贵州省遵义市2024-2025学年高二(上)期末数学试卷(PDF版,含答案)

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贵州省遵义市 2024-2025 学年高二(上)期末数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2}, = [0,2],则 ∩ =( )
A. [0,2] B. {0,1,2} C. {1,2} D. {1}
2.已知直线 经过点 (2, 3), ( 3,4),则 的斜率为( )
7 5 7 5
A. B. C. D.
5 7 5 7
3.已知 = 2 3 ,则 的虚部是( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 2
4.已知向量 = (3,2), = ( , 4), = (1, + 1),若( + 2 )// ,则正数 =( )
1 7 2
A. B. C. 1 D.
2 2 7
1
5.已知角 满足cos = ,则cos2 =( )
9
7 7 79 79
A. B. C. D.
9 9 81 81
4 1
6.已知点 (1,1)在直线4 + = 0( > 0, > 0)上,则 + 的最小值为( )

5 25
A. B. 5 C. 25 D.
2 4
7.已知抛物线 : 2 = 32 的焦点为 ,点 (4,2), 是抛物线 上的一个动点,则| | + | |的最小值为( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
1 1
8.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + 2) + ( ) = 0, ( + 1) = ( + 1), ( ) = 1,则 ( ) +
2 2
3 5 29
( ) + ( ) + + ( ) =( )
2 2 2
A. 1 B. 1 C. 2 D. 0
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
2 2
9.已知曲线 : + = 1的两个焦点为 1, 2, 为曲线 上不与 1, 2共线的点,则下列说法正确的是( ) 9
A. 若 = 1,则| 1| + | 2| = 6 B. 若 = 1,则|| 1| | 2|| = 6
√ 17
C. 若 = 8,则 1 2的周长为7 D. 若 = 8,则 的离心率为 3
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10.如图,在边长为6的等边 中, = 2 , = ,点 在以 为直径的半圆上(不含点 , ),则
下列结论正确的是( )
A. = 18 B. = 0
1C. =
1
+ D. 在
5
上的投影向量为
3 6 6
11.在长方体 1 1 1 1中, = = 1, 1 = 2, 为 1 1的中点,动点 在长方体
1 1 1 1内(含表面),且满足 = + ,记动点 的轨迹为 ,则( )
3√ 33
A. 的面积为
8
B. 平面 1 1与 所在平面平行
1
C. 当 = 时,存在点 ,使得 1 ⊥ 2 1
D. 当 = 1时,三棱锥 的体积为定值
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.若函数 ( ) = 2 + ( 1) 是偶函数,则 =
13.《九章算术·商功》中将正四面形棱台(即正四棱台)建筑物称为方亭.现有一方亭 1 1 1 1,已
知 = 1,且该方亭的高为6,体积为26,则 1 1 = .

14.已知函数 ( ) = sin2 √ 3cos2 ( > 0).若方程 ( ) = 0在区间(0, )内无解,则 的取值范围
4
是 .
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四、解答题:本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在 中,内角 , , 的对边分别为 , , .已知sin2 = sin .
(1)求角 的大小;
(2)已知 = √ 19, = 3,求 的面积.
16.(本小题12分)
为了了解高二年级学生的数学学习情况,某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查,随
机抽取200名学生的日均数学自主学习时间(单位:分钟)作为样本,经统计发现这200名学生的日均数学自
主学习时间均在[45,105]内,绘制的频率分布表如下表所示:
日均数学自主学习时
[45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95) [95,105]

频率 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10
(1)试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数;
(3)现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在[85,95)与[95,105]内的学生中抽取5名学生进行个案分
析,再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案,求被抽取的3名学生中至少有2名学
生的日均数学自主学习时间在[85,95)内的概率.
17.(本小题12分)
已知圆 的圆心在直线2 3 = 0上,且经过点(2,2)和点(3,1).
(1)求圆 的标准方程;
(2)一条光线从点 ( 2,3)射出,经 轴反射后,与圆 相切,求反射后的光线所在直线的方程.
18.(本小题12分)
如图,在四棱锥 中,底面 是直角梯形, ⊥ , // ,平面 ⊥平面 , = ,
= = 2, = 4.
(1)证明:平面 ⊥平面 .
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(2)若平面 与平面 的夹角为 ,求点 到平面 的距离.
6
19.(本小题12分)
′ =
在平面直角坐标系 中,对于任意一点 ( , ),总存在一点 ( ′, ′)满足关系式 : { ( > 0, > 0),
′ =
则称 为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(1)在同一直角坐标系中,求平面直角坐标系中的伸缩变换 ,使得圆 2 + 21 = 1变换为椭圆9
2 + 4 2 = 1.
1
2 ′ =
(2)在同一直角坐标系中,椭圆 + 2 = 1经平面直角坐标系中的伸缩变换 : { 2 得到曲线 .
16 ′ = 3
①求曲线 的方程;
②已知 ( 2,0), ( 2,3),过点 的直线交 于 , 两点,直线 , 与 轴的交点分别为 , ,证明:
线段 的中点为定点.
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】3
2
14.【答案】(0, ]
3
15.【答案】解:(1)由sin2 = sin ,可得2sin cos = sin ,
又0 < < ,所以sin ≠ 0,
1
所以cos = ,所以 = ;
2 3

