2024-2025学年河南省平顶山市第一中学高二下学期开学摸底考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年河南省平顶山市第一中学高二下学期开学摸底考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年河南省平顶山市第一中学高二下学期开学摸底考试
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
2.若曲线表示椭圆,则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
3.已知,动点满足,则点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 点
4.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
5.若圆:关于直线对称,,则与间的距离是( )
A. B. C. D.
6.双曲线的光学性质为:从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图:为双曲线的左,右焦点,从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线,若,则( )
A. B. C. D.
7.若等差数列的前项和为,则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知双曲线的左顶点为,左,右焦点分别为,,且关于它的一条渐近线的对称点为,若以为圆心,为半径的圆过原点,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.甲、乙两名同学进行投篮比赛,甲每次命中概率为,乙每次命中概率为,甲和乙是否命中互不影响,甲、乙各投篮一次,则( )
A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为
C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为
10.已知数列满足,则( )
A. B. 的前项和为
C. 的前项和为 D. 的前项和为
11.“心形线”体现了数学之美,某研究小组用函数图象:,和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”,过焦点的直线交包含边界点于,两点,是或上的动点,下列说法正确的是( )
A. 抛物线的方程为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 若在上,则的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知,,若,则实数 .
13.已知椭圆与双曲线有相同的右焦点,点是椭圆和双曲线的一个公共点,若,则椭圆的离心率为 .
14.已知抛物线的焦点为,准线为,过的直线与抛物线交于点、,与直线交于点,若且,则 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知,,为坐标原点,圆为的外接圆.
Ⅰ求圆的标准方程
Ⅱ过原点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程.
16.本小题分
如图,正方体的棱长为为的中点.点在上.
求证:平面;
若求直线与平面所成角的大小;
17.本小题分
已知数列的前项和为,,,.
求证:数列为等差数列;
在数列中,,,若的前项和为,求证:.
18.本小题分
已知,,点是动点,直线与直线的斜率之积为,
求点的轨迹方程;
过点且斜率不为的直线与交于、两点,直线分别交直线、于点、,以为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
19.本小题分
已知椭圆的离心率为,且过点直线交于,两点.点关于原点的对称点为,直线的斜率为,
求的方程;
证明:为定值;
若上存在点使得,在上的投影向量相等,且的重心在轴上,求直线的方程.
参考答案
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15.解:Ⅰ设的外接圆的方程为,
,,均在圆上,
解得
所以圆的方程为,
所以圆的标准方程为;
Ⅱ由Ⅰ知圆心,半径为,
因为直线被圆截得的弦长为,
所以点到直线的距离为,
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,
则,两边同时平方得,解得或,
当直线的斜率不存在时,不满足条件,
所以直线的方程为或.
16.【详解】是正方体,
平面,又平面,,
易得,又平面,
平面,
又点在上,所以平面
连接,在正方体中,根据平面,
平面,,
又,,
平面,,
又为中点,为中点;
根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示:
则,
,则,
设平面法向量为,
则,故可取,
设直线与平面所成角为,
则,因,故.
故直线与平面所成角为.

17.解:因为,
所以,即,
又,
所以数列是首项为,公差为的等差数列
由知:,
则,
又,所以,
所以

所以


18.解:因为直线与直线的斜率之积为,
设,且

化简得:;
设直线方程为,,,
联立可得,消去得,

,,
设,,
直线的方程:,,
直线的方程:,,

假设过定点,则,
即,
即,解得:,
即以为直径的圆过轴上的定点,定点为和.
19.【详解】由已知,得,解得,则椭圆的方程为;
依题意,可设点,且,

点关于原点的对称点为,
点在上,,作差得,
直线的斜率为,直线的斜率为,
,即为定值;
设弦的中点,点重心,

由,得,
,且,
的重心在轴上,,

则,
在上的投影向量相等,则,且,
则直线的方程为,
,得,又点在上,
,即
又,则直线的方程为

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