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2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2025.01.08
第三章 圆
§3.1 圆的定义和性质
【学习目标】
1. 明确圆的概念，了解确定圆的条件，掌握点与圆的位置关系及其判定方法；
2. 探索圆的对称性，归纳圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论；
【学习过程】
一、与圆有关的概念
1. 圆的定义
（1）在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做_____，固定的端点叫做_________，线段叫做_________。以点为圆心的圆，记作_____，读作_________。
（2）圆是到定点的距离等于_________的点的集合。
2. 连结圆上任意两点的线段叫做_________，经过圆心的弦叫做_________，圆心到弦的距离叫做_________。
3. 圆心相同、半径不等的两个圆叫做_________，圆心不同、半径相等的两个圆叫做_________。
4. 圆上任意两点间的部分叫做_________，简称弧。以、为端点的弧记作_________，读作_________。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做_________，大于半圆的弧叫做_________，小于半圆的弧叫做_________。在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做_________。
5. 顶点在_________的角叫做圆心角，顶点在_________的角叫做圆周角。
例1 如图，点，，以及点，，分别在一条直线上，指出在中的弦、直径、弧、优弧、劣弧、圆周角、圆心角。
例2 如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，求的度数。
[识记理解1]
1. 如图，是的直径，点，在上，，，连接，求的度数。
2. 在如图，某海域内以点为圆心、3 km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点处前往处进行捕鱼，，两点之间的距离是10 km，如果渔船始终保持10 km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？
二、点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系的性质与判定
点在圆外点到圆心的距离_________半径，即_________；
点在圆上点到圆心的距离_________半径，即_________；
点在圆内点到圆心的距离_________半径，即_________。
2. 平面上在圆外的一个点到圆的最小距离是__________________，最大距离是__________________。
例3 已知直线与直线同时经过点，点是在以点为圆心、为半径的圆上的一个动点，求线段的最小值。
[识记理解2]
1. 平面上的一个点到圆的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，求圆的半径。
2. 如图，在边长为5的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值。
三、圆的对称性
1. 圆是_________图形，也是_________图形，具有____________。
2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量_________。
例4 如图，，是的弦，且，若，求的度数。
例5 如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连结，，与交于点，且满足，。若，，求的长度。
[识记理解3]
1. 如图，是的直径，，若，求的度数。
2. 如图，，是上的两点，，是的中点。求证：四边形是菱形。
四、确定圆的条件
1. ______________的三个点可以确定一个圆，且_________一个圆可以被确定。
2. 三角形的三个顶点可以确定_________圆，这个三角形叫作圆的____________，这个圆叫作三角形的_________。
3. 三角形的外心
（1）定义：三角形_________的圆心，即三角形三条____________的交点。
（2）性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于_______________，即满足垂直平分线的性质。
（3）位置：锐角三角形的外心在三角形_________，直角三角形的外心在__________，钝角三角形的外心在三角形_________。
例6 如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，求点的坐标。
例7 已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，求的面积。
[识记理解4]
1. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，求的外接圆圆心的坐标。
2. 在Rt中，，，，求这个三角形的外接圆的直径。
【知能提升】
一、选择题
1. 已知的半径为5，则该圆中最长的弦的长是（ ）
A. B. C. 10. D. 15
2. 下列说法，不正确的是（ ）
A. 过圆心的弦是圆的直径 B. 长度相等的弧是等弧.
C. 周长相等的两个圆是等圆 D. 半圆是弧，但弧不一定是半圆
3. 在平面直角坐标系中，点，的半径为4，那么点与的位置关系是（ ）
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外. D. 不能确定
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 等弧所对的弦相等 B. 相等的弦所对的弧相等
C. 相等的圆心角所对的弧相等. D. 相等的圆心角所对的弦相等
5. 已知点是半径为5的内一点，且，在过点的所有弦中，弦长为整数的条数为（ ）
A. 2 　　　 B. 3 　　　 C. 4.　　　 D. 5
6. 已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
第7题图 第8题图
8. 如图，是的外接圆，弦交于点，，，过点作于点，延长交于点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. 13 D. 14.
二、填空题
9. 如图，在中，弦有__________，直径是__________，优弧有__________，劣弧有__________。
第9题图 第10题图
10. 如图，是的直径，，半径，是弧上的动点（不与点，，重合），，，垂足分别是，，则的长为__________。
11. ，是半径为5 cm的上两个不同的点，则弦的取值范围是__________。
12. 如图，是半径为1的半圆弧，为等边三角形，是上的一动点，则的面积的最大值是__________。
第12题图 第13题图
13. 如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当最大时，点的坐标为__________。
14. 已知的半径为，点和圆心之间的距离为，且是关于的一元二次方程的实数根，则点与的位置关系是__________。
15. 如图，在中，，，则__________。
第15题图 第16题图
16. 如图，是的直径，，，则的度数是__________。
三、解答题
17. 如图，，，求的度数。
18. 如图，在Rt中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接。
（1）求证：；
（2）求外接圆的半径。
19. 如图，平面直角坐标系中有一个。
（1）用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆的圆心，利用网格并写出圆心坐标是__________；
（2）判断点与的位置关系，说明理由。
圆的定义和性质 第1页（共7页）

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