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江苏省南京市文枢高级中学 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 过点 ( 4, √ 3)、 ( 1,0)，则 的倾斜角为( )
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
2.数列2， 4，6， 8，…的通项公式可能是( )
A. = ( 1)
2 B. = ( 1)
+12 C. = ( 1)
2 D. = ( 1)
+12
3.已知直线 + (2 1) + 2 = 0与直线3 + + 3 = 0垂直，则( )
A. = 1 B. = 1
C. = 0或 = 1 D. = 1或 = 0
4.已知正项等比数列{ }中， 2 = 2， 5 = 4 3，则 6 =( )
A. 16 B. 32 C. 64 D. 32
5.设等差数列{ }的前 项和为 ，已知 3 + 13 = 12，则 15 =( )
A. 90 B. 180 C. 45 D. 135
6.若方程 2 + 2 = 2表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是( )
A. (0, +∞) B. (0,2) C. (1, +∞) D. (0,1)
7.直线 : 2 + 2 = 0( ∈ )过定点 ，若 为圆 : ( 2)2 + ( 3)2 = 4上任意一点，则| |的最
大值为( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 2
8.若直线 = + 4( > 0)与曲线 = √ 4 2有两个交点，则实数 的取值范围为( )
A. (√ 3, +∞) B. [√ 3, +∞) C. [√ 3, 2] D. (√ 3, 2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 1：
2 + 2 2 3 = 0和圆 2 22： + 2 1 = 0交于 ， 两点，则( )
A. 两圆的圆心距| 1 2| = 2
B. 两圆有3条公切线
C. 直线 的方程为 + 1 = 0
D. 圆 1上的点到直线 的最大距离为2 + √ 2
1
10.已知数列{ }满足 +1 = 1 ( ∈
)，且 1 = 2，则( )
A. 3 = 1 B. 2024 = 2 C. 6 = 3 D. 2 2024 = 2025
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11.抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， 为其上一动点，当 运动到(2, )时，| | = 4，直线 与抛物线相
交于 ， 两点，点 (4,1)，下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为 2 = 8
B. 存在直线 ，使得 、 两点关于 + 6 = 0对称
C. | | + | |的最小值为6
D. 当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 轴相切
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.抛物线 2 = 12 的准线方程是 ．
13.已知实数 , 满足关系： 2 + 2 2 + 4 20 = 0，则√ 2 + 2的最小值 ．
1
14.已知数列{ }满足 1 = ，且 +1 = ，则数列{ }的通项公式为 = ． 2 3 +1
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知三角形的三个顶点 ( 5,0)， (3, 3)， (0,2)．
(1)求 边高线所在直线的方程；
(2)求△ 的面积．
16.(本小题12分)
在等差数列{ }中， 1 + 3 = 10， 4 2 = 4．
(Ⅰ)求{ }的通项公式；
(Ⅱ)记{ }的前 项和为 ，求满足 ≤ 120的 的最大值．
17.(本小题12分)
已知圆 的圆心在直线3 = 0上，且经过点 ( 1,3)， (1,5)．
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点 (2,1)的直线 与圆 相交于 ， 两点，且| | = 2√ 3，求直线 的方程．
18.(本小题12分)
记 为数列{ }的前 项和， 为数列{ }的前 项和，已知 = 2 ．
(1)证明：数列{ + 1}是等比数列；
(2)已知数列{ }满足： = ，求数列{ }的前 项和 ．
19.(本小题12分)
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2 2 √ 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右顶点为 ，上顶点为 ，| | = √ 3，离心率为 ． 2
(1)求 的方程；
(2)直线 平行于直线 ，且与 交于 ， 两点，
1
① ， 是直线 上的两点，满足四边形 为矩形，且该矩形的面积等于 | |2，求 的方程；
3
②当直线 ， 斜率存在时，分别将其记为 1， 2，证明： 1 · 2为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 = 3
13.【答案】5 √ 5
1
14.【答案】
3 1
15.【答案】解：(1)因为三角形的三个顶点 ( 5,0)， (3, 3)， (0,2)，
3 2 5
所以 = = ， 3 0 3
3
故高线的斜率 = ，
5
3
所求方程为 0 = ( + 5) 3 5 + 15 = 0．
5
5
(2)由(Ⅰ)可得 的方程为： 2 = ，
