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2024-2025学年河南省平顶山市第一中学高二下学期开学摸底考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
2.若曲线表示椭圆，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
3.已知，动点满足，则点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 点
4.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
5.若圆：关于直线对称，，则与间的距离是( )
A. B. C. D.
6.双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线，若，则( )
A. B. C. D.
7.若等差数列的前项和为，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则( )
A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为
C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为
10.已知数列满足，则( )
A. B. 的前项和为
C. 的前项和为 D. 的前项和为
11.“心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交包含边界点于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是( )
A. 抛物线的方程为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 若在上，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则实数 ．
13.已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为 ．
14.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，为坐标原点，圆为的外接圆．
Ⅰ求圆的标准方程
Ⅱ过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，正方体的棱长为为的中点．点在上．
求证：平面；
若求直线与平面所成角的大小；
17.本小题分
已知数列的前项和为，，，．
求证：数列为等差数列；
在数列中，，，若的前项和为，求证：．
18.本小题分
已知，，点是动点，直线与直线的斜率之积为，
求点的轨迹方程；
过点且斜率不为的直线与交于、两点，直线分别交直线、于点、，以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，
求的方程；
证明：为定值；
若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程．
参考答案
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15.解：Ⅰ设的外接圆的方程为，
，，均在圆上，
解得
所以圆的方程为，
所以圆的标准方程为；
Ⅱ由Ⅰ知圆心，半径为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以点到直线的距离为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，两边同时平方得，解得或，
当直线的斜率不存在时，不满足条件，
所以直线的方程为或．
16.【详解】是正方体，
平面，又平面，，
易得，又平面，
平面，
又点在上，所以平面
连接，在正方体中，根据平面，
平面，，
又，，
平面，，
又为中点，为中点；
根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示：
则，
，则，
设平面法向量为，
则，故可取，
设直线与平面所成角为，
则，因，故．
故直线与平面所成角为．

17.解：因为，
所以，即，
又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列
由知：，
则，
又，所以，
所以
，
所以
．

18.解：因为直线与直线的斜率之积为，
设，且
，
化简得：；
设直线方程为，，，
联立可得，消去得，
，
，，
设，，
直线的方程：，，
直线的方程：，，
，
假设过定点，则，
即，
即，解得：，
即以为直径的圆过轴上的定点，定点为和．
19.【详解】由已知，得，解得，则椭圆的方程为；
依题意，可设点，且，

点关于原点的对称点为，
点在上，，作差得，
直线的斜率为，直线的斜率为，
，即为定值；
设弦的中点，点重心，

由，得，
，且，
的重心在轴上，，
，
则，
在上的投影向量相等，则，且，
则直线的方程为，
，得，又点在上，
，即
又，则直线的方程为

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