资源简介 广州市真光中学 2024 学年度第二学期 3 月阶段测试高 一 数 学2025.03.说明:本试卷共四大题,共 19 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设 是平面内的一个基底,则下面的四组向量不能构成基底的是( )A. 和 B. 和C. 和 D. 和2. 已知 与 为非零向量, ,若 三点共线,则 ( )A.3 B.2 C.1 D.03.已知点 与 ,点 在直线 上,且 ,则点 的坐标为( )A.(-5,8) B. C.(7,-10) D. 或4.在平行四边形 中, 为一条对角线,若 , ,则 ( )A. B. C. D.5.已知函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数 是偶函数,则 ( )A. B. C. D.6. 已知向量 满足 , , ,则 ( )A. B. C. D.7.已知点 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足,则点 P 的轨迹一定通过 的( )A.外心 B.重心 C.内心 D.垂心18.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 ,且,则 的最大值为( )A. B. C. D.二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.9.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用(图 1),明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图 2).若一半径为 2 米的筒车水轮圆心 O 距离水面 1 米(图 3),已知水轮按逆时针转动,每分钟转动4 圈,当水轮上点 P 从水中浮现时(图 3 中点 )开始计时,点 P 距水面的高度可以用函数 ( )表示.下列结论正确的有( )A.点 P 所满足的函数表达式为 ;B.点 P 第一次到达最高点需用时 5 秒;C.P 再次接触水面需用时 10 秒; D.当点 P 运动 2.5 秒时,距水面的高度为 1.5 米.10.在 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,下列说法正确的是( )A.若 A>B,则 ; B.若 ,则 有两解;C.若 ,则 为锐角三角形;D.若 ,则 为等腰三角形或直角三角形.11.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图 1 是八卦模型图,其平面图形记为图 2 中的正八边形 ,其中 ,则下列命题中,为真命题的是( )A. ; B. ;C. 在 上的投影向量为 ;D.若点 为正八边形边上的一个动点,则 的最大值为 4.2三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.12.已知平面向量 , , ,向量 在向量 上的投影向量为 ,则.13.“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处,是宁波重要地标之一,为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔,具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点,也是古代明州港江海通航的水运航标.某同学为测量天封塔的高度 ,选取了与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ,现测得 , ,,在点 测得塔顶 的仰角为 ,则塔高.14.在△ABC 中, ,P 是 MC 的中点,延长 AP 交 BC 于点 D.若,则 ;若 , ,则△ABC 面积的最大值为 .四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 13 分)已知 , ,且 .当 为何值时,(1)向量 与 互相垂直; (2)向量 与 平行.16.(本小题满分 15 分)如图,在 中,已知 分别为 边上的中点,相交于点 .3(1)求 ; (2)求 的值.17.(本小题满分 15 分)如图所示,在 中, 是边 的中点, 是线段 的中点.过点 的直线与边, 分别交于点 , .设 , ,( , ).(1)求证: 为定值;(2)设 的面积为 , 的面积为 ,求 的取值范围.18.(本小题满分 17 分)已知向量 ,函数 .(1)求函数 在 上的单调递减区间;(2)若 ,且 ,求 的值;(3)将 图象上所有的点向左平移 个单位,然后再向上平移 1 个单位,最后使所有点的纵坐标变为原来的 2 倍,得到函数 的图象,当 时,方程 有一解,求实数 的取值范围.19.(本小题满分 17 分)在 中, , , 对应的边分别为 , , ,且.(1)求角 的值;(2)若 为线段 内一点,且 ,求线段 的长;(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣,很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,例如:对于任意的 , , n . 都有(等号成立当且仅当 = = 时成立)被称为柯西不等式;在(1)的条件4下,若 ,求: 的最小值.高一下学期 3 月月考数学试题参考答案一、单选题:(共 8 小题,共 40 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 B A D A B C C B二、多选题:(共 3 小题,共 18 分)题号 9 10 11选项 BC ACD BCD三、填空题:(共 3 小题,共 15 分)12. ; 13. ; 14. ; ;(2 分+3 分)【解析】8.B;【详解】因为 ,且 ,则 ,由余弦定理可得 ,所以 ,即 ,由正弦定理可得 ,其中 ,则 ,所以 ,又 ,化简可得 ,且 为锐角三角形,则 ,所以 ,即 ,解得 或 (舍),所以 ,当且仅当 时,等号成立,5则 的最大值为 . 故选:B14. ; ;(2 分+3 分)【详解】第一空,因为 P 是 MC 的中点,所以 ,又因为 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 ;第二空,设 ,则 ,因为点 D 在 BC 上,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,因为 ,即 ,设 分别为 所对边,所以 ,即 ,因为 ,当且仅当 时取等号,所以 ,即 ,所以 ,因此△ABC 面积的最大值为为 . 故答案为: ; .15.(1) 或 ;(2) .【详解】(1)∵ ,∴ ,∵ ,∴ ,∴ ,∴ , .....................3 分若向量 与 互相垂直,则 ,∴ ,∴ ,6∴ ,解得 或 . .....................8 分(2)因为 ,即 ,则 ,所以 不共线,若向量 与 平行,则存在实数 使得 成立,所以 且 ,解得 . .....................13 分16.(1) ;(2) .【详解】(1)因为 ,由余弦定理知:,所以 . .....................6 分(2)设 ,因为 分别为 的中点,所以 .因为 ,所以 ,.又 ,.所以 .(也可以利用建系的方法,参照给分).....................15 分17.(1)证明见解析;(2) .【详解】(1)设 ,于是 ,又 , , 、 ,, ,7,根据向量的运算法则可知,,三点共线,,整理可得:,即 ,故 为定值,定值为 ; .....................7 分(2)设 , ,,,,, ,. .....................15 分18.(1) ;(2) ;(3) .【详解】(1)因为,所以 即 , .又因为 ,所以函数 在 上的单调递减区间为 .................5 分8(2)若 ,则 ,所以 .因为 ,所以 ,所以 , 则故 . .................11分(3)将 图象上所有的点的纵坐标变为原来的 ,再向下平移 1 个单位,最后再向右平移 个单位得到函数 的图象,即:则 ,当 时,由方程 有一解,可得 的取值范围为 .................17 分19.(1) ;(2) ;(3)48.【详解】(1)因为所以 ,由正弦定理 ,所以即: ,又 ,所以 ;.....................5 分9(2)(方法一)因为 ,所以 ,所以 ,所以,及 .....................10 分(方法二)以 AB 所在的直线为 轴,A 为坐标原点建立坐标系,如图,则则:所以 ; ....................10 分(3)根据柯西不等式(n=3):(当且仅当 为正三角形时取等号)即: 的最小值为 48......................17 分10 展开更多...... 收起↑ 资源预览