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2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.11.18
第一章 直角三角形的边角关系
§1.3 锐角三角函数的应用
【学习目标】
1. 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用，灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决；
2. 能够把实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明；
3. 经历探索测高的过程，让学生体会数学知识的发生、发展、应用过程，并发展了学生的动手能力。
【学习过程】
一、利用方位角解决实际问题
例1 如图所示，海中有一个小岛，该岛四周10 n mile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在岛南偏西的处，往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西的处。之后，货轮继续往东航行，货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？
[识记理解1]
1. 如图所示，在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿北偏东的方向以4 n mile/h的速度匀速航行，同时乙货船从港沿西北方向匀速航行，2 h后两货船相遇在点处，则乙货船每小时航行多少海里？（用根号表示）
2. 小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛处观看小亮与爸爸在湖中划船（如下左图所示）。小船从处出发，沿北偏东方向划行200 m到处，接着向正南方向划行一段时间到处。在处小亮观测到妈妈所在的处在北偏西的方向上，这时小亮与妈妈相距多远（精确到1 m）？（参考数据：，，，，）
二、利用仰角和俯角解决实际问题
例2 如图所示，小明想测量塔的高度。他在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进50 m至处，测得仰角为，那么该塔有多高？（小明的眼睛距离地面的距离约为1.7 m，结果精确到1 m）
[识记理解2]
1. 如图所示，在小山的东侧点有一个热气球，由于受西风的影响，以30 m/min的速度沿与地面成角的方向飞行，25 min后到达处，此时热气球上的人测得小山西侧点的俯角为，则小山东西两侧，两点间的距离为多少米？（无需保留根号，参考数据：，）
三、利用倾斜角解决实际问题
例3 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由减至，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01 m，参考数据：，，，）
[识记理解3]
1. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成角，作业时调整为角，则梯子的顶端沿墙面升高了多少米？
四、利用三角函数测高
例4 在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度。如图，已知李明距假山的水平距离为12 m，他的眼睛距地面的高度为1.6 m，李明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时，铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高度为多少？
[识记理解4]
1. 某市进行城区规划，工程师需测某楼的高度，工程师在处用高2 m的测角仪，测得楼顶端的仰角为，然后向楼前进30 m到达，又测得楼顶端的仰角为，楼的高度是多少？
【知能提升】
一、选择题
1. 渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了12 n mile到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（ ）
A. 6 n mile B. n mile C. n mile D. n mile
2. 如图所示，为测量某物体的高度，在点测得点的仰角为30°，朝物体方向前进20 m，到达点，再次测得点的仰角为，则物体的高度为（ ）
A.m B. 10 m C. m D. m
第2题图 第3题图
3. 如图所示，某飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，此时飞行高度m，从飞机上看地平面指挥台的俯角，则飞机与指挥台的距离为（ ）
A. 1200 m B. m C. m D. 2400 m
4. 如图所示，港口在观测站的正东方向，km，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（ ）
A. 4 km B. km C. km D. km
5. 如图所示，轮船从处以每小时60 n mile的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行40分钟到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是（ ）
A. 20 n mile B. 40 n mile C. n mile D. n mile
第4题图 第5题图
6. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高m，则坡面的长度是（ ）
A. 15 m B. m C. 20 m D. m
第6题图 第7题图
7. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图。其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是10 m，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A. m B. 5 m C. m D. 10 m
二、填空题
8. 如图所示，小明为了测量河宽，先在延长线上取一点，再在同岸取一点，测得，，m，那么河宽为__________m。
9. 如图所示，路边路灯的灯柱垂直于地面，灯杆的长为2 m，灯杆与灯柱成120度角，锥形灯罩轴线与灯杆垂直，且灯罩轴线正过道路路面的中心线（在中心线上），已知点与点之间的距离为12 m，则的高是__________m。
第8题图 第9题图
10. 如图，河对岸有古塔，小敏在处测得塔顶的仰角为，向塔走米到达，在处测得塔顶的仰角为，则塔高是__________米。
第10题图 第11题图
11. 如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡度为的坡面走了200米达到处，此时在处测得山顶的仰角为，则山高＝__________米（结果保留根号）。
12. 如图，平台高为12 m，在处测得楼房顶部点的仰角为，底部点的俯角为，则楼房的高度为__________。（）
第12题图 第13题图
13. 如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为100 m，那么该建筑物的高度约为__________m。
三、解答题
14. 如图所示的是某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由降为，已知原斜坡坡面的长为5 m，点，，在同一水平地面上。
（1）改善后斜坡坡面比原斜坡坡面加长多少米？（精确到0.01 m）
（2）若斜坡的正前方能有3 m长的空地就能保证安全，已知原斜坡的前方有6 m长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由。
15. 马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救。某日，我国两艘专业救助船，同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物在救助船的北偏东53.50°方向上，在救助船的西北方向上，船在船正东方向140 n mile处。（参考数据：，，）
（1）求可疑漂浮物到，两船所在直线的距离；
（2）若救助船和救助船分别以40 n mile/h，30 n mile/h的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达处。
16. 如图所示，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，再沿山坡向上走到处测得该建筑物顶点的仰角为。已知m，且，，在同一条直线上，山坡坡度为。（即）
（1）求该建筑物的高度；
（2）求此人所在位置点的铅直高度。（测量角度的仪器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
17. 如图，小山岗的斜坡的坡度是，在与山脚距离200米的处，测得山顶的仰角为，求小山岗的高。（结果取整数，参考数据：，）
18. 如图，一艘不明国籍轮船位于我海监船观测点的北偏东方向，轮船在处与我海监船观测站的距离为60海里，它沿正南方向航行，将会到达位于海监船观测点的南偏东方向上的处。我神圣领土钓鱼岛也位于海监船观测点的南偏东方向上，且与点的距离为70海里处（可把岛屿看作一个点），如果此轮船有非法侵入钓鱼岛的嫌疑，我们将提前发出警告，问此时轮船沿原航线前往处是否遭到警告？
19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面夹角为时，求阴影的长（结果精确到0.1米；参考数据：，，）。
20. 小宇和小辉想用学过的数学知识来测量图书馆的高度，他们设计的测量方法如下：小宇站在图书馆与旗杆之间的空地上的点处，使得站在点处看向旗杆顶部点时，视线与水平线的夹角为，小宇转身面向图书馆，看向图书馆顶部点时的视线与水平线的夹角。此时，小辉测得小宇到图书馆的距离为6米，旗杆的部分的高度也是6米，旗杆与图书馆之间的距离米，小宇的眼睛到地面是1.6米，求出图书馆的高度。
21. 五一假期期间，小育和小才约定一同去某公园游玩，如图，东门在西门的正东方向，米。小育自公园东门处出发，沿西北方向前往游乐场处，小才自西门处出发，沿正北方向行走一段距离到达处后，然后沿北偏东方向行走200米到达游乐场处与小育汇合。
（1）求公园东门与游乐场之间的距离（结果保留根号）；
（2）若小育和小才两人分别从，两门同时出发，假设两人前往游乐场的速度相同。请计算说明小育和小才谁先到达游乐场？（参考数据：，，）
22. 如图，某中学依山而建，校门处有一坡度的斜坡，，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点4米远的处有一个花台，的延长线交校门处的水平面于点，。
（1）求坡顶的高度；
（2）求楼顶的高度。
23. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度点处时，测得小区楼房顶端点处的俯角为。已知操控者和小区楼房之间的距离为45米，无人机的高度为米。（假定点，，，都在同一平面内，参考数据：，，计算结果保留根号）
（1）求此时小区楼房的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5 m/s的速度向右匀速飞行，经过多少秒无人机刚好离开了操控者的视线？
锐角三角函数的应用 第1页（共7页）

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