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江苏省句容市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.抛物线 = 2的准线方程为( )
2
1 1 1 1
A. = B. = C. = D. =
8 8 2 2
2.函数 ( ) = 2 在区间[1,3]上的平均变化率为( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
3.在等差数列{ }中，若 8 = 6， 11 = 0，则 1的值为( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
2 2
4.双曲线 = 1的焦点到渐近线的距离为( )
4 3
A. 2√ 3 B. 2 C. √ 3 D. 1
5.已知 1: + (1 + ) + 2 = 0, 2: 2 + 4 + 16 = 0，若 1// 2，则 的值为( )
2
A. B. 2 C. 1 D. 2或1
3
6.已知直线 = ( + 2)与曲线 = √ 1 2有公共点，则实数 的取值范围为( )
√ 3 √ 3 √ 3
A. [ √ 3, √ 3] B. [ , ] C. [0, √ 3] D. [0, ]
3 3 3
2 2
7.设椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右焦点分别为 1, ，点 在 上，若 2 1 2 = 0，∠ 1 2 = 30
，

则 的离心率为( )
√ 3 1 1
A. √ 3 1 B. C. D.
3 2 3
8.某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知卫生纸的厚度
为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约( )( ≈ 3.14，精确到1m)
A. 60m B. 80m C. 100m D. 120m
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的求导运算正确的是( )
1 1
A. (ln2024)′ = B. (tan )′ =
2024 2
C. ( 3 + 1)′ = 3 2 2 D. ( 2 )′ = ( + 1) 2
10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比
为定值 ( > 0且 ≠ 1)的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
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氏圆．已知在平面直角坐标系 中， ( 1,0), (2,0)，点 满足| | = 2| |，设点 的轨迹为曲线 ，则
下列结论正确的是( )
A. 曲线 与圆 2 + 2 2 8 + 8 = 0有且仅有三条公切线
B. 曲线 关于直线 = 对称的曲线方程为 2 + ( 2)2 = 4
C. 若点 ( , )在曲线 上，则 + √ 3 的取值范围是[ 6,2]
D. 在 轴上存在异于 ， 的两点 ， ，使得| | = 2| |
2
11.已知双曲线 : 2 = 1的左、右焦点分别为 1, 2，左、右顶点分别为 ， ，过 2的直线 (斜率存在)与3
双曲线的右支交于 ， 两点， 中点为 ，三角形 1 2, 1 2的内心分别为 1, 2，则下列结论正确的是( )
A. = 3 B. 1 2 = 3
C. ∠ 2 = 2∠ 2 D. 1, , 2共线
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }的前 项和为 ，且 2 = 2, 4 = 6，则 6 = ．
2
13.设 是椭圆 : + 2 = 1的上顶点，点 在 上，则| |的最大值为 ．
5
14.抛物线 : 2 = 2 的焦点为 ，点 (2,0)，过焦点 的直线交抛物线 于 ， 两点，直线 , 与 的另

一个交点分别为 ， .当直线 斜率不存在时，| | = ；当直线 斜率存在时， = ．

四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆心为 的圆经过点 (2,0), (0, 4)，且圆心 在直线 + = 0上．
(1)求圆 的方程；
(2)已知直线 过点(8,0)且直线 截圆 所得的弦长为2，求直线 的方程．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = (2 ln ), ( ) = 2，且曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线与直线 = + 1垂直．
(1)求 ；
(2)讨论函数 ( ) = ( ) + ( )的单调性；
(3)若函数 ( ) = ( ) ( )在[1,4]上单调递减，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，位于第一象限的点 (1, 0)在抛物线 上，且| | = 2.直线 过焦
点 且与抛物线 交于 ， 两点．
(1)若 的倾斜角为45 ，求弦长| |的值；
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(2)若过 且与 垂直的直线交 于 ， 两点，求四边形 的面积的最小值，
18.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 2,2 = +1 2 2．
(1)证明数列{ + 1}为等比数列并求数列{ }的通项公式；
(2)若 =______，且 1 + 2 + 3 + + < 2025，求满足条件的最大整数 ．
(2 1)( +1)请在① ；② 这两个条件中任意选择一个填入上面横线处，并完成解答． ( +1)
19.(本小题12分)
2
已知动点 到定点 ( , 0)的距离与它到定直线 = 的距离之比为常数 .其中 > 0， > 0，且 ≠ ，记点

