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2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.12.13
第二章 二次函数
§2.3 二次函数和其他函数以及一元二次方程的结合
【学习目标】
1. 通过二次函数与一次函数、反比例函数的结合，巩固二次函数中参数的含义和图像的性质；
2. 理解二次函数的图像和一元二次方程的解之间的联系，进一步体会数形结合的思想。
【学习过程】
一、二次函数和一次函数及反比例函数的结合
例1 二次函数的图象与直线交于，两点。
（1）确定二次函数与直线的解析式。
（2）如图，分别确定当，，时，自变量的取值范围。
例2 若直线（为常数）与函数的图象有三个不同的交点，求常数的取值范围。
例3 已知，试在同一直角坐标系中，画出函数与所有可能的大致图象。
[识记理解1]
1. 与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知二次函数的图象与直线的图象如图所示。
（1）设直线与抛物线的交点分别为，，试确定，两点的坐标；
（2）连接，，求的面积。
3. 若有四个解，求的取值范围。
二、二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与一元二次方程的关系
的图象和轴有____个交点有____个根__________；
的图象和轴有____个交点有____个根__________；
的图象和轴有____个交点有____个根__________。
2. 一元二次方程的近似解：通过二次函数图像上符号的变化区间利用________思想进行估解。
3. “恒成立”与“能成立”问题
（1）恒成立：对于________的值，都满足不等式成立的问题即为恒成立问题。对于不等式的恒成立条件为________________，对于不等式的恒成立条件为________________。
（2）能成立：对于________的值，满足不等式成立的问题即为能成立问题。对于不等式的能成立条件为________________，对于不等式的能成立条件为________________。
例4 已知抛物线，求满足下列条件的取值范围。
（1）抛物线与轴有两个交点、只有一个交点、没有一个公共点；
（2）抛物线与坐标轴只有一个公共点。
例5 若关于的不等式对于任意实数均恒成立，求实数的取值范围。
例6 当时，不等式恒成立，求的取值范围。
例7 若关于的不等式在实数范围内能成立，求实数的取值范围。
[识记理解2]
1. 已知抛物线，求满足下列条件的实数的取值范围。
（1）抛物线与轴有两个交点、只有一个交点、没有一个公共点；
（2）抛物线与坐标轴只有一个公共点。
2. 已知关于的不等式。
（1）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围。
（2）若在实数范围内能成立，求实数的取值范围。
3. 设关于的不等式对于一切都成立，求实数的取值范围。
【知能提升】
一、选择题
1. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
2. 在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
4. 一次函数与二次函数相交于、两点，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
第4题图 第5题图
5. 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 抛物线与轴有两个交点，则的值可能为（ ）
A. B. 1 C. 3 D. 4
7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，一次函数与二次函数在同一平面坐标系中的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
9. 下表给出了二次函数与自变量的部分对应值：
… 0 1 2 …
… 5 6 5 2 …
则关于的一元二次方程的解为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴正半轴上一点，连结并延长交抛物线于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结。若点的横坐标为1，且，则的长为（ ）
A. B. C. 4 D.
第10题图 第11题图
11. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，有下列结论：①；②一元二次方程的正实数根在2和3之间；③；④点，在抛物线上，当实数时，。其中，正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题
12. 已知抛物线的图象与轴有两个交点，则的取值范围为__________。
13. 若抛物线与坐标轴只有一个交点，则=__________。
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________。
第14题图 第15题图
15. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是__________。
16. 如图，二次函数与一次函数相交于，两点，则不等式的解集为__________。
第16题图 第17题图
17. 如图，平面直角坐标系中，，。抛物线经过，，三点，直线经过，。当时，的取值范围为__________。
18. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则抛物线与轴交点的个数为__________个。
三、解答题
19. 如图，顶点为的抛物线与轴交于、两点。
（1）求抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式。
20. 在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则称为整点。设函数（实数为常数）的图象为图象。
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由。
21. 在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）经过点，。点在抛物线上，且点的横坐标为。
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求点关于抛物线（、是常数）的对称轴对称的点的坐标（用含的代数式表示）；
（3）当点在轴上方时，直接写出的取值范围；
（4）若此抛物线在点及点左侧部分的最低点的纵坐标为，求的值。
22. 如图，一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像与该一次函数图像交于、两点，点坐标为。
（1）求一次函数及二次函数表达式；
（2）直线与抛物线交于点，与直线交于点，
①当点位于点的上方时，结合函数的图像直接写出的取值范围；
②当点在线段上时，求线段长度的最大值及此时点的横坐标。
23. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下，其中，________；
0 1 2 3 4
0 3 4 3 4 0
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质_______________________________；
（4）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，求出方程的解
24. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接、、、。
（1）求，，三点的坐标；
（2）当的面积等于的面积的时，求的值；
（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数和其他函数以及一元二次方程的结合 第1页（共7页）

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