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贵州省遵义市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2}， = [0,2]，则 ∩ =( )
A. [0,2] B. {0,1,2} C. {1,2} D. {1}
2.已知直线 经过点 (2, 3), ( 3,4)，则 的斜率为( )
7 5 7 5
A. B. C. D.
5 7 5 7
3.已知 = 2 3 ，则 的虚部是( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 2
4.已知向量 = (3,2), = ( , 4), = (1, + 1)，若( + 2 )// ，则正数 =( )
1 7 2
A. B. C. 1 D.
2 2 7
1
5.已知角 满足cos = ，则cos2 =( )
9
7 7 79 79
A. B. C. D.
9 9 81 81
4 1
6.已知点 (1,1)在直线4 + = 0( > 0, > 0)上，则 + 的最小值为( )

5 25
A. B. 5 C. 25 D.
2 4
7.已知抛物线 : 2 = 32 的焦点为 ，点 (4,2)， 是抛物线 上的一个动点，则| | + | |的最小值为( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
1 1
8.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + 2) + ( ) = 0， ( + 1) = ( + 1)， ( ) = 1，则 ( ) +
2 2
3 5 29
( ) + ( ) + + ( ) =( )
2 2 2
A. 1 B. 1 C. 2 D. 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.已知曲线 : + = 1的两个焦点为 1， 2， 为曲线 上不与 1， 2共线的点，则下列说法正确的是( ) 9
A. 若 = 1，则| 1| + | 2| = 6 B. 若 = 1，则|| 1| | 2|| = 6
√ 17
C. 若 = 8，则 1 2的周长为7 D. 若 = 8，则 的离心率为 3
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10.如图，在边长为6的等边 中， = 2 , = ，点 在以 为直径的半圆上(不含点 , )，则
下列结论正确的是( )
A. = 18 B. = 0
1C. =
1
+ D. 在
5
上的投影向量为
3 6 6
11.在长方体 1 1 1 1中， = = 1， 1 = 2， 为 1 1的中点，动点 在长方体
1 1 1 1内(含表面)，且满足 = + ，记动点 的轨迹为 ，则( )
3√ 33
A. 的面积为
8
B. 平面 1 1与 所在平面平行
1
C. 当 = 时，存在点 ，使得 1 ⊥ 2 1
D. 当 = 1时，三棱锥 的体积为定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = 2 + ( 1) 是偶函数，则 =
13.《九章算术·商功》中将正四面形棱台(即正四棱台)建筑物称为方亭．现有一方亭 1 1 1 1，已
知 = 1，且该方亭的高为6，体积为26，则 1 1 = ．

14.已知函数 ( ) = sin2 √ 3cos2 ( > 0).若方程 ( ) = 0在区间(0, )内无解，则 的取值范围
4
是 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知sin2 = sin ．
(1)求角 的大小；
(2)已知 = √ 19， = 3，求 的面积．
16.(本小题12分)
为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随
机抽取200名学生的日均数学自主学习时间(单位：分钟)作为样本，经统计发现这200名学生的日均数学自
主学习时间均在[45,105]内，绘制的频率分布表如下表所示：
日均数学自主学习时
[45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95) [95,105]
间
频率 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10
(1)试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数；
(3)现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在[85,95)与[95,105]内的学生中抽取5名学生进行个案分
析，再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案，求被抽取的3名学生中至少有2名学
生的日均数学自主学习时间在[85,95)内的概率．
17.(本小题12分)
已知圆 的圆心在直线2 3 = 0上，且经过点(2,2)和点(3,1)．
(1)求圆 的标准方程；
(2)一条光线从点 ( 2,3)射出，经 轴反射后，与圆 相切，求反射后的光线所在直线的方程．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ⊥ ， // ，平面 ⊥平面 ， = ，
= = 2， = 4．
(1)证明：平面 ⊥平面 ．
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(2)若平面 与平面 的夹角为 ，求点 到平面 的距离．
6
19.(本小题12分)
′ =
在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ( , )，总存在一点 ( ′, ′)满足关系式 : { ( > 0, > 0)，
′ =
则称 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换 ，使得圆 2 + 21 = 1变换为椭圆9
2 + 4 2 = 1．
1
2 ′ =
(2)在同一直角坐标系中，椭圆 + 2 = 1经平面直角坐标系中的伸缩变换 : { 2 得到曲线 ．
16 ′ = 3
①求曲线 的方程；
②已知 ( 2,0)， ( 2,3)，过点 的直线交 于 ， 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ， ，证明：
线段 的中点为定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】3
2
14.【答案】(0, ]
3
15.【答案】解：(1)由sin2 = sin ，可得2sin cos = sin ，
又0 < < ，所以sin ≠ 0，
1
所以cos = ，所以 = ；
2 3

