江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高二(下)期初测试数学试卷(含答案)

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江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高二(下)期初测试数学试卷(含答案)

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江苏省南京市金陵中学 2024-2025 学年高二(下)期初测试数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.从集合{ 1,0,1,2}中任取两个不同的数 , 组成复数 + ,其中虚数有( )
A. 4个 B. 9个 C. 12个 D. 16个
2.函数 ( ) = 2在区间[0,2]上的平均变化率等于 = 时的瞬时变化率,则 =( )
1 1
A. 1 B. C. 2 D.
2 2
3.记 为等差数列{ }的前 项和,已知 5 = 10, 5 = 1,则 2 =( )
1 7
A. 0 B. C. D. 2
3 3
4.若直线 = + 2与圆 2 + 2 = 4相交于 、 两点,且 = 2(其中 是原点),则 的值为( )
√ 3 1
A. ± B. ± C. ±1 D. ±√ 2
3 2
5.若函数 = 3 2 在(0, √ 3)内无极值,则实数 的取值范围是( )
9
A. (0, ) B. ( ∞,0]
2
9 9
C. ( ∞, 0] ∪ [ ,+∞) D. ( ∞, 0]∪ ( , +∞)
2 2
2 2 2
6.设 1 , 2为曲线 1: + = 1的左,右两个焦点, 是曲线
2
2: = 1与 1的一个交点,则sin∠ 6 2 3 1 2的
值为( )
1 2 √ 5 2√ 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
7.已知函数 ( ) = 2 + 3有三个不同的零点,则实数 的取值范围是( )
A. (
6
0, ) B. (
2
0, )
6 2
3 C. ( 2 , ) D. ( 2 , ) 3
8.抛物线有一个重要的性质:从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对
称轴,此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线 : = 2 2上的一点 (异于原点 )作 的切线 ,过
作 的平行线交 ( 为 的焦点)于点 ,则| |的取值范围为( )
1 1
A. (0, ) B. (0, ) C. (0,1) D. (0,2)
8 4
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.某企业根据市场调研得到研发投入 (亿元)与产品收益 (亿元)的数据统计如下,则下列叙述正确的是( )
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1 2 3 4 5 6 7
2 3 5 7 8 8 9

参考公式: 关于 的回归直线方程 = + 中, = =1 , =
∑ 2
2
=1
A. = 4, = 6
B. 由散点图知变量 和 负相关
C. 相关系数 > 0
D. 用最小二乘法求得 关于 的线性回归直线方程为 = 1.5 + 0.5
10.已知点 (4,0), (0,2),点 在⊙ : 2 14 + 2 4 + 44 = 0上运动,在此过程中,则( )
A. 的面积最大值为7 3√ 5 B. 的取值范围是[ 24,0]
3
C. 存在斜率为 的直线 D. 存在四个直角三角形
7
, 为 3 的倍数
11.己知数列{ }满足 1 = ( 为正整数)
3
+1 = { ,则下列结论正确的是( )
2 + 1, 不为 3的倍数
A. 若 = 27,则 8 = 1
B. 若 5 = 1,则 所有可能取值的集合为{3,9,12,13,81}
3 +1 1
C. 若 = 3 , 为正整数,则{ }的前 项和为 2
D. 任意 ∈ , , +1 , +2都不能构成等差数列
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
2 2
12.已知直线 = 2 是双曲线 : 2 = 1( > 0)的一条渐近线,则双曲线 的离心率为 . 16
1
13.已知定义在(0,+∞)的函数 ( )满足 ( ) ′( ) < 0,则不等式 2 ( ) ( ) > 0的解集为 .

14.棱长为√ 6的正四面体 中,点 为平面 内的动点,且满足 = √ 5,点 为 的重心,
则直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和 满足√ = √

1 +1( ≥ 2, ∈ ),且 1 = 1.
(1)求证:数列{ }为等差数列;
1 1
(2)记 = , 为数列{ }的前 项和,求使 ≥ 成立的 的最小值. +1
16.(本小题12分)
第 2 页,共 9 页
设函数 ( ) = ln + 1, ∈ .
(1)若 ( ) ≥ 0恒成立,求实数 的取值范围;
(2)是否存在实数 ,当 ∈ (0, ]时,函数 ( )的最小值是2?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
17.(本小题12分)
如图,在四棱锥 中, ⊥平面 , // ,且 = 2, = 1, = 2√ 2, = 1, ⊥ ,
为 的中点.
(1)求点 到平面 的距离:
√ 5
(2)在线段 上是否存在一点 ,使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ,若存在,求出 的值,若
5
不存在,说明理由.
18.(本小题12分)
2 2 √ 2 √ 2
己知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ,且经过点(1, ). 2 2
(1)求椭圆 的方程;
(2)记椭圆 的右焦点为 ,若点 , 在椭圆 上,满足3 + = 0,求直线 的斜率.
( 1(3)过点 0, )的动直线与椭圆 有两个交点 , ,在 轴上是否存在点 使得 ≤ 0恒成立.若存在,
2
求出 点纵坐标的取值范围;若不存在,说明理由.
19.(本小题12分)
数列{ }的前 项和为 ,若存在正整数 , ,且 < ,使得 = , = 同时成立,则称数列{ }为“ ( , )
数列”
(1)若首项为3,公差为 的等差数列{ }是“ (3,6)数列”,求 的值;
(2)已知数列{ }为等比数列,公比为 .
①若数列{ }为“ ( , 2 )数列”,求 的最大值;
②若 ∈ ( 1,0), 为偶数,试判断是否存在正整数 ,使数列{ }为“ ( , )数列”?如果存在,求出 的
最小值,如果不存在,说明理由.
第 3 页,共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 5 1
12.【答案】 或 √ 5
2 2
13.【答案】(0,1)
2(√ 10+√ 5)
14.【答案】
15
15.【答案】解:(1)由√ = √

