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第8章复习课
【素养目标】
1.掌握与幂相关的运算,整式的乘法运算.
2.掌握乘法公式,能应用乘法公式简化整式的乘法运算.
3.能运用提公因式法、乘法公式法和分组分解法,将一个多项式因式分解.
【重点】
整式的乘法与因式分解.
【体系构建】
【专题复习】
幂的运算
例1　计算:(1)[(a3b)3·(-a4)3]÷(a2)3÷(a3)2;
(2)-1+(-2)0+|-2|-(-3).
例2　现在,计算机技术发展迅速,硬盘的存储量也越来越大,计算机的硬盘的存储量是以“GB”来计算的,比“GB”小的计量单位是“MB”,两者的关系是1 GB=1 024 MB,那么32 MB的U盘的存储量是多少GB
变式训练
1.下列运算正确的是 ( )
A.a3·a4=a12 B.(-y3)3=y9
C.(m3n)2=m5n2 D.(m2)3÷(m3)2=1
2.已知2m=3,2n=4,则23m+2n的值是 .
3.已知10x=2,10y=3,求103x+2y的值.
整式乘除
例3　计算:[3(a+b)3-2(a+b)2-4a-4b]÷(a+b).(方法指导:将a+b当作一个整体看)
例4　新知识一般有两类:第一类是不依赖于其他知识的新知识,如“数”“字母表示数”这样的初始性的知识;第二类是在某些旧知识的基础上进行联系、拓展等方式产生的知识,大多数知识是这样的知识.
(1)多项式乘以多项式的法则,是第几类知识
(2)在多项式乘以多项式之前,你已拥有的有关知识是哪些 (写出三条即可)
(3)请你用已拥有的有关知识,通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则是如何获得的 [用(a+b)(c+d)来说明]
·方法归纳·
整式的乘除中蕴含了转化思想,如多项式乘以多项式是转化为 ,单项式除以单项式是转化为 等.
变式训练
1.如图,调皮的弟弟把姐姐的作业本撕掉了一角,留下一道残缺不全的题目,请你帮她推测出被除式为 ( )
A.x2+3x-6 B.x3+3x2-6
C.x+3- D.x3+3x2-6x
2.若(x+1)(x+a)=x2+bx-1,则a+b= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.已知A=x,B是多项式,在计算B+A时,小明把B+A看成B÷A,计算结果是x+1,求B+A.
4.如图,这是一个长方形纸片,它的长为(2a+b)cm,宽为(3b-a)cm,现用剪刀在长方形纸片内剪去2个边长均为b cm的正方形.
(1)用含a,b的代数式表示剩余纸片的面积.(结果需要化简)
(2)若a=6,b=8,求剩余纸片的面积.
乘法公式
例5　先化简,再求值:(x+1)2-x(x+1),其中x=-2.
例6　已知A=1+2x,B=1-2x.
(1)化简:2A-3B.
(2)若A B+M是关于x的一个完全平方式,请写出一个满足条件的整式M.
变式训练
1.对于等式(a+b)2=a2+b2,甲、乙、丙三人有不同的看法,则下列说法正确的是 ( )
甲:无论a和b取何值,等式都不成立;
乙:只有当a=0且b=0时,等式才能成立;
丙:当a=0或b=0时,等式成立.
A.只有甲正确 B.只有乙正确
C.只有丙正确 D.三人说法均不正确
2.(a+b-c)(a-b+c)= ( )
A.a2-(b-c)2 B.a2+(b+c)2
C.(a-b)2-c2 D.(a+b)2-c2
3.已知x2+xy=12,xy+y2=15,求代数式(x+y)2-2y(x+y)的值.
4.对于实数a,b,定义新运算“ ”,规定如下:a b=(a+b-1)2-2ab,如1 2=(1+2-1)2-2×1×2=0.若x为某一个实数,记x 3的值为m,1 (2-x)的值为n,请判断m-n的值是否与x的取值有关 并说明理由.
因式分解
例7　(1)利用因式分解进行简便计算:2022+202×196+982.
(2)已知a-b=,ab=2,求-a4b2+2a3b3-a2b4的值.
例8　老师在黑板上写出三个算式:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.王华接着又写了两个具有同样规律的算式:112-52=8×12,152-72=8×22.
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式.
(2)用文字写出反映上述算式的规律.
(3)证明这个规律的正确性.
变式训练
1.小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x-1,a-b,2,x2+1,a,x+1,分别对应下列六个字:数,爱,我,化,物,学.现将2a(x2-1)-2b(x2-1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.我爱化 B.爱物化
C.我爱数学 D.物化数学
2.若x-y-9=0,则代数式x2-y2-18y的值为 .
3.因式分解:
(1)a2(x-y)+9(y-x);
(2)x4-6x2+8;
(3)(x2+x)(x2+x-8)+16.
