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2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2025.01.13
第三章 圆
§3.4 圆内接正多边形 圆的弧长及扇形的面积
【学习目标】
1. 了解圆内接正多边形的有关概念，掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角的关系；
2. 了解扇形的定义，掌握圆的弧长和扇形面积的计算公式，并解决有关的实际应用问题。
【学习过程】
一、圆内接正多边形
1. 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做__________________，这个圆叫做这个正多边形的_________。
2. 一个正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的_________，正多边形外接圆的半径叫做正多边形的_________，正多边形每条边所对的_________叫做正多边形的中心角，正多边形的_________到到正多边形的一条边的距离叫做正多边形的_________。
3. 圆内接正多边形的计算公式
（1）正多边形的每个内角：_______________________________________________；
（2）正多边形的每个中心角：_____________________________________________；
（3）正多边形的边心距、边长、半径之间的关系：___________________________；
（4）正多边形的周长：_______________；正多边形的面积：__________________。
4. 任何一个圆内接四边形的对角_________。
例1 如图，如图，正六边形内接于半径为4的，求这个正六边形的中心角、边长、边心距、周长、面积及它的内切圆半径。
例2 如图，四边形是的内接四边形，连接，若，，求的度数。
[识记理解1]
1. 如图，正五边形内接于，点为弧的中点，直线与相切于点，求的度数。
2. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，，求的度数。
二、圆的弧长和扇形的面积
1. 圆的弧长的计算公式：_____________________________________________。
2. 扇形面积的计算公式：_____________________________________________。
例3 如图，是正三角形，曲线叫做“正三角形的渐开线”，其中弧，弧，弧的圆心依次按，，循环，它们依次相连接，如果，求曲线的长。
例4 如图，矩形中，以为圆心，的长为半径画圆，交于点，再以为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点。已知，，求图中阴影部分的面积。
[识记理解2]
1. 如图，在Rt中，，平分，交于点，点在上，经过，两点，交于点，交于点。
（1）求证：是的切线；
（2）若半径是2 cm，是弧的中点，求阴影部分的面积（结果保留和根号）
2. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，长为25 cm，贴纸部分的宽为15 cm，若纸扇两面贴纸，求贴纸的面积。
【知能提升】
一、选择题
1. 魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）
A. 3. B. C. D. 6
第1题图 第2题图
2. 如图，是正五边形的外接圆，这个正五边形的边长为，半径为，边心距为，则下列关系式错误的是（ ）
A. B. C. D. .
3. 如图，点，，，在上，，，，若的半径为2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. . C. D.
第3题图 第4题图
4. 如图，半径为1的与正六边形相切于点、，则弧的长为（ ）
A. . B. C. D.
5. 如图，点为上一个动点，连接，，若，则阴影部分面积的最小值为（ ）
A. B. C. . D.
第5题图 第6题图
6. 如图，正方形的边长为10，以正方形的顶点，，，为圆心画四个全等的圆。若圆的半径为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D. .
7. 如图，正方形内接于，，则的长是（ ）
A. . B. C. D.
第7题图 第8题图
8. 如图，水平地面上有一面积为30 cm2的扇形，半径cm，且与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至与地面垂直为止，则点移动的距离为（ ）
A. 20 cm B. 24 cm C. 10 cm. D. 30 cm
二、填空题
9. 如图，正五边形内接于，连接，，则__________。
第9题图 第10题图
10. 如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为__________。
11. 如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么__________。
第11题图 第12题图
12. 如图，四边形内接于，交的延长线于点，平分，连接，若，，则的长为__________。
13. 如图，正方形中，分别以、为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为__________。
第13题图 第14题图
14. 中国传统折扇出现于宋代，流行于明清，因其开合自如，携带方便，集诗书画艺于一身，有“怀袖雅物”之称，图1是一把扇形折扇，图2是其平面示意图，我们称封闭部分为扇环，其中，，则扇环的面积是__________，周长是__________。
15. 如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为__________。
16. 圆心角为的扇形的半径为9 cm，则这个扇形的面积是__________。
三、解答题
17. 如图，的外接圆的圆心在等腰的底边上，点为弧上的一点，平分，，。
（1）求证：是的切线；
（2）求图中阴影部分的面积。
18. 如图，在中，，以为直径的与底边交于点，过点作，垂足为点。
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长。（结果保留）
19. 如图，的直径，的平分线交于，过点作交的延长线于点，连接，。
（1）求由，，围成的阴影部分的面积；
（2）求证：是的切线。
20. 如图，在Rt中，，平分，交于点，点在上，经过，两点，交于点，交于点 。
（1）求证：是的切线；
（2）若半径是2 cm，是弧的中点，求阴影部分的面积。（结果保留和根号）
21. 如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作交的延长于点，垂足为点。
（1）判定直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积。
圆内接正多边形 圆的弧长及扇形的面积 第1页（共7页）

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