1 +1( ≥ 2, ∈ )可得{√ }为等差数列,且公差为1,首项为1,
故√ = 1 + ( 1) = ,即 =
2,
当 ≥ 2时, 2 2 2 1 = ( 1) ,故 = 1 = ( 1) = 2 1,
当 = 1时, 1 = 1也符合,
故 = 2 1,
因此 ≥ 2时, 1 = 2 1 (2 3) = 2,故{ }为等差数列,且公差为2,
1 1 1 1 1
(2) = = = ( ), +1 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 [( 1) (1 1故 = 1 + ) + + (
1 1
)]
1 1
= (1 )

= ,
2 3 3 5 2 1 2 +1 2 2 +1 2 +1
1 1
由 ≥ 可得 ≥ , 2 +1 2 1
故2 2 3 1 ≥ 0,
3
由于 = 2 2 3 1为开口向上,且对称轴为 的二次函数,
4
故 = 2 2 3 1在 ∈ 单调递增,且 | =2 = 8 6 1 > 0, | =1 = 2 3 1 < 0,
第 4 页,共 9 页
1
因此使 ≥ 成立的 的最小值为2.
ln 1
16.【答案】解:(1)函数 ( ) = ln + 1的定义域为(0,+∞),不等式 ( ) ≥ 0 ≥ ,

ln 1 2 ln
令 ( ) = ,依题意, ≥ ( )恒成立, ′( ) = 2 ,
当0 < < 2时, ′( ) > 0;当 > 2时, ′( ) < 0,
1 1
函数 ( )在(0, 2)上递增,在( 2 ,+∞)上递减, ( )max = (
2) = 2,则 ≥ 2,
1
所以实数 的取值范围是 ≥ 2.
1 1 1
(2)由函数 ( ) = ln + 1,求导得 ′( ) = ,由 ∈ (0, ],得 ≥ ,

1
当 ≤ 时, ′( ) ≤ 0,函数 ( )在(0, ]上单调递减,

2 1
( )min = ( ) = = 2,解得 = > ,无解;
1 1 1
当 > 时,由 ′( ) < 0,得0 < < ;由 ′( ) > 0,得 < ≤ ,

