资源简介 江苏省南京市金陵中学 2024-2025 学年高二(下)期初测试数学试卷一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.从集合{ 1,0,1,2}中任取两个不同的数 , 组成复数 + ,其中虚数有( )A. 4个 B. 9个 C. 12个 D. 16个2.函数 ( ) = 2在区间[0,2]上的平均变化率等于 = 时的瞬时变化率,则 =( )1 1A. 1 B. C. 2 D. 2 23.记 为等差数列{ }的前 项和,已知 5 = 10, 5 = 1,则 2 =( )1 7A. 0 B. C. D. 23 34.若直线 = + 2与圆 2 + 2 = 4相交于 、 两点,且 = 2(其中 是原点),则 的值为( )√ 3 1A. ± B. ± C. ±1 D. ±√ 23 25.若函数 = 3 2 在(0, √ 3)内无极值,则实数 的取值范围是( )9A. (0, ) B. ( ∞,0]29 9C. ( ∞, 0] ∪ [ ,+∞) D. ( ∞, 0]∪ ( , +∞)2 2 2 2 26.设 1 , 2为曲线 1: + = 1的左,右两个焦点, 是曲线 22: = 1与 1的一个交点,则sin∠ 6 2 3 1 2的值为( )1 2 √ 5 2√ 2A. B. C. D.3 3 3 37.已知函数 ( ) = 2 + 3有三个不同的零点,则实数 的取值范围是( )A. (60, ) B. (20, )6 23 C. ( 2 , ) D. ( 2 , ) 3 8.抛物线有一个重要的性质:从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴,此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线 : = 2 2上的一点 (异于原点 )作 的切线 ,过 作 的平行线交 ( 为 的焦点)于点 ,则| |的取值范围为( )1 1A. (0, ) B. (0, ) C. (0,1) D. (0,2)8 4二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.某企业根据市场调研得到研发投入 (亿元)与产品收益 (亿元)的数据统计如下,则下列叙述正确的是( )第 1 页,共 9 页 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9∑ 参考公式: 关于 的回归直线方程 = + 中, = =1 , = ∑ 22 =1 A. = 4, = 6B. 由散点图知变量 和 负相关C. 相关系数 > 0D. 用最小二乘法求得 关于 的线性回归直线方程为 = 1.5 + 0.510.已知点 (4,0), (0,2),点 在⊙ : 2 14 + 2 4 + 44 = 0上运动,在此过程中,则( )A. 的面积最大值为7 3√ 5 B. 的取值范围是[ 24,0]3C. 存在斜率为 的直线 D. 存在四个直角三角形 7 , 为 3 的倍数11.己知数列{ }满足 1 = ( 为正整数) 3 +1 = { ,则下列结论正确的是( )2 + 1, 不为 3的倍数A. 若 = 27,则 8 = 1B. 若 5 = 1,则 所有可能取值的集合为{3,9,12,13,81}3 +1 1C. 若 = 3 , 为正整数,则{ }的前 项和为 2D. 任意 ∈ , , +1 , +2都不能构成等差数列三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 2 212.已知直线 = 2 是双曲线 : 2 = 1( > 0)的一条渐近线,则双曲线 的离心率为 . 16 113.已知定义在(0,+∞)的函数 ( )满足 ( ) ′( ) < 0,则不等式 2 ( ) ( ) > 0的解集为 . 14.棱长为√ 6的正四面体 中,点 为平面 内的动点,且满足 = √ 5,点 为 的重心,则直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为 .四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知数列{ }的前 项和 满足√ = √ 1 +1( ≥ 2, ∈ ),且 1 = 1.(1)求证:数列{ }为等差数列;1 1(2)记 = , 为数列{ }的前 项和,求使 ≥ 成立的 的最小值. +1 16.(本小题12分)第 2 页,共 9 页设函数 ( ) = ln + 1, ∈ .(1)若 ( ) ≥ 0恒成立,求实数 的取值范围;(2)是否存在实数 ,当 ∈ (0, ]时,函数 ( )的最小值是2?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.17.(本小题12分)如图,在四棱锥 中, ⊥平面 , // ,且 = 2, = 1, = 2√ 2, = 1, ⊥ , 为 的中点.