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2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.07.28
第六章 反比例函数
§6.1 反比例函数的定义与性质
【学习目标】
1. 会判断一个函数是反比例函数，能举例辩析一个变化过程中两个变量之间符合反比例函数的特征；
2. 会求简单问题中反比例函数的表达式；
3. 通过比较、探索掌握过反比例函数图象的性质，通过图象比较两个函数的函数值的大小；
4. 利用反比例函数关系解决实际问题，感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型。
【学习过程】
一、反比例函数的定义
1. 一般地，在某个变化中，有两个_________和，如果给定一个的值，相应地__________________，那么我们称是的函数，其中叫_________，叫_________。
2. 如果两个变量，之间的关系可以表示成__________________的形式，那么是的反比例函数，反比例函数的自变量不能为零。
3. 反比例函数的三种表达形式：_____________________________________________________________________。
例1 （1）一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为cm和cm。那么变量是变量的函数吗？如果是，是什么函数？为什么？（2）某村有耕地346.2公顷，人数数量逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积（公顷/人）是全村人口数的函数吗？为什么？
[识记理解1]
1. 下列关系式中的是的反比例函数吗？如果是，系数是多少？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）
2. 如果与成反比例，与成正比例，则与成______________________；
3. 已知函数是反比例函数，为_____________。
二、反比例函数的性质
1. 反比例函数图象：反比例函数的图象是由_________组成的。当时，两支曲线分别位于第_________象限内，在每一象限内，的值随值的增大而_________；当时，两支曲线分别位于第_________象限内，在每一象限内，的值随值的增大而_________。
2. 反比例函数的图象既是_____对称图形，对称轴是_____________，也是______对称图形，对称中心是_______。
3. 反比例函数中的比例系数的几何意义：过双曲线上任一点作轴、轴的垂线段，，所得的矩形的面积______，即过双曲线上任一点作轴、轴的垂线段，所得矩形的面积为____________。
反比例函数的性质可以用下图表示。（与一次函数比较）
函数名称 一次函数 反比例函数
函数解析式及定义域
函数图像
性质
例2 若反比例函数图象的一支在第一象限内，则常数的取值范围是什么？
例3 已知反比例函数的图象经过点。
（1）求这个函数的表达式；
（2）点，是否在函数的图象上？
（3）这个函数的图象位于哪些象限？
例4 如图，是反比例函数在第一象限图象上的一点，连接，过点作轴，截取（在右侧），连接，交反比例函数的图象于点。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）求的面积。
[识记理解2]
1. 若第一象限内的点和它关于轴的对称点分别在双曲线和上，则的值为______。
2. 如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，由此观察得到，，的大小关系为__________________。
3. 已知点与点在同一反比例函数的图象上，则的值是____________。
4. 已知一个函数的图象与反比例函数的图象关于轴对称，则这个函数的表达式是____________。
5. 已知反比例函数的图象在第二、四象限内，则的值是____________。
6. 反比例函数在第一象限内的图象如图，点是图象上一点，垂直轴于点，如果的面积为1，那么的值是____________。
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，点为轴上一点，过点作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为___________。
第6题图 第7题图
【知能提升】
一、选择题
1. 下列函数中，与成反比例函数关系的是（ 　）
A. B. C. D. .
2. 若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（ ）
A. 或1 　 B. 小于的任意实数 C. .　　 　 D. 不能确定
3. 已知反比例函数，下列结论：①图象必经过点；②图象分布在第二、四象限；③在每一个象限内，随x的增大而增大。其中正确的结论有（ ）
A. 3个. B. 2个 C. 1个 D. 0个
4. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 点在它的图象上 B. 它的图象在第一、三象限
C. 当时，随的增大而增大. D. 当时，随的增大而减小
二、填空题
5. 设是函数在第一象限的图象上任意一点，点关于原点的对称点为，过作平行于轴，过作平行于轴，与交于点，的面积为____________。
6. 若反比例函数的图象位于一、三象限内，正比例函数过二、四象限，则的整数值是____。
7. 已知点在反比例函数的图象上，则它的图象也一定经过点________。
8. 如果反比例函数在各自象限内随的增大而减小，那么的取值范围是________。
9. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是____________。
三、解答题
10. 如图，已知正比例函数与反比例函数的图象分别交于，两点，其中。
（1）求正比例函数与反比例函数的表达式；
（2）求时，的取值范围。
11. 如图，Rt的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于且。
（1）求这两个函数的解析式；
（2），的坐标分别为和，求的面积；
（3）求不等式的解集（直接写出答案）。
反比例函数的定义与性质 第1页（共7页）

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