的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 = 1, = √ 3时，记 的左、右顶点分别为 1, 2，过点( 2,0)的直线与 的左支交于 ， 两点，直线
1与 2交于点 ，求证：点 在定直线上；
(3)当 = 2, = 1时，设 ′( 1,0)，若 上两动点 ， 均在 轴上方， ′ // ，且 ′ 与 相交于点 ，
求证： ′ 的周长为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】14
5
13.【答案】
2
14.【答案】2；4
15.【答案】【详解】(1)由题意圆心在弦 的中垂线上，
4 0
又 (2,0), (0, 4)中点 (1, 2)， = = 2， 0 2
1 1 1 3
则弦 的中垂线斜率 = ，故中垂线方程： + 2 = ( 1)，即 = ，
2 2 2 2
联立 + = 0可得 = 3， = 3，即 (3, 3)，
故圆 的半径| | = √ (3 2)2 + ( 3 0)2 = √ 10．
故圆 的方程：( 3)2 + ( + 3)2 = 10
(2)当直线 斜率不存在时，直线 与圆 不相交；
当直线 斜率存在时，设 方程 = ( 8)，
因为直线 截圆 所得的弦长为2，故圆心 到 的距离 = √ 10 1 = 3．
|3 +3 8 |
则 8 = 0到 (3, 3)的距离 = 3，
√ 2 1+
15
则(5 3)2 = 9(1 + 2)，即25 2 30 + 9 = 9 + 9 2，解得 = 或 = 0．
8
15 15
故 方程 = ( 8)，即 = 15或 = 0．
8 8
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16.【答案】【详解】(1) ′( ) = 2 ，故 ′(1) = 2，又 = + 1斜率为1，故 2 = 1，解得 = 1．
(2)因为 = 1，故 ( ) = 2 + (2 + 1) ln ( > 0)，
(2 1)( )
则 ′( ) = 2 + (2 + 1) = ，

当 ≤ 0时， > 0, > 0，
1
故在(0, )上， ′( ) > 0， ( )单调递增；
2
1
在( , +∞)上， ′( ) < 0， ( )单调递减；
2
1 1
当0 < < 时，令 ′( ) = 0有 1 = ， 2 2 2 = ，且 2 < 1，
故在(0, )上， ′( ) < 0， ( )单调递减；
1
在( , )上， ′( ) > 0， ( )单调递增；
2
1
在( , +∞)上， ′( ) < 0， ( )单调递减．
2
1
当 = 时， ′( ) ≤ 0， ( )在(0,+∞)单调递减；
2
1 1
当 > 时，在(0, )上， ′( ) < 0， ( )单调递减；
2 2
1
在( , )上， ′( ) > 0， ( )单调递增；
2
在( ,+∞)上， ′( ) < 0， ( )单调递减．
(3) ( ) = (2 ln ) + 2 = 2 + (2 1) ln ，
2 2+(2 1)
由题意 ′( ) = ≤ 0在[1,4]上恒成立，

即 ( ) = (2 1)( + ) ≤ 0在[1,4]上恒成立，
因为2 1 > 0，故 (4) ≤ 0，即 ≤ 4．
所以 的取值范围为( ∞, 4]．

17.【答案】【详解】(1)由题意可得| | = 1 + = 2，所以 = 2，
2
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得抛物线 的方程为： 2 = 4 ，焦点为(1,0)，
直线 的方程为： = 1，
= 1
联立方程{ 2 ，消去 得
2 6 + 1 = 0，
= 4
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，则 1 + 2 = 6，
得弦长| | = 1 + 2 + = 6 + 2 = 8．
(2)设直线 的方程为： = + 1，( ≠ 0)，
= + 1
联立方程{ 2 ，消去 得
2 4 4 = 0，
= 4
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，则 1 + 2 = 4 , 1 2 = 4，
所以| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + 2 √ 16 2 + 16 = 4(
2 + 1)，
1
同理可得| | = 4 ( 2 + 1)，
所以四边形 的面积为：
1 1 1 1
= | | | | = 8( 2 + 1) ( 2 + 1) = 8(2 +
2 + 2) ≥ 8(2 + 2√
2 2) = 32， 2
当且仅当 2 = 1，即 = ±1时，等号成立，
所以四边形 的面积的最小值为：32
18.【答案】【详解】(1)由2 = +1 2 2，①
当 = 1时，得2 1 = 2 2 2，得 2 = 8，
当 ≥ 2时，得2 1 = 2( 1) 2，②
由① ②得2 = +1 2，
得 +1 = 3 + 2，
+1
得 +1 + 1 = 3( + 1)，即
+1
= 3, ≥ 2， +1
2+1 8+1 +1 而 = = 3，故 +1 = 3, ∈ ，
1+1 2+1 +1
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得数列{ + 1}为等比数列，首项为 1 + 1 = 3，公比为3，
得 + 1 = 3 3 1 = 3 ，
得 = 3
1．
(2)设 = 1 + 2 + 3 + + ，
选条件①：则 = = 3
，
令 = 1 31 + 2 32 + 3 33 + + 3
，
则3 = 1 3
2 + 2 33 + 3 34 + + 3 +1，
3(1 3 )
两式相减，得 2 = 3
1 + 32 + 33 + + 3 3 +1 = 3 +1，
1 3
2 1 3
得 = 3 +1 + ， 4 4
2 1 +1 3 ( +1)则 = 1 + 2 + 3 + + = 3 + ， 4 4 2
显然数列{ }单调递增，
9×36 3 5×6 11×37 3 6×7
得 5 = + = 1626 < 2025， 6 = + = 5994 > 2025， 4 4 2 4 4 2
故满足条件的最大整数 = 5；
(2 1)( +1) (2 1) 3
3 +1 3
选条件②：则 = = = ， ( +1) ( +1) +1
32 31 33 32 3 +1 3 3 +1
则 = 1 + 2 + 3 + + = ( ) + ( ) + + ( ) = 3， 2 1 3 2 +1 +1
显然数列{ }单调递增，
38 39
得 7 = 3 = 817.125 2025, 8 8 = 3 = 2184 2025， 9
故满足条件的最大整数 = 7．
19.【答案】【详解】(1)依题意，设点 ( , )，
√ ( )2+ 2
则 2 = ，
| |

