广东省广州市真光中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试数学试题(图片版,含答案)

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广东省广州市真光中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试数学试题(图片版,含答案)

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广州市真光中学 2024 学年度第二学期 3 月阶段测试
高 一 数 学
2025.03.
说明:本试卷共四大题,共 19 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.设 是平面内的一个基底,则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
2. 已知 与 为非零向量, ,若 三点共线,
则 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
3.已知点 与 ,点 在直线 上,且 ,则点 的坐标为( )
A.(-5,8) B. C.(7,-10) D. 或
4.在平行四边形 中, 为一条对角线,若 , ,则 ( )
A. B. C. D.
5.已知函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,所得图
象对应的函数 是偶函数,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知向量 满足 , , ,则 ( )
A. B. C. D.
7.已知点 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足
,则点 P 的轨迹一定通过 的( )
A.外心 B.重心 C.内心 D.垂心
1
8.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 ,且
,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用
(图 1),明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图 2).若一
半径为 2 米的筒车水轮圆心 O 距离水面 1 米(图 3),已知水轮按逆时针转动,每分钟转动
4 圈,当水轮上点 P 从水中浮现时(图 3 中点 )开始计时,点 P 距水面的高度可以用函
数 ( )表示.下列结论正确的有( )
A.点 P 所满足的函数表达式为 ;
B.点 P 第一次到达最高点需用时 5 秒;
C.P 再次接触水面需用时 10 秒; D.当点 P 运动 2.5 秒时,距水面的高度为 1.5 米.
10.在 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,下列说法正确的是( )
A.若 A>B,则 ; B.若 ,则 有两解;
C.若 ,则 为锐角三角形;
D.若 ,则 为等腰三角形或直角三角形.
11.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图 1 是八卦模型图,其平面图形记为图 2 中的正
八边形 ,其中 ,则下列命题中,为真命题的是( )
A. ; B. ;
C. 在 上的投影向量为 ;
D.若点 为正八边形边上的一个动点,则 的最大值为 4.
2
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12.已知平面向量 , , ,向量 在向量 上的投影向量为 ,则
.
13.“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处,是宁波重要地标之一,
为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔,具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点,也是古
代明州港江海通航的水运航标.某同学为测量天封塔
的高度 ,选取了与塔底 在同一水平面内的两个
测量基点 与 ,现测得 , ,
,在点 测得塔顶 的仰角为 ,则塔高

14.在△ABC 中, ,P 是 MC 的中点,延长 AP 交 BC 于点 D.若
,则 ;若 , ,则△ABC 面积的最大
值为 .
四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知 , ,且 .当 为何值时,
(1)向量 与 互相垂直; (2)向量 与 平行.
16.(本小题满分 15 分)
如图,在 中,已知 分别为 边上的中点,
相交于点 .
3
(1)求 ; (2)求 的值.
17.(本小题满分 15 分)
如图所示,在 中, 是边 的中点, 是线段 的中点.过点 的直线与边
, 分别交于点 , .设 , ,( , ).
(1)求证: 为定值;
(2)设 的面积为 , 的面积为 ,
求 的取值范围.
18.(本小题满分 17 分)
已知向量 ,函数 .
(1)求函数 在 上的单调递减区间;
(2)若 ,且 ,求 的值;
(3)将 图象上所有的点向左平移 个单位,然后再向上平移 1 个单位,最后使所有点
的纵坐标变为原来的 2 倍,得到函数 的图象,当 时,方程 有一解,
求实数 的取值范围.
19.(本小题满分 17 分)
在 中, , , 对应的边分别为 , , ,且
.
(1)求角 的值;
(2)若 为线段 内一点,且 ,求线段 的长;
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣,很多数学的定理和公式都以他的名字
来命名,例如:对于任意的 , , n . 都有
(等号成立当且仅当 = = 时成立)被称为柯西不等式;在(1)的条件
4
下,
若 ,求: 的最小值.
高一下学期 3 月月考数学试题参考答案
一、单选题:(共 8 小题,共 40 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B A D A B C C B
二、多选题:(共 3 小题,共 18 分)
题号 9 10 11
选项 BC ACD BCD
三、填空题:(共 3 小题,共 15 分)
12. ; 13. ; 14. ; ;(2 分+3 分)
【解析】8.B;
【详解】因为 ,且 ,则 ,
由余弦定理可得 ,所以 ,
即 ,由正弦定理可得 ,
其中 ,则 ,所以 ,
又 ,
化简可得 ,
且 为锐角三角形,则 ,
所以 ,
即 ,
解得 或 (舍),
所以 ,当且仅当 时,等号成立,
5
则 的最大值为 . 故选:B
14. ; ;(2 分+3 分)
【详解】第一空,因为 P 是 MC 的中点,所以 ,
又因为 ,所以 ,所以 ,
即 ,所以 ;
第二空,设 ,则 ,
因为点 D 在 BC 上,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,
因为 ,即 ,
设 分别为 所对边,所以 ,
即 ,
因为 ,当且仅当 时取等号,
所以 ,即 ,
所以 ,
因此△ABC 面积的最大值为为 . 故答案为: ; .
15.(1) 或 ;(2) .
【详解】(1)∵ ,∴ ,
∵ ,∴ ,
∴ ,∴ , .....................3 分
若向量 与 互相垂直,则 ,
∴ ,
∴ ,
6
∴ ,解得 或 . .....................8 分
(2)因为 ,即 ,
则 ,所以 不共线,
若向量 与 平行,则存在实数 使得 成立,
所以 且 ,解得 . .....................13 分
16.(1) ;(2) .
【详解】(1)因为 ,由余弦定理知:

所以 . .....................6 分
(2)设 ,因为 分别为 的中点,
所以 .
因为 ,
所以 ,
.
又 ,.
所以 .
(也可以利用建系的方法,参照给分).....................15 分
17.(1)证明见解析;(2) .
【详解】(1)设 ,于是 ,
又 , , 、 ,
, ,
7
,根据向量的运算法则可知


三点共线,
,整理可得:
,即 ,
故 为定值,定值为 ; .....................7 分
(2)设 , ,



, ,
. .....................15 分
18.(1) ;(2) ;(3) .
【详解】(1)因为

所以 即 , .
又因为 ,所以函数 在 上的单调递减区间为 .
................5 分
8
(2)若 ,则 ,所以 .
因为 ,所以 ,
所以 , 则
故 . .................11

(3)将 图象上所有的点的纵坐标变为原来的 ,再向下平移 1 个
单位,最后再向右平移 个单位得到函数 的图象,
即:
则 ,
当 时,
由方程 有一解,可得 的取值范围为 .
................17 分
19.(1) ;(2) ;(3)48.
【详解】(1)因为
所以 ,
由正弦定理 ,
所以
即: ,又 ,所以 ;.....................5 分
9
(2)(方法一)因为 ,所以 ,
所以 ,
所以
,及 .....................10 分
(方法二)以 AB 所在的直线为 轴,
A 为坐标原点建立坐标系,如图,

则:
所以 ; ....................10 分
(3)根据柯西不等式(n=3):
(当且仅当 为正三角形时取等号)
即: 的最小值为 48.
.....................17 分
10

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