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江苏省南京市金陵中学 2024-2025 学年高二（下）期初测试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从集合{ 1,0,1,2}中任取两个不同的数 , 组成复数 + ，其中虚数有( )
A. 4个 B. 9个 C. 12个 D. 16个
2.函数 ( ) = 2在区间[0,2]上的平均变化率等于 = 时的瞬时变化率，则 =( )
1 1
A. 1 B. C. 2 D.
2 2
3.记 为等差数列{ }的前 项和，已知 5 = 10, 5 = 1，则 2 =( )
1 7
A. 0 B. C. D. 2
3 3
4.若直线 = + 2与圆 2 + 2 = 4相交于 、 两点，且 = 2(其中 是原点)，则 的值为( )
√ 3 1
A. ± B. ± C. ±1 D. ±√ 2
3 2
5.若函数 = 3 2 在(0, √ 3)内无极值，则实数 的取值范围是( )
9
A. (0, ) B. ( ∞,0]
2
9 9
C. ( ∞, 0] ∪ [ ,+∞) D. ( ∞, 0]∪ ( , +∞)
2 2
2 2 2
6.设 1 , 2为曲线 1: + = 1的左，右两个焦点， 是曲线
2
2: = 1与 1的一个交点，则sin∠ 6 2 3 1 2的
值为( )
1 2 √ 5 2√ 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
7.已知函数 ( ) = 2 + 3有三个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
A. (
6
0, ) B. (
2
0, )
6 2
3 C. ( 2 , ) D. ( 2 , ) 3
8.抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对
称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线 : = 2 2上的一点 (异于原点 )作 的切线 ，过
作 的平行线交 ( 为 的焦点)于点 ，则| |的取值范围为( )
1 1
A. (0, ) B. (0, ) C. (0,1) D. (0,2)
8 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某企业根据市场调研得到研发投入 (亿元)与产品收益 (亿元)的数据统计如下，则下列叙述正确的是( )
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1 2 3 4 5 6 7
2 3 5 7 8 8 9
∑
参考公式： 关于 的回归直线方程 = + 中， = =1 , =
∑ 2
2
=1
A. = 4, = 6
B. 由散点图知变量 和 负相关
C. 相关系数 > 0
D. 用最小二乘法求得 关于 的线性回归直线方程为 = 1.5 + 0.5
10.已知点 (4,0), (0,2)，点 在⊙ : 2 14 + 2 4 + 44 = 0上运动，在此过程中，则( )
A. 的面积最大值为7 3√ 5 B. 的取值范围是[ 24,0]
3
C. 存在斜率为 的直线 D. 存在四个直角三角形
7
, 为 3 的倍数
11.己知数列{ }满足 1 = ( 为正整数)
3
+1 = { ，则下列结论正确的是( )
2 + 1, 不为 3的倍数
A. 若 = 27，则 8 = 1
B. 若 5 = 1，则 所有可能取值的集合为{3,9,12,13,81}
3 +1 1
C. 若 = 3 ， 为正整数，则{ }的前 项和为 2
D. 任意 ∈ , , +1 , +2都不能构成等差数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.已知直线 = 2 是双曲线 : 2 = 1( > 0)的一条渐近线，则双曲线 的离心率为 ． 16
1
13.已知定义在(0,+∞)的函数 ( )满足 ( ) ′( ) < 0，则不等式 2 ( ) ( ) > 0的解集为 ．

14.棱长为√ 6的正四面体 中，点 为平面 内的动点，且满足 = √ 5，点 为 的重心，
则直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和 满足√ = √

1 +1( ≥ 2, ∈ )，且 1 = 1．
(1)求证：数列{ }为等差数列；
1 1
(2)记 = , 为数列{ }的前 项和，求使 ≥ 成立的 的最小值． +1
16.(本小题12分)
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设函数 ( ) = ln + 1, ∈ ．
(1)若 ( ) ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围；
(2)是否存在实数 ，当 ∈ (0, ]时，函数 ( )的最小值是2？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，且 = 2, = 1， = 2√ 2, = 1， ⊥ ，
为 的中点．
(1)求点 到平面 的距离：
√ 5
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在，求出 的值，若
5
不存在，说明理由．
18.(本小题12分)
2 2 √ 2 √ 2
己知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且经过点(1, )． 2 2
(1)求椭圆 的方程；
(2)记椭圆 的右焦点为 ，若点 , 在椭圆 上，满足3 + = 0，求直线 的斜率．
( 1(3)过点 0, )的动直线与椭圆 有两个交点 , ，在 轴上是否存在点 使得 ≤ 0恒成立．若存在，
2
求出 点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
数列{ }的前 项和为 ，若存在正整数 , ，且 < ，使得 = , = 同时成立，则称数列{ }为“ ( , )
数列”
(1)若首项为3，公差为 的等差数列{ }是“ (3,6)数列”，求 的值；
(2)已知数列{ }为等比数列，公比为 ．
①若数列{ }为“ ( , 2 )数列”，求 的最大值；
②若 ∈ ( 1,0)， 为偶数，试判断是否存在正整数 ，使数列{ }为“ ( , )数列”？如果存在，求出 的
最小值，如果不存在，说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 5 1
12.【答案】 或 √ 5
2 2
13.【答案】(0,1)
2(√ 10+√ 5)
14.【答案】
15
15.【答案】解：(1)由√ = √