2 2
化简得，
2
+ 2 = 1， 2
当 > 时，曲线 为焦点在 轴上的椭圆，
当 < 时，曲线 为焦点在 轴上的双曲线．
2
(2)当 = 1, = √ 3时，曲线 的方程为： 2 = 1，则 1( 1,0), 2(1,0)， 2
设过点( 2,0)的直线为： = 2，
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= 2
由{ 2 (2 ，消去 得 2
2 1) 2 8 + 6 = 0，
= 1
2
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
2 2 1 ≠ 0 8 6
得{ , + = , = ,
= 64 2 24(2 2 1) > 0 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1
4
则 1 2 = ( + )， 3 1 2

直线 1： =
1 ( + 1)，直线 ： = 2 ( 1)，
21+1 2 1
3
+1 1+1 2 ( 1 1) ( + ) 1 1联立得： = = 2 = 1 2 2 = 4 1 2 2 = ，解得 = ，
1 1 2 1 ( 2 3) 3
3
1 1 2 1 ( 1+ 2) 3
3 2
4 1
1
直线 1与 2交于点 在定直线 = 上． 2
2 2
(3)当 = 2, = 1时，曲线 的方程为： + = 1， ′( 1,0), (1,0)，
4 3
设点 ( 3, 3), ( 4, 4), ′( 5, 5)，其中 3 > 0, 4 > 0，
由对称性可知 5 = 3, 5 = 3，

因为 ′ // ，所以 4 = 3 = 5 = 5 ，
4 1 3+1 5+1 5 1
因此， , , ′三点共线，
且| ′ | = √ ( + 1)2 + 23 3 = √ ( 3 1)
2 + ( )23 = | ′|，
由题干条件可得，
22 1
动点 到定点 (1,0)的距离与它到定直线 = = 4的距离的比为常数 ，
1 2
设∠ = (不妨记 为锐角)，过点 作 ⊥ 轴于点 ，作 ⊥直线 = 4于点 ，
直线 = 4与 轴交点为 ，
则| | = | |cos ，| | = | |，
故| | = | | = | | | | = 3 | |cos ，
| | 1 3
所以 = ，解得| | = ，
3 | |cos 2 2+cos
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| ′| 1 3
同理由 = ，解得| ′| = ，
3+| ′|cos 2 2 cos
1 1 1 1 2+cos 2 cos 4
所以 + = + = + = ，
| | | ′ | | | | ′| 3 3 3
1 1 4
所以 + 为定值 ；
| | | ′ | 3
| | | | 4 | ′ | | |
由椭圆定义| ′ | + | | + | | = 4，得| | = 4 | ′ | | |，∵ // ′ , ∴ = = ，
| ′ | | ′ | | ′ |
(4 | |) | ′ | (4 | ′ |) | |
解得| ′ | = ，同理可得| | = ，
| |+| ′ | | |+| ′ |
(4 | |) | ′ | (4 | ′ |) | | 4(| |+| ′ |) 2| | | ′ |
所以| ′ | + | | = + =
| |+| ′ | | |+| ′ | | |+| ′ |
2 2 5
= 4 1 1 = 4 4 = ，
+ 2
| | | ′ | 3
因为| ′ | = 2，
5 9
所以 ′ 的周长为定值2 + = ．
2 2
【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
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