4.“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分解因式如下:
甲:a2-2ab-4+b2 =(a2-2ab+b2)-4(分成两组) =(a-b)2-22(直接运用公式) =(a-b+2)(a-b-2). 乙:a2-ab-a+b =(a2-ab)-(a-b)(分成两组) =a(a-b)-(a-b)(提公因式) =(a-b)(a-1).
请在他们解法的启发下,解答下列各题.
(1)分解因式:9x2-9x+3y-y2.
(2)已知a,b,c是三角形ABC的三条边长,且满足(b2-c2)+(2ab-2ac)=0,请判断三角形ABC的形状,并说明理由.
【参考答案】
例1
解:(1)原式=[a9b3·(-a12)]÷a6÷a6=-a21b3÷a6÷a6=-a21-6-6b3=-a9b3.
(2)原式=2+1+2+3=8.
例2
解:32 MB=32× GB= GB.
变式训练
1.D　2.432
3.解:因为103x=(10x)3=23=8,102y=(10y)2=32=9,
所以103x+2y=103x·102y=8×9=72.
例3
解:原式=[3(a+b)3-2(a+b)2-4(a+b)]÷(a+b)=3(a+b)3÷(a+b)-2(a+b)2÷(a+b)-4(a+b)÷(a+b)=3(a+b)2-2(a+b)-4=3a2+3b2+6ab-2a-2b-4.
例4　解:(1)二.
(2)单项式乘以多项式(分配律),单项式乘以单项式,字母表示数,数可以表示线段的长或图形的面积等等.
(3)用数来说明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd.
用形来说明:如右图,边长为a+b和c+d的矩形,分割前后的面积相等,即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd.
方法归纳
单项式乘以单项式　同底数的幂的除法
变式训练
1.D　2.A
3.解:由题意可得B=A (x+1)=x(x+1)=x2+x,
所以B+A=x2+x+x=x2+2x.
4.解:(1)(2a+b)(3b-a)-2b2=6ab-2a2+3b2-ab-2b2=(b2-2a2+5ab)cm2,
所以剩余纸片的面积为(b2-2a2+5ab)cm2.
(2)若a=6,b=8,
则b2-2a2+5ab=82-2×62+5×6×8=64-72+240=232(cm2),
所以剩余纸片的面积为232 cm2.
例5
解:原式=x2+2x+1-x2-x=x+1,
当x=-2时,原式=-2+1=-1.
例6
解:(1)因为A=1+2x,B=1-2x,
所以2A-3B=2(1+2x)-3(1-2x)=2+4x-3+6x=10x-1.
(2)因为A=1+2x,B=1-2x,
所以A B=(1+2x)(1-2x)=1-4x2.
若A B+M是关于x的一个完全平方式,
则M可以是4x-2(答案不唯一).
变式训练
1.C　2.A
3.解:原式=x2+2xy+y2-2xy-2y2=x2-y2.
因为x2+xy=12①,xy+y2=15②,
①-②,得x2-y2=-3.所以原式=-3.
4.解:m-n的值是否与x的取值无关.
理由:m=x 3=(x+3-1)2-2×x×3=(x+2)2-6x=x2+4x+4-6x=x2-2x+4,
n=1 (2-x)=(1+2-x-1)2-2×1×(2-x)=(2-x)2-(4-2x)
=x2-4x+4+2x-4=x2-2x,
所以m-n=(x2-2x+4)-(x2-2x)=x2-2x+4-x2+2x=4,
所以m-n的值与x的取值无关.
例7
解:(1)2022+202×196+982=2022+2×202×98+982=(202+98)2=3002=90 000.
(2)原式=-a2b2(a2-2ab+b2)=-(ab)2(a-b)2.
当ab=2,a-b=时,
原式=-22×=-1.
例8
解:(1)如72-52=8×3,92-52=8×7.
(2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数.
(3)设m,n为整数,两个奇数可以表示为2m+1和2n+1,则(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1).当m,n同为奇数或同为偶数时,m-n一定是偶数,所以4(m-n)是8的倍数;当m,n中有一个奇数一个偶数时,m+n+1一定是偶数,所以4(m+n+1)是8的倍数.
变式训练
1.C　2.81
3.解:(1)原式=a2(x-y)-9(x-y)=(x-y)(a2-9)=(x-y)(a+3)(a-3).
(2)原式=(x2)2-2·x2·3+32-1
=(x2-3)2-12
=(x2-3+1)(x2-3-1)=(x2-2)(x2-4)
=(x2-2)(x+2)(x-2).
(3)原式=(x2+x)2-8(x2+x)+16
=(x2+x-4)2.
4.解:(1)9x2-9x+3y-y2=(9x2-y2)-(9x-3y)
=(3x+y)(3x-y)-3(3x-y)=(3x-y)(3x+y-3).
(2)三角形ABC是等腰三角形.
理由:因为(b2-c2)+(2ab-2ac)=0,
所以(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,
所以(b-c)(b+c+2a)=0.
因为a,b,c是三角形ABC的三条边长,所以b+c+2a≠0,所以b-c=0,即b=c,
所以三角形ABC是等腰三角形.
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