+| ′ |2 2 5= 4 1 1 = 4 4 = ,+ 2| | | ′ | 3因为| ′ | = 2,5 9所以 ′ 的周长为定值2 + = .2 2【点睛】方法点睛:定值问题常见方法:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.第 9 页,共 9 页 展开更多...... 收起↑ 资源预览