1 +1( ≥ 2, ∈ )可得{√ }为等差数列，且公差为1，首项为1，
故√ = 1 + ( 1) = ，即 =
2，
当 ≥ 2时， 2 2 2 1 = ( 1) ，故 = 1 = ( 1) = 2 1，
当 = 1时， 1 = 1也符合，
故 = 2 1，
因此 ≥ 2时， 1 = 2 1 (2 3) = 2，故{ }为等差数列，且公差为2，
1 1 1 1 1
(2) = = = ( )， +1 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 [( 1) (1 1故 = 1 + ) + + (
1 1
)]
1 1
= (1 )

= ，
2 3 3 5 2 1 2 +1 2 2 +1 2 +1
1 1
由 ≥ 可得 ≥ ， 2 +1 2 1
故2 2 3 1 ≥ 0，
3
由于 = 2 2 3 1为开口向上，且对称轴为 的二次函数，
4
故 = 2 2 3 1在 ∈ 单调递增，且 | =2 = 8 6 1 > 0, | =1 = 2 3 1 < 0，
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1
因此使 ≥ 成立的 的最小值为2．
ln 1
16.【答案】解：(1)函数 ( ) = ln + 1的定义域为(0,+∞)，不等式 ( ) ≥ 0 ≥ ，

ln 1 2 ln
令 ( ) = ，依题意， ≥ ( )恒成立， ′( ) = 2 ，
当0 < < 2时， ′( ) > 0；当 > 2时， ′( ) < 0，
1 1
函数 ( )在(0, 2)上递增，在( 2 ,+∞)上递减， ( )max = (
2) = 2，则 ≥ 2，
1
所以实数 的取值范围是 ≥ 2．
1 1 1
(2)由函数 ( ) = ln + 1，求导得 ′( ) = ，由 ∈ (0, ]，得 ≥ ，

1
当 ≤ 时， ′( ) ≤ 0，函数 ( )在(0, ]上单调递减，

2 1
( )min = ( ) = = 2，解得 = > ，无解；
1 1 1
当 > 时，由 ′( ) < 0，得0 < < ；由 ′( ) > 0，得 < ≤ ，

