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2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2025.01.11
第三章 圆
§3.2 垂径定理和圆周角定理
【学习目标】
1. 理解垂径定理及其推论的内容，能利用定理进行简单的计算和证明，并利用垂径定理及其推论解决实际问题；
2. 熟练掌握圆周角定理及其推论的内容，推导圆内接四边形的相关结论，并灵活运用定理进行计算和证明。
【学习过程】
一、垂径定理
1. 定理内容：__________________________________________________________________________。
2. 推论内容：__________________________________________________________________________。
注意：在推论中，“不是直径”的条件不可去掉，否则平分弦的直径不一定垂直于弦。
例1 如图，在中，弦的长为8，是的中点，的中点到的距离为3，求的半径。
例2 如图，弦与弦平行，求证：、所夹的弧是等弧。
例3 如图，直径为10的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度为8，求水的最大深度。
例4 如图，在中，是的直径，，，是上一动点，求的最小值。
[识记理解1]
1. 如图，已知，，，求半径及弦心距。
2. 如图，两个同心圆中，小圆的弦与大圆的弦在同一条直线上，求证：。
3. 已知、、、四点都在上，顺次连接、、、，其中，，且，的半径是5，求四边形的面积。
4. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于、两点，求弦长的最小值。
二、圆周角定理
1. 定理内容：__________________________________________________________________________。
2. 推论内容：（1）_____________________________________________________________________。
（2）_____________________________________________________________________。
例5 如图，、、为上的三个点，，若，求的度数。
例6 如图，是的直径，是弦，且，为上一点，连接，，，若，求的度数。
例7 如图，是的直径，点、、在上，若，求的度数。
[识记理解2]
1. 如图，在中，半径，互相垂直，点在上。若，求的度数。
2. 如图，是的弦，是的半径，且，点是的中点，若，，求弦的长。
3. 如图，是的直径，点，分别是弦，的中点，，，求的长。
【知能提升】
一、选择题
1. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 垂直于弦的直径平分这条弦 B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
C. 弦的垂直平分线是圆的直径. D. 平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦
2. 如图，的半径为5，弦的长为8，是弦上的一个动点，则线段的长的最小值为（ ）
A. 3. B. 4 C. 6 D. 8
第2题图 第3题图
3. 如图，直线与相交于、两点，且与半径垂直，垂足为，已知，，则的长为（ ）
A. 6 B. 10 C. 4. D.
4. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为（ ）
A. . B. C. D.
第4题图 第5题图
5. 如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. . D.
6. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）
A. 2.5. B. 3 C. 3.5 D. 4
第6题图 第7题图
7. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，，，点是上的一动点。当点到弦的距离最大时，点的坐标是（ ）
A. . B. C. D.
8. 如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
第8题图 第9题图
9. 如图，在中，弦与相交于点，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，，为的两条弦，，分别为，的中点，的半径为2。若，则的长为（ ）
A. 2 B. C. D.
第10题图 第11题图
11. 如图，菱形的顶点、、都在上，点为上一点，且点在优弧上，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
12. 已知的半径为8，，则在过点的所有弦中，最短的弦长为__________，最长的弦长为__________。
13. 如图，在中，弦、互相垂直且相等，，，垂足分别为、，若，则的半径为__________。
第13题图 第14题图
14. 如图为圆弧形拱桥的侧面图，桥的跨径所在弦m，拱高m，则拱所在圆的半径为__________。
15. 如图，是Rt的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为__________。
第15题图 第16题图
16. 如图，在以为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点，。若，则的长为__________。
17. 如图，点是反比例函数图象上一点，经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点，，则__________。
第17题图 第18题图
18. 如图，是的半径，是的弦，于点，的延长线与的延长线交于点。若，则__________。
三、解答题
19. 如图，在中，为的弦，、是上的两点，且，求证：是等腰三角形。
20. 如图，为的直径，弦交于，，cm，cm，求弦的长。
21. 如图，已知是的直径，，，。求和的度数。
22. 如图，是弧的中点，过点的弦交于点，设的半径为4，。
（1）求圆心到弦的距离；
（2）求的度数。
23. 如图，在中，，连接，，过点作交的延长线于点。
（1）求证；
（2）若，，求的半径。
24. 如图，是的直径，是的弦，如果。
（1）求的度数；
（2）若，求的长。
25. 如图，有一座拱桥是圆弧形的，它的跨度米，拱高米。
（1）求圆弧所在圆的半径的长；
（2）当洪水泛滥到水面宽度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即当米时，是否要采取紧急措施？
26. 如图，射线平分，为射线上的一点，以为圆心，13为半径作，分别与两边相交于点，和点，，连结，此时有。
（1）求证；
（2）若弦，求的长。
27. 如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，求的最小值。
28. 如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接交于点，交于点。
（1）求证；
（2）连接，若，的半径为2，求的长。
垂径定理和圆周角定理 第1页（共7页）

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