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2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.12.12
第二章 二次函数
§2.2 确定二次函数的表达式 二次函数的最值
【学习目标】
1. 能用待定系数法、函数性质法、横截距法正确求出二次函数的解析式，深刻体会数学建模以及数形结合的思想；
2. 掌握二次函数表达式的几种常见形式，并能根据条件灵活恰当地选择表达式；
3. 通过二次函数的性质讨论参数的范围，进而解决二次函数的最值问题。
【学习过程】
一、待定系数法确定一般式的二次函数表达式
一般当已知抛物线上的________坐标时，可设函数的解析式为________________________。
例1 已知抛物线经过，，，求二次函数的表达式。
[识记理解1]
1. 已知二次函数经过，，，求二次函数的表达式。
二、函数性质法确定顶点式（配方式）的二次函数表达式
一般当已知抛物线的________或________时，可设函数的解析式为________________________。
例2 已知经过，两点，且抛物线顶点到的距离为2，求此抛物线的解析式。
[识记理解2]
1. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。
2. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴是直线，，，请解答下列问题：
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求出抛物线的顶点的坐标，并判断与的位置关系。
三、横截距法确定交点式的二次函数表达式
当已知抛物线与________的两个交点，时，可设函数的解析式为________________________。
例3 已知抛物线经过点，，且顶点纵坐标为，求这个二次函数的解析式。
例4 已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，解答下列问题。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设此二次函数的顶点为，求的面积。
[识记理解3]
1. 已知抛物线开口向下，交于，两点，且过。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）请写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出抛物线平移后的表达式。
四、二次函数的最值问题
例5 求下列函数的最值：（1）；（2）；（3）。
例6 （1）探究函数的函数值的范围；
（2）已知函数，其中，求该函数值的范围。
[识记理解4]
1. 已知二次函数，求该函数在的取值范围内的最大值和最小值。
2. 已知二次函数，当时，的最小值为，求的值。
3. 已知二次函数图象的对称轴是。
（1）求二次函数的解析式；
（2）将图象绕顶点旋转得到新的抛物线，求得到二次函数的解析式；
（3）当时，二次函数有最大值1，求的值。
【知能提升】
一、选择题
1. 已知二次函数的图象过点、，则的值可以是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则、的值为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 已知存在一个二次函数过，，其与的形状一致，那么该二次函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
4. 小英在用“描点法”探究二次函数性质时，画出了以下表格，但是部分数据已经遗忘（如下表所示），小英只记得遗忘的三个数中（如，，所示），有两个数相同。根据以上信息，小英探究的二次函数可能是（ ）
… 0 1 2 3 …
… …
A. B. C. D.
5. 已知某二次函数上两点，，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6. 已知二次函数，当时，的值为4，那么当时，的值为__________。
7. 已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为______________________________。
8. 已知二次函数对称轴为，且在轴上截得的线段长为6，与轴交点为，则此二次函数的解析式为______________________________。
9. 已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为______________________________。
10. 已知抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为____________________。
11. 如图所示，已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则长为__________。
第11题图 第12题图
12. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点按逆时针方向旋转至，点的坐标为__________，若抛物线经过点，则抛物线的解析式为____________________。
13. 已知点为函数上一动点。当时，的取值范围是，则函数的解析式为______________________________。
三、解答题
14. 已知抛物线经过点和。
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）若点和点是该抛物线上两个不同的点，已知，求的值。
15. 如图所示，四边形是平行四边形，过点、、作抛物线，点，，的坐标分别为，，，求抛物线的解析式。
16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为。
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出顶点的坐标；
（2）当时，写出的取值范围。
17. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点、分别在轴、轴的正半轴，抛物线经过、两点，点为抛物线的顶点，连接、、。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线顶点的坐标和四边形的面积。
18. 如图所示，已知抛物线经过，，三点。
（1）求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标；
（2）点在线段上（不与，重合），过点作轴交抛物线于点，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长；
（3）设抛物线上有一个动点，当点在该抛物线上什么位置时，满足，并求出此时点的坐标。
19. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标及此时距离之和的最小值；
（3）如果点和点在的图象上，且，，求的值。
确定二次函数的表达式 二次函数的最值 第1页（共7页）

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