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2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.11.07
第四章 图形的相似
§4.5 图形的位似
【学习目标】
1. 理解位似多边形的定义及相关性质，并能利用图形的位似将一个图形放大或缩小；
2. 掌握位似图形在直角坐标系下的点的坐标的变化规律，并能用平面直角坐标系下位似图形对应点坐标变化的规律来解决问题，发展形象思维能力和数形结合意识。
【学习过程】
一、位似的定义及性质
1. 位似的定义：如果两个相似_________每组对应点所在的直线都经过_________，那么这样的两个多边形叫做位似多边形。这个点叫做_________。
2. 位似多边形的性质
（1）位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_________。
（2）位似多边形上对应点和位似中心在_________上。
（3）位似多边形上的对应线段_________或在_________上。
（4）位似多边形是特殊的相似多边形，也就是说位似多边形一定是相似多边形，因此位似多边形具有相似多边形的一切性质。但是，反之不然，相似多边形不一定位似。
3. 位似多边形满足两个条件：（1）是______________；（2）两多边形每组对应点所在的直线都经过_________。
例1 如下图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心。
例2 如图，与关于点位似，，。
（1）若，求的长；
（2）若的面积为7，求的面积。
[识记理解1]
1. 如图，与是位似图形，位似比为，已知，求的长。
2. 如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积比是多少？周长比是多少？
二、位似图形的画法
画位似图形的一般步骤为：①确定_________；②确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点；③确定_________；④找出新多边形的对应关键点。
例3 如图，已知，以点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比为2。
[识记理解2]
1. 如图，画，使，且使相似比为1.5，要求：（1）位似中心在的外部；（2）位似中心在的内部；（3）位似中心在的一条边上；（4）以点为位似中心。
2. 已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，。
（1）画出以点为位似中心，将放大到原来2倍的；
（2）分别写出三个顶点的坐标。
三、平面直角坐标系中的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以_________为位似中心，相似比为_________，那么位似图形对应点的横、纵坐标都等于原图形的横、纵坐标乘上同一个数，且两图形横、纵坐标的比等于_________。
例4 如图，三个顶点坐标分别为，，。
（1）将向左平移三个单位得到，写出三点的坐标；
（2）写出关于轴对称的三个顶点的坐标；
（3）将绕点旋转180°得到，写出三点的坐标。
例5 如图，缩小后得到，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比。
例6 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是、、、。画出四边形以点为位似中心的位似图形，使它与四边形的相似比是。
[识记理解3]
1. 如图表示和把它缩小后得到的，求和的相似比。
2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的坐标分别为，，，。画出一个以原点为位似中心，相似比为的位似图形。
3. 将图中的以为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化。
【知能提升】
一、选择题
1. 如图6×7的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（　　）
A. B. C. . D.
第1题图 第2题图
2. 如图，，下列说法不正确的是（　　）
A. 两个三角形是位似图形 B. 点是两个三角形的位似中心
C. 点与点、点与点是对应位似点 D. 是相似比.
3. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍，得到线段，则线段的中点的坐标为（　　）
A. . B. C. D.
第3题图 第4题图
4. 如图，平面直角坐标系中，将顶点，的横、纵坐标都乘2，得到点，，则关于与的关系正确的是（　　）
A. 与关于原点位似，相似比为
B. 与关于原点位似，相似比为.
C. 与关于点位似，相似比为
D. 与关于点位似，相似比为
5. 如图，在所在平面上任意取一点（与、、不重合），连接、、，分别取、、的中点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（　　）
A. 与是位似图形 B. 与是相似图形
C. 与的周长比为 D. 与的面积比为.
第5题图 第6题图
6. 如图，与位似，点为位似中心。已知，则与的面积比为（　　）
A. B. C. . D.
7. 和是位似图形，点是位似中心，点，，分别是，，的中点，若的面积是2，则的面积是（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8.
第7题图 第8题图
8. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是（　　）
A. B. C. . D.
二、填空题
9. 如图，与是位似图形，位似比为，已知，则的长_______。
第9题图 第10题图
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是______________。
11. 如图，以点为位似中心，把放大2倍得到，①；②；③；④点、、三点在同一直线上。则以上四种说法正确的是______________。
第11题图 第12题图
12. 已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中心变换得到的。如图，已知，，则位似中心点的坐标是______________。
13. 已知，如图，，，且，则与________是位似图形，位似比为________；与________是位似图形，位似比为________。
第13题图 第14题图
14. 如图，以点为位似中心，将放大得到，若，则与的面积之比为_______。
15. 如图，正方形与正方形是位似形，已知，，，，则位似中心的坐标是______________。
第15题图 第16题图
16. 四边形与四边形位似，为位似中心，若，那么________。
三、解答题
17. 如图，与是位似图形，且相似比为。
（1）在图中画出位似中心；
（2）若，求的长。
18. 如图，分别以的边和为腰向外作等腰直角和等腰直角，连接。
（1）求证：；
（2）求与的面积比。
19. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形。
（1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标；
（2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标。
20. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）。
（1）沿轴向左平移2个单位，得到，点的坐标是_____________；
（2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，则点的坐标是______________；
（3）的面积是______________平方单位。
21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点（顶点为网格线的交点）。
（1）画出关于轴对称的；
（2）以点为位似中心，将作位似变换得到，使得，画出位似变换后的；
（3）和之间的位置关系为______________。
图形的位似 第1页（共7页）

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