3
即5 + 3 6 = 0，
| | = √ (3 0)2 + ( 3 2)2 = √ 34，
| 25 6| 31
点 到 的距离 = = ，
√ 25+9 √ 34
1 31
= | | = ． 2 2
16.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{ }的公差为 ，
2
所以{ 1
+ 2 = 10 1 = 3，解得{ ，
2 = 4 = 2
所以数列 的通项公式为 = 3 + 2( 1) = 2 + 1;
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( 1)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 = 1 + =
2 + 2 ， ∈
2
所以 2 + 2 ≤ 120， ∈
解得0 < 10，
所以 的最大值为10．
17.【答案】解：(1)设圆的方程为 2 + 2 + + + = 0，

则3( ) + = 0，1 + 9 + 3 + = 0，1 + 25 + + 5 + = 0，
2 2
联立解得 = 2， = 6， = 6，满足 2 + 2 4 > 0，
∴圆 的方程为 2 + 2 2 6 + 6 = 0，即( 1)2 + ( 3)2 = 4．
(2)直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 2 = 0，
则2√ 4 1 = 2√ 3，满足| | = 2√ 3．
直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 1 = ( 2)，即 + 1 2 = 0，
| 3+1 2 | | +2|
圆心 (1,3)到直线 的距离 = = ，
√ 2 2 +1 √ +1
| +2|
由题意可得4 ( )2 = (√ 3)2，
√ 2 +1
3
解得 = ，
4
3
直线 的方程为 1 = ( 2)，即3 + 4 10 = 0．
4
综上可得，直线 的方程为： 2 = 0，3 + 4 10 = 0．
18.【答案】解：(1)证明：数列{ }的前 项和 = 2 ，则 1 = 2 1 1，即 1 = 2 1 1，解得 1 = 1，
当 ≥ 2时， = 1 = (2 ) [2 1 ( 1)]，
即 = 2 1 + 1，整理得 + 1 = 2( 1 + 1)，而 1 + 1 = 2 ≠ 0，
所以{ + 1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
(2)由(1)知 + 1 = 2 ，即 = 2 1，当 ≥ 2时， = = 2 1 1 ，
当 = 1时， 1 = 1 = 1，符合 ≥ 2的情况，因此 = 2
1， 1 = 2 ，
则 = 1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 22 + + × 2
1，
所以2 = 2 × 1 + 2 × 2
2 + 3 × 23 + + × 2 ，
1×(1 2 )
两式相减得 = 1 + 2 + 2
2 + + 2 1 × 2 = × 2 = (1 ) × 2 1，
1 2
所以 = ( 1) 2
+ 1．
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19.【答案】解：(1)因为| | = √ 2 + 2 = √ 3，所以 2 + 2 = 3，
√ 2 √ 2
又因为离心率为 ，所以 = ，
2 2
则 2 = 2 2，
又 2 = 2 + 2，
故 2 = 2， 2 = 2 = 1，
2
所以 的方程为 + 2 = 1．
2
(2) ①易知 (√ 2, 0)， (0,1)，则 方程为 + √ 2 √ 2 = 0．
因为 // ，设直线 ： + √ 2 + = 0( ≠ √ 2).
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
+ 2 = 1,
联立直线 与 方程：{ 2
+ √ 2 + = 0.
消去 得：2 2 + 2 + 2 2 = 0，
2 2
则△= 4 2 8( 2 2) = 16 4 2 > 0，解得 2 < < 2，且 ≠ √ 2且 1 + 2 = ， 1 2 = ． 2
1 2 2 √ 6
所以| | = √ 1 + ．√ ( )2 4 × = ．√ 4 2，
2 2 2
| + √ 2| √ 3
| | = = | + √ 2|.
√ 1 + 2 3
1 √ 6
因为 2矩形 = | | ，所以| | = 3| |，即 ．√ 4
2 = √ 3 · | + √ 2|
3 2
化简得√ 4 2
4√ 2
= √ 2 · | + √ 2|，解得 = 0或 =
3
所以直线 方程为 + √ 2 = 0或3 + 3√ 2 4√ 2 = 0．
1
②证明： 11 = ，
2
2 = ， 1 √ 2 2
√ 2 √ 2
1 ( + )[ ( + ) 1]则 = 2
1 2 1 2 2
1 2 = 1 √ 2 2 1 2 √ 2 2
1 2 √ 2[
2 1
2 + ( 1 + 2) + ] + ( 1 + )
= 2
1 2 √ 2 2
1 2 2 √ 2
[ + ( ) + 2] + ( + )
= 2 2 2
1
2 2
√ 2
2 2
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1 2 2 √ 2
+ (
2 2 2 1
+ )
=
2 2
√ 2
2 2
1 2 2 √ 2
+ ( 2 + )
= 2 2 2
2 2
√ 2
2 2
1 2 2 √ 2

= 2 2 2
2 1
= (定值)．
2 2
√ 2 2
2 2
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