1 1
函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , ]上单调递增，

1
( )min = ( ) = 2 + ln = 2，解得 = 1，符合题意，
所以存在实数 ，当 ∈ (0, ]时，函数 ( )的最小值是2， = 1．
17.【答案】解：(1)取 的中点为 ，连接 ，
因为 ⊥平面 ， , 平面 ，
所以 ⊥ , ⊥ ，
又 = 2, = 1， 的中点为 ， // ，
所以 // ， = = 1，可得四边形 为平行四边形，
又 ⊥ ，因此 为矩形，可知 ⊥ ，
因此 , , 两两垂直，
以点 为坐标原点， , , 所在直线分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
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1 1
易知 (0,0,1), (0,1,0), (2√ 2,1,0), (2√ 2, 1,0)，因此 (√ 2, , )；
2 2
可得 = (0,1, 1), = (2√ 2, 0,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )；
= = 0
则{ ，解得 = 0，令 = 1，可得 = 1；
= 2√ 2 = 0
因此法向量可以为 = (0,1,1)，
且 = 2, = 1， = 2√ 2, = 1， ⊥ ， 为 的中点．
易知
1 1
= (√ 2, , )，
2 2
| | 1 √ 2
所以点 到平面 的距离为 = = = ；
| | √ 2 2
(2)假设存在点 ，设 = , ∈ [0,1]，
易知 = (0, 2,0), = ( 2√ 2, 1,1)，
所以 = + = + = ( 2√ 2 , 2 + , )，
由(1)可知平面 的一个法向量为 = (0,1,1)，
√ 5
因为直线 与平面 所成角的正弦值是 ，
5
| |
|
|2 2| √ 5
所以 cos , | = = = ，
| || | √ 2 2 5 8 +( 2+ )2+ ×√ 2
3
解得 = ，
8
3 3
即 = ，可得 = ．
8 8
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√ 2=
2 2 = 1
18.【答案】解：(1)依题意可知 1 1+ = 1 ，解得{
2 = 1,
2 2 2
2 = 2
{ 2 = 2 + 2
2
因此椭圆 的方程为 + 2 = 1；
2
(2)易知 (1,0)，设直线 的方程为 = + 1， ( 1, 1), ( 2, 2)；
= +1
联立{ 2 2 ，整理可得(
2 + 2) 2+ 2 1 = 0，显然 = 4 2 + 4( 2 +2) > 0；
+ = 1
2
2 1
因此 1 + 2 = 2 , = ， +2 1 2 2+2
由3 + = 0可得3( 1 1, 1)+ ( 2 1, 2) = 0，即3 1 + 2 = 0，
2
代入可得 1 + 2 = 2 1 = 2 ，即 +2 1 = ； 2+2
2 1 2 1
因此 1 2 = 3
2
1 = 3( ) 2 = 2 ，即 = ， +2 +2 2+2 3
解得 = ±1，
因此直线 的方程为 = ± + 1，即其斜率为±1．
(3)如下图：
1
当过点(0, )的动直线斜率存在时，
2
1
设直线方程为 = ， ( ,
2 3 3
), ( 4 , 4)， (0, )；
1
=
3
联立{ 22 ，整理可得(2
2 + 1) 2 2 = 0，显然 = 4 2+ 6(2 2+ 1) > 0；
2 2+ = 1
2
2 3
因此 3 + 4 = 2 , 3 4 = 2 ，
2 +1 2(2 +1)
所以 = ( 3, 3 ) ( 4, 4 )
1
= 23 4 + ( 3 )( 4 ) = ( + 1) 3 4 ( + ) ( 2 3 + 4
)+
2
(1+ )
2
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2
3 1 2 1
= ( 2 + 1)( ) ( + ) × + ( + )
2 (2 2 +1) 2 2 2+1 2
(4 2 4 3) 2 +2 2 2
=
2
2 (2 + 1)
{4
2 4 3 ≤ 0
若存在点 使得 ≤ 0恒成立，可得 ,
2 2 2 ≤ 0
1
解得 ≤ ≤ 1，
2
1
当过点(0, )的动直线斜率不存在时，两个交点 , 分别为椭圆的上下顶点，
2
显然此时 , 方向相反，满足题意；
1
综上可得，点 的纵坐标的取值范围为[ , 1]，使得 ≤ 0恒成立．
2
19.【答案】解：(1)因为等差数列{ }是“ (3,6)数列”，所以 3 = 6, 6 = 3，
3×2
3 1 + = 6
即可得{ 2 ，由首项为3，解得 = 1；
6×5
6 1 + = 32
(2)①当公比 = 1时，可得 = 1 , 2 = 2 1；
由数列{ }为“ ( , 2 )数列”可得 = 2 , 2 = ，
即2 = 1 , = 2 1，显然此时方程组无解，即 ≠ 1；
(1 ) 2
当 ≠ 1时，由 = 2 , = 可得 1 = 2 , 1
(1 )
2 = ， 1 1
解得
1
= ；
2
显然当 为偶数时，此时 无解，
因此 一定为奇数，
1 1
当 = 1时，可得 = ，当 = 3时，可得 = ，
2 3√2
1
以此类推易知 = 2 + 1, ∈ 时，可得 = , ∈ ，
2 +1√2
1
显然 = , ∈ 随之 的增大而减小，
2 +1√2
1
所以 = 0时， = 取得最大值；
2
②因为数列{ }为“ ( , )数列”， ∈ ( 1,0)，所以 = , = ，
1(1
) (1 )
即 = , 1 = ，
1 1
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1
两式作商可得 = ，即 (1 ) = (1 )，
1
因为 为偶数，
假设 为偶数，则可得 (1 | | ) = (1 | | )，
令函数 = (1 ), 0 < < 1，则 ′ = 1 ln , 0 < < 1，
当 > 0时，易知1 > 0, ln > 0，即 ′ > 0，
所以 = (1 ), 0 < < 1在 ∈ (0,+∞)上单调递增，
因为 < ，所以 (1 | | ) < (1 | | )，
这与 (1 | | ) = (1 | | )矛盾，因此假设不成立；
假设 为奇数，则可得 (1+ | | ) = (1 | | )，
因为 < ，所以0 < 1 | | < 1，1+ | | > 1，即0 < (1 | | ) < (1 + | | )
因此 (1 + | | ) > (1 | | )
这与 (1 | | ) = (1 | | )矛盾，因此假设不成立；
综上可得，若 ∈ ( 1,0)， 为偶数，不存在正整数 ，使数列{ }为“ ( , )数列”．
第 9 页，共 9 页

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