(1)求点 到平面 的距离:√ 5 (2)在线段 上是否存在一点 ,使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ,若存在,求出 的值,若5 不存在,说明理由.18.(本小题12分) 2 2 √ 2 √ 2己知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ,且经过点(1, ). 2 2(1)求椭圆 的方程;(2)记椭圆 的右焦点为 ,若点 , 在椭圆 上,满足3 + = 0,求直线 的斜率.( 1(3)过点 0, )的动直线与椭圆 有两个交点 , ,在 轴上是否存在点 使得 ≤ 0恒成立.若存在,2求出 点纵坐标的取值范围;若不存在,说明理由.19.(本小题12分)数列{ }的前 项和为 ,若存在正整数 , ,且 < ,使得 = , = 同时成立,则称数列{ }为“ ( , )数列”(1)若首项为3,公差为 的等差数列{ }是“ (3,6)数列”,求 的值;(2)已知数列{ }为等比数列,公比为 .①若数列{ }为“ ( , 2 )数列”,求 的最大值;②若 ∈ ( 1,0), 为偶数,试判断是否存在正整数 ,使数列{ }为“ ( , )数列”?如果存在,求出 的最小值,如果不存在,说明理由.第 3 页,共 9 页1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】 √ 5 112.【答案】 或 √ 52 213.【答案】(0,1)2(√ 10+√ 5)14.【答案】1515.【答案】解:(1)由√ = √ 1 +1( ≥ 2, ∈ )可得{√ }为等差数列,且公差为1,首项为1,故√ = 1 + ( 1) = ,即 = 2,当 ≥ 2时, 2 2 2 1 = ( 1) ,故 = 1 = ( 1) = 2 1,当 = 1时, 1 = 1也符合,故 = 2 1,因此 ≥ 2时, 1 = 2 1 (2 3) = 2,故{ }为等差数列,且公差为2,1 1 1 1 1(2) = = = ( ), +1 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +11 [( 1) (1 1故 = 1 + ) + + (1 1 )]1 1= (1 ) = ,2 3 3 5 2 1 2 +1 2 2 +1 2 +11 1由 ≥ 可得 ≥ , 2 +1 2 1故2 2 3 1 ≥ 0,3由于 = 2 2 3 1为开口向上,且对称轴为 的二次函数,4故 = 2 2 3 1在 ∈ 单调递增,且 | =2 = 8 6 1 > 0, | =1 = 2 3 1 < 0,第 4 页,共 9 页1因此使 ≥ 成立的 的最小值为2. ln 116.【答案】解:(1)函数 ( ) = ln + 1的定义域为(0,+∞),不等式 ( ) ≥ 0 ≥ , ln 1 2 ln 令 ( ) = ,依题意, ≥ ( )恒成立, ′( ) = 2 , 当0 < < 2时, ′( ) > 0;当 > 2时, ′( ) < 0,1 1函数 ( )在(0, 2)上递增,在( 2 ,+∞)上递减, ( )max = ( 2) = 2,则 ≥ 2, 1所以实数 的取值范围是 ≥ 2. 1 1 1(2)由函数 ( ) = ln + 1,求导得 ′( ) = ,由 ∈ (0, ],得 ≥ , 1当 ≤ 时, ′( ) ≤ 0,函数 ( )在(0, ]上单调递减, 2 1 ( )min = ( ) = = 2,解得 = > ,无解; 1 1 1当 > 时,由 ′( ) < 0,得0 < < ;由 ′( ) > 0,得 < ≤ , 1 1函数 ( )在(0, )上单调递减,在( , ]上单调递增, 1 ( )min = ( ) = 2 + ln = 2,解得 = 1,符合题意, 所以存在实数 ,当 ∈ (0, ]时,函数 ( )的最小值是2, = 1.17.【答案】解:(1)取 的中点为 ,连接 ,因为 ⊥平面 , , 平面 ,所以 ⊥ , ⊥ ,又 = 2, = 1, 的中点为 , // ,所以 // , = = 1,可得四边形 为平行四边形,又 ⊥ ,因此 为矩形,可知 ⊥ ,因此 , , 两两垂直,以点 为坐标原点, , , 所在直线分别为 , , 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:第 5 页,共 9 页1 1易知 (0,0,1), (0,1,0), (2√ 2,1,0), (2√ 2, 1,0),因此 (√ 2, , );2 2可得 = (0,1, 1), = (2√ 2, 0,0),设平面 的一个法向量为 = ( , , ); = = 0则{ ,解得 = 0,令 = 1,可得 = 1; = 2√ 2 = 0因此法向量可以为 = (0,1,1),且 = 2, = 1, = 2√ 2, = 1, ⊥ , 为 的中点.