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2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.08.09
第一章 特殊的平行四边形
§1.1 菱形的性质与判定
【学习目标】
1. 经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的定义，并探究归纳出菱形的性质；
2. 总结归纳菱形与平行四边形的关系，掌握菱形的判定方法，发展合情的推理能力；
3. 体会菱形的轴对称性，并能运用菱形的性质和判定解决计算与证明问题，进一步发展逻辑推理能力。
【学习过程】
一、菱形的定义与性质
1. 定义：菱形是一种特殊的____________，____________________的平行四边形是菱形。
2. 性质
（1）边的性质：________________________________________________________________________。
（2）角的性质：________________________________________________________________________。
（3）对角线的性质：____________________________________________________________________。
（4）对称性：菱形是____________图形，也是____________图形。
例1 如图，在菱形中，是边上一点，且。有下列结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④。若结论正确，请证明，不正确请说明理由。
例2 如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，求的度数。
例3 已知四边形是边长为2的菱形，，对角线与交于点，过点的直线交于点，交于点。
（1）求证：；
（2）若，求的长。
[识记理解1]
1. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，过点作，垂足为，求点到边的距离的长度。
2. 如图，菱形中，，于点，，连接，求的度数。
3. 如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接。若，求的度数。
4. 如图，四边形是菱形，过的中点作的垂线，交于点，交的延长线于点。
（1）求证：；
（2）若，求菱形的周长。
二、菱形的判定
1. 平行四边形判定方法
（1）边的关系：______________________________________________的平行四边形是菱形。
（2）对角线的关系：__________________________________________的平行四边形是菱形。
2. 四边形判定方法
（1）边的关系：______________________________________________的四边形是菱形。
（2）对角线的关系：__________________________________________的四边形是菱形。
例4 如图，在中，，于，平分，分别于、交于、，于。连接，求证：四边形是菱形。
例5 如图，在中，，分别是边，上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点，，交于点。
（1）求证：；
（2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由。
[识记理解2]
1. 如图，矩形的对角线相交于点，，。求证：四边形是菱形。
2. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与交于点，与交于点，连接，。
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长。
三、菱形性质与判定的综合应用
1. 面积问题（等面积原理）：菱形的面积既可以用____________的面积公式，也可以用____________________求算。
2. 折叠问题（全等原理）：折叠前后的图形是__________的，是完全对称的。
3. 最值问题（对称原理）
（1）线段和的最小值：做对称点后，连接后一般运用两点之间________最短（线段之中________最短定理）解决。
（2）动线段的最小值：运用转化和运动的思想，转换到一般模型中，如三角形的第三边长___________________。
（3）利用菱形的对称性：菱形既是____________图形，也是____________图形。
例6 如图，在菱形中，，对角线。若过点作，垂足为，求的长。
例7 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形。若，求的长。
例8 如图，在对角线长分别为12和16的菱形中，、分别是边、的中点，是对角线上的任意一点，求的最小值。
例9 如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值。
[识记理解3]
1. 如图，已知菱形中，，，过线段上的一个动点（不与、重合）分别向直线、作垂线，垂足分别为、。
（1）求的长；
（2）连接，当取得最小值时，求此时的长。
2. 如图，在菱形中，，，点是菱形内部一点，且满足，求的最小值。
【知能提升】
一、选择题
1. 已知四边形的对角线相等，顺次连接四边形的四条边中点，得到的新四边形的形状是（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
2. 下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（ ）
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 有一个角是直角
3. 如图，菱形中，对角线、交于点，为中点，菱形的周长为24，则的长等于（　　）
A. 12 B. 6 C. 4 D. 3
第3题图 第4题图
4. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、上，且，。若，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
5. 如图，菱形的对角线与相交于点，垂直平分，垂足为点，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
第5题图 第6题图
6. 两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，。若，，则图中重叠阴影部分的面积为（ ）
A. 2 B. C. D.
7. 如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 四边形是菱形
第7题图 第8题图
8. 如图，在菱形中，，，点、分别在边、上，且，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
9. 如图，已知某广场菱形花坛的周长是24米，，则花坛对角线的长等于（ ）米
A. B. C. D.
第9题图 第10题图
10. 如图，与分别为的中位线与中线。在下列条件中，不能判定四边形为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知菱形的两条对角线长分别是7和8，则菱形的面积是（ ）
A. 56 B. 28 C. 15 D. 20
12. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接、。若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 3
第12题图 第13题图
13. 如图，直线分别与x轴、y轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处。以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是。其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④
二、填空题
14. 如图，四边形是菱形，，，于点，是中点，连接，则的长为____________。
15. 如图，菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连结，则的度数是_________。
第14题图 第15题图
16. 如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则菱形对角线交点的坐标是_________。
第16题图 第17题图
17. 如图，菱形中，，，点是的中点，点在上，若，则线段的长为____________。
18. 如图，在菱形中，，点在上，，则的度数是____________。
第18题图 第19题图
19. 如图，在菱形中，，，点为线段上不与端点重合的一个动点。过点作直线、直线的垂线，垂足分别为、。连结，在点的运动过程中，的最小值等于___________。
20. 如图，菱形的对角线相交于点，于点，连接，，若，，则的长为____________。
第20题图 第21题图
21. 如图，△是边长为1的等边三角形，，为线段上两动点，且，过点，分别作，的平行线相交于点，分别交，于点，。现有以下结论：①；②当点与点重合时，；③；④当时，四边形为菱形。则其中正确的结论的序号是____________。
22. 已知菱形的边长为8，其中一条对角线，则另一条对角线的长为____________。
三、解答题
23. 如图，的对角线，相交于点，且，，。
（1）求证： 为菱形；
（2）过点作于点。求的长。
24. 如图，在中，是边上一点，，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点。求证：四边形是菱形。
25. 如图，在中，，分别是，的中点。
（1）求证：；
（2）连接，当线段与满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由。
26. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接。
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长。
27. 如图，在中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，点为垂足，连接，。求证：四边形是菱形。
28. 如图，在中，点，分别为，边上的点，，。求证：平行四边形是菱形。
29. 如图，在中，平分。
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点，延长到点，在的内部作射线，使得，过点作于点。若，，求的度数及的长。
菱形的性质与判定 第1页（共7页）

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