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2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.12.10
第二章 二次函数
§2.1 二次函数的定义与性质
【学习目标】
1. 理解并掌握二次函数的概念，并能根据实际问题建立基础的二次函数模型；
2. 经历探索二次函数的图象的做法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验；
3. 理解表达式中各参数的含义，并会求二次函数的对称轴、最值、顶点坐标、开口方向、单调性等函数性质问题；
4. 利用绘制的不同的二次函数图像总结出二次函数图像平移的规律，类比延伸出函数图像平移的规律。
【学习过程】
一、二次函数的定义
一般地，若两个变量，之间的对应关系可以表示成__________________（，，是常数，且_________）的形式，则称是的_________。其中是自变量，是_____次项系数，是_____次项系数，是________。
例1 已知函数。
（1）当为何值时，该函数是关于的一次函数；
（2）当为何值时，该函数是关于的二次函数；
例2 如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24 m的栅栏，设总面积为m2，垂直于墙的一边长为m，写出关于的函数关系式，并求自变量的取值范围。
[识记理解1]
1. 已知函数。
（1）当为何值时，该函数是关于的一次函数；
（2）当为何值时，该函数是关于的二次函数；
2. 如图，用长为9 m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为m，窗户的透光面积为m2（铝合金条的宽度不计）。
（1）求出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）能否使窗的透光面积达到3 m2，如果能，窗口的高度和宽度各是多少？如果不能，请说明理由。
二、二次函数的性质
1. 二次函数的图像为_________，开口大小与方向与_________有关，对称轴与_________有关，与轴交点坐标与_________有关。
2. 二次函数的形式：（1）配方式：______________________________________________________
（2）交点式：______________________________________________________
（3）一般式：______________________________________________________
3. 二次函数的图象与性质
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最值
4. 二次函数的图象与性质
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最值
5. 一般形式的二次函数的图象与性质
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最值
例3 已知二次函数。
（1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值，并画出该二次函数的图像；
（2）求出此抛物线与轴、轴的交点坐标；
（3）当取何值时，随着的增大而减小。
例4 根据下列条件求的取值范围。
（1）函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
（2）函数有最大值；
（3）抛物线与抛物线的形状相同；
（4）函数的图象是开口向上的抛物线。
例5 已知二次函数的图象上有三点，，，判断、、的大小关系。
例6 二次函数的部分图像如图所示，对称轴为，且经过点，试证明下列说法。
（1）；（2）；（3）；
（4）（其中）；（5）若、是抛物线上的两点，则。
例7 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，，在轴的正半轴上，点，，，，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，，都为等边三角形，求的边长。
[识记理解2]
1. 已知函数。
（1）将该二次函数的表达式改写成配方式，并画出该二次函数的图像；
（2）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、单调性以及和坐标轴的交点坐标。
2. 点，，均在二次函数的图象上，判断、、的大小关系。
3. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，试证明下列结论。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
4. 抛物线的顶点为，已知的图象经过点，求这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积。
三、二次函数的平移
平移规律：________________________________________。（清楚是在上还是在上）
例8 将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式。
（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；
（2）顶点不动，将原抛物线开口方向反向；
（3）以轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向。
例9 已知抛物线，其中为常数，且。
（1）设此抛物线与轴的交点为，过点作轴的垂线交抛物线于另一点，求点的坐标；
（2）若抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，可得抛物线，求的值；
（3）已知点、均在此抛物线上，且，求的取值范围。
[识记理解3]
1. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式。
2. 平移抛物线，使顶点坐标为，并且经过点，求平移后抛物线对应的函数表达式。
【知能提升】
一、选择题
1. 由二次函数，可知（ ）
A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线
C. 其最小值为1. D. 当时，随的增大而增大
2. 若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是（ ）
A. B. . C. D.
3. 抛物线的顶点坐标、对称轴分别是（ ）
A. ，直线. B. ，直线 C. ，直线 D. ，直线
4. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D. .
5. 若抛物线的对称轴为轴，且点在该抛物线上，则的值为（ ）
A. B. 0 C. 2. D. 4
6. 已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（ ）
… 0 1 2 …
… 1 3 1 …
A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴
C. 当时，随的增大而减小 . D. 方程的正根在3与4之间
7. 若抛物线的开口向下，则的值为（ ）
A. 3 B. C. D. .
8. 已知点，，在抛物线上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. . D.
9. 已知，点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A. B. C. . D.
10. 将关于的函数的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. 与轴的交点不变. D. 自变量的取值范围不变
11. 把二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移4个单位，则两次平移后的图象解析式是（ ）
A. . B. C. D.
12. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位.
13. 已知二次函数，若，，，那么它的图像大致是（ ）
A. . B. C. D.
14. 如图，抛物线与轴，轴分别交于，两点。若，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D. .
第14题图 第15题图
15. 在平面直角坐标系中，如图是二次函数的部分图像，给出下列命题：①；②；③方程的两根分别为和1：④，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个. C. 3个 D. 4个
二、填空题
16. 二次函数的顶点坐标为__________，对称轴是直线__________。
17. 二次函数的最小值是__________。
18. 二次函数的图象与直线的交点坐标是__________。
19. 开口向下的抛物线的对称轴经过点，则__________。
20. 已知关于的二次函数的图像不经过第一、二象限，请写出一个符合的无理数的值为__________。
21. 已知点和在二次函数图像上，则________0（填“>”、“<”或“=”）。
22. 若，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系为____________________（用“<”连接）。
23. 已知，是抛物线上的两点。当时，，则的取值范围是__________。
24. 已知点在抛物线上，点与点关于此抛物线的对称轴对称，如果点的横坐标是，那么点的坐标是________。
25. 抛物线的顶点为，已知的图象经过点，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________。
26. 已知二次函数的图象与轴交于、两点，在抛物线上有一点，且的面积为10，则点的坐标为________________。
27. 如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点的坐标是__________。
第27题图 第28题图
28. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、。若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是__________。
29. 二次函数的图像如图所示，根据图像用“>”、“=”、“<”填空：
（1）________0，________0，________0；
（2）________0，________0，________0，________0。
第29题图 第30题图
30. 已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有________________。
31 将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是________________________。
32. 将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是，新抛物线与原抛物线交于点，联接、，如图所示，如果是等边三角形，那么点的坐标是__________。
第32题图 第33题图
33. 如图，把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为__________。
三、解答题
34. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点、分别从点、同时出发，写出的面积与出发时间(s)的函数关系式及的取值范围。
35. 已知二次函数。
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当为何值时，随增大而减小，当为何值时，随增大而增大。
36. 已知直线与轴交于点，抛物线的顶点平移后与点重合。
（1）求平移后的抛物线的解析式；
（2）若点，在抛物线上，且，试比较，的大小。
37. 定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”。例如：的“同轴对称抛物线”为。
（1）抛物线的顶点坐标为__________，它的“同轴对称抛物线”为____________________；
（2）如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点、关于抛物线的对称轴对称的点、，连接、、、。当四边形为正方形时，求的值。
二次函数的定义与性质 第1页（共7页）

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