1 1
函数 ( )在(0, )上单调递减,在( , ]上单调递增,

1
( )min = ( ) = 2 + ln = 2,解得 = 1,符合题意,
所以存在实数 ,当 ∈ (0, ]时,函数 ( )的最小值是2, = 1.
17.【答案】解:(1)取 的中点为 ,连接 ,
因为 ⊥平面 , , 平面 ,
所以 ⊥ , ⊥ ,
又 = 2, = 1, 的中点为 , // ,
所以 // , = = 1,可得四边形 为平行四边形,
又 ⊥ ,因此 为矩形,可知 ⊥ ,
因此 , , 两两垂直,
以点 为坐标原点, , , 所在直线分别为 , , 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
第 5 页,共 9 页
1 1
易知 (0,0,1), (0,1,0), (2√ 2,1,0), (2√ 2, 1,0),因此 (√ 2, , );
2 2
可得 = (0,1, 1), = (2√ 2, 0,0),
设平面 的一个法向量为 = ( , , );
= = 0
则{ ,解得 = 0,令 = 1,可得 = 1;
= 2√ 2 = 0
因此法向量可以为 = (0,1,1),
且 = 2, = 1, = 2√ 2, = 1, ⊥ , 为 的中点.
易知
1 1
= (√ 2, , ),
2 2
| | 1 √ 2
所以点 到平面 的距离为 = = = ;
| | √ 2 2
(2)假设存在点 ,设 = , ∈ [0,1],
易知 = (0, 2,0), = ( 2√ 2, 1,1),
所以 = + = + = ( 2√ 2 , 2 + , ),
由(1)可知平面 的一个法向量为 = (0,1,1),
√ 5
因为直线 与平面 所成角的正弦值是 ,
5
| |
|
|2 2| √ 5
所以 cos , | = = = ,
| || | √ 2 2 5 8 +( 2+ )2+ ×√ 2
3
解得 = ,
8
3 3
即 = ,可得 = .
8 8
第 6 页,共 9 页
√ 2=
2 2 = 1
18.【答案】解:(1)依题意可知 1 1+ = 1 ,解得{
2 = 1,
2 2 2
2 = 2
{ 2 = 2 + 2
2
因此椭圆 的方程为 + 2 = 1;
2
(2)易知 (1,0),设直线 的方程为 = + 1, ( 1, 1), ( 2, 2);
= +1
联立{ 2 2 ,整理可得(
2 + 2) 2+ 2 1 = 0,显然 = 4 2 + 4( 2 +2) > 0;
+ = 1
2
2 1
因此 1 + 2 = 2 , = , +2 1 2 2+2
由3 + = 0可得3( 1 1, 1)+ ( 2 1, 2) = 0,即3 1 + 2 = 0,
2
代入可得 1 + 2 = 2 1 = 2 ,即 +2 1 = ; 2+2
2 1 2 1
因此 1 2 = 3
2
1 = 3( ) 2 = 2 ,即 = , +2 +2 2+2 3
解得 = ±1,
因此直线 的方程为 = ± + 1,即其斜率为±1.
(3)如下图:
1
当过点(0, )的动直线斜率存在时,
2
1
设直线方程为 = , ( ,
2 3 3
), ( 4 , 4), (0, );
1
=
3
联立{ 22 ,整理可得(2
2 + 1) 2 2 = 0,显然 = 4 2+ 6(2 2+ 1) > 0;
2 2+ = 1
2
2 3
因此 3 + 4 = 2 , 3 4 = 2 ,
2 +1 2(2 +1)
所以 = ( 3, 3 ) ( 4, 4 )
1
= 23 4 + ( 3 )( 4 ) = ( + 1) 3 4 ( + ) ( 2 3 + 4
)+
2
(1+ )
2
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2
3 1 2 1
= ( 2 + 1)( ) ( + ) × + ( + )
2 (2 2 +1) 2 2 2+1 2
(4 2 4 3) 2 +2 2 2
=
2
2 (2 + 1)
{4
2 4 3 ≤ 0
若存在点 使得 ≤ 0恒成立,可得 ,
2 2 2 ≤ 0
1
解得 ≤ ≤ 1,
2
1
当过点(0, )的动直线斜率不存在时,两个交点 , 分别为椭圆的上下顶点,
2
显然此时 , 方向相反,满足题意;
1
综上可得,点 的纵坐标的取值范围为[ , 1],使得 ≤ 0恒成立.
2
19.【答案】解:(1)因为等差数列{ }是“ (3,6)数列”,所以 3 = 6, 6 = 3,
3×2
3 1 + = 6
即可得{ 2 ,由首项为3,解得 = 1;
6×5
6 1 + = 32
(2)①当公比 = 1时,可得 = 1 , 2 = 2 1;
由数列{ }为“ ( , 2 )数列”可得 = 2 , 2 = ,
即2 = 1 , = 2 1,显然此时方程组无解,即 ≠ 1;
(1 ) 2
当 ≠ 1时,由 = 2 , = 可得 1 = 2 , 1
(1 )
2 = , 1 1
解得
1
= ;
2
显然当 为偶数时,此时 无解,
因此 一定为奇数,
1 1
当 = 1时,可得 = ,当 = 3时,可得 = ,
2 3√2
1
以此类推易知 = 2 + 1, ∈ 时,可得 = , ∈ ,
2 +1√2
1
显然 = , ∈ 随之 的增大而减小,
2 +1√2
1
所以 = 0时, = 取得最大值;
2
②因为数列{ }为“ ( , )数列”, ∈ ( 1,0),所以 = , = ,
1(1
) (1 )
即 = , 1 = ,
1 1
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1
两式作商可得 = ,即 (1 ) = (1 ),
1
因为 为偶数,
假设 为偶数,则可得 (1 | | ) = (1 | | ),
令函数 = (1 ), 0 < < 1,则 ′ = 1 ln , 0 < < 1,
当 > 0时,易知1 > 0, ln > 0,即 ′ > 0,
所以 = (1 ), 0 < < 1在 ∈ (0,+∞)上单调递增,
因为 < ,所以 (1 | | ) < (1 | | ),
这与 (1 | | ) = (1 | | )矛盾,因此假设不成立;
假设 为奇数,则可得 (1+ | | ) = (1 | | ),
因为 < ,所以0 < 1 | | < 1,1+ | | > 1,即0 < (1 | | ) < (1 + | | )
因此 (1 + | | ) > (1 | | )
这与 (1 | | ) = (1 | | )矛盾,因此假设不成立;
综上可得,若 ∈ ( 1,0), 为偶数,不存在正整数 ,使数列{ }为“ ( , )数列”.
第 9 页,共 9 页

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