(2)由(1)知 = ,
3

由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ,又 = √ 19, = 3,
3
所以19 = 2 + 9 3 ,解得 = 5或 = 2(舍去),
1 1 15√ 3
所以 △ = sin = × 5 × 3 × sin = . 2 2 3 4
16.【答案】解:(1)依题意可得日均数学自主学习时间的平均数为:
50 × 0.05 + 60 × 0.1 + 70 × 0.25 + 80 × 0.35 + 90 × 0.15 + 100 × 0.1 = 77.5;
(2)因为0.05 + 0.1 = 0.15 < 0.3,0.05 + 0.1 + 0.25 = 0.4 > 0.3,
所以第30百分位数位于[65,75),设为 ,
则0.15 + ( 65) × 0.25 ÷ 10 = 0.3,解得 = 71,
第 5 页,共 9 页
所以第30百分位数为71;
0.15
(3)依题意[85,95)中抽取5 × = 3名学生,分别记作 、 、 ,
0.15+0.1
0.1
[95,105]中抽取5 × = 2名学生,分别记作 、 ,
0.15+0.1
从这5名学生中,随机抽取3名学生,则可能结果有:
, , , , , , , , , 共10个;
其中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85,95)有:
, , , , , , 共7个,
7
所以至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85,95)的概率 = ;
10
17.【答案】【详解】(1)设圆心为 (3 , 2 ),
则 = √ (3 2)2 + (2 2)2 = √ (3 3)2 + (2 1)2,
即(3 2)2 + (2 2)2 = (3 3)2 + (2 1)2,解得 = 1,
∴ = √ (3 2)2 + (2 2)2 = 1,
∴圆 的标准方程:( 3)2 + ( 2)2 = 1.
(2)如图: 1( 2, 3)是 点关于 的对称点.
显然,当反射后的直线斜率不存在时,反射后的直线与圆不相切,
所以反射后的直线的斜率一定存在,
∴设 : + 3 = ( + 2),即 : + 2 3 = 0,
∵反射后的直线与圆相切,∴圆心 (3,2)到直线的距离 = ,
|3 2+2 3|
∴ = 1,整理得12 2 25 + 12 = 0,
√ 2 1+
25±√ 252 4×12×12 25±7 4 3
∴ = = ,即
24 24 1
= , 2 = , 3 4
∴反射后的光线所在直线的方程: : 4 3 1 = 0或3 4 6 = 0.
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18.【答案】【详解】(1)证明:因为平面 ⊥平面 , ⊥ ,
所以 ⊥平面 .因为 平面 ,所以平面 ⊥平面 .
(2)取 的中点 ,连接 .因为 = ,所以 ⊥ .
因为平面 ⊥平面 ,所以 ⊥平面 .
以 为坐标原点, , 的方向分别为 , 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 (1,0,0), (1,4,0), ( 1,2,0), ( 1,0,0).
设 (0,0, ),平面 的法向量为 = ( , , ),
因为 = ( 2, 2,0), = ( 1, 4, ),
= 2 2 = 0
所以{ ,令 = ,得 = ( , , 3).
= 4 + = 0
平面 的一个法向量为 = (0,0,1).
3 √ 3 √ 6
因为平面 与平面 的夹角为 ,所以|cos , | = = ,所以 = .
6 √ 2 2+9 2 2
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1),
因为
√ 6
= (0,4,0), = ( 1, 4, ),
2
1 = 4 1 = 0,
所以{

√ 6
1 = 1 4 1 + 2 1 = 0,
令 1 = √ 6,得 1 = (√ 6, 0,2).
| 1 | 2√ 6 2√ 15
因为 = (2,2,0),所以点 到平面 的距离 = = = .
| 1 | √ 10 5
′ =
19.【答案】解:(1)将伸缩变换 11: { ( 1 > 0, 1 > 0)代入9( ′)
2 + 4( ′)2 = 1,
′ = 1
得到9( 1 )
2 + 4( 21 ) = 1,
将上式与 2 + 2 = 1比较,得9 21 = 1,4
2
1 = 1,
1 1
解得 1 = , 1 = , 3 2
第 7 页,共 9 页
1
′ =
所以所求的伸缩变换 1为{
3 ;
1
′ =
2
1
′ = = 2 ′
(2)由 : { 2 ,可得{ 1 ,
′ = 3 = ′3
2
2
(2 ′) 1 2
代入 + 2 = 1,可得 + ( ′) = 1,
16 16 3
2 2
( ′) ( ′)
则 + = 1,
4 9
2 2
所以曲线 的方程为 + = 1;
4 9
②证明:由题意可知,直线 的斜率存在,
设 的方程为 = ( + 2) + 3, ( 1, 1), ( 2, 2),
= ( + 2) + 3
联立方程{ 2 2 ,
+ = 1
9 4
消去 得(4 2 + 9) 2 + 8 (2 + 3) + 16( 2 + 3 ) = 0,
则 = 64 2(2 + 3)2 64(4 2 + 9)( 2 + 3 ) = 1728 > 0,
解得 < 0,
2
8 (2 +3) 16( +3 )
可得 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ,
4 +9 4 +9

因为 ( 2,0),所以直线 的方程为 = 1 ( + 2),
1+2
2 2
令 = 0,解得 = 1 ,即 (0, 1 ),
1+2 1+2
2
同理可得 (0, 2 ),
2+2
2 1 2 + 2
1+2 2+2 ( 1+2)+3 ( 则 = + 2
+2)+3
2 1+2 2+2
[ 1 + (2 + 3)]( 2 + 2) + [ 2 + (2 + 3)]( 1 + 2)
=
( 1 + 2)( 2 + 2)
第 8 页,共 9 页
2 1 2 + (4 + 3)( 1 + 2) + 4(2 + 3)
=
1 2 + 2( 1 + 2) + 4
2
32 ( +3 ) 8 (4 +3)(2 +3)
2 2 +4(2 +3)
= 4 +9 4 +9
108
2 = = 3,
16( +3 ) 3616 (2 +3)
2 2 +4
4 +9 4 +9
所以线段 的中点是定点(0,3).
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