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2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2025.01.13
第三章 圆
§3.3 直线和圆的位置关系 切线长定理
【学习目标】
1. 理解直线和圆的三种位置关系和判定方法，并掌握切线的性质定理和判定定理；
2. 理解切线长的定义，掌握切线长定理并能运用切线长定理进行有关的证明与解决实际问题。
【学习过程】
一、直线和圆的位置关系
1. 直线和圆的位置关系的性质和判定
直线和圆相交直线和圆有_________个交点圆心到直线的距离_________半径，即_________；
直线和圆相切直线和圆有_________个交点圆心到直线的距离_________半径，即_________；
直线和圆相离直线和圆有_________个交点圆心到直线的距离_________半径，即_________。
2. 当直线和圆相交时，这条直线称为_________；当直线和圆相切时，这条直线称为_________。
例1 如图，已知，点是边上一点，且。以点为圆心，为半径，作。求的取值范围使的与射线相交、相切、相离。
[识记理解1]
1. 已知在Rt中，，，，若以为圆心，为半径的圆与边有交点，求的取值范围。
二、切线的性质和判定
1. 切线的性质：切线和圆有且只有_________个交点，切线和圆心的距离_________半径，圆的切线_________过切点的半径。
2. 切线的判定方法
（1）切线的判定定理：经过半径的_________且_________于这条半径的直线是圆的切线；
（2）定义法：直线和圆_________公共点时，这条直线是圆的切线；
（3）数量关系法：圆心到这条直线的距离_________半径（即）时，直线与圆相切。
例2 如图，在Rt中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作圆，与相切于点，连接，若，求的度数。
例3 如图，已知为的直径，点在的延长线上，，点在圆上，。求证：是的切线。
例4 如图，中，，是的中点，与相切于。求证：是的切线。
[识记理解2]
1. 如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接，，，若，求的度数。
2. 如图，中，，以为直径的交于，于。求证：是的切线。
3. 如图，在Rt中，，点，分别为，的中点，连接，作与相切于点，在边上取一点，使，连接。判断与的位置关系，并说明理由。
三、三角形的内切圆和内心
1. 和三角形三边都相切的圆叫作这个三角形的_________，这个三角形叫作这个圆的_________。
2. 三角形的内心
（1）定义：三角形_________的圆心，即三角形三条____________的交点。
（2）性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，等于_______________，即满足角平分线的性质。
（3）位置：任何三角形的内心在三角形的_________。
3. 三角形内切圆的半径公式：__________________，直角三角形内切圆的半径公式：__________________。
例5 如图，在Rt中，，是的内切圆，连接并延长与交于点，求的度数。
例6 如图，是的内心，过点作，与，分别交于点，，求证：。
[识记理解3]
1. 如图，是的内切圆，与，，分别相切于点，，，，求的大小。
2. 如图，中，是内心，的平分线和的外接圆相交于点。求证：。
四、切线长定理
1. 切线长的定义：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的_________的长度叫作切线长。
2. 切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的_________相等，圆心和这一点的连线_________两条切线的夹角。
例7 如图，四边形外切于，且，，求四边形的周长。
例8 如图，，分别与相切于点，，为弦，为的直径，若，cm。
（1）求证：是等边三角形；
（2）求的长。
[识记理解4]
1. 如图，直线，，分别与相切于点，，，且，cm，cm。求：
（1）的度数；
（2）的长和的半径。
2. 如图，为的直径，，分别与相切于点，，，交的延长线于点。
（1）求证：；
（2）连接并延长交于点，若，且，求的长。
【知能提升】
一、选择题
1. 已知平面内有和点，，若的半径为3 cm，线段cm，cm，则直线与的位置关系为（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切.
2. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A. 与轴相离，与轴相切. B. 与轴相离，与轴相交
C. 与轴相切，与轴相交 D. 与轴相切，与轴相离
3. 如图，是的直径，与相切于点，与相交于点，若，则的度数是（ ）
A. B. . C. D.
第3题图 第4题图
4. 如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点。若，，则线段的长为（ ）
A. . B. 1.5 C. 1 D.
5. 如图，是的直径，延长至，切于点，过点作交于点，连接。若，，则的长为（ ）
A. 3 B. C. 6 D. .
第5题图 第6题图
6. 如图，中，点在上，点在外，交于点，以下条件不能判定是的切线的是（ ）
A. B. C. D. 点是的中点.
7. 如图，为半直径延长线上一点，切半于，且，则的值为（ ）
A. B. . C. D.
第7题图 第8题图
8. 如图，过半径为2的外一点作的两条切线、，切点分别为，，，连接，则的长为（ ）
A. . B. C. 3 D.
9. 在同一平面内，已知的半径为2，圆心到直线的距离为3，点为圆上的一个动点，则点到直线的最大距离是（ ）
A. 2 B. 5. C. 6 D. 8
10. 如图，以平行四边形一边为直径的圆与对边相切于点。若，则平行四边形的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8. D. 10
第10题图 第11题图
11. 如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，。若，则的度数为（ ）
A. B. C. . D.
12. 如图，在中，，小唯进行了如下作图：①过点作的垂线，交于点；②作的平分线，交于点。根据小唯的作图，下列说法正确的是（ ）
A. 点在的外部 B. 点是的内心
C. 点是的外心 D. 点到三个顶点的距离均相等
第12题图 第13题图
13. 如图，以正方形的边为直径作半，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则直角梯形的周长为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14. D. 15
二、填空题
14. 如图，在中，，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点，则的长为__________。
第14题图 第15题图
15. 如图，直径分别为、的两个半圆相切于点，大半圆的弦与小半圆相切于点，且，，设、的长分别为，，线段的长为，则的值为__________。
16. 如图，与的两边分别相切于点、，点为上一点（不与点、重合），若，则__________。
第16题图 第17题图
17. 如图，正方形边长为4，点为对角线BD上一点，以点为圆心，长为半径的圆与相切于，则的半径为__________。
18. 如图，直线是的切线，为切点，为直线上一点，连接交于点。若，，则的长为__________。
第18题图 第19题图
19. 如图，的内切圆与三边分别相切于点，，，若，则的度数为__________。
20. 如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为__________。
第20题图 第21题图
21. 如图，是四边形的内切圆，连接，，，，记，，，的面积分别为，，，，则，，，的数量关系为____________________。
三、解答题
22. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，求的度数。
23. 如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点。
（1）求证：；
（2）若，且为的中点，求的半径长。
24. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的半径为2。
（1）试判断点与的位置关系，并证明该结论；
（2）若直线与相离，求的取值范围。
25. 如图，是的直径，是的弦，平分交于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接并延长交延长线于点。
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，的半径为5，求的长；
（4）若，，求的直径。
26. 如图，是的直径，过点作，是上的一点，且，延长，交的延长线于点，连接。
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求的长。
27. 如图，已知内接于，的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且。
（1）求证：；
（2）求证：平分。
直线和圆的位置关系 切线长定理 第1页（共7页）

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