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2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.11.09
第一章 直角三角形的边角关系
§1.1 锐角三角函数及其计算
【学习目标】
1. 结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；
2. 会推算、、角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
3. 理解并能熟练运用同角三角函数的关系及锐角三角函数值随角度变化的规律。
【学习过程】
一、锐角三角函数的概念
1. 锐角三角函数的定义
如图，在Rt中，对于锐角有如下关系：
锐角的对边与斜边的比叫做的________，记作__________，即______________________________；
锐角的邻边与斜边的比叫做的________，记作__________，即______________________________；
锐角的对边与邻边的比叫做的________，记作__________，即______________________________。
同理，对于锐角，则有________________________________________________________________。
2. 锐角三角函数表示一个________，只跟________有关，与________无关。其不具有单位，且是一个完整的符号。
例1 如图所示，中，为的中点，，且，求的正弦值、余弦值和正切值。
例2 如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，折痕与边交于点，连结、。
（1）求证：；
（2）若，求的长。
例3 如图，格点图中每个小正方形的边长都是1，的顶点，，都在格点上，求的正弦值、正切值和余弦值。
[识记理解1]
1. 如图所示，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接。
（1）求证：；（2）若，，求的值。
2. 如图，格点图中每个小正方形的边长都是1，的顶点，，都在格点上，求。
3. 如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，。求点的坐标及的正弦值、正切值和余弦值。

二、特殊角的三角函数值
锐角α
规律：
（1）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而__________；余弦值随锐角度数的增大（或减小）而__________。
（2）对于一个锐角而言，正弦、余弦、正切值的符号都是__________。
例4 求下列各式的值。
（1）；
（2）；
（3）。
[识记理解2]
1. 计算下列各式的值：（1）；（2）。
三、锐角三角函数的关系
1. 互余关系：______________________________；______________________________；
2. 平方关系：______________________________；
3. 倒数关系：______________________________或______________________________；
4. 商数关系：______________________________。
例5 已知中的与满足。
（1）试判断的形状；
（2）求的值。
例6 按照下列要求填空。
（1）已知为锐角，，那么________。
（2）________（填写不等号）
（3）________=____________；
（4）________=____________；
（5）________，________（α为锐角）。
[识记理解3]
1. 在中，若，、都是锐角，则的度数为多少？
2. 解方程：（是锐角）
四、锐角三角函数的几何应用
1. 坡度：坡面的________高度和________高度之比叫做坡度，用符号____表示，即______________。
2. 一次函数的斜率
（1）倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，______的一次函数直线和___________所围成的角即直线的倾斜角。
（2）斜率的定义：用以刻画直线的________，用符号____表示。对于直线而言，斜率可表示为两点的___________________________________，即________________。
（3）倾斜角和斜率之间的关系：________________。当倾斜角是锐角时，随着倾斜角的增大，斜率会________（斜率的符号都是________），即直线越________。
例7 求下列直线的倾斜角和斜率：（1）；（2）；（3）
[识记理解4]
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于，，。求直线、的解析式。
【知能提升】
一、选择题
1. 如图，在Rt中，，于点，则下列结论不正确的是（ 　）
A. B. C. D.
第1题图 第2题图
2. 如图在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正切值是（　 ）
A. 2 B. C. D.
3. 如图，在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
第3题图 第4题图
4. 如图，在Rt中，，于点，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在Rt中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的正弦值（ 　）
A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 扩大4倍 D. 不变
6. 已知，，则的值是（ 　）
A. B. C. D.
7. 在Rt中，，，，那么的值是（ 　）
A. B. C. D.
8. 在Rt中，，，则的值等于（ 　）
A. B. C. 或 D. 或
9. 河堤横断面如图所示，斜坡的坡度为，m，则的长是（ 　）
A. m B. 3 m C. m D. 6 m
第9题图 第10题图
10. 如图，为了测量一河岸相对两电线杆，间的距离，在距点15米的处（）测得，则，间的距离应为（ 　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
11. 在Rt中，斜边的长为，，则直角边的长是（ 　）
A. B. C. D.
12. 已知函数上图象上有一点（在第一象限），函数的图象上有一点（在第二象限），是坐标原点，若，且，则的值是（ 　）
A. B. C. D.
13. 在Rt中，，已知及边，则Rt的斜边长应为（ 　）
A. B. C. D.
14. 中，、均为锐角，且有，则是（ ）
A. 直角但不等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等腰但不等边三角形 D. 等边三角形
15. 如图，四边形中，，，，分别为，的中点，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
第15题图 第16题图
16. 如图，在Rt中，，于点，为上一点，使得。若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
17. 用不等号连接下面的式子：（1）________；（2）________。
18. 若为锐角，且，则的取值范围是________________。
19. 已知正方形的边长为2，点是直线上一点，若，则的值是________。
20. 已知为锐角，，那么的度数是________。
21. 如果方程的两个根分别是Rt的两条边，的其中一个锐角为，那么的值为____________，若的其中最小角为，那么的值为________。
22. 如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，则的值是________。
第22题图 第23题图
23. 如图，在中，，，，则的值是________。
24. 如图，在边长为1的正方形网格中，点、、、都在格点上，则的值是________。
第24题图 第25题图 第26题图
25. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点、、都在格点上，则的正切值为________。
26. 如图，点是矩形边上一点，于点，若，，则的长为________。
三、解答题
27. 计算下列各式。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
28. 通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）。如图①，在中，，顶角的正对记作sad A，这时。容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad＝________。
（2）对于，的正对值sad A的取值范围是______________。
（3）如图1②，已知，其中为锐角，试求sad A的值。
锐角三角函数及其计算 第1页（共7页）

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