易知 1 1 = (√ 2, , ),2 2| | 1 √ 2所以点 到平面 的距离为 = = = ;| | √ 2 2(2)假设存在点 ,设 = , ∈ [0,1],易知 = (0, 2,0), = ( 2√ 2, 1,1),所以 = + = + = ( 2√ 2 , 2 + , ),由(1)可知平面 的一个法向量为 = (0,1,1),√ 5因为直线 与平面 所成角的正弦值是 ,5| || |2 2| √ 5所以 cos , | = = = ,| || | √ 2 2 5 8 +( 2+ )2+ ×√ 23解得 = ,83 3即 = ,可得 = .8 8第 6 页,共 9 页 √ 2= 2 2 = 118.【答案】解:(1)依题意可知 1 1+ = 1 ,解得{ 2 = 1, 2 2 22 = 2{ 2 = 2 + 2 2因此椭圆 的方程为 + 2 = 1;2(2)易知 (1,0),设直线 的方程为 = + 1, ( 1, 1), ( 2, 2); = +1联立{ 2 2 ,整理可得( 2 + 2) 2+ 2 1 = 0,显然 = 4 2 + 4( 2 +2) > 0;+ = 122 1因此 1 + 2 = 2 , = , +2 1 2 2+2由3 + = 0可得3( 1 1, 1)+ ( 2 1, 2) = 0,即3 1 + 2 = 0,2 代入可得 1 + 2 = 2 1 = 2 ,即 +2 1 = ; 2+2 2 1 2 1因此 1 2 = 3 21 = 3( ) 2 = 2 ,即 = , +2 +2 2+2 3解得 = ±1,因此直线 的方程为 = ± + 1,即其斜率为±1.(3)如下图:1当过点(0, )的动直线斜率存在时,21设直线方程为 = , ( , 2 3 3), ( 4 , 4), (0, );1 = 3联立{ 22 ,整理可得(2 2 + 1) 2 2 = 0,显然 = 4 2+ 6(2 2+ 1) > 0; 2 2+ = 122 3因此 3 + 4 = 2 , 3 4 = 2 ,2 +1 2(2 +1)所以 = ( 3, 3 ) ( 4, 4 )1= 23 4 + ( 3 )( 4 ) = ( + 1) 3 4 ( + ) ( 2 3 + 4)+2(1+ )2第 7 页,共 9 页23 1 2 1= ( 2 + 1)( ) ( + ) × + ( + )2 (2 2 +1) 2 2 2+1 2(4 2 4 3) 2 +2 2 2=22 (2 + 1) {4 2 4 3 ≤ 0若存在点 使得 ≤ 0恒成立,可得 ,2 2 2 ≤ 01解得 ≤ ≤ 1,21当过点(0, )的动直线斜率不存在时,两个交点 , 分别为椭圆的上下顶点,2显然此时 , 方向相反,满足题意;1综上可得,点 的纵坐标的取值范围为[ , 1],使得 ≤ 0恒成立.219.【答案】解:(1)因为等差数列{ }是“ (3,6)数列”,所以 3 = 6, 6 = 3,3×23 1 + = 6即可得{ 2 ,由首项为3,解得 = 1;6×56 1 + = 32(2)①当公比 = 1时,可得 = 1 , 2 = 2 1;由数列{ }为“ ( , 2 )数列”可得 = 2 , 2 = ,即2 = 1 , = 2 1,显然此时方程组无解,即 ≠ 1; (1 ) 2 当 ≠ 1时,由 = 2 , = 可得 1 = 2 , 1(1 ) 2 = , 1 1 解得 1= ;2显然当 为偶数时,此时 无解,因此 一定为奇数,1 1当 = 1时,可得 = ,当 = 3时,可得 = ,2 3√21以此类推易知 = 2 + 1, ∈ 时,可得 = , ∈ ,2 +1√21显然 = , ∈ 随之 的增大而减小,2 +1√21所以 = 0时, = 取得最大值;2②因为数列{ }为“ ( , )数列”, ∈ ( 1,0),所以 = , = , 1(1 ) (1 )即 = , 1 = ,1 1 第 8 页,共 9 页1 两式作商可得 = ,即 (1 ) = (1 ),1 因为 为偶数,假设 为偶数,则可得 (1 | | ) = (1 | | ),令函数 = (1 ), 0 < < 1,则 ′ = 1 ln , 0 < < 1,当 > 0时,易知1 > 0, ln > 0,即 ′ > 0,所以 = (1 ), 0 < < 1在 ∈ (0,+∞)上单调递增,因为 < ,所以 (1 | | ) < (1 | | ),这与 (1 | | ) = (1 | | )矛盾,因此假设不成立;假设 为奇数,则可得 (1+ | | ) = (1 | | ),因为 < ,所以0 < 1 | | < 1,1+ | | > 1,即0 < (1 | | ) < (1 + | | )因此 (1 + | | ) > (1 | | )这与 (1 | | ) = (1 | | )矛盾,因此假设不成立;综上可得,若 ∈ ( 1,0), 为偶数,不存在正整数 ,使数列{ }为“ ( , )数列”.第 9 页,共 9 页 展开更多...... 收起↑ 资源预览