(2)由(1)知 = ，
3

由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，又 = √ 19， = 3，
3
所以19 = 2 + 9 3 ，解得 = 5或 = 2(舍去)，
1 1 15√ 3
所以 △ = sin = × 5 × 3 × sin = ． 2 2 3 4
16.【答案】解：(1)依题意可得日均数学自主学习时间的平均数为：
50 × 0.05 + 60 × 0.1 + 70 × 0.25 + 80 × 0.35 + 90 × 0.15 + 100 × 0.1 = 77.5；
(2)因为0.05 + 0.1 = 0.15 < 0.3，0.05 + 0.1 + 0.25 = 0.4 > 0.3，
所以第30百分位数位于[65,75)，设为 ，
则0.15 + ( 65) × 0.25 ÷ 10 = 0.3，解得 = 71，
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所以第30百分位数为71；
0.15
(3)依题意[85,95)中抽取5 × = 3名学生，分别记作 、 、 ，
0.15+0.1
0.1
[95,105]中抽取5 × = 2名学生，分别记作 、 ，
0.15+0.1
从这5名学生中，随机抽取3名学生，则可能结果有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10个；
其中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85,95)有：
， ， ， ， ， ， 共7个，
7
所以至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85,95)的概率 = ；
10
17.【答案】【详解】(1)设圆心为 (3 , 2 )，
则 = √ (3 2)2 + (2 2)2 = √ (3 3)2 + (2 1)2，
即(3 2)2 + (2 2)2 = (3 3)2 + (2 1)2，解得 = 1，
∴ = √ (3 2)2 + (2 2)2 = 1，
∴圆 的标准方程：( 3)2 + ( 2)2 = 1．
(2)如图： 1( 2, 3)是 点关于 的对称点．
显然，当反射后的直线斜率不存在时，反射后的直线与圆不相切，
所以反射后的直线的斜率一定存在，
∴设 : + 3 = ( + 2)，即 : + 2 3 = 0，
∵反射后的直线与圆相切，∴圆心 (3,2)到直线的距离 = ，
|3 2+2 3|
∴ = 1，整理得12 2 25 + 12 = 0，
√ 2 1+
25±√ 252 4×12×12 25±7 4 3
∴ = = ，即
24 24 1
= ， 2 = ， 3 4
∴反射后的光线所在直线的方程： : 4 3 1 = 0或3 4 6 = 0．
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18.【答案】【详解】(1)证明：因为平面 ⊥平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 .因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)取 的中点 ，连接 .因为 = ，所以 ⊥ ．
因为平面 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ．
以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (1,0,0)， (1,4,0)， ( 1,2,0)， ( 1,0,0)．
设 (0,0, )，平面 的法向量为 = ( , , )，
因为 = ( 2, 2,0)， = ( 1, 4, )，
= 2 2 = 0
所以{ ，令 = ，得 = ( , , 3)．
= 4 + = 0
平面 的一个法向量为 = (0,0,1)．
3 √ 3 √ 6
因为平面 与平面 的夹角为 ，所以|cos , | = = ，所以 = ．
6 √ 2 2+9 2 2
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
因为
√ 6
= (0,4,0)， = ( 1, 4, )，
2
1 = 4 1 = 0,
所以{

√ 6
1 = 1 4 1 + 2 1 = 0,
令 1 = √ 6，得 1 = (√ 6, 0,2)．
| 1 | 2√ 6 2√ 15
因为 = (2,2,0)，所以点 到平面 的距离 = = = ．
| 1 | √ 10 5
′ =
19.【答案】解：(1)将伸缩变换 11: { ( 1 > 0, 1 > 0)代入9( ′)
2 + 4( ′)2 = 1，
′ = 1
得到9( 1 )
2 + 4( 21 ) = 1，
将上式与 2 + 2 = 1比较，得9 21 = 1,4
2
1 = 1，
1 1
解得 1 = ， 1 = ， 3 2
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1
′ =
所以所求的伸缩变换 1为{
3 ；
1
′ =
2
1
′ = = 2 ′
(2)由 : { 2 ，可得{ 1 ,
′ = 3 = ′3
2
2
(2 ′) 1 2
代入 + 2 = 1，可得 + ( ′) = 1，
16 16 3
2 2
( ′) ( ′)
则 + = 1，
4 9
2 2
所以曲线 的方程为 + = 1；
4 9
②证明：由题意可知，直线 的斜率存在，
设 的方程为 = ( + 2) + 3， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( + 2) + 3
联立方程{ 2 2 ,
+ = 1
9 4
消去 得(4 2 + 9) 2 + 8 (2 + 3) + 16( 2 + 3 ) = 0，
则 = 64 2(2 + 3)2 64(4 2 + 9)( 2 + 3 ) = 1728 > 0，
解得 < 0，
2
8 (2 +3) 16( +3 )
可得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
4 +9 4 +9

因为 ( 2,0)，所以直线 的方程为 = 1 ( + 2)，
1+2
2 2
令 = 0，解得 = 1 ，即 (0, 1 )，
1+2 1+2
2
同理可得 (0, 2 )，
2+2
2 1 2 + 2
1+2 2+2 ( 1+2)+3 ( 则 = + 2
+2)+3
2 1+2 2+2
[ 1 + (2 + 3)]( 2 + 2) + [ 2 + (2 + 3)]( 1 + 2)
=
( 1 + 2)( 2 + 2)
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2 1 2 + (4 + 3)( 1 + 2) + 4(2 + 3)
=
1 2 + 2( 1 + 2) + 4
2
32 ( +3 ) 8 (4 +3)(2 +3)
2 2 +4(2 +3)
= 4 +9 4 +9
108
2 = = 3，
16( +3 ) 3616 (2 +3)
2 2 +4
4 +9 4 +9
所以线段 的中点是定点(0,3)．
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