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广州市真光中学 2024 学年度第二学期 3 月阶段测试
高 一 数 学
2025.03.
说明：本试卷共四大题，共 19 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设 是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
2. 已知 与 为非零向量， ，若 三点共线，
则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3.已知点 与 ，点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为（ ）
A.（-5,8） B. C.（7，-10） D. 或
4.在平行四边形 中， 为一条对角线，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图
象对应的函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
6. 已知向量 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知点 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
，则点 P 的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心
1
8．在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 ，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用
（图 1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图 2）．若一
半径为 2 米的筒车水轮圆心 O 距离水面 1 米（图 3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动
4 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时（图 3 中点 ）开始计时，点 P 距水面的高度可以用函
数 （ ）表示．下列结论正确的有（ ）
A．点 P 所满足的函数表达式为 ；
B．点 P 第一次到达最高点需用时 5 秒；
C．P 再次接触水面需用时 10 秒； D．当点 P 运动 2.5 秒时，距水面的高度为 1.5 米.
10．在 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若 A＞B，则 ； B．若 ，则 有两解；
C．若 ，则 为锐角三角形；
D．若 ，则 为等腰三角形或直角三角形.
11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正
八边形 ，其中 ，则下列命题中，为真命题的是（ ）
A. ； B. ；
C. 在 上的投影向量为 ；
D.若点 为正八边形边上的一个动点，则 的最大值为 4．
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知平面向量 ， ， ，向量 在向量 上的投影向量为 ，则
.
13．“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，
为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古
代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔
的高度 ，选取了与塔底 在同一水平面内的两个
测量基点 与 ，现测得 ， ，
，在点 测得塔顶 的仰角为 ，则塔高
．
14．在△ABC 中， ，P 是 MC 的中点，延长 AP 交 BC 于点 D．若
，则 ；若 ， ，则△ABC 面积的最大
值为 ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
已知 ， ，且 ．当 为何值时，
(1)向量 与 互相垂直； (2)向量 与 平行.
16.（本小题满分 15 分）
如图，在 中，已知 分别为 边上的中点，
相交于点 .
3
(1)求 ； (2)求 的值.
17．（本小题满分 15 分）
如图所示，在 中， 是边 的中点， 是线段 的中点.过点 的直线与边
， 分别交于点 ， .设 ， ，（ ， ）.
(1)求证： 为定值；
(2)设 的面积为 ， 的面积为 ，
求 的取值范围.
18．（本小题满分 17 分）
已知向量 ，函数 ．
(1)求函数 在 上的单调递减区间；
(2)若 ，且 ，求 的值；
(3)将 图象上所有的点向左平移 个单位，然后再向上平移 1 个单位，最后使所有点
的纵坐标变为原来的 2 倍，得到函数 的图象，当 时，方程 有一解，
求实数 的取值范围．
19．（本小题满分 17 分）
在 中， ， ， 对应的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的值；
(2)若 为线段 内一点，且 ，求线段 的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣,很多数学的定理和公式都以他的名字
来命名，例如：对于任意的 , , n . 都有
（等号成立当且仅当 = = 时成立）被称为柯西不等式；在（1）的条件
4
下，
若 ，求： 的最小值.
高一下学期 3 月月考数学试题参考答案
一、单选题：（共 8 小题，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B A D A B C C B
二、多选题：（共 3 小题，共 18 分）
题号 9 10 11
选项 BC ACD BCD
三、填空题：（共 3 小题，共 15 分）
12． ； 13. ； 14． ； ；（2 分+3 分）
【解析】8．B；
【详解】因为 ，且 ，则 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
即 ，由正弦定理可得 ，
其中 ，则 ，所以 ，
又 ，
化简可得 ，
且 为锐角三角形，则 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 （舍），
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
5
则 的最大值为 . 故选：B
14． ； ；（2 分+3 分）
【详解】第一空，因为 P 是 MC 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ；
第二空，设 ，则 ，
因为点 D 在 BC 上，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
因为 ，即 ，
设 分别为 所对边，所以 ，
即 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，
所以 ，
因此△ABC 面积的最大值为为 . 故答案为： ； .
15．(1) 或 ；(2) .
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ， .....................3 分
若向量 与 互相垂直，则 ，
∴ ，
∴ ，
6
∴ ，解得 或 . .....................8 分
（2）因为 ，即 ，
则 ，所以 不共线，
若向量 与 平行，则存在实数 使得 成立，
所以 且 ，解得 . .....................13 分
16．(1) ；(2) .
【详解】（1）因为 ，由余弦定理知：
，
所以 . .....................6 分
（2）设 ，因为 分别为 的中点，
所以 .
因为 ，
所以 ，
.
又 ，.
所以 .
（也可以利用建系的方法，参照给分）.....................15 分
17．(1)证明见解析；(2) .
【详解】（1）设 ，于是 ，
又 ， ， 、 ，
， ，
7
，根据向量的运算法则可知
，
，
三点共线，
，整理可得：
，即 ，
故 为定值，定值为 ； .....................7 分
（2）设 ， ，
，
，
，
， ，
. .....................15 分
18．(1) ；(2) ；(3) .
【详解】（1）因为
，
所以 即 ， .
又因为 ，所以函数 在 上的单调递减区间为 .
................5 分
8
（2）若 ，则 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ， 则
故 . .................11
分
（3）将 图象上所有的点的纵坐标变为原来的 ，再向下平移 1 个
单位，最后再向右平移 个单位得到函数 的图象，
即：
则 ，
当 时，
由方程 有一解，可得 的取值范围为 ．
................17 分
19．(1) ；(2) ；(3)48.
【详解】（1）因为
所以 ，
由正弦定理 ，
所以
即： ，又 ，所以 ；.....................5 分
9
（2）（方法一）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，及 .....................10 分
（方法二）以 AB 所在的直线为 轴，
A 为坐标原点建立坐标系，如图，
则
则：
所以 ； ....................10 分
（3）根据柯西不等式（n=3）：
（当且仅当 为正三角形时取等号）
即： 的最小值为 48.
.....................17 分
10

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