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2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.12.18
第二章 二次函数
§2.4 二次函数的应用
【学习目标】
1. 能够建立二次函数模型解决最大面积、最大利润等其他实际问题，进一步提高分析问题解决问题的能力；
2. 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。
【学习过程】
一、面积问题
例1 如图，矩形在直角三角形的内部，其中和分别在两直角边上，m，m。
（1）设矩形的一边m，那么边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为m2，当取何值时，的最大值是多少？
（3）如果把矩形的位置改为其顶点和点分别在两直角边上，在斜边上。其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
例2 如图1，有长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃。设花圃的宽为m（宽不大于长），面积为m2。
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请求出花圃能围成的最大面积，并写出此时的值；
（3）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽均为1 m的两扇小门，能否使围成的花圃面积为51 m2？如果能，请直接写出花圃宽和长的值；如果不能，请说明理由。
例3 如图，Rt中，，，为中点。、是边、上的动点，从以1 cm/s的速度出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止。设运动时间为秒（），运动开始后第几秒时，的面积最大。
[识记理解1]
1. 在矩形中，cm，cm，点从点出发沿边向点以1 cm/s的速度移动，同时点从点出发沿边向点以2 cm/s的速度移动。如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，设运动时间为秒（），回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，的面积等于8 cm2；
（2）设五边形的面积为cm2，写出与的函数关系式，为何值时最小？求出的最小值。
2. 如图，现打算用60 m的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙m（篱笆的宽度忽略不计）。
（1）菜园面积可能为252 m2吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由；
（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过8 m，求该菜园面积的最大值。
二、经济问题
例4 某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。设每个房间每天的定价增加元。
（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？
例5 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。经市场调查反映，如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价元，每星期的销量为件。
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
[识记理解2]
1. 一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数关系。
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润为5600元；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
2. 某省有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中。据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售。
（1）设天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式；
（2）若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与间的函数关系式；
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？
3. 某商场销售、两种商品，每件进价均为20元。调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元。
（1）求、两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价。设种商品降价元，如果、两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售、两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
三、结合图像分析的其他实际问题应用
例6 如图一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。
（1）求球在空中运行的最大高度；
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，他距离篮框中心的水平距离是4米，请问能否准确落入篮框内？
例7 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6 m，跨度为8 m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中。
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5 m。求灯与点的距离。
[识记理解3]
1. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内。已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m，求他距篮筐中心的水平距离。
2. 如图所示主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24 m，最高点离水面8 m，以水平线为轴，的中点为原点建立坐标系。
（1）求此桥拱线所在抛物线的解析式；
（2）桥边有一浮在水面部分高4 m，最宽处m的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下？说明理由。
【知能提升】
一、选择题
1. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度m与水平距离m之间的关是。则他将铅球推出的距离是（ ）
A. 8 m B. 9 m C. 10 m D. 11 m
第1题图 第2题图
2. 用总长为米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为平方米，关于的函数图象如图2，则的值是（ ）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
3. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个。已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个。设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 某种礼炮的升空高度(m)与飞行时间(s)的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A. 6 s B. 7 s C. 8 s D. 9 s
5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(m)与小球运动时间(s)之间的函数关系为。有下列结论：①当时，小球运动到最大高度；②当小球的运动高度为40 m时，运动时间为2 s或4 s；③小球运动中的最大高度为46 m；④小球从抛出到落地需要6 s。其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 下表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中。
… 5 …
… 0 0 …
若当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为（ ）
A. 6米 B. 5米 C. 4.5米 D. 4米
第7题图 第8题图
8. 如图，小球的飞行高度(m)与飞行时间(s)具有的函数关系，下列解释正确的是（ ）
A. 小球的飞行高度为15 m时，小球飞行了1 s B. 小球飞行3s时飞行高度为15 m，并将继续上升
C. 小球从飞出到落地要用4 s D. 小球的飞行高度可以达到25 m
二、填空题
9. 某商店从厂家以每件30元的价格购回一批商品，若每件商品售价为元，则可卖出件，但限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果要使商店获得利润最多，每件商品定价应为__________元。
10. 小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数（的单位：s，的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是__________。
11. 如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是__________。
第11题图 第12题图
12. 如图所示，正方形的边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数表达式是______________________________。
13. 飞机着陆后滑行距离(m)与滑行时间(s)的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行__________秒才能停下来。
14. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面3 m时，水面宽4 m，水面上升2 m，水面宽度减少__________。

第14题图 第15题图
15. 雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①），可以发现数学的研究对象——抛物线。在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨、的交点。点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，、关于轴对称。dm，点到轴的距离是0.6 dm，、两点之间的距离是4 dm。分别延长、交抛物线于点、，则雨伞撑开时的最大直径的长为__________。
三、解答题
16. 如图，在矩形中，，点在边上，不与、重合，连接，以为边向右上方作正方形，过点作，垂足为，连接。
（1）求证：；
（2）当为何值时，的面积最大。
17. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示。
（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
18. 某地区建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花型柱子，恰好在水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上，抛物线如图①所示，建立右图②所示的直角坐标系，水流喷出的高度(m)与水平距离(m)之间关系式是。
（1）求柱子的高度；
（2）求喷出的水流距水平面的最大高度；
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外？
19. 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。
（1）假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润是元，请写出与之间的函数表达式；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
20. 某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出。据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个。若销售单价每降低1元，每月可多售出2个。据统计，每个玩具的固定成本（元）与月产销量（个）满足如下关系：
月产销量（个） ... 160 200 240 300 ...
每个玩具的固定成本（元） ... 60 48 40 32 ...
（1）写出月产销量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求每个玩具的固定成本（元）与月产销量（个）之间的函数关系式；
（3）若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？
21. 一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米。已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
（1）建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；
（2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
（3）已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示。为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到）
22. 某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格（元）与周次之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且每件进价（元）与周次之间的关系为，且为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？
23. 疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测。实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数（人）随时间（分钟）的变化可看作是的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，其中。校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人。
（1）求与之间的函数解析式；
（2）求校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人；
（3）检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点。已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况。
24. 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长。小红在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线的一部分。
（1）写出抛物线的顶点坐标，并求出、的值；
（2）若小红在轴右侧、距离轴6 m的位置上，且与点的垂直距离小于0.5 m的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值；
（3）若小红在轴上方、距离轴1 m的高度上，且与点的水平距离不超过1 m的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值。
25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，是该抛物线上一点，其横坐标为。以为对角线作矩形，轴。
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围；
（3）设抛物线在矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求与之间的函数关系式；
（4）设这条抛物线的顶点为，的面积为。当时，求的值。
二次函数的应用 第1页（共7页）

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