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2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.07.09
第二章 一元二次方程
§2.1 一元二次方程及其解法
【学习目标】
1. 经历抽象一元二次方程概念的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；
2. 经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力；
3. 能够熟练运用多种方法求解一元二次方程，并能推导出求根公式，并能检验根的合理性。
【学习过程】
一、一元二次方程的定义
1. 只含有_________未知数，并且未知数的最高次数是_________的_____________叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是_______________________，其中_______为二次项系数，_______为一次项系数，_______为常数项。
2. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做_____________，一元二次方程的解也叫做________________。
例1 若方程是关于x的一元二次方程，求m的值。
例2 已知是关于x的方程的一个根，求的值。
[识记理解1]
1. 已知关于x的方程。
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
2. 已知方程的两根分别是、，求的值。
二、直接开平方法求解一元二次方程
若，则x叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做______________________。
例3 求下面各式中x的值：（1）；（2）；（3）。
[识记理解2]
1. 解关于x的方程：（1）；（2）。
三、配方法求解一元二次方程
把方程化成左边是一个含有未知数的_____________，右边是一个_____________，再利用__________________求解的这样一种方法就叫做配方法。
例4 用配方法解方程：（1）；（2）；（3）。
例5 已知x、y为实数，求代数式的最小值。
例6 已知a，b，c是整数，且，，求的值。
[识记理解3]
1. 用配方法解方程：（1）；（2）。
2. 已知a，b，c均为实数，且，，求的值。
3. 证明：的值恒小于0。
4. 已知x、y为实数，求代数式的最小值。
四、公式法求解一元二次方程
1. 对于一元二次方程，用配方法将其变形为_________________________________________，那么___________________叫作根的判别式。若，则=___________________。
2. 判别式和根的关系：（1）若_______________，原方程有两个不相等的实数解；
（2）若_______________，原方程有两个相等的实数解；
（3）若_______________，原方程没有实数解。
例7 用公式法解方程：（1）；（2）；（3）。
例8 关于x的方程有实数根，求整数a的最大值。
[识记理解4]
1. 用公式法解方程：（1）；（2）；（3）。
2. 已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围。
五、因式分解法与十字相乘法求解一元二次方程
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个__________的乘积时，我们就可以用__________的方法求解一元二次方程的方法叫做因式分解法。如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则__________或__________。
例9 用因式分解法（或十字相乘法）解方程：（1）；（2）。
[识记理解5]
1. 用因式分解法（或十字相乘法）解方程。
（1）；（2）；（3）。
【知能提升】
一、选择题
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D. .
2. 若，则下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. . D.
3. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（ ）
A. B. C. D. .
4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. .
5. 已知方程可以配方成的形式，那么可以配成下列的（ ）
A. B. . C. D.
6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. . D.
7. 若是关于x的方程的根，则的值为（ ）
A. 1 B. 2. C. D.
8. 若是关于x的方程的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数的图像不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 根据下列的表格值，由此可判断方程必有一个解x满足（ ）
x 1 1.1 1.2
0.89
A. B. C. D.
二、填空题
10. 方程的二次项系数是___________，一次项系数是____________，常数项是____________。
11. 关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为____________。
12. 将方程化为的形式，其中m，n是常数，则=_____________。
13. 满足方程的所有根之和是_____________。
14. 一元二次方程的根的情况是___________________________。
三、解答题
15. 已知关于x的方程是一元二次方程，求a的取值范围。
16. 解下列方程。
（1）；（2）；（3）；（4）（十字相乘法）；
（5）（因式分解法）；（6）。
17. 若关于x的方程有实数根，求k的取值范围。
18. 证明：的值恒大于0。
一元二次方程及其解法 第1页（共7页）

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